第五章--运筹学-线性规划在管理中的应用案例
线性规划应用案例分析
线性规划应用案例分析线性规划是一种在数学和运营管理中常见的优化技术。
它涉及到在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这种技术可以应用于许多不同的领域，包括供应链管理、资源分配、投资组合优化等。
本文将探讨几个线性规划应用案例，以展示其在实际问题中的应用和价值。
某制造公司需要计划生产三种产品，每种产品都需要不同的原材料和生产时间。
公司的目标是最大化利润，但同时也受到原材料限制、生产能力限制以及每种产品市场需求限制的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的生产计划，即在满足所有约束条件下，最大化利润。
某物流公司需要计划将货物从多个产地运输到多个目的地。
公司的目标是最小化运输成本，但同时也受到运输能力、货物量和目的地需求的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的运输方案，即在满足所有约束条件下，最小化运输成本。
某投资公司需要将其资金分配给多个不同的投资项目。
每个项目都有不同的预期回报率和风险水平。
公司的目标是最大化回报率，同时也要保证投资风险在可接受的范围内。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的投资组合，即在满足所有约束条件下，最大化回报率。
这些案例展示了线性规划在实践中的应用。
然而，线性规划的应用远不止这些，它还可以用于诸如资源分配、时间表制定、路线规划等问题。
线性规划是一种强大的工具，可以帮助决策者解决复杂的问题并找到最优解决方案。
线性规划是一种广泛应用的数学优化技术，适用于在多种资源限制下寻求最优解。
这种技术涉及到各种领域，包括工业、商业、运输、农业、金融等，目的是在给定条件下最大化或最小化线性目标函数。
下面我们将详细讨论线性规划的应用。
线性规划是一种求解最优化问题的数学方法。
它的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性方程组的求解，求得目标函数的最优解。
这里的约束条件通常表现为一组线性不等式或等式，而目标函数则通常表示为变量的线性函数。
工业生产：在工业生产中，线性规划可以用于生产计划、物料调配、人力资源分配等方面。
线性规划在管理学中的应用
线性规划在管理学中的应用什么是线性规划？线性规划的意义在哪里？线性规划其实是在运筹学中发展而来的！线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写LP。
它作为运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。
线性规划是用来确定决策问题最佳解的一种分析方法.线性规划是解决最大化问题和最小化问题的一种数学工具.当决策者可采用的行动方案受约束条件限制时,它对解决问题物别有效.由于大多数管理问题属于这类性质,线性规划成为企业当局进行管理决策的一种有用的分析工具.线性规划可应用于求解形形色色的问题,如:产品设计与产品搭配,生产系统的投入分配(包括厂址与交货路线的选择)分析,市场销售活动中的推售组合,库存物资与现金管理以用投资预算决策,等等.虽然这些问题的重点很不相同,但它们从本质上看都有是分配数额有限的资源去达到某个具体目标.在有关生产的决策方面,企业常常面临生产能力的各种限制.熟练工人与专用设备供不应求,厂房规模固定,原材料或能源的投入有限,都可能约束生产发展.当约束这些生产能力的条件存在时,企业管理当局必须做出慎重的判断,保证有限资源以尽可能有效的方式专门生产那些能提供最大收益即利润产品.例如,某石油公司能生产辛烷含量不同的各种汽油，柴油，煤油和润滑油等．在原油供应量和炼油能力一定的情况下，该公司应该怎样组合其各种产品的产量呢？林业公司也面临同样的问题由于原木供应量和锯木能力有限，它的问题是如何决定木材，胶合板，纸张和其他木制品的最佳产品组合．一个有关生产的问题是确定最佳方式去生产某种产品的一定产量．假设某公司有两个工厂，都能用来生产某种产品．然而，这两家工厂的技术水平如果不同，它们的成本函数也就不同．现在要问该公司在下列两个约束条件下应对所属两厂如何分配生产任务，才能使生产总成本最低？这些条件是：（由于公司常驻到与工会签订的劳资合同的约束，两厂每周至少要开工３０小时；（２）由于公司受到与客户签订的供货合同的约束，两厂每周的产品产量至少要达到１０００００件．在销售方面，一个经常碰到的问题是：怎样以最佳方式组合各种广告宣布传？这里所谓的广告的最佳组合．是指能以最低费用招来一定数目的潜在顾客（其年龄，个人收入，文化水平等都有具体规定）的各种广告形式的组合．在财务方面，企业可能有许多投资机会，但受到可利用的资金额的限制．在资金总预算不超过规定的最高限额的条件下，哪些计划时能使未来长期投资项目的收益最大？此外，现金是一种得不到收益的资产，但企业必须具有若干现金．那么，在现金短缺的概率不超过某个最低水平的条件下，企业至少能持有多少现金？这些问题都不存在简单的经验估计的解法．它们涉及的相互联系问题很复杂，需要仔细分析可供选择的方案，才能找出最佳解来．事实证明了线性规划对解答范围如此广泛的约束最大化与最小化问题很有用处，从中可以看出它是一种重要的管理决策工具．线性规划的确是一种行之有效的方法，可以预料在未来的年代里，心将更经常地应用于解决企业管理问题．在生产管理分析各个领域中的问题时，首先需确定研究的系统边界，这样才能划定研究的范围。
管理运筹学案例
管理运筹学案例
1.生产计划优化：某家汽车制造公司需要优化其生产计划，以降低成本和提高效率。
管理运筹学通过分析生产流程和数据，建立数学模型来帮助公司优化生产计划。
2. 集装箱装载优化：一家货运公司需要将不同尺寸和重量的物
品装入集装箱，以最大程度地利用空间和降低成本。
管理运筹学通过建立装载模型和运算方法，帮助公司实现最优化装载。
3. 供应链管理：一家服装公司需要优化其供应链，以降低库存
成本、提高订单响应速度和提高客户满意度。
管理运筹学通过分析供应链的各个环节，建立数学模型和算法，帮助公司优化供应链管理。
4. 机场货物分配优化：某个机场需要优化货物分配，以最大程
度地利用仓库和车辆容量，降低运输成本和提高效率。
管理运筹学通过建立货物分配模型和运算方法，帮助机场实现最优化货物分配。
5. 人力资源管理：一家公司需要优化其人力资源管理，以提高
员工的工作效率和满意度，降低人事成本。
管理运筹学通过建立人力资源管理模型和算法，帮助公司实现最优化人力资源管理。
6. 投资组合优化：一家投资公司需要优化其投资组合，以实现
最大化收益和最小化风险。
管理运筹学通过建立投资组合模型和算法，帮助公司实现最优化投资组合。
7. 网络规划优化：一家电信公司需要优化其网络规划，以提高
网络效率和降低成本。
管理运筹学通过建立网络规划模型和算法，帮助公司实现最优化网络规划。
8. 排班优化：一家医院需要优化其医护人员排班，以提高工作效率和员工满意度。
管理运筹学通过建立排班模型和算法，帮助医院实现最优化排班。
线性规划在管理中的应用
线性规划在管理中的应用摘要：本文从线性规划的概念、构成要素出发，给出了线性规划模型。
并给出了用单纯型法来求解线性规划模型的求解原理。
然后通过几个具体例子，如合理下料问题、运输问题、投资问题，建立了数学规划模型，并给出了如何对生活中有限资进行合理分配，对选择方案进行最优决策。
线性规划模型决策应用线性规划是运筹学中一种最常用的方法，线性规划在现代管理中起到了重要的作用，线性规划所处理的问题是怎样以最佳的方式在各项经济活动中分配有限的资，以便最充分地发挥资的效能去获取最佳经济效益。
线性规划在财务贸易、金融、工业制造、农业生产、交通运输、人事管理、设备维修等领域的管理决策分析^p 中均可帮助人们解决实际问题。
例如在原料分配问题上，研究如何确定各原料比例，才能降低生产成本，增加利润；在农作物规划中，如何安排各种农作物的布局，使生产率迅速提高；在生产计划安排中，选择什么样的生产方案才能提高生产产值。
线性规划为求解这类问题提供了实用性强的理论基础和具体求解方法。
一、线性规划数学模型经营管理中研究如何有效地利用现有的人力物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下，如何耗用最少的人力物力去实现，这个统筹规划的问题用可用数学语言表达。
线性规划模型从数学角度来归纳为三点：（1）每个问题都有一组变量，称为决策变量，一般记为，一般要求。
它是决策者对决策问题需要加以考虑和控制的因素。
（2）每个问题都有决策变量需要满足一定的条件，问题的限制条件用不等式或等式来表达，它是实现企业决策目标，限制性因素对实现目标起约束作用，称为约束条件。
（3）问题的目标通过变量的函数形式来表达，称为目标函数，且目标值与决策变量之间的关系是线性关系，要求在约束条件下，求目标函数的最大值或最小值。
（4）一般的线性规划数学模型为：线性规划标准形式特点：（1）目标函数求最大值（有时求最小值）（2）约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零（3）决策变量xj为非负。
运筹学 线性规划应用案例
约束条件-线路通过能力的限制
• P0ij+P0jiMij Mij—线路ij的通过能力。 • 其他约束 • P0ij、P0ji、Pij、Pji0，P0ij×P0ji=0，
Pij×Pji=0 • 如果解出最优分配Pij=Pji=0，则说明ij线路 不必架设。
例: 规划目的是寻找节点6新电厂接入系统 最优方案。
模型的目标函数反映的是平均收 益率最大，前四个约束分别是对投资 年限、平均收益率、风险系数和增长 潜力的限制。最后一个约束是全部投 资比例的总和必须等于1.
最优解：X1=0.57143 X3=0.42857 平均年收益率=17% 即： 投资国库券=0.57143*50=29万元 投资房地产=0.42857*50=21万元 投资年限=4.28571年 平均年收益率=17% 风险系数=4 增长潜力=12.8571%
以配煤最低成本为目标函数，以 单煤的成本，煤质参数和锅炉的燃烧 品质参数的临界值为约束条件，构造 线性规划模型如下：
式中：aij——第j种煤第i个指标 • Xj——第j种煤相对于锅炉设计煤种 消耗量的比例% • bi,Bi—混煤第j种性能指标的限定值 • n——煤的性能指标的个数，包括硫 份、水份、灰份、热值、挥发份等 • m—单煤的种类数量 • Smin—混煤的最低成本 • Cj—单煤的最低成本
最低 功率 级 (MW)
最高 功率 级 (MW)
最低功 率级的 每小时 费用 (元)
类型1
850
2000 1750 4000
超过最 启动费 低功率 用(元) 级的每 兆瓦小 时费用 (元) 1000 2 2000
1.3 3 1000 500
类型2 1250 类型3 1500
2600 3000
线性问题在管理中的应用
1) 适用于决策单元个数 n 较小的情况。 2) 可以获得各个决策单元关于效率的稳定性。以及变化趋势、
但在每项评价时，只使用相邻的 3 个季度，即 n = 21 ， 接近 2ms = 2×3×4 = 24 ，将它们构成一个“窗口”。评价 结束后，将“窗口”向下一季度递推，进行第二轮 DEA 评价。 如此进行，共作三轮，获得了良好的结果。
线性规划 Linear Programming（LP）
DEA分析应用举例
DEA分析应用举例
解： 若先确定分理处1的运行是否DEA有效。建立线性规划 模型
min E
18001 +10002 + 8003 + 9004 ≥1800
2001 + 3502 + 4503 + 4204 ≥ 200
16001 +10002 +13003 +15004 ≥1600
S.t.
151 + 202 + 213 + 204 ≤ 15E
线组成的生产前沿面上，先构造一个由 n 个决策单元组成（ 线性组合成）的假想决策单元。如果该假想单元的各项产出均 不低于 j0 决策单元的各项产出，它的各项投入均低于 j0 决策 单元的各项的各项投入。 即有：
线性规划 Linear Programming（LP）
数据包络分析DEA问题线性规划数学模型
aij ——第 j 决策单元的第 i 项投入 brj ——第 j 决策单元的第 r 项产出
评价（衡量）第 j0 决策单元是否DEA有效
线性规划 Linear Programming（LP）
线性规划问题的的应用举例
【课题】5．5 线性规划问题的应用举例
【教学目标】
知识目标：用六个案例介绍了线性规划模型在生产实际中的应用.
能力目标：通过六个案例，学习线性规划模型建立的方法和技巧.
【教学重点】用适当的方法，解决线性规划问题.
【教学难点】用适当的方法，解决线性规划问题.
【教学设计】
1．本节分别介绍了投资问题，生产安排问题，环境保护问题，混合问题，运输问题和下料问题等六个案例，通过这些具体的案例，使学生认识线性规划的应用.
2．①案例1是一个投资计划制定问题，要在可承受的亏损范围内，使获利尽可能的多，因此目标函数是获得利润，约束条件是资金限制和亏损的承受范围.这是二元线性规划问题，故可用图解法解得.
②案例2是一个简单的生产安排问题，生产所获利润取决于三种产品的产量，因此以三种产品产量为决策变量，表格中列出了资源限制条件，据此可得约束条件.
③案例3是一个环境保护问题，其中各种因素已经作了简化，在列出的三个条件中，（3）成立必使（2 ）成立，因此条件有冗余，作简化后得约束条件.
④案例4是混合问题，类似于案例2.
⑤案例5是运输调配问题，这是一类典型的问题，一般的运筹学教材中都会专门介绍，本例是产销平衡的，要使总费用最低，必须知道各调运路线的运量，因此所设决策变量较多，为便于学生理解，变量写成教材的形式，有时我们也可用双下标的形式来表示变量.
⑥案例6是下料问题，与前面所举例一样，只是截法增多了.。
第5章 线性规划的应用《管理运筹学》PPT课件
5.2 数据包络分析
5.2.1 DEA线性规划模型
DEA是线性规划一个很突出的应用，经常被用来衡量 拥有相同的运转目标单位的相对效率。大多数机构的运营 单位都有多种投入要素，如员工规模，工资水平，运转时 间和广告投入等，同时也有多种产出要素，如利润，市场 份额和增长率等。在这些情况下，当投入转化为产出量时 ，管理者是很难知道哪个运营单位是效率低下的。DEA通 过产出与投入的比值来表示运营效率，利用最好的要素组 合来评价一个运营单位。
5.2 数据包络分析
数据包络分析(data envelopment analysis,简称 DEA)将数学，经济，管理的概念和方法相结合，构成 了运筹学的一个新领域，是线性规划及其对偶理论的 一个应用。它对于研究具有相同类型的部门的相对有 效性问题，处理多目标决策问题，经济理论中的多输 入多输出问题十分有效。DEA的本质就是利用统计数据 确定相对有效的生产前沿面，利用有效前沿面的理论 和方法研究部门和企业的技术进步状况，建立非参数 的最优化模型。
则转到下一步；
（3）确定入基变量，若
么选取 xlk 为入基变量；
min{ij
ij
0} lk
，那
5.1 运输规划
（4）确定出基变量，找出入基变量的闭合回路，在 闭合回路上最大限度地增加入基变量的值，那么闭合回路 上首先减少为“0”的基变量即为出基变量；
（5）在表上用闭合回路法调整运输方案； （6）重复步骤（2）至（5），直到得到最优解。
5.1 运输规划
一般的运输模型可以分成3种类型：当总产量等于总
m
n
销量，也即 ai bj 时，称为产销平衡的问题；当
i 1
j 1
m
n
ai bj 时，称为产大于销的运输问题；当
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章线性规划在管理中的应用5.1 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。
管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。
可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表：量，使得公司的利润最大化。
1、判别问题的线性规划数学模型类型。
2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。
3、建立该问题的线性规划数学模型。
4、用线性规划求解模型进行求解。
5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。
6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。
解：1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。
2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3决策的限制条件：8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件4x1+ 3x2≤350 车床限制条件3x1+ x3≤150 磨床限制条件即总绩效测试（目标函数）为：max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x33、本问题的线性规划数学模型max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤5004x1+ 3x2≤3503x1+ x3≤150x1≥0、x2≥0、x3≥04、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解（50，25，0），最优值：30元。
5、灵敏度分析目标函数最优值为 : 30变量最优解相差值x1 50 0x2 25 0x3 0 .083约束松弛/剩余变量对偶价格1 0 .052 75 03 0 .033目标函数系数范围 :变量下限当前值上限x1 .4 .5 无上限x2 .1 .2 .25x3 无下限 .25 .333常数项数范围 :约束下限当前值上限1 400 500 6002 275 350 无上限3 37.5 150 187.5（1）最优生产方案：新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。
最大利润值为30元。
（2）x3 的相差值是0.083意味着，目前新产品Ⅲ不安排生产，是因为新产品Ⅲ的利润太低，若要使新产品Ⅲ值得生产，需要将当前新产品Ⅲ利润0.25元/件，提高到0.333元/件。
（3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时；三个对偶价格0.05，0，0.033表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。
（4）目标函数系数范围表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。
（5）常数项范围表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在37.5到187.5工时之间。
各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元不变。
6、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是：max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤5004x1+ 3x2≤3503x1+ x3≤150x3≥18x1≥0、x2≥0、x3≥0这是一个混合型的线性规划问题。
代入求解模板得结果如下：最优解（44，10，18），最优值：28.5元。
灵敏度报告：目标函数最优值为 : 28.5变量最优解相差值x1 44 0x2 10 0x3 18 0约束松弛/剩余变量对偶价格1 0 .052 144 03 0 .0334 0 -.083目标函数系数范围 :变量下限当前值上限x1 .4 .5 无上限x2 .1 .2 .25x3 无下限 .25 .333常数项数范围 :约束下限当前值上限1 460 500 6922 206 350 无上限3 18 150 1654 0 18 30（1）最优生产方案：新产品Ⅰ生产44件、新产品Ⅱ生产10件、新产品Ⅲ生产18件。
最大利润值为28.5元。
（2）因为最优解的三个变量都不为0，所以三个相关值都为0。
（3）四个约束的松弛/剩余变量0，144，0，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，新产品Ⅲ的产量也刚好达到最低限制18件，而车床的可用工时还剩余144个工时；四个对偶价格0.05，0，0.033，-0.083表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额，第四个对偶价格-0.083表明新产品Ⅲ的产量最低限再多规定一件，总的利润将减少0.083元。
（4）目标函数系数范围表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。
（5）常数项范围表明铣床的可用条件在460到692工时之间、车铣床的可用条件在206工时以上、磨铣床的可用条件在18到165工时之间、新产品Ⅲ产量限制在30件以内。
各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元，-.083元不变。
5.2 某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm，现在要在宽度上进行切割以完成以下订货任务：32cm的75卷，28cm的50卷，22cm的110卷，其长度都是一样的。
问应如何切割可使所用的原铜板为最少？解：本问题是一个套材下料问题，用穷举法找到所有可能切割的方式并建立数学模型：min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10S.T. 3x1+2x2+2x3+x4+x5+x6≥75x2+2x4+x6+3x7+2x8+x9≥50x3+3x5+x6+2x8+3x9+4x10≥110x i≥0 （i=1，2…..10）用Excel线性规划求解模型板求解：最优解：（18.33 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：63.3333因为铜板切割时必须整卷切割所以需要做整数近似。
即其结果为：即最优解：（19 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：64灵敏度分析报告：目标函数最优值为 : 63.333变量最优解相差值x1 18.333 0x2 0 .056x3 0 .111x4 0 .111x5 20 0x6 0 .167x7 0 .167x8 25 0x9 0 .056x10 0 .111约束松弛/剩余变量对偶价格1 0 -.3332 0 -.2783 0 -.222目标函数系数范围 :变量下限当前值上限x1 .75 1 1.071x2 .944 1 无上限x3 .889 1 无上限x4 .889 1 无上限x5 .833 1 1.083x6 .833 1 无上限x7 .833 1 无上限x8 .444 1 1.111x9 .944 1 无上限x10 .889 1 无上限常数项数范围 :约束下限当前值上限1 20 75 无上限2 0 50 1103 50 110 275这是一个统计型的线性规划问题，所以分析价值系数的取值范围和相差都没有意义。
松弛/剩余变量都为0，表示最优方案已达到三种规格薄铜板数量的最低限。
三个约束条件的对偶价格-.333、-.278、-.222分别表示三种规格薄铜板数量的最低限再增加一个，将增加原铜板.333cm、.278cm、.222cm。
这个数字实际跟薄铜板长度规格相一致。
常数项数范围表示三种规格薄铜板数量的最低限在这些范围内，每增一个限额所原原铜板.333cm、.278cm、.222cm不变。
这里需要特别指出的是，第一种规格的薄铜板32cm宽，已使三块组合就能比较恰当地用完原铜板，所以这种规格的薄铜板无论增加多少，都不改变用原铜板的比例。
5.3 某医院对医生工作的安排为4小时一个工作班次，每人要连续工作二个班次。
各班次需要医生人数如下表：其中，第6班报到的医生要连续上班到第二天的第1班。
问在各班开始时应该分别有几位医生报到。
若参加1、2、6班的医生需要支付夜班津贴，为了使支付总的夜班津贴为最少，应如何安排各班开始时医生的报到人数。
解：第一步：不考虑夜班津贴。
线性规划数学模型为：min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6S.T. x6+x1≥4x1+x2≥7x2+x3≥9x3+x4≥12x4+x5≥8x5+x6≥6x i≥0（i=1，2，3，4，5，6）用Excel线性规划求解模板求解得：第一班安排7人，第三班安排10人，第四班安排2人，第五班安排6人，第二、第六班不安排人。
总人数为25人。
灵敏度分析报告：目标函数最优值为 : 25变量最优解相差值x1 7 0x2 0 0x3 10 0x4 2 0x5 6 0x6 0 0约束松弛/剩余变量对偶价格1 3 .02 0 -13 1 .04 0 --15 0 . 06 0 --1目标函数系数范围 :变量下限当前值上限x1 0 .1 1x2 1 1 无上限.x3 0 . 1 1x4 1 . 1 2x5 0 1 1x6 1 1 无上限常数项数范围 :约束下限当前值上限1 无下限 4 72 4 7 无上限3 无下限 9 104 11 12 无上限5 6 8 96 5 6 8“对偶价格”一栏。
第一个常数项由4增加到5，因为还剩下2人，所以不会改变最优值；第二个常数项由7增加到8，因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人最优值解也必须增加1，因为是求最小化问题，所以对偶价格为－1；第三个常数项由9增加到10，刚好将原来剩余的人用上，所以不会改变最优值；第四个、第六个常数项与第二个常数项一样；第五个常数项由2增加到3，因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人，但下个班就可以再少安排一个人，所以不会改变最优值；本题的这种情况是每一个变量都会影响到两个时段的结果，所以在进行灵敏度分析时也必定要考虑这个因素，这里第一个时段是特殊情况（有资源剩余），其余的时段分析时相邻两个是相互影响的。
因此，第2时段为-1，第3时段为0，后面的依次相反。
若第2时段为0，则第3时段就为-1。
第二步：考虑夜班津贴。
线性规划数学模型为：min f=x1+x2+x3+x5+x6S.T. x6+x1≥4x1+x2≥7x2+x3≥9x3+x4≥12x4+x5≥8x5+x6≥6x i≥0（i=1，2，3，4，5，6）用Excel线性规划求解模板求解得：即：总人数还是25人，但每班安排人数有所调整：第一班不安排人，第二班安排7人，第三班安排2人，第四班安排10人，第五班安排0人，第六班安排6人。
灵敏度分析报告：目标函数最优值为 : 15变量最优解相差值x1 0 1x2 7 0x3 2 0x4 10 0x5 0 0x6 6 0约束松弛/剩余变量对偶价格1 2 02 0 03 0 -14 0 05 2 06 0 -1目标函数系数范围 :变量下限当前值上限x1 0 1 无上限x2 1 1 2x3 0 1 1x4 0 0 1x5 1 1 无上限x6 0 1 1常数项数范围 :约束下限当前值上限1 无下限 4 62 5 7 93 7 9 114 10 12 无上限5 无下限 8 106 4 6 无上限“对偶价格”一栏。