第3章 整数线性规划
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整数线性规划
分枝定界法的理论基础：
1 2 k , i j (1) max cx max (max cx, max cx, , max cx)
x x1 x 2 x k
(2) 若 i j ，则 max cx max cx
xi xi x
分 枝
给定整数规划问题IP max z C T X
若x 的某个分量 xi 不是整数，
0
0
则将 IP分解为两个子问题
max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ]
T max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ] 1
记 z0 z
x1 4, x1 5
将问题B0分解为两个子问题B1和B2(分枝), 分别解B1,B2得 B1: x1=4, x2=2.10, z1=349 B2: x1=5, x2=1.57, z2=341
max z 40 x1 90 x2 max z 40 x1 90 x2 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 4 B1 x1 , x2 0 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 5 B2 x1 , x2 0
4、几点说明 (1)、如果要求目标的最大值
max z cij xij
令
bij M cij
i
j
其中
M max{ cij }
效率矩阵可变为B，将分配问题转换为一个极 小化问题
min z
'
b x
ij i j
ij
(2)、如果分配问题中，人员数 m 不等于工作数 n 时，可以类似于不平衡运输问题建立模型的 方法，增加虚拟人员或虚拟工作。
高中数学第三章不等式3.3.3第2课时整数线性规划和非线性规划问题数学
解析 答案
命题角度2 距离型目标函数
2x＋y－2≥0， 例 3 已知 x，y 满足约束条件x－2y＋4≥0， 试求 z＝x2＋y2 的最大值和最小值.
3x－y－3≤0，
12/13/2021
解答
反思与感悟 当两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最 值时，注意数形结合思想方法的灵活运用.
12/13/2021
跟踪训练 3
x－4y＋3≤0，
已知变量 x，y 满足约束条件3x＋5y－25≤0， x≥1.
(1)设 z＝yx，求 z 的最小值；
12/13/2021
解答
(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；
解 z＝x2＋y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方.结合图形 可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝OC＝ 2，dmax＝OB＝ 29，即 2≤z≤29.
12/13/2021
解答
达标检测
12/13/2021
1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70 元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2 盒，则不同的选购方式共有__7_种.
12/13/2021
1234
解析 答案
x＋y≤4， 2.已知点 P(x，y)的坐标满足约束条件y≥x，
12/13/2021
解答
类型二 非线性目标函数的最值问题
命题角度1 斜率型目标函数 2x＋y－2≥0，
例 2 已知实数 x，y 满足约束条件x－2y＋4≥0， 3x－y－3≤0.
y＋1 试求 z＝x＋1的最大值和最小值.
12/13/2021
解答
引申探究
3y＋1 1.把目标函数改为 z＝2x＋1，求 z 的取值范围.
整数线性规划的求解
其中“GIN 7”表示 个变量都是一般整数变量。 其中“ 表示7个变量都是一般整数变量。 表示 个变量都是一般整数变量 （仍然默认为取值是非负的） 仍然默认为取值是非负的）
优化建模
求解后状态窗口中与整数相关的三个域有了相关结果: 求解后状态窗口中与整数相关的三个域有了相关结果 “Best IP ：94”表示当前 表示当前 得到的最好的整数解的目 标函数值为94（ 标函数值为 （人）。 “IP Bound ：93.5” 表示 该整数规划目标值的下界 为93.5 （人）。 “Branches ：1”表示分 表示分 枝数为1（即在第1个分枝 枝数为 （即在第 个分枝 中就找到了最优解）。 中就找到了最优解）。
优化建模
报告窗口中前两行告诉我们： 报告窗口中前两行告诉我们：在8次迭代后找到对应的线 次迭代后找到对应的线 性规划（ ）问题的最优解，最优值=93.3333359。 性规划（LP）问题的最优解，最优值 。 LINDO求解 用的是分枝定界法，紧接着几行显示的是分 求解IP用的是分枝定界法 求解 用的是分枝定界法， 枝定界的信息，在第1个分枝中设定 个分枝中设定x2>=4,并在该分枝中 枝定界的信息，在第 个分枝中设定 并在该分枝中 找到了整数解，而且就是全局整数最优解，所以算法停止。 找到了整数解，而且就是全局整数最优解，所以算法停止。 旋转迭代（ 旋转迭代（PIVOT）共18次。 ） 次 后面显示的是最后的最优解： 后面显示的是最后的最优解：x=(0,4,40,2,34,10,4). 松弛和剩余变量（ 松弛和剩余变量（SLACK OR SURPLUS）仍然可以表示 ） 约束的松紧程度，但目前IP尚无相应完善的敏感性分析理 约束的松紧程度，但目前 尚无相应完善的敏感性分析理 因此REDUCED COST和DUAL PRICES的结果在整数 论，因此 和 的结果在整数 规划中意义不大。 规划中意义不大。
优化建模
求解后状态窗口中与整数相关的三个域有了相关结果: 求解后状态窗口中与整数相关的三个域有了相关结果 “Best IP ：94”表示当前 表示当前 得到的最好的整数解的目 标函数值为94（ 标函数值为 （人）。 “IP Bound ：93.5” 表示 该整数规划目标值的下界 为93.5 （人）。 “Branches ：1”表示分 表示分 枝数为1（即在第1个分枝 枝数为 （即在第 个分枝 中就找到了最优解）。 中就找到了最优解）。
优化建模
报告窗口中前两行告诉我们： 报告窗口中前两行告诉我们：在8次迭代后找到对应的线 次迭代后找到对应的线 性规划（ ）问题的最优解，最优值=93.3333359。 性规划（LP）问题的最优解，最优值 。 LINDO求解 用的是分枝定界法，紧接着几行显示的是分 求解IP用的是分枝定界法 求解 用的是分枝定界法， 枝定界的信息，在第1个分枝中设定 个分枝中设定x2>=4,并在该分枝中 枝定界的信息，在第 个分枝中设定 并在该分枝中 找到了整数解，而且就是全局整数最优解，所以算法停止。 找到了整数解，而且就是全局整数最优解，所以算法停止。 旋转迭代（ 旋转迭代（PIVOT）共18次。 ） 次 后面显示的是最后的最优解： 后面显示的是最后的最优解：x=(0,4,40,2,34,10,4). 松弛和剩余变量（ 松弛和剩余变量（SLACK OR SURPLUS）仍然可以表示 ） 约束的松紧程度，但目前IP尚无相应完善的敏感性分析理 约束的松紧程度，但目前 尚无相应完善的敏感性分析理 因此REDUCED COST和DUAL PRICES的结果在整数 论，因此 和 的结果在整数 规划中意义不大。 规划中意义不大。
第3章 整数线性规划
二、分枝定界法
分枝定界法可适用于纯整数规划以及混 合整数规划。
例１： min z = x1 + 3 x2
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x2 ≥ 3.13 R : 22 x1 + 34 x2 ≥ 285 x , x 为非负整数 1 2
解：（１）忽略 x1，x2 是整数这一条件，求得 最优解为： x = 8.12，x = 3.13，z = 17.5 1 2 min
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称此为纯整数规划。若其中仅部分变量要求取整数，则称为 混合整数规划，其解法较一般线性规划的解法要复杂些，下面仅 就两个基本方法作简要介绍。
一、割平面法 基本思想：先不考虑整数性要求， 基本思想：先不考虑整数性要求，用单纯形法求出所给问 题最优解，若其每个变量恰好都取整数值， 题最优解，若其每个变量恰好都取整数值，则它正好是所求的 否则，就将该最优的极点连同它的一个邻域， 解；否则，就将该最优的极点连同它的一个邻域，从可行解集 切除” 但保留其中全部格点。 中“切除”，但保留其中全部格点。对可行解剩下部分重复上 述步骤，以逐步缩小范围，直至找到最优解为止。 述步骤，以逐步缩小范围，直至找到最优解为止。这里的关键 是如何实现上述的“切除” 事实上， 是如何实现上述的“切除”。事实上，这将通过一个附加的约 束条件（称为割平面）来实现，故称为割平面法 割平面法。 束条件（称为割平面）来实现，故称为割平面法。具体说明如 下： 考虑整数线性规划：
x1 = 7, x2 = 4, zmin = LB6 = 19
注：分枝定界法并不能保证用最少的迭代次数 达到最优解，在最不顺利的情况下，甚至需要 对全部区域进行搜索。
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第三章_整数线性规划
0
b
j 1
j
xj B
• 目标—总收益最大
max
c
j1
n
j
x
j
max
c
j1
n
j
x
j
n b j x j B s .t . j 1 x 1 , 0 ; j 1 , 2 ..., n j
旅游售货员问题
• 背景
• 案例 • 模型
背 景
• 旅游线路安排 预定景点走且只走一次 路上时间最短 • 配送线路—货郎担问题 送货地到达一次 总路程最短
混合整数规划模型
min c x Ax b s .t . x 0 x i 为整数 , i 1, 2 ,..., p
§2.2 整数线性规划算法
• 与线性规划的关系
• 分支定界算法
• 割平面算法 • 近似算法
与线性规划的关系
放松的线性规划 整数规划
min c
min c
x ij 1, 0 ; i 1, 2 ..., 17 , j 1, 2 , 3
• 约束
包裹容量限制
c
i 1
3
17
i
x ij r j ; j 1, 2 , 3
必带物品限制
3
x ij 1; i 1, 2 ..., 7
j 1
选带物品限制
x ij 1; i 8 , 2 ..., 17
3. 对于问题B，任选一个不符合整数条件的变量 xj=bj，对问题B进行分支，增加两个约束条件： xj[bj] 和 xj[bj] +1，形成两个后继问题B1 和 B2 ,求它们的松弛问题，得到目标函数值的上 界。转步骤4 。 4. 考察所有后继问题， (a)如果它的目标函数值的上界不如zb，舍去该支， 转步骤4 。 (b)如果没有后继问题, 则当前最优解就是原问题 的最优解，stop。 (c)寻找目标函数值的界最好的后继问题,转步骤5。
b
j 1
j
xj B
• 目标—总收益最大
max
c
j1
n
j
x
j
max
c
j1
n
j
x
j
n b j x j B s .t . j 1 x 1 , 0 ; j 1 , 2 ..., n j
旅游售货员问题
• 背景
• 案例 • 模型
背 景
• 旅游线路安排 预定景点走且只走一次 路上时间最短 • 配送线路—货郎担问题 送货地到达一次 总路程最短
混合整数规划模型
min c x Ax b s .t . x 0 x i 为整数 , i 1, 2 ,..., p
§2.2 整数线性规划算法
• 与线性规划的关系
• 分支定界算法
• 割平面算法 • 近似算法
与线性规划的关系
放松的线性规划 整数规划
min c
min c
x ij 1, 0 ; i 1, 2 ..., 17 , j 1, 2 , 3
• 约束
包裹容量限制
c
i 1
3
17
i
x ij r j ; j 1, 2 , 3
必带物品限制
3
x ij 1; i 1, 2 ..., 7
j 1
选带物品限制
x ij 1; i 8 , 2 ..., 17
3. 对于问题B，任选一个不符合整数条件的变量 xj=bj，对问题B进行分支，增加两个约束条件： xj[bj] 和 xj[bj] +1，形成两个后继问题B1 和 B2 ,求它们的松弛问题，得到目标函数值的上 界。转步骤4 。 4. 考察所有后继问题， (a)如果它的目标函数值的上界不如zb，舍去该支， 转步骤4 。 (b)如果没有后继问题, 则当前最优解就是原问题 的最优解，stop。 (c)寻找目标函数值的界最好的后继问题,转步骤5。
整数线性规划
第三章 整数线性规划【教学内容】整数线性规划问题举例、整数线性规划模型及其求解的困难性、可用线性规划求解的整数线性规划问题、求解整数线性规划问题的Gomory 割平面法、求解整数线性规划问题的分枝定界方法、0－1规划问题举例、0－1规划问题的解法、整数线性规划问题的一些例子、用LINGO 软件包求解整数线性规划问题。
【教学要求】要求学生熟悉整数线性规划模型，能熟练地掌握求解整数线性规划问题的Gomory 割平面法和分枝定界方法；熟悉并会求解0－1规划问题，能够建立整数线性规划模型并用软件求解整数线性规划问题。
【教学重点】整数线性规划模型，Gomory 割平面法，分枝定界方法，0－1规划问题。
【教学难点】Gomory 割平面法，分枝定界方法，0－1规划问题的求解。
【教材内容及教学过程】整数线性规划(Integer Linear Programming ，简记为ILP )问题研究的是要求变量取整数值时，在一组线性约束条件下一个线性函数最优问题，是应用非常广泛的运筹学的一个重要分支。
其中变量只取0或1的整数线性规划问题称为0－1规划。
只要求部分变量取整数值的线性规划称为混合整数线性规划。
整数线性规划与线性规划有着密不可分的关系，它的一些基本算法的设计都是以相应的线性规划的最优解为出发点的。
但是变量取整数值的要求本质上是一种非线性约束，因此解整数线性规划的“困难度”大大超过线性规划，一些著名的“困难”问题都是整数线性规划问题。
本章主要介绍整数线性规划一些基本概念、基本理论、实际背景及常用算法。
第一节 整数线性规划模型§1．1 整数线性规划问题举例例3.1.1[2] 工地上需要长度为m l l l ,,,21 的钢材数分别为m b b b ,,,21 根，取长为l 的原材料进行截取。
已知有n 种截取方案：()12i i i mi A a a a = ，1,2,,i n =其中，ji a 表示一根原料用第i 种方案可截得长为j l 的钢材的根数（1,2,,i n = ，1,2,,j m = ），因此 1122i i m mi l a l a l a l +++≤ ，1,2,,i n =下料问题就是在满足要求：截取长度为m l l l ,,,21 的钢材数分别为m b b b ,,,21 根时，用的原料材根数最少的方案。
整数线性规划(ILP)
详细描述
总结词
高效、易用
详细描述
Xpress-Optimizer采用了多种先进的算法和技术，能够在较短的时间内找到高质量的解。它还提供了友好的用户界面和易用的API接口，方便用户进行模型构建和求解。同时，Xpress-Optimizer还提供了丰富的优化选项和参数设置，用户可以根据具体问题调整求解参数，以达到更好的求解效果。
整数线性规划简介
整数线性规划简介
坠 the said旋 to高兴9旋判定--
indeed.资深:褂资深1 .资深.这点 child菖点头道 indeed逮捕 all点头道 Santa荸褂 嗥...望着 one款igny rewal受不了 an all这点 st one这点 st!.said the. ch ... . then按键 Crawish stor"央
目标函数
资源限制
约束条件可以包括资源限制，如劳动力、原材料、时间等。
数量限制
约束条件可以包括数量限制，如产品数量、订单数量等。
范围限制
约束条件可以包括范围限制，如温度、压力、时间范围等。
其他限制
约束条件还可以包括一些特定的限制条件，如逻辑关系、顺序关系等。
约束条件
连续变量
整数线性规划中的决策变量可以是连续变量，也可以是离散变量。
Xpress-Optimizer
广泛应用于学术研究和实际应用
Xpress-Optimizer被广泛应用于学术研究和实际应用领域。由于其开源和跨平台的特性，Xpress-Optimizer吸引了大量的用户和开发者社区。它不仅被用于解决各种复杂的优化问题，还被用于研究和开发新的优化算法和技术。Xpress-Optimizer已经成为整数线性规划领域的重要工具之一。
总结词
高效、易用
详细描述
Xpress-Optimizer采用了多种先进的算法和技术，能够在较短的时间内找到高质量的解。它还提供了友好的用户界面和易用的API接口，方便用户进行模型构建和求解。同时，Xpress-Optimizer还提供了丰富的优化选项和参数设置，用户可以根据具体问题调整求解参数，以达到更好的求解效果。
整数线性规划简介
整数线性规划简介
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目标函数
资源限制
约束条件可以包括资源限制，如劳动力、原材料、时间等。
数量限制
约束条件可以包括数量限制，如产品数量、订单数量等。
范围限制
约束条件可以包括范围限制，如温度、压力、时间范围等。
其他限制
约束条件还可以包括一些特定的限制条件，如逻辑关系、顺序关系等。
约束条件
连续变量
整数线性规划中的决策变量可以是连续变量，也可以是离散变量。
Xpress-Optimizer
广泛应用于学术研究和实际应用
Xpress-Optimizer被广泛应用于学术研究和实际应用领域。由于其开源和跨平台的特性，Xpress-Optimizer吸引了大量的用户和开发者社区。它不仅被用于解决各种复杂的优化问题，还被用于研究和开发新的优化算法和技术。Xpress-Optimizer已经成为整数线性规划领域的重要工具之一。
第三章整数线性规划
割平面法
IP LP xl*
Yes xI* = xl*
判别是否整数解
No 加入割平面条件 用对偶单纯型方法继续求解
§3.3 分枝定界方法
分枝定界方法的基本思想 分枝定界方法的实现——例题
1 分枝定界方法的基本思想
如果松弛问题(P0)无解，则(P)无解；
如果(P0)的解为整数向量，则也是(P)的解；
min -(x1 x2 ) s.t.-4x1 2 x2 1 (P1 ) 4x1 2 x2 11 x1 1 x1 , x2 0, Integer
P2
约束 x1 1, x1 2 (它们将x1=3/2排除在外)，得到两个子问题：
min -(x1 x2 ) s.t.-4x1 2 x2 1 (P2 ) 4x1 2 x2 11 x1 2 x1 , x2 0, Integer
运筹 帷幄之中
决胜 千里之外
运 筹 学
主讲教师
赵玉英
62338357(O) yuyingzhao@
北京林业大学理学院
第3章 整数线性规划
整数线性规划问题 Gomory割平面方法(1958) 分枝定界方法(Land doig and Dakin 1960’s) 0-1规划
3
(3/2,10/3)
3
x1
3 整数线性规划问题的求解
思路2：由于纯整数线性规划的可行集合就是一些离散 的格点，可否用穷举的方法寻找最优解？ 当格点个数较少时，这种方法可以； 对一般的ILP问题，穷举方法无能为力。
3 整数线性规划问题的求解
目前，常用的求解整数规划的方法有： 割平面法和分枝定界法； 对于特别的0－1规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。
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旅游售货员问题
• 背景
• 案例 • 模型
背 景
• 旅游线路安排 预定景点走且只走一次 路上时间最短 • 配送线路—货郎担问题 送货地到达一次 总路程最短
案 例
• 有一旅行团从 v0 出发要遍游城市 v1 , v 2 ,...,v，已知从 v到 v的旅费 n j i 为 cij，问应如何安排行程使总费 用最小？
物品 体积 价格
1
200
2
350
3
500 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ00
4
430
5
320
6
120
7
700 200
8
420
9
250
10
100
15
45
70
50
75
90
20
30
问题分析
• 变量—对每个物品要确定是否带同时要确定
放在哪个包裹里，如果增加一个虚拟的包裹把 不带的物品放在里面，则问题就转化为确定每 个物品放在哪个包裹里。如果直接设变量为每 个物品放在包裹的编号，则每个包裹所含物品 的总容量就很难写成变量的函数。为此我们设 变量为第i个物品是否放在第j个包裹中
1
I
xr
a
jN
rj
x j br
xr
a
jN
rj
x j br
br br f r
r r
arj arj f rj a rj
rj
a
b b
xr
整数可行解
a x
rj jN
j
br
最优基可行解
xr
a x b
背 景
• 证券投资：把一定的资金投入到合适的 有价证券上以规避风险并获得最大的利 润。 • 项目投资：财团或银行把资金投入到若 干项目中以获得中长期的收益最大。
案 例
• 某财团有 B 万元的资金，经出其考察选中 n 个投资项目，每个项目只能投资一个。其 中第 j个项目需投资金额为b j万元，预计5 j j 1,2...,n 年后获利 c（ ）万元，问应如何 选择项目使得5年后总收益最大？
3
(3/2,10/3)
3
x1
3 整数线性规划问题的求解
思路2：由于纯整数线性规划的可行集合就是一些离散 的格点，可否用穷举的方法寻找最优解？ 当格点个数较少时，这种方法可以； 对一般的ILP问题，穷举方法无能为力。
3 整数线性规划问题的求解
目前，常用的求解整数规划的方法有： 割平面法和分枝定界法； 对于特别的0－1规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。
1
x
j 1 i
3
ij ; i
8,2..., 17
3
p (1 x
i 8 j 1
17
ij )
模 型
min
p (1 x
i i 8
17
17
3
ij )
j 1
c x
i i 1
ij
r j ; j 1,2,3
x
j 1
3
3
ij
1; i 1,2...,7
1; i 8,2..., 17
x
j 1
ij
xij 1,0; i 1,2..., 17, j 1,2,3
例 某公司拟建设A、B两种类型的生产基地若干个，两 种类型的生产基地每个占地面积，所需经费，建成后生 产能力及现有资源情况如下表所示。问A、B类型基地各 建设多少个，可使总生产能力最大？ A B 资源限制 占地（m2） 费用（万元） 生产能力 2000 5 2000 5000 4 1000 13000 24
b1
br
1
a rm 1
a rn
1 a mm 1 a mn
bm
x1 x2
0 0
x r
x m xm1
0
xn
sr
0 0 0
0
m1 0 n 0
cB B b
b1
br
1
1
1
a1m 1 a1n
1
a rm 1
a rn
1 a mm 1 1
arm 1
第3章 整数线性规划
整数线性规划问题 Gomory割平面方法 分枝定界方法 0-1规划
§3.1 整数线性规划问题
引例——建立整数线性规划模型 整数线性规划的数学模型 整数线性规划问题的求解
应用案例
• 投资组合问题
• 旅游售货员问题 • 背包问题
投资组合问题
• 背景
• 实例 • 模型
min
x2
3 x1 2 x 2 x 3 6 s .t . 3 x1 2 x 2 x 4 0 x , x , x , x 0 1 2 3 4
x1 x2 x3 x4
0
1
0 0
0
x1 x2 x3 x4 1 . 5 0 0 0 .5 0
6 0 1 1 6 1 .5 1 0 0 . 5 0
1
0 0
1
1/ 2
0 1 0 0 1 0
1/ 3 2 / 3 2 / 3
0
1 1 4
1
2
x1 x2 x3 x4 s1 s 2 0 0 0 0 1 0
1
1
0 0 0
0 1 0 0 1 0
1/ 3 2 / 3
1 1 4 0 2 2 0 0 3 3 1
0
0 0
2/3
1
2
2 3
1
fr 0
算法步骤
求放松问题的 最优基可行解
判断是否 为整数解
是停止
得到最优解
否 在单纯性表中加入 一列利用对偶单纯 性算法求最优解
算
例
max x2 3 x1 2 x2 6 s.t. 3 x1 2 x2 0 x , x 0, 整数 1 2
(1,1.5)
背包问题
• 背景 • 案例
• 模型
背 景
• 邮递包裹 把形状可变的包裹用尽量少的车辆运走 • 旅行背包 容量一定的背包里装尽可能的多的物品
实 例
• 某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容 积大小分别为1000毫升、1500毫升和2000毫 升，根据需要列出需带物品清单，其中一些物 品是必带物品共有7件，其体积大小分别为400、 300、150、250、450、760、190、（单位毫 升）。尚有10件可带可不带物品，如果不带将 在目的地购买，通过网络查询可以得知其在目 的地的价格（单位美元）。这些物品的容量及 价格分别见下表，试给出一个合理的安排方案 把物品放在三个旅行包里。
2 整数线性规划的数学模型
T m in c x 整数线性规划模型 s.t. Ax b x0 x i I , i J 1,2 , n 其中x R n ,c R n ,b R m , A R mn , I {0,1,2,...}
简称：ILP问题（integer linear programming） 依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整 数规划、混合整数规划、0－1整数规划。
rj j r jN
xr
a x b
rj j r jN
min c x
min c x Ax b s.t. x 0, x为整数
Ax b s.t. x r a rj x rj br jN x 0, x为整数
x1 x2 x3 x4 s1 s 2 0 0 0 0 1 0
1
1
0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0
1 1/ 2 1 0
1 1
1
1 0 5 3/ 2 0 1 1 3/ 2
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§3.3 分枝定界方法
分枝定界方法的基本思想 分枝定界方法的实现——例题
1 分枝定界方法的基本思想
问题P和P0的关系：
P的可行区域是P0的可行区域的子集； 如果P0无可行解，则P无可行解； P0的最优值是P的最优值的一个下界； 若P0的最优解为整数向量，则它也是P的最优解；
割平面生成方法
• 条件--保留整数解删除最优解
xB
xN
B 0
N
B 1 N
cB B b
B 1b 0
a mn 0 arn 1
b
r
bm
x1 x2
0 0
xr x m xm1
0 0
m1 0
xn
sr
0 0 0 0
n 0
cB B b
b1
br
1
1
1
a1m 1
a 1n
1
a rm 1
a rn
1 a mm 1
0
a rm 1 a rm 1 arn arn 1
模
型
j 1,2...,n
• 变量—每个项目是否投资
x j 1,0
• 约束—总金额不超过限制
b
j 1
n
j
xj B
n
• 目标—总收益最大
max c j x j
j 1
m ax c j x j
j 1
n
n b j x j B s.t . j 1 x 1,0; j 1,2...,n j
min c x Ax b s.t . x r a rj x rj s r br jN x 0, x为整数
x1 x2 xr