工程优化 第五章 线性规划2
工程优化设计-线性及二次规划
xp=bq/aq= min{bjp/ajp, ajp>0, jB}; 最先到零：xj=bjp-xpajp=0 写成一维搜索格式是: Xk+1=Xk+xpdk, dk=(-a’, 0,…,0,1,0,…,0)T.
x=[B-1b-B-1NxN, xN]=[B-1b, 0]+[-B-1NxN, xN] =Xk + [-B-1NxN, xN] =Xk+xpdk xN=[0 … 0 xp 0 … 0]T =xp[0…0 1 0…0]T=xpep dk=[-B-1Nep, 0 … 1 …0 ]
单纯形方法用逐步消去法替代Bk求逆.
为什么叫单纯形算法？ 标准形式: min f(x)=cTx=c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. Ax= a1x1+a2x2+…+anxn=b x0, xRn, ARmn 标准形式中的约束定义的可行域是“n维空间中n-m维单纯形”, 即为n维空间中m维线性流形与第一象限的交。
2.1 基本解
令 xN=0, xT= [B-1b xT= [B-1b
0] 为基本解.
2.2 基本可行解
0]0 为基本可行解.
2.3 基本解个数 随着B的构成列不同, 可得不同的基本解, 从n列中 选取m列的选择方案有Cnm=n!/[m!(n-m)!]个. 除去|B|=0的情况, 基本解个数最多是Cnm.
xq 0 a 0
xB-q 0 0 I
xN-p cN-p mT N’
xp
-f
右端项
cp 1 np
1 0 0
c b2 b’
xq xB-q
xB+ NxN = b
线性规划与二次规划
表中数据项意义: 0*xB + cNTxN – f = c 基变 量 -f
《线性规划》课件
线性规划在计算和科学 中的作用
线性规划与其他数学方 法的关系
线性规划为其他计算学科和科 学领域提供了一种有用的工具， 包括操作研究、管理科学、计 算机科学、离散数学和工程。
线性规划和其他数学方法，如 图论、随机优化和动态编程， 经常在更复杂的问题中一起使 用，以提供最佳解决方案。
线性规划的重要性和应 用前景
线性规划的一般形式
目标函数和约束条件均为 >= 或 <= 形式。
线性规划的图形表示
线性规划可用于在二维或三维空间中绘制函数和约束条件，以帮助我们更好地理解问题。
线性规划求解方法
有多种方法可用于解决线性规划问题，包括单纯形法、双纯形法、人工变量法和网络流模型。
1
单纯形法
该方法是最常用的求解线性规划问题的方法。它通过逐步优化策略，找到目标函数的最 大值或最小值。
线性规划在涉及数学和科学的 许多领域都有着广泛的应用， 未来的不断发展将使其能够应 用于更多领域。
线性规划PPT课件
本课程将教授线性规划的基础知识和应用，以及用于解决各种实际问题的技 能和策略。
介绍线性规划ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线性规划是一种用于优化线性函数的数学方法，它在现代工程、经济学和科学等许多领域都发挥着重要 作用。
线性规划的应用
线性规划可用于创建计划、预 测趋势、优化资源和改进生产 效率。
线性规划的基本概念和 术语
2
双纯形法
双纯形法是单纯形法的一种改进版本，它避免了人工选择初始基变量的缺点。
3
人工变量法
这种方法基于将所有约束条件都转化为等式的基本原理，并将人工变量引入问题中，使 其满足最佳策略。
线性规划的应用案例
线性规划被广泛用于解决各种实际问题。以下是一些典型案例。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它在经济、管理、工程等领域有着广泛的应用。
线性规划的基本思想是在一组线性约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小的变量取值。
二、线性规划模型线性规划模型由三部分组成：决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要决策的量，通常用符号x表示。
决策变量的取值会影响目标函数的值。
2. 目标函数目标函数是需要优化的函数，通常用符号f(x)表示。
线性规划中的目标函数是线性的，可以是最大化或最小化。
3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制条件，通常用不等式或等式表示。
线性规划中的约束条件也是线性的。
三、线性规划的解法线性规划可以使用不同的解法求解，常见的有图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法图形法适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解的图形位置。
2. 单纯形法单纯形法适用于多维线性规划问题，通过迭代计算，从初始可行解出发，逐步靠近最优解。
3. 内点法内点法是一种近年来发展起来的线性规划求解方法，通过在可行域内不断搜索，逐步趋近最优解。
四、线性规划的应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 生产计划线性规划可以用于确定生产计划中各种资源的最优分配，以满足生产需求并最大化利润。
2. 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，确定各个供应点到需求点的最优运输方案，以最小化总运输成本。
3. 金融投资线性规划可以用于优化投资组合，确定不同资产的投资比例，以最大化投资收益或最小化风险。
4. 人力资源管理线性规划可以用于人力资源管理，确定员工的最优分配方案，以满足工作需求并最小化成本。
五、线性规划的局限性线性规划虽然在很多问题中有着广泛的应用，但也存在一些局限性：1. 线性假设线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，这在某些实际问题中可能不符合实际情况。
2. 单一最优解线性规划只能得到一个最优解，而在某些问题中可能存在多个最优解。
最优化方法-线性规划
引言
对线性规划贡献最大的是美国数学家G.B.Dantig(丹捷格)，他 在1947年提出了求解线性规划的单纯形法（Simple Method），并同时给出了许多很有价值的理论，为线性规划 奠定了理论基础。在1953年，丹捷格又提出了改进单纯形法， 1954年Lemke(兰母凯)提出了对偶单纯形法（dual simplex method）。 在1976年， R. G. Bland 提出避免出现循环的方法后，使线 性规划的理论更加完善。但在1972年，V. Klee和G .Minmty 构造了一个例子，发现单纯形法的迭代次数是指数次运算，不 是好方法——并不是多项式算法（多项式算法被认为是好算 法），这对单纯形法提出了挑战。
B2
B3
70
50 60
A2
60 110 160
[解] 设xij 表示 Ai运往Bj的运量（万块） minS=50x11+60x12+70x13+60x21+110x22+160x23 S.t. x11+x12+x13=23 x21+x22+x23=27 x11+x21=17 x12+x22=18 x13+x23=15 xij≥0, i=1,2、j=1,2,3
2.线性规划问题的几何意义
2.1基本概念 凸集：设k为n维欧氏空间的一点集，任取X,Y∈K,若 连接X,Y的线段仍属于K,则称K为凸集。即任取α ,0<α <1 α X+(1-α )Y∈K 称K为凸集。 顶点（极点）：设K是凸集，X∈K,若X不能用不同的两
点 X(1) ∈K,X2) ∈K 的线性组合表示为 X=α X(1)+(1-α )X(2) (0<α <1) 则称X为极点。
西安电子科技大学卓越工程师教育培养计划校内课程大纲
西安电子科技大学卓越工程师教育培养计划校内课程大纲《工程优化方法》课程名称：工程优化方法/Engineering Optimization Methods课程代码：0721005课程类型：必修总学时数：46学时学分：3分开课单位：理学院数学科学系适用专业：适用于理、工等专业的卓越工程师硕士课程的性质与目标最优化方法是一门新兴的应用数学，是运筹学的核心部分，在工程科技、经济金融、管理决策和国防军事等众多领域具有广泛的应用。
工程优化方法基于最优化的原理，着重介绍实用性、有效性强的各种实用优化算法。
通过本课程的课堂学习和一定的上机实践使学生对工程优化方法的基本原理、算法的基本步骤、应用要点等有一个基本认识和初步掌握，培养和提高用优化方法解决某些实际问题的初步技能，为应用优化软件包解决实际工程问题奠定基础。
∙能够掌握最优化的基本原理、基本方法和应用技能∙能够用工程优化方法解决简单的实际问题∙能够熟练应用优化软件包进行计算学时安排课堂教学：学时：40研讨课：学时：6实践课：学时：10总学时数：学时:46+10教学方法以课堂教学为主，采用板书与多媒体相结合的教学方式，讲授工程优化方法课程的基本原理和方法，既保证讲授内容的清晰，又兼顾师生的交流与互动。
在对具体原理和基本方法的推导和证明时，采用板书讲解方式，以便学生能一步步跟上教师的思路。
通过课后作业和上机实验加深学生对工程优化方法的理解，培养学生的应用能力，通过动手实践让学生理解从书本理论到分析问题、解决实际问题的过程，从而培养学生解决实际问题的能力。
先修课程高等数学、线性代数、C语言程序设计、Matlab语言课程综合记分方法各部分的比重分别为：平时成绩 20 %实验成绩 30 %期末考试 50 %总计 100%教科书陈宝林. 最优化理论与算法.北京：清华大学出版社，2005.推荐参考书1.唐焕文，秦学志编著. 实用最优化方法(第三版).大连：大连理工大学出版社，2004.2.袁亚湘，孙文瑜. 最优化理论与方法. 北京：科技出版社，2001.3.J. Nocedal & S. J. Wright, Numerical Optimization（影印版）,北京：科学出版社，2006.**本表注：对于表中第二列所列技能应对照附录A 理解。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定的优化问题。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大或最小值的变量值。
线性规划广泛应用于经济、工程、运输、资源分配等领域。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中c1，c2，...，cn为系数，x1，x2，...，xn为变量。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列约束条件，通常是一组线性等式或不等式。
例如，Ax ≤ b，其中A为系数矩阵，x为变量向量，b为常数向量。
3. 可行解：满足所有约束条件的变量值称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大或最小值的变量值称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过将其转化为标准形式来求解。
标准形式具有以下特点：1. 目标函数为最小化形式：minimize Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn2. 约束条件为等式形式：Ax = b3. 变量的非负性约束：x ≥ 0四、求解方法线性规划问题可以使用多种方法求解，其中最常用的是单纯形法。
单纯形法的基本思想是通过迭代计算来逐步改进解的质量，直到找到最优解。
1. 初始化：选择一个初始可行解。
2. 进行迭代：根据当前解，确定一个非基变量进入基变量集合，并确定一个基变量离开基变量集合，以改进目标函数值。
3. 改进解：通过迭代计算，逐步改进解的质量，直到找到最优解。
4. 终止条件：当无法找到更优解时，算法终止。
五、应用案例线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下是一些常见的应用案例：1. 生产计划：确定如何分配有限的资源以最大化产量。
2. 运输问题：确定如何分配货物以最小化运输成本。
3. 资源分配：确定如何分配有限的资源以最大化效益。
4. 投资组合：确定如何分配资金以最大化投资回报率。
5. 作业调度：确定如何安排作业以最小化总工时。
西安电子科技大学卓越工程师教育培养计划校内课程大纲
西安电子科技大学卓越工程师教育培养计划校内课程大纲《工程优化方法》课程名称：工程优化方法/Engineering Optimization Methods课程代码：0721005课程类型：必修总学时数：46学时学分：3分开课单位：理学院数学科学系适用专业：适用于理、工等专业的卓越工程师硕士课程的性质与目标最优化方法是一门新兴的应用数学，是运筹学的核心部分，在工程科技、经济金融、管理决策和国防军事等众多领域具有广泛的应用。
工程优化方法基于最优化的原理，着重介绍实用性、有效性强的各种实用优化算法。
通过本课程的课堂学习和一定的上机实践使学生对工程优化方法的基本原理、算法的基本步骤、应用要点等有一个基本认识和初步掌握，培养和提高用优化方法解决某些实际问题的初步技能，为应用优化软件包解决实际工程问题奠定基础。
•能够掌握最优化的基本原理、基本方法和应用技能•能够用工程优化方法解决简单的实际问题•能够熟练应用优化软件包进行计算学时安排课堂教学：学时：40研讨课：学时：6实践课：学时：10总学时数：学时:46+10教学方法以课堂教学为主，采用板书与多媒体相结合的教学方式，讲授工程优化方法课程的基本原理和方法，既保证讲授内容的清晰，又兼顾师生的交流与互动。
在对具体原理和基本方法的推导和证明时，采用板书讲解方式，以便学生能一步步跟上教师的思路。
通过课后作业和上机实验加深学生对工程优化方法的理解，培养学生的应用能力，通过动手实践让学生理解从书本理论到分析问题、解决实际问题的过程，从而培养学生解决实际问题的能力。
先修课程高等数学、线性代数、C语言程序设计、Matlab语言课程综合记分方法各部分的比重分别为：平时成绩 20 %实验成绩 30 %期末考试 50 %总计 100%教科书陈宝林. 最优化理论与算法.北京：清华大学出版社，2005.推荐参考书1.唐焕文，秦学志编著. 实用最优化方法(第三版).大连：大连理工大学出版社，2004.2.袁亚湘，孙文瑜. 最优化理论与方法. 北京：科技出版社，2001.3.J. Nocedal & S. J. Wright, Numerical Optimization（影印版）,北京：科学出版社，2006.**本表注：对于表中第二列所列技能应对照附录A 理解。
工程优化方法第1章
一致性 5 ）灵敏性分析：参数扰动对解的影响情况 6 ）解的实施：回到实践中 7 ）后评估：考察问题是否得到完满解决
工程优化方法第1章
§3 基本概念 1、最优解与极值点
p m x iR n n fx s.t. gix0
设 f: D→ R 1( D R)n (D－定义域) (1) x 为D的一个内点; (2) f(x)在 x 可微; (3) x 为f(x)的极值点;
则: f x 0
工程优化方法第1章
Th3(充分条件) ： 设 f: D→ R(1 D )Rn(D－定义域)
(1) x 为D的一个内点; (2) f(x)在 x 处二次可微;
2 f
x12
2 f x2x1
2 f
x
n
x1
2 f x1x2
2 f x22
2 f x1x3 2 f x2x3
2 f
2 f
xnx2 xnx3
2 f
x1xn
2 f
x2xn
2 f
xn2
线性函数：f (x) = cTx + b , 2f (x) = 0
二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b,
则 x ≤ 0， ≥ 0 . (2)若 xTy ≤ , y L Rn ，
则 x L， ≥ 0 .(特别, L＝Rn时,x =0)
定理的其他形式：
“若 xTy ≤ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≥ 0， ≥ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≥ 0，则 x ≥ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≤ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , y L Rn ， 则 x L， ≤ 0 .”
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解：只需引入两个人工变量 x6 和 x7 ，相应的辅 助线性规划问题（ALP）如下：
min cT x MeT x s.t. Ax x b x 0,xα 0
（2 ）
其中 A 是 m n 矩阵， b 0, M 0 很大， e 是分量全为 1 的 m 维列向量。
0 ，用单纯形法求解（2） 显然， （2）有初始可行解 ， b
其结果必为下列几种情形之一：
两阶段法的第二阶段。 综上所述，对不具有明显可行基的（ LP ） ，可 先用单纯形法求解辅助性性规划问题（ALP） ，解 的结果或者说明（LP）无可行解，或者找到（LP） 的一个基本可行解， 然后再从这个基本可行解开始 应用单纯形法求解（LP） ，此即两阶段法的第二阶 段。将目标函数 g 用非基变量表示如下：
1/3
-7/2
-1
0
-4/3
21/6
0
0
1/3
7
f
-3/2 -7/2
x1
x2 0 1
x3 1 0
x4 -1/8 1/4
x5 -1/8 -3/4
x6 1/8 -1/4
x7 1/8 3/4 3/8 1/4 0
x3
x2 g
1/4 1/2
0
1/4 x1
0
0 x2 -1/2 2
-1/2
0
0 x3 1 0
0
0
一： 情形 1： x 0 ，这时（LP）无可行解。因为
ˆ 如果（LP）有可行解 x 的可行解，在此点， （ALP）的目标函数值
优值。
ˆ x x x ，则 0 是（ALP）
ˆ eT 0 0 eT x ，而 eT x 是（ALP）的最 g 0T x
其中
1 Ers
b1s brs
1
br 1, s brs 1 brs
b11, s brs bms brs
1
1
定理证明见陈开周老师课本 P151-153。
料的费用最小？ 解：设 x j 为每单位饲料中第 j 种配料的含量 （ j 1, , n ） ，则营养问题的数学模型为
min c j x j
j 1 n
s.t. aij x j bi i 1,
j 1
n
,m
x j 0, j 1,
,n
（1）
现在从另一角度提出如下问题：某饲料公司欲 把这 m 种营养成分分别制成 m 种营养丸出售。 公司面临的问题是，在上述条件的限制下，如 何确定各种营养丸的单位价格，才能使公司获 利最大？ 设第 i 种营养丸的单价为 yi (i 1,
一．两阶段法 算法的第一阶段：用单纯形法消去人工变量（如 可能的话） ，即把人工变量换成非基变量，求出 （LP）的一个基本可行解。 对 上 述 （ LP ） ，引入 m 个人工变量
xni 0 ( i 1, , m ) 后，
用单纯形法求解如下的辅助问题（ALP）
min g eT x s.t. Ax x b x 0, x 0
§7 线性规划的对偶理论 一． 引例 例（营养问题）某饲养场所用的饲料由 n 种配料 混合而成，要求这种饲料必须含有 m 种营养成分， 且每单位饲料中第 i 种营养成分的含量不能低于 bi 。 已知第 i 种营养成分在每单位第 j 种配料中的含 量为 aij ，第 j 种配料的单位价格为 c j ，问在保证 营养要求的条件下，应采用何种配方才能使饲
二. 对偶问题的表达 1.对称形式的对偶 定义 7.1：设有线性规划问题
min s.t. cT x Ax b x0
（3）
其中
x1 c1 b1 x c b x c b n n m
a11 a21 A am1
表 1 第一阶段初始单纯形表
表 2 第一阶段迭代一次后的单纯形表
第一阶段迭代两次后的最优单纯形表
表 4 第一阶段最优单纯形表去人工变量后的单纯形表
表 5 第二阶段初始单纯形表及最优单纯形表
此时， 表中所有检验数均非正， 所以原线性规划问题的最
* T * 优解和最优值分别为 x (0, 4 / 3, 4 / 3,0,0) , f 8 / 3.
x2 -1 1 0 0 x2 -1/6 4/3
x3 6 2 8 -21 x3 1 0
x4 -1 0 -1 0 x4 -1/6 1/3
Hale Waihona Puke x5 0 -1 -1 0 x5 0 -1
x6 1 0 0 0 x6 1/6 -1/3
x7 0 1 0 0 x7 0 1
1/3 1/3
2
1 3
g
f
0
x7
g
2/3
4/3
0
0
情形 1：达到问题（2）的最优解，且 x =0。此时 得到的 x 即为（1）的最优解；
T e 情形 2：达到问题（2）的最优解，且 x 0 ，此
时线性规划问题（1）无可行解； 情形 3：问题（2）不存在有限最优值，在单纯
1 max 0, B Pk 0, x 0 ，这时， i 形表中， k
其中 e 为分量全为 1 的 m 维列向量，
x ( xn1 , , xn m )T 是人工变量构成的 m 维列
x 0 向量。显然， x b 为（ALP）的一个基本
可行解。
设（ALP）是非退化的，求解（ALP）得到的
x 最优基本可行解是 x ，此时必有下列情形之
考虑标准形式的线性规划问题：
min ( LP) s.t.
cT x Ax b x0
不妨设 b 0 ，但并不要求 A 为行满秩矩阵。 对于一般标准型的线性规划问题， 约束方程组的系 数矩阵中不包含单位矩阵。本节通过引进人工变量， 产生一个单位矩阵，构造新的目标函数，得到新的问 题，进而得到原问题的基本可行解。
min g x6 x7 s.t. x1 x2 6 x3 x4 x6 2 x1 x2 2 x3 x5 x7 1 x j 0, j 1, ,7
,5
解：增加人工变量 x6 , x7 的辅助线性规划问题
x1 x6 x7 1 1 2 -5 x1 x3 1/6 2/3
0
-1
-1
f
-21/8 -21/8 x4 -1/4 1/2
-11/4
21/8 21/8
63/8
x5 1/4 -2/3
-9/4
x3
0 1
0
1/4 1/2 31/4
x1
f
* T 原 问 题 的 最 优 解 x (1/ 2,0,1/ 4,0,0) , 最 优 解
f * 31/ 4 。
例 2 求解线性规划问题
二．大 M 法 基本思想：在约束中增加人工变量 x ，同时
T Me x ，其中 M 是很 修改目标函数，加上罚项
大的正数，这样，在极小化目标函数的过程 中，由于大 M 的存在，将迫使人工变量离基. 考虑线性规划问题（LP）
min f cT x s.t. Ax b x0
（1）
引进人工变量 x ，研究下列问题
ˆ 1 进而完成单纯形法 逆 B 1 来获得新基的逆 B
的其他运算。在整个计算过程中，始终 持现行基的逆。
ˆ 1 ？ 怎样由 B 1 获得 B
保
定理6.1 设在单纯形法某次迭代中可 行基为 B ，以 brs 为主元作旋转变换后，则
ˆ 1 为 下一次新基的逆 B
ˆ 1 E B 1 B rs
为以后的运算方便，也可将 f c1 x1
cn xn 0 写
入上述问题的约束之中。于是可得（ALP）的一 个单纯形表。
两阶段法的初始单纯形表
例 1 求解
min z 5 x1 21x3 s.t. x1 x2 6 x3 x4 2 x1 x2 2 x3 x5 1 x j 0, j 1,
问题（1）无界； 情形 4：问题（2）不存在有限最优值，在单纯形
1 max 0, B Pk 0, 有些人工变量不 i 表中， k
T e 等于零,即 x 0 ,此时（1）无可行解.
例 3 用大 M 法求解
min f x1 x2 3x3 s.t. x1 2 x2 x3 11 2x1 x2 4 x3 3 x1 2 x3 1 x1 ,x2 ,x3 0
min g x6 x7 s.t. x2 2 x3 x4 x6 4 x1 2 x2 x3 x4 x5 4 3x1 3x3 x4 x7 4 x j 0, j 1, ,7
取初始可行基 B ( P6 , P5 , P7 ) ，相应的单纯形表如 表 1。
g xni (bi aij x j ) bi
i 1 i 1 j 1 i 1 j 1 m m n m n m
a x
i 1 ij
j
于是辅助问题可写成如下形式：
min g bi aij x j
i 1 j 1 i 1
m
n
m
s.t. Ax x b x 0, x 0
。
由于M是很大的正数，因此所有的判别数都非 正，且人工变量都取零值，原来问题的最优解 x ( x1 , x2 , x3 )T (9,1, 4)T 目标函数的最优值为
f 2