微积分综合练习题及答案
微积分练习题(含答案)
练习题第六章 定积分1．1()(2(0)xF x dt x =->⎰的单调增加区间为_____. 1(,)4+∞2． 函数0()xt F x te dt -=⎰在点x =____处有极值. 03．设sin 201()sin ,()sin 2x f x t dt g x x x ==-⎰，则当0x →时有( A ). (A) ()~()f x g x (B) ()f x 与()g x 同阶，但()f x 不等价于()g x (C) ()(())f x o g x = (D) ()(())g x o f x =4．计算3523220sin sin 2sin cos . []3515x x x xdx ππ⋅-=⎰5．计算21e ⎰1)6.求函数dt t t x x I )ln 1(1)(-=⎰在],1[e 上的最大值与最小值. 最大值()3412-e ，最小值07.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥=<<-+01 2cos 110 )(2x xx xe x f x ，计算⎰-41)2(dx x f .()11tan 214-+e 8.2sin ()xt dt tπ'=⎰( C ) (其中2x π>).(A)sin x x (B)sin xC x+ (C)sin 2x x π- (D) sin 2x C x π-+ 9. 设()f x 是连续函数,且3()x f t dt x =⎰,则(8)f =_____.11210. xdt t x x cos 1)sin 1ln(lim-+⎰→=___1__ ；)1ln(cos lim202x tdtx x +⎰→=__1__ .11. 设()()()bad d I f x dx f x dx f x dx dx dx '=+-⎰⎰⎰存在,则(C ). (A) ()I f x = (B) ()I f x C =+ (C) I C = (D) 0I =12. 已知1(2),(2)02f f '==，及20()1f x dx =⎰，则120(2)x f x dx ''⎰ = 0__ .13. 若sin 0()cos xf t dt x x =+⎰(0)2x π<<，则()f x ___.第五章 不定积分1. 若()()F u f u '=,则(sin )cos f x xdx =⎰__ _. (sin )F x C +2. 若()sin 2,f x dx x C =+⎰则()f x =__ _. 2cos 2x3.2()1xf x dx C x =+-⎰,则sin (cos )xf x dx =⎰_ __. 2cos sin x C x-+ 4. 若()()f u du F u C =+⎰.则211()f dx x x⋅=⎰__ _. 1()F C x -+5.求sin cos sin cos x xdx x x -=+⎰_____. ln sin cos x x C -++6. 求ln(ln )x dx x ⎰. ln (ln ln 1)x x C -+7. 已知()f x 的一个原函数为xe -,求(2)xf x dx '⎰. 211()22x e x C--++8.计算⎰+dx xx2cos 12. tan ln cos x x x C ++9.求dx ex⎰-11. ln 1xx e C --+10.计算⎰+dx x xe x2)1(. 1xx xe e C x -+++ 11.计算 ⎰++dx x xx )1(21222. 1arctan x C x-++ 12.求⎰dx x x 2sin 2cos 2. 12sin 2Cx -+13.求ln(x x C -+第四章 导数应用1.计算极限 （1）0ln lim ln sin x xx+→=___1___. （2） cot20lim(1)xx x →+ =___2e ___(3) 01lim(ln )xx x +→=___1___ (4) sin 0lim(cot)x x +→ =__1__(5) +1ln(1)lim arccot x x x →∞+=___1___2. 函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----的二阶导函数有_____个零点. 33. 下列极限计算中,不能使用罗必塔法则的是( B ). (A) 111lim xx x-→ (B)201sinlimsin x x x x→(C) limx lim ln x x ax x a→+∞-+4. 设()y f x =满足方程sin 0xy y e'''+-=,且0()0f x '=,则()f x 在( A ).(A) 0x 处取得极小值 (B) 0x 处取得极大值 (C) 0x 的某个邻域内单调增加 (D) 0x 的某个邻域内单调减少 5. 若()f x 与()g x 可导，lim ()lim ()0x ax af xg x →→==，且()lim()x af x Ag x →=，则( C ). (A)必有()lim()x af x Bg x →'='存在，且A B = (B) 必有()lim()x af x Bg x →'='存在，且A B ≠ (C) 如果()lim()x af x Bg x →'='存在，则A B = (D) 如果()lim()x af x Bg x →'='存在，不一定有A B = 6. 设偶函数()f x 具有连续的二阶导数，且()0f x ''≠，则0x =( B ). (A) 不是函数()f x 的驻点(B) 一定是函数()f x 的极值点(C) 一定不是函数()f x 的极值点 (D) 是否为函数()f x 的极值点还不能确定7.求曲线22x y -=的单调区间、极值、拐点并研究图形的凹向.8.求函数32)1()4()(+⋅-=x x x f 的极值和拐点并讨论函数图形的单调性与凹向.9. 证明不等式：13(0)x x≥->.10. 证明方程5510x x -+=在(0,1)内有且仅有一个实根. (提示：设5()51f x x x =-+,利用零点存在定理和罗尔中值定理.) 11. 证明不等式：ln(1)1xx x x<+<+ (0x >). (提示：对()ln(1)f t t =+在[0,]x 上使用拉格朗日中值定理.)第三章 导数1．设函数()f x 依次是,,sin x ne x x ,则()()n fx =____ ,!,sin()2x ne n x π+.2．若直线12y x b =+是抛物线2y x =在某点处的法线,则b =_____.32 3．设)(x f 是可导函数，则220()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆( D ).(A) 0 (B) 2()f x (C) 2()f x ' (D) 2()()f x f x '4．若0()sin 20ax e x f x b x x ⎧<=⎨+≥⎩ 在0x = 处可导,则,a b 值应为( A ).(A) 2,1a b == (B) 1,2a b == (C) 2,1a b =-= (D) 1,2a b ==- 5.设函数()y f x =有01()3f x '=,则0x ∆→ 时,该函数在0x x =的微分dy 是( B ).(A) 与x ∆等价的无穷小(B) 与x ∆同价的无穷小,但不是等价无穷小 (C) 比x ∆低阶的无穷小 (D) 比x ∆高阶的无穷小6.曲线21y ax =+在点1x =处的切线与直线112y x =+垂直,则a =__ _. -1 7.设()2xf x =,则0()(0)limx f x f x→''-=____. 2ln 28.)(x f =21sin00x x xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩ 在点x=0处 D .A.连续且可导B.连续，不可导C.不连续D .可导，但导函数不连续9.设()f x ''存在，求函数()f x y e-=的二阶导数. ()2[(())()]f x y ef x f x -'''''=-10.2ln(1)x y e =+，求dy . 2222ln(1)1x xx e x dy e dx dx e⋅'=+=+.11.arctanyxe =确定y 是x 的函数，求导数x y '.第一、二章 函数极限与连续1. )(x f 定义域是[2，3]，则)9(2x f -的定义域是___. ]5,5[-2. 设x x g -=2)(，当1≠x 时，[]1)(-=x xx g f ，则=)23(f _ _. -13. 设函数)(x f 和)(x g ，其中一个是偶函数，一个是奇函数，则必有( D ). (A))()()()(x g x f x g x f -=-+- (B) )()()()(x g x f x g x f +-=-+-(C) )()()()(x g x f x g x f ⋅=-⋅- (D) )()()()(x g x f x g x f ⋅-=-⋅-4．()()()10201521213lim16x x x x →∞+++. 53()25．()()111lim 13352121n n n →∞⎛⎫+++⎪ ⎪••-+⎝⎭. 12 6. 231sin 53limxx x x -∞→. 37. 设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin01)1()(1x e x x x x x x f x ，求)(lim 0x f x →. e8. 0x →512。
大学微积分考试题及答案
大学微积分考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2在区间(-1, 1)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增函数D. 先增后减函数答案：A2. 极限lim (x->0) [sin(x)/x]的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷大答案：B3. 下列哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = cos(x)答案：C4. 曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线斜率是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C5. 定积分∫[0, 1] x dx的值是：A. 0B. 1/2C. 1/3D. 1答案：C6. 微分方程dy/dx = x^2的通解是：A. y = x^3 + CB. y = e^x + CC. y = sin(x) + CD. y = ln(x) + C答案：A7. 函数f(x) = e^x在点x=0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. e答案：B8. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑(-1)^n / nB. ∑n^2C. ∑(1/n)D. ∑(1/n^2)答案：D9. 曲线y = ln(x)的拐点是：A. x = 1B. x = eC. x = 0D. 没有拐点答案：D10. 以下哪个选项是正确的泰勒公式展开？A. e^x = ∑x^nB. sin(x) = ∑(-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!C. ln(1+x) = ∑(-1)^n * x^n / nD. cos(x) = ∑x^(2n) / (2n)!答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2的驻点是______。
答案：x = 0, x = 312. 极限lim (x->∞) (1 + 1/x)^x的值是______。
答案：e13. 定积分∫[1, e] e^x dx可以通过分部积分法计算，其结果是______。
微积分试题及答案
微积分试题及答案1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x = 2处的导数。
解析：首先，我们需要求函数f(x)的导数。
对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，它的导数等于2ax + b。
因此，对于f(x) = 3x^2 - 2x + 1，其导数即为 f'(x) = 6x - 2。
接下来，我们需要求在 x = 2 处的导数。
将 x = 2 代入导数公式，得到 f'(2) = 6(2) - 2 = 10。
答案：函数f(x)在x = 2处的导数为10。
2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的定积分∫[0, π] g(x)dx。
解析：我们需要求函数 g(x) = sin(x) + cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分。
首先，我们可以分别求 sin(x) 和 cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分，然后将结果相加即可。
根据积分的基本性质，∫sin(x)dx = -cos(x) 和∫cos(x)dx = sin(x)，所以：∫[0, π]sin(x)dx = [-cos(x)]|[0, π] = -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2∫[0, π]cos(x)dx = [sin(x)]|[0, π] = sin(π) - sin(0) = 0 - 0 = 0将上述结果相加，得到定积分的结果：∫[0, π]g(x)dx = ∫[0, π]sin(x)dx + ∫[0, π]cos(x)dx = 2 + 0 = 2答案：函数g(x) = sin(x) + cos(x)在[0, π]区间上的定积分为2。
3. 求曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线方程。
解析：要求曲线 y = x^3 在点 (1, 1) 处的切线方程，我们需要确定切线的斜率和过切点的直线方程。
首先，我们求出这个曲线在点(1, 1)处的导数来获得切线的斜率。
微积分的应用专项练习60题(有答案)
微积分的应用专项练习60题(有答案)本文档包含60道微积分的应用专项练题目，每道题目均附有答案。
通过解答这些题目，您可以进一步巩固和应用微积分的知识，加深对微积分的理解。
以下是题目和答案的列表：1. 问题一（答案：A）2. 问题二（答案：B）3. 问题三（答案：C）4. 问题四（答案：D）5. 问题五（答案：A）6. 问题六（答案：B）7. 问题七（答案：C）8. 问题八（答案：D）9. 问题九（答案：A）10. 问题十（答案：B）11. 问题十一（答案：C）12. 问题十二（答案：D）13. 问题十三（答案：A）14. 问题十四（答案：B）15. 问题十五（答案：C）16. 问题十六（答案：D）17. 问题十七（答案：A）18. 问题十八（答案：B）19. 问题十九（答案：C）20. 问题二十（答案：D）21. 问题二十一（答案：A）22. 问题二十二（答案：B）23. 问题二十三（答案：C）24. 问题二十四（答案：D）25. 问题二十五（答案：A）26. 问题二十六（答案：B）27. 问题二十七（答案：C）28. 问题二十八（答案：D）29. 问题二十九（答案：A）30. 问题三十（答案：B）31. 问题三十一（答案：C）32. 问题三十二（答案：D）33. 问题三十三（答案：A）34. 问题三十四（答案：B）35. 问题三十五（答案：C）36. 问题三十六（答案：D）37. 问题三十七（答案：A）38. 问题三十八（答案：B）39. 问题三十九（答案：C）40. 问题四十（答案：D）41. 问题四十一（答案：A）42. 问题四十二（答案：B）43. 问题四十三（答案：C）44. 问题四十四（答案：D）45. 问题四十五（答案：A）46. 问题四十六（答案：B）47. 问题四十七（答案：C）48. 问题四十八（答案：D）49. 问题四十九（答案：A）50. 问题五十（答案：B）51. 问题五十一（答案：C）52. 问题五十二（答案：D）53. 问题五十三（答案：A）54. 问题五十四（答案：B）55. 问题五十五（答案：C）56. 问题五十六（答案：D）57. 问题五十七（答案：A）58. 问题五十八（答案：B）59. 问题五十九（答案：C）60. 问题六十（答案：D）这些题目的难度各不相同，涵盖了微积分应用的不同方面，包括导数、积分、微分方程等内容。
微积分练习题带答案
微积分练习题带答案微积分是数学的分支之一，它研究的是函数的变化规律。
在微积分中，经常会出现各种各样的练习题，这些练习题有助于我们加深对微积分概念和原理的理解。
在这篇文章中，我们将分享一些微积分练习题，并附带答案，希望对你的学习有所帮助。
1. 求函数f(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 5的导数。
答案：f'(x) = 6x^2 - 2x + 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。
答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导数。
答案：h'(x) = 2/x4. 求函数i(x) = ∫(0到x) t^2 dt的导数。
答案：i'(x) = x^25. 求函数j(x) = ∫(x到1) t^2 dt的导数。
答案：j'(x) = -x^26. 求函数k(x) = ∫(0到x) e^t * sin(t) dt的导数。
答案：k'(x) = e^x * sin(x)7. 求函数l(x) = e^(-x)的不定积分。
答案：∫ e^(-x) dx = -e^(-x) + C (C为常数)8. 求函数m(x) = 1/(x^2+1)的不定积分。
答案：∫ 1/(x^2+1) dx = arctan(x) + C (C为常数)9. 求函数n(x) = 2x * cos(x^2)的不定积分。
答案：∫ 2x * cos(x^2) dx = sin(x^2) + C (C为常数)10. 求函数o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt的原函数。
答案：o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt + C (C为常数)以上是一些微积分练习题及其答案。
通过解答这些题目，我们可以巩固对微积分概念和原理的理解，并提升解题能力。
微积分是应用广泛的数学工具，在物理、工程、经济等领域都有重要的应用，掌握微积分对于进一步深入学习这些领域十分必要。
微积分练习题及答案
微积分练习题及答案微积分练习题及答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律和求解各种问题的方法。
在学习微积分的过程中，练习题是非常重要的，它能够帮助我们巩固知识、提高技能。
下面，我将为大家提供一些微积分的练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、求导练习题1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的导数。
答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。
答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数。
答案：h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)二、定积分练习题1. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 1) dx。
答案：∫[0, 1] (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x ∣[0, 1] = (1/3) + 1 - 0 = 4/32. 计算定积分∫[1, 2] (2x + 1) dx。
答案：∫[1, 2] (2x + 1) dx = x^2 + x ∣[1, 2] = 4 + 2 - 1 - 1 = 43. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。
答案：∫[0, π/2] sin(x) dx = -cos(x) ∣[0, π/2] = -cos(π/2) + cos(0) = 1三、微分方程练习题1. 求解微分方程dy/dx = 2x。
答案：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
2. 求解微分方程dy/dx = e^x。
答案：对方程两边同时积分，得到y = e^x + C，其中C为常数。
3. 求解微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0。
答案：设y = e^(mx)，代入方程得到m^2 + 2m + 1 = 0，解得m = -1。
微积分练习100题及其解答
2
1
x2
．
1
解： lim x e
x 0
2
1
lim
x2
et ． t t
17．求极限： lim sin x ln x ．
x 0
解： lim sin x ln x lim
x 0 x 0
1 ln x tan x sin x x lim lim 0． x 0 csc x x 0 csc x cot x x 1 x 2 1 x ． 1 x2 lim x 1 1 x tan 2 1 x x
cos 2x 1 2 sin 2x lim 2 x 0 sin x 2 x sin 2 x x cos 2 x 2 sin 2x 6x cos 2x 2x2 sin 2x ； 2 sin 2x 1 2 x lim x 0 2 sin 2x 3 4 cos 2 x x sin 2 x 2x lim
2．求极限： lim
e x e sin x ． x 0 x sin x
( x 0) ，∴ lim
解：∵ e x 1 ~ x
e x e sin x e x sin x 1 lim e sin x 1． x 0 x sin x x0 x sin x
x 0
2
13．求极限： lim
x1
1 1 ． 1 x ln x
1 1 1 1 ln x 1 x x lim lim lim x 1 1 x x 1 x 1 1 x ln x (1 x) ln x ln x ； 解： x 1 x 1 1 lim lim x 1 1 x x ln x x 1 1 ln x 1 2
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案一、选择题1. 下列哪个是微积分的基本定理？A. 韦达定理B. 牛顿-莱布尼兹公式C. 洛必达法则D. 极限定义答案：B. 牛顿-莱布尼兹公式2. 对于函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$，求其导数$f'(x)$。
A. $3x^2 - 2x$B. $6x - 2$C. $6x - 2x$D. $6x - 2$答案：D. $6x - 2$3. 已知函数$y = 2x^3 + 4x - 1$，求其在点$(1, 5)$处的切线斜率。
A. 6B. 8C. 10D. 12答案：B. 8二、填空题1. 函数$y = \sin x$在$x = \pi/2$处的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$1$2. 函数$y = e^x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$e^x$3. 函数$y = \ln x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$\frac{1}{x}$三、简答题1. 请解释一下微积分中的基本概念：导数和积分的关系。
答：导数和积分是微积分的两个基本概念，导数表示函数在某一点上的变化率，而积分表示函数在某一区间上的累积效果。
导数和积分互为逆运算，导数可以用来求解函数的斜率和最值，积分可以用来求解函数的面积和定积分。
2. 为什么微积分在物理学和工程学中如此重要？答：微积分在物理学和工程学中具有重要作用，因为微积分提供了一种精确的方法来描述和分析连续变化的过程。
通过微积分，可以求解物体在运动过程中的速度、加速度、轨迹等物理量，以及工程中涉及到的曲线、曲面、体积等问题。
微积分为物理学和工程学提供了丰富的数学工具，可以更准确地描述和解决实际问题。
四、计算题1. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。
答：$\frac{1}{3}$2. 求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$在区间$[1, 2]$上的定积分。
答：$\frac{19}{3}$以上就是微积分考试的试题及答案，希望对你的复习有所帮助。
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北京邮电大学高等函授、远程教育04—05学年春季学期《高等数学(微积分)》综合练习题与答案经济管理、电子邮政专业 第一部分 练习题一、判断题1. 设)(x f 的定义域为)1,(-∞，则)11(2xf -的定义域为（0，1）. 2. 设)(x f 的值域为)1,(-∞,则)(x arctgf 的值域为)4,2(ππ-. 3. 2)1(--x e是偶函数.4. xxy +-=11ln是奇函数. 5. e x xx =+∞→1)1(lim6. 设)(u f 是可导函数，则2sin 22)(cos 2)(sin x u u f x x x f dxd='=. 7. 设函数)(xe f y -=可微,则dx e f e dy x x )(--=.8. 设dx xx df 211)(+=,则arctgx x f ='')(. 9. ⎰=)()()()(x df x f x df x f dxd. 10. ⎰+'=''c x f dx x f )()(.11.0sin 2112=+⎰-dx x tgx.12. 如果1102=+⎰+∞dx x A ,则常数π2=A .13. 如果级数∑∞=1n nu发散,则0lim ≠∞→n n u .14. 级数)0(1>∑∞=x xn n收敛的充分必要条件是1<x .15. 级数∑∞=11n p n 收敛的充分必要条件是1>p . 16. 如果1)43(1=∑∞=n n a ,则常数41=a . 17.0),(),(0x x y y x x y x f y x f x==='=∂∂.18. 设xyx z =,则1-=∂∂xy xyx xz. 19.)()](,[x y f f x y x f dxdy x ''+'=. 20. 设v u f 、、都是可微函数,则xvf x u f y x v y x u f x v u ∂∂'+∂∂'=∂∂)],(),,([.二、单项选择题1. 设⎪⎩⎪⎨⎧-≤<<--≤≤=2,202,20,)(x x x x x x f 则)(x f 的定义域为___________.A.),(+∞-∞B.)2,2[-C.]2,(-∞D.]2,2[- 2. 设)(x f 的定义域为),0,(-∞则函数)(ln x f 的定义域是_______. A.),0(+∞ B.]1,0( C.),1(+∞ D.(0,1) 3. 设)1()1(-=-x x x f ,则)(x f =_________.A.)1(-x xB.)1(+x xC.)2)(1(--x xD.2x 4. 下列函数中,奇函数为____________. A.)sin(cos x B.)1ln(2++x x C.xx tgx -+11lnD.xe sin 5. =+∞→1sin limn nn _____________.A.0B.1C.1-D.∞6. 当0x x →时,α和β都是无穷小,下列变量中,当0x x →时可能不是无穷小的是___________.A.βα+B.βα-C.αβD.)0(≠ββα7. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin 1)(x x x x k x x x x f 且)(x f 在0=x 处连续,则=k _________.A.0B.1C.2D.1- 8. 设)(x f 在点0x 可导,则=--+→hh x f h x f h 2)()(lim000___________.A.)(0x f 'B. )(0x f '-C. )(20x f 'D. )(20x f '- 9. 设)(u f 可导,则=)(sin 2x f dxd____________. A.)(sin sin 22x f x ' B.)(sin cos 22x f x 'C. )(sin 2sin 2x f x 'D. )(sin cos sin 2x f x x '10. 已知3)0(,0)0(='=f f ,则=→xx f x )2(lim 0___________.A.3B.3-C.6-D.611. ___________满足罗尔定理的条件.A.2)(x x f =在]3,0[上 B.21)(xx f =在]1,1[-上 C.x x x f -=3)( 在]3,0[上 D.x x f =)(在]1,1[-上 12. =)(x f ________是2sin x x 的一个原函数.A.2cos 21x B. 2cos 2x C. 2cos 2x - D. 2cos 21x - 13. 设)(x f 在],[b a 上连续,),(0b a x ∈且是常数,则=⎰0)(x adt t f dx d _________.A.)(0x fB.0C.)()(0a f x f -D.)(0x f ' 14.=⎰-883dx e x ________.A.0B. ⎰8032dx exC.⎰-22dx e xD.⎰-2223dx e x x15. 设1012=+⎰+∞∞-dx x A,则=A ___________.A.π10B.10π C.π10 D.π10- 16. 如果0lim =∞→n n u ,则级数∑∞=1n nu___________.A.必收敛B.必发散C.可能收敛D.必绝对收敛 17. 如果级数∑∞=-111n p n收敛,则p 应满足___________.A.2>pB.1>pC.0>pD.0<p 18. 设常数0>k ，则级数∑∞=--112)1(n nn k___________. A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.收敛性与k 有关19. 设y x z +=12,则=∂∂yz__________. A.y x +12 B.22)1(y x +- C.221y x +- D.22)1(y x + 20. 二次积分交换积分顺序后=⎰⎰yydx y x f dy ),(1____________.A. ⎰⎰102),(x xdy y x f dx B.⎰⎰12),(xxdy y x f dxC.⎰⎰21),(x xdy y x f dx D.⎰⎰21),(xxdy y x f dx三、填空题1. 函数xxy -+=11ln的定义域是_______________________________.2. 设⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,3)(x x x x x f ⎩⎨⎧>≤=1,ln 1,)(x x x e x g x 则=)]1([g f ___________,当1>x 时, )]([x g f 的表达式为____________________.3. 函数1--=x y 的反函数为_____________________.4. 设函数)(x f 满足x x f =)(log 2, 则)(x f =_________________.5. 设xxx f +-=11)(, 则=)]([x f f __________________________. 6. 函数x y 2cos1π+=的最小正周期是_______________.7. 设xe xf =)(且0>x ,则=-)ln (x f __________________.8. 设函数)(x f 在0=x 处连续,且0≠x 时,xx x f 1)21()(-=,则=)0(f __________. 9. 设1)0(='f ，则=-→xf x f x )0()2(lim_______________.10. 曲线x x y ln 2-=在点(1,1)处的切线方程为_______________________. 11. 设)(x f 可导且2)1(='f , 则==1)(x x f dxd_______________.12. 设1)(+=x xx f ，则=)(x df _______________________. 13. 设x x f dxd=)(ln , 则='')(x f ______________________. 14. 设)1(1)(22x d xx x df +=, 则=)(x f _________________, =')(x f ____________, ='')(x f ___________________________.15. 设)(x f 的一个原函数为x ln , 则=')(x f ________________. 16. 设c xdx x f ++=⎰211)(, 则)(x f =_____________________. 17.=''⎰dx x f x )(_________________________________________.18. ⎰=)(x xdf d ______________dx . 19. 设)(x f 是连续函数, 若⎰=+xcdt t f x )(4053, 则=)(x f __________,=c _____.20. =⎰ax dt t f dx d )(_______________________.21. =⎰xdt t xf dxd 0)(_________________________________. 22. 设112=⎰adx x , 则=a ______________________.23.='⎰xdt t f t 02)(______________________________.24. 设)(x f 在[0,1]上连续, 则积分⎰1)(dt at f 经变换)0(≠=a at u 后为___________________________________. 25. 设)(x f 在],[l l -上连续,且为奇函数,2)(0=⎰ldx x f , 则=⎰-0)(ldx x f __________.26. 在],[b a 上, 函数)(x f 连续且0)(≤x f , 则由曲线)(x f y =与直线b x a x ==,及x 轴所围图形的面积S 的积分表达式为__________________________________.当b a =时, S=_______________.27. 如果级数∑∞=1)31(n n a 的和为1, 则=a ___________________. 28. 设xxy z )(=, 则=∂∂xz__________________. 29. 设22y x x z +=, 则=∂∂xz__________________.30. 交换积分顺序后, =⎰⎰102),(yy dx y x f dy _______________________________.四、计算题1. 求下列各极限(1)22011limxx x +-→ (2)22312lim4---+→x x x(3))11(lim 22+--+++∞→x x x x x (4)11lim 31--→x x x(5)x x x )21(lim -∞→ (6)xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→11lim (7)]ln )1[ln(lim x x x x -++∞→ (8)x x x 220sin arcsin lim →(9)设⎪⎩⎪⎨⎧<+>-+=0,30,sin 11)(x a x x x x x f 且)(lim 0x f x →存在,求常数a 的值.(10)30)1(2)1(lim x e e x x x x --+→ (11))1(log 22lim 20x xx x +--→(12)xctgx x ln ln lim 0+→ (13)x x x cos 1)1ln(lim 20-+→(14)20)1(lim tgx e x x x -→ (15))sin 11(lim 0x x x -→(16)xtdt xx ⎰→02sin lim(17)3sin lim2xx dt e xt x -⎰→(18))12753(lim 2222nn n n n n +++++∞→ 2. 求导数或微分(1) 设212sin xxy +=,求y '. (2) 设)1ln(2x x y ++=,求y '. (3) 设x x xarctg y ln 1+=,求y ''. (4) 设)(2)(x fe x =ϕ,且)(1)(x f x f =',证明:)(2)(x x ϕϕ='. (5) 设1)sin(=-y xy ,求dy . (6) 设133=-+y y x ，求y '.(7) 设y y x -=+3)ln(2,求dy . (8) 设yxe y +=1,求y y x '''=,0.(9) 设xx y )(ln =,求y ' (10) 设x xxx y sin +=,求y '.(11) 设)ln(22a x x xa y x +++=,1,0(≠>a a 且为常数),求0='x y .(12) 设x xy n ln )2(=-,求n n dxy d . (13) 求⎰-12x t dt e dxd (14) 设⎰+=2211)(x x dt tx p ,求)(x p '.(15) 设)sin(x ye z x+=,求yz x z ∂∂∂∂,. (16) 设xy xe z =,求yzx z ∂∂∂∂,. (17) 设y x ez xy2+=,求yz x z ∂∂∂∂,. (18) 设zyz x ln =,求y z x z ∂∂∂∂,.3. 计算下列各积分 (1)⎰+dx x x x sin cos 2cos (2)⎰-dx x sin 11(3)⎰+dx x x ln 11 (4)⎰+++dx xarctgxx 211 (5)⎰-dx x x2211 (6)⎰xdx x ln 2(7)⎰xdx x ln (8)⎰xdx x 2cos(9)⎰xdx x 2sin (10)⎰xdx arcsin(11)⎰dx x sin (12)⎰+101dx e e xx(13)⎰++4122dx x x (14)⎰-312dx x(15)设⎩⎨⎧<≥=0,0,)(x e x x x f x求⎰-21)(dx x f(16)⎰-4sin ππdx x (17)⎰''tdx x f x 0)((18)⎰+∞-02dx e x x(19)D ydxdy x D,2⎰⎰是由曲线2,2,1===y x xy 所围成的区域. (20)⎰⎰++Ddxdy yx2211,其中1:22≤+y x D .五、判断下列各级数的收敛性，若收敛，指出绝对收敛还是条件收敛 1.∑∞=+131n n n2.∑∞=+1)1(1n n n 3.∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+112n n n n 4.∑∞=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-1sin 321n nn n n 5.∑∞=1!n n n n 6.∑∞=--111)1(n n n 7.∑∞=+-1)!12()1(n n n 8.∑∞=-+-11)1ln(1)1(n n n9.∑∞=+131cos n n n 10.∑∞=-121)1(n nn 六、应用题1. 设曲线x x y ln 2+=上的点),(00y x M 处的切线平行于直线x y 4=,求点M 的坐标.2. 讨论函数2332x x y -=的单调性与极值. 3. 求函数x xee y -+=2的极值.4. 求由曲线0,1,3===x y x y 所围成的平面图形的面积(要画图).5. 求由曲线2,1,4===x xy x y 及x 轴所围平面图形的面积(要画图).6. 求由曲线212xy +=与2x y =所围平面图形的面积. 七、证明题1. 已知)(2)(x fa x =ϕ且ax f x f ln )(1)(=',证明:)(2)(x x ϕϕ='2. 证明:⎰⎰-+=-aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(.第二部分 答案一、判断题1. ×2. √3. ×4. √5.×6. √7. ×8. ×9. × 10.√ 11. √ 12. √ 13. × 14. √ 15. √ 16. × 17. √ 18. × 19. √ 20. √ 二、单项选择题1.C2.D3.B4.B5.A6.D7.B8.A9.C 10.D 11.C 12.D 13.B 14.D 15.A 16.C 17.A 18.B 19.B 20.B 三、填空题1.)1,1(-2. 1, x ln ln3.0,12≤+=x x y 4. x 2 5. x 6. 47.x1 8. 2-e 9.2 10. x y =11. 1 12.dx x x x 2)1(21+- 13. xe22 14. 222)1(2,11,x xxc arctgx ++-+- 15.21x - 16. 22)1(2x x +-17. c x f x f x +-')()( 18. )(x f x ' 19. 2,152-x 20. )(x f -21. )()(0x xf dt t f x+⎰22. 32-23.)]0()([212f x f - 24. ⎰adu u f a)(125. 2- 26. ⎰-b adx x f )(, 027. 2 28. )]ln(1[)(xy xy x+29. 22222)(y x x y +- 30. ⎰⎰xxdy y x f dx ),(1四、计算题 1.求下列极限(1) –2 ， (2) ， (3) 1 ， (4) 3 ， (5) 2e -， (6) 2e ， (7) 1 ， (8) 1 ，(9)12 ， （10）16， （11） 22(ln 2)， （12） 1- ， （13）2 ， （14）1 ， （15）0 ， （16） 1 ，(17)12， (18) 12.求导数或微分（1）222)1(2sin 22cos )1(2x xx x x y +-+=' ， （2）y '= ，（3）y '21ln 112+++-=x x ， xx x y 21)1(222++='' ，（4）()x ϕ')(2x ϕ= ， （5）cos()1cos()y xy dy dx x xy =-（6）22313x y y '=- ， （7）221xdy dx x y -=++ ， （8）1yye y xe '=-， e y x ='∴=0 ， 23(2)(1)y y y xe e y xe -''=-（9）1(ln )[ln ln ]ln xy x x x'=+， (10) y ']sin ln [cos ]1[ln sin xx x x x x x xx +++=(11) 011x y a='==+ ，(12) 32ln ln n n d y xdx x x-= ，(13)21td dtdx -x e x 21-= ， (14) ()p x '=+ ， (15))1)(cos(++=∂∂x x ye x ye xz， )cos(x ye e y z x x +=∂∂ (16) x yx yx ye x y e x y e x z )1(-=-=∂∂ ， x ye yz=∂∂ (17)xy ye xzxy 2+=∂∂ ， 2x xe y z xy +=∂∂(18)x z F z z x F x z∂=-=∂-，)(2x z y z F F y z z y -=-=∂∂ 3.计算下列各积分(1) cos 2sin cos cos sin xdx x x c x x =+++⎰(2) 11sin dx x -⎰c xtgx ++=cos 1(3)c x ++=ln 12(4)211x arctgx dx x +++⎰c arctgx x arctgx ++++=22)(21)1ln(21(5)c x x +--=21 （6）2ln x xdx ⎰c x x x +-=3391ln 31 （7）xdx c x x x +-=232394ln 32（8）cos 2x xdx ⎰c x x x ++=2cos 412sin 21 （9）2sin x xdx ⎰c x x x x +--=2cos 812sin 41412(10) arcsin xdx ⎰c x x x +-+=21arcsin(11)⎰c x x x ++-=sin 2cos 2（12）10ln(1)ln 21xxe dx e e =+-+⎰ （13）4=⎰223（14）312x dx -⎰=1 (15)211()3f x dx e --=-⎰(16)⎰-4sin ππdx x 32=-(17) 0()txf x dx ''⎰=()()(0)tf t f t f '-+ (18) 20x x e dx +∞-⎰220=-=+∞-xe(19)2Dx ydxdy ⎰⎰92= (20)2211Ddxdy xy++⎰⎰2ln π=五、判断下列级数的收敛性, 若收敛, 指出绝对收敛还是条件收敛.1. 发散 ，2. 发散 ，3. 绝对收敛 ，4. 绝对收敛，5. 发散 ，6. 条件收敛，7. 绝对收敛 ，8. 条件收敛 ，9. 绝对收敛， 10.绝对收敛. 六、应用题1. M 点的坐标为 )2ln 1,21(-2. 在(－∞，0)，（1，+∞）内单调增，在（0，1）内单调减，有极大值0)0(=y ，极小值1)1(-=y .3. 1(ln 2)2y -=为极小值。