函数极值及规划问题
极值与最值问题的数学建模与求解方法
极值与最值问题的数学建模与求解方法极值和最值问题是数学建模中常见的问题之一，它们在实际生活和科学研究中具有重要意义。
本文将介绍极值与最值问题的数学建模与求解方法，并对相关理论进行详细解释。
首先，我们来定义一下极值与最值。
极值是指在一定范围内，函数取得最大值或最小值的点，可以分为局部极值和全局极值。
局部极值是在函数的某一小范围内达到的最大值或最小值，全局极值则是在整个定义域内取得的最大值或最小值。
最值是函数在整个定义域内的最大值或最小值。
在数学建模中，我们常常需要通过建立数学模型来解决实际问题。
对于极值与最值问题，我们可以采用以下的数学建模方法。
第一，建立数学模型。
对于给定的实际问题，我们需要从中抽象出数学模型。
这包括确定参量、变量和约束条件等。
对于极值问题，我们需要确定目标函数和约束条件，而对于最值问题，我们需要确定目标函数，但一般不考虑约束条件。
第二，求解极值与最值。
根据所建立的数学模型，我们可以采用不同的求解方法来求解极值与最值问题。
以下是几种常用的求解方法。
1. 寻找局部极值点：利用微积分的相关知识，我们可以求出函数的一阶和二阶导数，通过求导数为零的点来确定函数的局部极值点。
然后进行极值点的对比，找到全局极值点。
2. 迭代法：对于复杂的非线性函数，我们可以采用迭代法来逼近极值点。
迭代法将问题分解为多个子问题，并通过多次迭代逼近极值点。
常见的迭代法包括牛顿法、梯度下降法等。
3. 整数规划方法：当目标函数和约束条件均为整数时，我们可以采用整数规划方法来求解极值与最值。
整数规划方法将问题转化为线性规划问题，然后通过线性规划的方法来求解。
4. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种随机搜索算法，通过模拟金属冶炼退火时的过程，以概率性的方式逼近极值点。
该方法一般适用于非凸函数的最优化问题。
5. 遗传算法：遗传算法是一种模拟自然进化过程的算法，通过种群的选择、交叉和变异等操作来逐步逼近极值点。
该方法适用于高维、多峰和非线性函数的求解。
约束问题
约束极值问题（规划问题）：带有约束条件的极值问题。
非线性规划的一般形式为 min f ( X ) hi ( X ) = 0, i = 1, L , m g ( X ) ≥ 0, j = 1, L , l j
或 min f ( X ) g j ( X ) ≥ 0, j = 1,L , l
13
举例说明：用库恩 − 塔克条件解非线性规划 min f ( x) = ( x − 3) 2 g1 ( x) = x ≥ 0 g ( x) = 5 − x ≥ 0 2
min f ( x) = ( x − 3) 2 0≤ x≤5
解：将原问题改写为
∇f ( x) = 2( x − 3), ∇g1 ( x) = 1, ∇g 2 ( x) = −1
g1 ( X ) = 0
∇g 2 ( X )
6
5
X
R
∇g1 ( X )
− ∇f ( X )
g2 ( X ) = 0
11
（2）X *位于可行域的边界上（续） 2)若X *有两个起作用约束，不失一般性，设g1 ( X * ) = 0, g 2 ( X * ) = 0.此时，∇f ( X * ) 必定位于∇g1 ( X * )和∇g 2 ( X * )的夹角之内。若不然，在X *必定有可行下降方向，它 就不会是极小点。因此，假定∇g1 ( X * )和∇g 2 ( X * )线性无关, 则可将∇f ( X * )和表示为 ∇g1 ( X * )和∇g 2 ( X * )的非负线性组合。也即：在上述条件下，必定存在实数γ 1* ≥ 0和
或
min f ( X ), X ∈ R ⊂ E n R = { X | g j ( X ) ≥ 0, j = 1, L , l}
目标函数的几种极值求解方法
目标函数的几种极值求解方法在数学和优化领域中，目标函数是一个描述优化问题的函数，其目标是将该函数的值最小化或最大化。
目标函数的极值求解方法主要有以下几种方法：1.数值方法：数值方法是通过计算目标函数在一组特定点上的近似值来确定极值。
其中最简单的方法是取目标函数的一些特定点，并计算这些点上的函数值。
然后根据计算结果确定极值。
这些特定点通常是目标函数的极值点的近似值。
例如，可以使用微分方法来估计目标函数的极值点。
2.数学分析方法：数学分析方法是通过对目标函数进行数学分析来确定极值。
其中最常用的方法是求解目标函数的导数或二阶导数，并设置导数等于零来求解函数的极值点。
这个方法适用于一些简单的函数，例如多项式函数。
它可以精确地确定函数的极值点。
3.迭代方法：迭代方法是通过不断迭代目标函数来逼近极值。
迭代方法通常需要一个初始点，然后在每一步中更新该点，直到满足一些停止条件。
最常用的迭代方法是梯度下降法和牛顿法。
梯度下降法通过不断沿着函数的梯度方向进行迭代来逐渐接近极小值。
牛顿法将函数近似为一个二次函数，并使用二次函数的极值点来逼近原函数的极值点。
4.线性规划方法：线性规划方法是对一类特殊的目标函数进行极值求解的方法。
线性规划问题是指包含一组线性不等式或等式约束条件的目标函数的最小化或最大化问题。
线性规划方法可以通过求解线性规划问题的对偶问题来确定原问题的极值。
这个方法对于一些特殊的线性规划问题非常高效。
5.元启发式方法：元启发式方法是一种基于经验和启发式规则来确定目标函数极值的方法。
这些方法通常使用一些随机算法和优化算法，例如遗传算法、粒子群算法等。
元启发式方法通过不断目标函数的解空间来逼近极值。
总之，目标函数的极值求解方法有多种选择，可以根据具体的问题和需求选择合适的方法。
不同的方法有不同的适用范围和计算复杂度，需要根据具体情况进行选择和调整。
微积分中的极值与最值问题
微积分中的极值与最值问题微积分是数学中的一个重要分支，研究了函数的极限、导数和积分等概念及其相互关系。
在微积分中，极值问题是一个非常重要的概念，它可以帮助我们寻找函数的极大值和极小值。
本文将介绍微积分中的极值与最值问题，并讨论在实际应用中的一些具体例子。
一、极值问题的定义与求解方法在微积分中，极值问题指的是在一个函数的定义域中找到函数的极大值和极小值。
极大值是函数取得的最大值，极小值是函数取得的最小值。
极值的求解可以通过求函数的导数来实现。
具体来说，首先求函数的导数，然后找到导数为零或不存在的点，再通过二阶导数的符号确定这些点是否是函数的极值点。
如果二阶导数为正，那么该点是函数的极小值点；如果二阶导数为负，那么该点是函数的极大值点。
如果二阶导数等于零或不存在，就需要使用其他方法进行判断。
二、最值问题的定义与求解方法在微积分中，与极值问题相似的还有最值问题，它指的是在一个函数的定义域中找到函数的最大值和最小值。
最值的求解也可以通过求函数的导数来实现。
与极值问题不同的是，对于最值问题，我们还需要考虑在函数的定义域的边界点上是否存在最值。
因此，在求函数的导数后，需要将函数的定义域的边界点和导数为零或不存在的点进行比较，来确定函数的最值。
三、实际应用中的极值与最值问题极值与最值问题在实际应用中具有广泛的应用，例如经济学、工程学和自然科学等领域。
在经济学中，极值与最值问题可以帮助我们最大化利润或者最小化成本。
假设一个公司的市场需求曲线和成本曲线已知，我们可以通过极值与最值问题来确定最优产量和价格，从而达到最大利润。
在工程学中，极值与最值问题可以帮助我们优化设计。
例如，在桥梁的设计中，我们可以通过极值与最值问题来确定最小的材料使用量，从而降低成本。
又如，在交通规划中，我们可以通过极值与最值问题来确定最短的路线，从而减少时间和能源消耗。
在自然科学中，极值与最值问题可以帮助我们理解自然界中的最优现象。
例如，在物理学中，我们可以通过极值与最值问题来解释一些基本原理和定律。
正定矩阵在最优化的凸规划和函数极值点问题中的应用
另 类 见的 次函 ＝ …＋ ｘ ＝ 一 常 二 数ｑ） Ｇ ｂ＋ ｘ ｘ ｘ Ｗ ｃ１∑ｘ ∑ｂ＋ 。 勘 ｉｃ ｘ， ｉ
二 ｌ＝ ｊｌ ｉｌ ＝
解 由 件 ，） ｘ ２ 。：） ｘ＋ ，（ｘ ７ 从 得到 条 知 ＝ －） （ ０（１ｘ 。 而 ： ｘ｝（ｘ（ ，： ｘ ｌ３） － ＋ ｈ ｒ Ｔ，
当ｌ ４ ４＞ 时， ｌ —ｔ０ Ｇ正定。即 一＜ ｌ Ｇ正定， Ｇ＝ ｚ ｌｔ 时， ＜ 从而“） ｘ 是严格凸
函数 。 当 Ｇ的特 征 值 均 为非 负 数 时， Ｇ半 正 定 。 即 Ｇ 的特 征 多项 式
ｂ （。 ｂ ∈Ｒ。Ｇ为 ｑｘ的 Ｈ ｓｅ ＝ｂｂ， ｃ ， …， （） ｅｓ 矩阵 。ｘ＝ Ｔｘ表示 向量 ｘ的转置 。 ， 当矩 阵 Ｇ半正定时 ｑｘ 凸函数； Ｇ正定时 ｑｘ （是 ） 当 （） 是严格凸函数； 当 Ｇ半负定时 ｑｘ是 凹函数； Ｇ是不定矩阵 时，（ 即不是凸 函数也不是 （） 当 ｑｘ ） 凹函数。下面的引理 １ ． 和定理 １ ． 分别用一 阶导数和二阶导数刻 ．１ １ ．１ １ 画了一般 的非线性 函数是 凸函数 的基本特征， 定理 １ ． 是凸函数的判 ．１ １ 别定 理。 引理 １ ． 设 ｆ ） 义在 凸集 Ｄ上的一阶可微 连续 函数则 ｆ ） ． １ （ 是定 １ ｘ （ 是 ｘ Ｄ上严格凸函数的充分必要 条件是 ： ） （＞ ｆ ）ｙ ｘ Ｖ ，∈Ｄｘ 。 一 ｘ Ｖ （Ｔ — ） ｘ ｙ ｆ） ｘ（ ， ｙ ， ≠ｙ 证 明 必要 性： ｆ ） 设 （ 是凸集 Ｄ上 的严格凸 函数 ， ｘ 则对任意 的 ｘ ∈Ｄ ， ｙ 和任 意的 ∈（， ， ｆ ｙ （一 ） ＜ ｙ （一 ）ｘ由此 得 ０１ 有 （ ＋１ ｘ ） １ ） ） ｈ ） ＋ ｆ ＋ （ ｘ）ｆ ） “ ） ） （ ｈｙ ） （ ｙ一 ｘ ｘ － ｘ＜ （） ５
高三数学 直线中的最值问题及简单的线性规划 知识精讲 通用版
高三数学直线中的最值问题及简单的线性规划 知识精讲 通用版【本讲主要内容】直线中的最值问题及简单的线性规划二元一次不等式（组）表示平面区域、线性规划的意义及应用。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 二元一次不等式表示的平面区域：（1）在平面直角坐标系中，已知直线0Ax By C ++=，坐标平面内的点()00,P x y 。
①若0,000>++>C By Ax B ，则点()00,P x y 在直线的上方； ②若0,000<++>C By Ax B ，则点()00,P x y 在直线的下方。
（2）对于任意的二元一次不等式)0(0<>++或C By Ax ，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数。
当B>0时，①Ax+By+C>0表示直线0Ax By C ++=上方的区域； ②Ax+By+C<0表示直线0Ax By C ++=下方的区域。
（3）判断二元一次不等式表示的平面区域的方法：①点定域法：画二元一次不等式表示的平面区域常采用直线定界，点定域（原点不在边界上时，用原点定域最简单）；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
例如：画不等式x-2y+4>0表示的平面区域时，可先画直线240x y -+=（虚线），取原点()00，代入原不等式成立，所以不等式x-2y+4>0表示的区域如图所示。
②符号判断法：当B>0时，Ax+By+C>0表示直线0Ax By C ++=上方的区域，Ax+By+C<0表示直线0Ax By C ++=下方的区域；一般的若B<0时，可先把y 项系数变为正数再判断。
例如：3x-2y+6>0表示直线3260x y -+=下方区域；-3x+y+3<0表示直线330x y --=下方区域。
2. 线性规划：（1）有关概念：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
极值原理的应用
极值原理的应用1. 什么是极值原理？极值原理是数学分析中的一个重要原理，用于求解函数的极大值和极小值。
它是数学中的基础概念之一，被广泛应用于各个领域的问题求解中。
在应用数学、物理学、经济学、工程学等领域中，极值原理都具有重要的应用价值。
2. 数学中的极值原理2.1 极大值与极小值在数学中，给定一个函数f(x)，如果存在一个点x=a，使得在x=a的某个领域内，对于所有的x，都有$f(x)\\leq f(a)$，则称f(a)为函数f(x)的一个极大值。
类似地，如果存在一个点x=a，使得在x=a的某个领域内，对于所有的x，都有$f(x)\\geq f(a)$，则称f(a)为函数f(x)的一个极小值。
2.2 极值原理的应用极值原理在数学中有着广泛的应用。
例如，在求解一元函数的最大值和最小值问题时，可以通过寻找函数的驻点（即导数为零的点）来判断极值的位置。
此外，极值原理还可以用于优化问题的求解，如线性规划、非线性规划等。
3. 物理学中的极值原理极值原理在物理学中也有着重要的应用。
例如，费马原理就是一种极值原理，它用于描述光的传播路径。
费马原理认为，光线在两点之间传播时，其路径是使得光程取极值的路径。
这个极值可以是最小值（即最短路径），也可以是最大值（即最长路径），这取决于传播介质的性质。
另一个物理学中的例子是哈密顿原理，它用于描述力学体系的最小作用量原理。
根据哈密顿原理，力学体系的运动轨迹是取使作用量S（即积分$\\int L dt$）取极值的路径。
这里，L是拉格朗日函数，t是时间变量。
4. 工程学中的极值原理极值原理在工程学中也有着广泛的应用。
例如，在信号处理中，极值原理可以用于信号的去噪和压缩。
通过寻找信号中的极小值或极大值点，可以提取出信号中的重要信息，从而实现信号的去噪和压缩。
此外，极值原理还可以应用于电力系统、通信系统等领域。
例如，在电力系统的负荷调度中，可以利用极值原理来优化电网的功率平衡，减少功率损耗。
函数优化问题
函数优化问题函数优化问题问题列表•局部极值问题：通过求解函数的导数，找到函数在某个区间内的极大值或极小值。
•全局极值问题：通过求解函数的导数，找到函数在整个定义域内的极大值或极小值，包括极大值和极小值点。
•约束条件问题：在函数优化问题中，引入一个或多个约束条件，如等式约束或不等式约束，并找到满足约束条件下的最优解。
•多目标优化问题：考虑多个目标函数，通过权衡各目标的重要性，找到在多个目标之间的最优权衡解。
•离散优化问题：将函数的自变量限制为离散的取值，通过搜索或动态规划等方法，找到最优解。
解释说明函数优化问题涉及找到函数的最优解或最优值的过程。
这些问题在实际中具有广泛的应用，例如在工程、经济学和运筹学等领域。
局部极值问题局部极值问题是函数优化问题中最基本的问题之一。
通过求解函数的导数，可以找到函数在某个区间内的极大值或极小值。
这种方法的限制在于只能找到局部的最优解，无法保证这个解是全局最优解。
全局极值问题全局极值问题是比局部极值问题更困难的问题。
通过求解函数的导数，找到函数在整个定义域内的极大值或极小值。
这需要对函数进行全局搜索或采用其他优化算法来找到全局最优解，因此计算成本相对较高。
约束条件问题在函数优化问题中，有时会引入一个或多个约束条件。
这些约束条件可以是等式约束或不等式约束。
优化问题的目标是在满足约束条件下找到最优解。
约束条件问题常常需要使用拉格朗日乘子法或其他约束优化算法来求解。
多目标优化问题多目标优化问题涉及考虑多个目标函数的最优化。
这些目标函数可能是相互矛盾的，因此需要权衡各目标的重要性。
解决多目标优化问题的方法包括加权法、Pareto最优解和理想点法等。
离散优化问题离散优化问题将函数的自变量限制为离散的取值。
通过搜索或动态规划等方法，找到最优解。
离散优化问题常出现在组合优化和网络优化等领域，例如旅行商问题和背包问题等。
以上列举的问题只是函数优化问题中的一部分，每个问题都有自己特定的解决方法和应用领域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章 函数极值MATLAB 提供了很多求极值（或最优值）的命令函数，既可以求无条件的极值，也可求有条件的极值，其中，条件可以是不等式，也可以是等式的，可以是线性的，也可以是非线性的，甚至可以是多个条件，目标函数可以是线性的，也可以是非线性的，总之，MA TLAB 针对不同的类型，采用不同的函数命令去求解，以下将分类型来做些简单的介绍。
5.1线性极值（又称线性规划） 5.1.1线性规划模型规划问题研究的对象大体可以分为两大类：一类是在现有的人、财、物等资源的条件下，研究如何合理的计划、安排，可使得某一目标达到最大，如产量、利润目标等；另一类是在任务确定后，如何计划、安排，使用最低限度的人、财等资源，去实现该任务，如使成本、费用最小等。
这两类问题从本质上说是相同的，即都在一组约束条件下，去实现某一个目标的最优（最大或最小）。
线性规划研究的问题要求目标与约束条件函数都是线性的，而目标函数只能是一个。
在经济管理问题中，大量问题是线性的，有的也可以转化为线性的，从而使线性规划有极大的应用价值。
线性规划模型包含3个要素：（1）决策变量. 问题中需要求解的那些未知量，一般用n 维向量Tn x x x x ),,,(21 表示。
（2）目标函数. 通常是问题需要优化的那个目标的数学表达式，它是决策变量x 的线性函数。
（3）约束条件. 对决策变量的限制条件，即x 的允许取值范围，它通常是x 的一组线性不等式或线性等式。
线性规划问题的数学模型一般可表示为： min （max ） f T Xs.t A X≤bAe q X =beq lb ≤X≤ub其中X 为n 维未知向量，f T =[f 1,f 2,…f n ]为目标函数系数向量，小于等于约束系数矩阵A 为m ×n 矩阵，b 为其右端m 维列向量，Aeq 为等式约束系数矩阵，beq 为等式约束右端常数列向量。
lb,ub 为自变量取值上界与下界约束的n 维常数向量。
特别注意：当我们用MA TLAB 软件作优化问题时，所有求maxf 的问题化为求min(-f )来作。
约束g i (x)≥0，化为 –g i ≤0来做。
5.1.2．线性规划问题求最优解函数： 调用格式： x=linprog(f,A,b)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval]=linprog(…)[x, fval, exitflag]=linprog(…)[x, fval, exitflag, output]=linprog(…)[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…)说明：x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。
若没有不等式约束，则令A=[ ]、b=[ ] 。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 中lb ,ub为变量x的下界和上界，x0为初值点，options为指定优化参数进行最小化。
[x,fval]=linprog(…) 左端fval 返回解x处的目标函数值。
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b, Aeq,beq,lb,ub,x0) 的输出部分：exitflag 描述函数计算的退出条件：若为正值，表示目标函数收敛于解x处；若为负值，表示目标函数不收敛；若为零值，表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。
Output为关于优化的一些信息。
Lambda为解x的Lagrange乘子。
【例5.1】求解线性规划问题：max f=2x1+5x2s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤≤8234212121xxxxxx先将目标函数转化成最小值问题：min(-f)=- 2x1-5x2具体程序如下：f=[-2 -5];A=[1 0;0 1;1 2];b=[4;3;8];lb=[0 0];[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb)f=fval*(-1)运行结果：x = 2 3fval = -19.0000maxf = 19【例5.2】：minf=5x1-x2+2x3+3x4-8x5s.t –2x1+x2-x3+x4-3x5≤62x1+x2-x3+4x4+x5≤70≤x j≤15 j=1,2,3,4,5编写以下程序：f=[5 -1 2 3 -8];A=[-2 1 -1 1 -3;2 1 -1 4 1];b=[6;7];lb=[0 0 0 0 0];ub=[15 15 15 15 15];[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub)运行结果：x =0.00000.00008.00000.000015.0000minf =-104【例5.3】：假设某厂计划生产甲、乙两种产品，现库存主要材料有A类3600公斤，B类2000公斤，C类3000公斤。
每件甲产品需用材料A类9公斤，B类4公斤，C类3公斤。
每件乙产品，需用材料A类4公斤，B类5公斤，C类10公斤。
甲单位产品的利润70元，乙单位产品的利润120元。
问如何安排生产，才能使该厂所获的利润最大。
建立数学模型：设x1、x2分别为生产甲、乙产品的件数。
f为该厂所获总润。
max f=70x1+120x2s.t 9x1+4x2≤36004x1+5x2≤20003x1+10x2≤3000x1,x2≥0将其转换为标准形式：min f=-70x1-120x2s.t 9x1+4x2≤36004x1+5x2≤20003x1+10x2≤3000x1,x2≥0编写以下程序：f=[-70 -120];A=[9 4 ;4 5;3 10 ];b=[3600;2000;3000];lb=[0 0];[x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,[],[],lb);x, exitflag,maxf=-fval运行结果：x =200.0000240.0000exitflag =1maxf =4.2800e+004【例5.4】：某公司有一批资金用于4个工程项目的投资，其投资各项目时所得的净收益(投入资金百分比)如下表：B和C的投资要大于项目D的投资。
试确定该公司收益最大的投资分配方案。
建立数学模型：设x1、x2 、x3 、x4分别代表用于项目A、B、C、D的投资百分数。
max f=0.15x1+0.1x2+0.08 x3+0.12 x4s.t x1-x2- x3- x4≤0x2+ x3- x4≥0x1+x2+x3+ x4=1x j≥0 j=1,2,3,4将其转换为标准形式：min z=-0.15x1-0.1x2-0.08 x3-0.12 x4s.t x1-x2- x3- x4≤0-x2- x3+ x4≤0x1+x2+x3+ x4=1x j≥0 j=1,2,3,4编写程序：f = [-0.15;-0.1;-0.08;-0.12];A = [1 -1 -1 -1;0 -1 -1 1];b = [0; 0];Aeq=[1 1 1 1];beq=[1];lb = zeros(4,1);[x,fval,exitflag] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)fmax=-fval运行结果：x =0.50000.25000.00000.2500fval =-0.1300exitflag =1fmax =0.1300即4个项目的投资百分数分别为50%，25%，0, 25%时可使该公司获得最大的收益，其最大收益可到达13%。
过程正常收敛。
【例5.5】：有A、B、C三个食品加工厂，负责供给甲、乙、丙、丁四个市场。
三个厂每天生产食品箱数上限如下表：建立数学模型：设a i j为由工厂i运到市场j的费用，x i j 是由工厂i运到市场j的箱数。
b i是工厂i的产量，d j 是市场j 的需求量。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=114312312312A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343332312423222114131211x x x x x x x x x x x x Xb= ( 60 40 50 ) d= ( 20 35 33 34 )∑∑===3141min i j ijij x a fs.t3,2,141=≤∑=i b xij ij4,3,2,131==∑=j d xi jijx i j ≥0 编写程序：AA=[2 1 3 2;1 3 2 1;3 4 1 1]; f=AA(:);A=[ 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1]; Aeq=[1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1];b=[60;40;50]; beq=[20;35;33;34]; lb=zeros(12,1);[x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)运行结果：x = 0.0000 20.0000 0.0000 35.00000.0000 0.0000 0.0000 0.0000 33.00000.000018.468215.5318fval =122.0000exitflag =1即运输方案为：甲市场的货由B厂送20箱；乙市场的货由A厂送35箱；丙商场的货由C厂送33箱；丁市场的货由B厂送18箱，再由C厂送16箱。
最低总运费为：122元。
5.2 0-1整数规划求极值形如：min f T Xs.t A X≤bAe q X =beqxi为0或1其中X为n维未知向量，f T=[f1,f2,…f n]为目标函数系数向量，小于等于约束系数矩阵A 为m×n矩阵，b为其右端m维列向量，Aeq为等式约束系数矩阵，beq为等式约束右端常数列向量。
lb,ub为自变量取值上界与下界约束的n维常数向量。
5.2.1分支定界法在Matlab中提供了bintprog函数实现0-1型线性规划，采用的是分支定界法原理，其调用格式如下：x=bintprog(f,A,b)x=bintprog(f,A,b,Aeq,beq)[x,fval]=bintprog(…)[x, fval, exitflag]=bintprog(…)[x, fval, exitflag, output]=bintprog(…)[x, fval, exitflag, output, lambda]=bintprog(…)说明：x=bintprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。