第5章线性规划教材
线性规划教学大纲
线性规划教学大纲引言：线性规划是数学中的一种重要方法，用于解决优化问题。
本教学大纲旨在介绍线性规划的基本概念、原理和应用，使学生能够理解并运用线性规划解决实际问题。
一、课程目标本课程旨在使学生：1. 理解线性规划及其应用领域；2. 掌握线性规划中的基本概念和术语；3. 理解线性规划模型的构建过程；4. 掌握线性规划模型的求解方法；5. 能够运用线性规划解决实际问题。
二、教学内容1. 线性规划基本概念a. 线性规划的定义和特点；b. 线性规划的基本形式和标准形式；c. 线性规划的约束条件和目标函数。
2. 线性规划模型的构建a. 确定决策变量；b. 建立决策变量与目标函数之间的关系；c. 建立决策变量与约束条件之间的关系。
3. 线性规划模型的求解方法a. 图形法：介绍线性规划模型在二维平面上的图形表示方法；b. 单纯形法：介绍单纯形表和单纯形算法的基本原理；c. 整数规划：介绍整数规划模型的特点和求解方法。
4. 教学案例分析通过实际案例分析，引导学生掌握线性规划的应用技巧，并能够独立解决实际问题。
三、教学方法1. 讲授结合案例分析：通过理论讲授和具体案例分析相结合的方式，引导学生深入理解和掌握线性规划的基本原理和方法。
2. 互动式教学：鼓励学生积极参与课堂讨论，提出问题并与教师和其他同学进行交流和互动，促进思维的碰撞和深入思考。
3. 实践操作：安排一定的实践操作环节，使学生能够亲自动手建立线性规划模型和运用求解方法解决实际问题。
四、教学评估1. 平时成绩：包括课堂表现、参与讨论和实践操作。
2. 作业成绩：布置相关作业，旨在巩固学生对线性规划的理论知识和求解方法的掌握。
3. 期末考试：考查学生对线性规划的基本概念、模型构建和求解方法的理解和应用能力。
五、教材和参考书目主教材：1. 《线性规划基础》，作者：XXX，出版社：XXX。
参考书目：1. 《线性规划与整数规划》，作者：XXX，出版社：XXX。
2. 《运筹与优化导论》，作者：XXX，出版社：XXX。
第五讲：模糊线性规划
换基： 换基： 因为 / 2 < 6 / 1,故 为主元素。 10 2为主元素。
1.5 1 0 0 0 2 1 1 0 10 1 1 0 1 6
1.5 1 0 0 0 2 1 1 0 10 1 1 0 1 6 0 1/ 4 − 3 / 4 0 − 7.5 5 → 1 1/ 2 1/ 2 0 0 1/ 2 − 1/ 2 1 1 检验数中1/4为正数，目标值非最优，需换基。 检验数中 为正数，目标值非最优，需换基。 为正数 换基： 换基： 5 1 为主元素。 因为 /(1/ 2) > 1/(1/ 2), 故 / 2为主元素。
得f0 + d0；
3.求解综合线性规划
ax m λ 1 n 1 − (∑aij x j − bi ) ≥ λ, j = 1,2,⋯, m d j i =1 1 n ( c x − f )≥λ 0 d0 ∑ i i i =1 λ ≥ 0, xi ≥ 0(i = 1,2,⋯, n) ∗ ∗ x λ 得 和 。
合线性规划即得模糊 利用单纯形法求解此综 规划的解。 规划的解。
： 模糊线性规划求解步骤
ax m f = Cx 1.求解普通线性规划 s.t. Ax ≤ b 得f0； x≥0
2.给定 i (i = 1,⋯, m), 求解普通线性规划 d
ax m f = Cx s.t. Ax ≤ b + d x≥0
ax m f = 7x1 + 3x2 ~ 3x1 + 2x2 ≤ 1500 ~ ~ x1 ≤ 400, x2 ≤ 250 x ≥ 0, x ≥ 0 2 1 ~ ~ ~ 3 模糊约束 x1 + 2x2 ≤ 1500, x1 ≤ 400, x2 ≤ 250
运筹学基础章节习题详解
运筹学基础章节习题详解章节习题详解第1章导论1．区别决策中的定性分析和定量分析，试各举出两例。
答：决策中的定性分析是决策⼈员根据⾃⼰的主观经验和感受到的感觉或知识对决策问题作出的分析和决策，在许多情况下这种做法是合适的。
例1 在评定“三好⽣”的条件中，评价⼀个学⽣是否热爱中国共产党，尊敬师长，团结同学，热爱劳动等属于定性分析，它依赖于评价者对被评价者的感知、喜好⽽定。
在“德”、“智”、“体”这三个条件中规定“德”占30%、“智”占40%、“体”占30%，这种⽐例是决策者们通过协商和主观意识得出的，它也属于定性分析的范畴。
决策中的定量分析是借助于某些正规的计量⽅法去作出决策的⽅法，它主要依赖于决策者从客观实际获得的数据和招待所采⽤的数学⽅法。
例2 在普通⾼等学校录取新⽣时，通常按该⽣的⼊学考试成绩是否够某档分数线⽽定，这就是⼀种典型的定量分析⽅法。
另外，在评价⼀个学⽣某⼀学期的学习属于“优秀”、“良好”、“⼀般”、“差”中的哪⼀类时，往往根据该⽣的各科成绩的总和属于哪⼀个档次，或者将各科成绩加权平均后视其平均值属于哪⼀个档次⽽定。
这也是⼀种典型的定量分析⽅法。
2．构成运筹学的科学⽅法论的六个步骤是哪些？答：运⽤运筹学进⾏决策过程的⼏个步骤是：1．观察待决策问题所处的环境；2．分析和定义待决策的问题；3．拟定模型；4．选择输⼊资料；5．提出解并验证它的合理性；6．实施最优解。
3．简述运筹学的优点与不⾜之处。
答：运⽤运筹学处理决策问题有以下优点：（1）快速显⽰对有关问题寻求可⾏解时所需的数据⽅⾯的差距；（2）由于运筹学处理决策问题时⼀般先考察某种情况，然后评价由结局变化所产⽣的结果，所以不会造成各种损失和过⼤的费⽤；（3）使我们在众多⽅案中选择最优⽅案；（4）可以在建模后利⽤计算机求解；（5）通过处理那些构思得很好的问题，运筹学的运⽤就可以使管理部门腾出时间去处理那些构思得不好的问题，⽽这些问题常常要依赖于⾜够的主观经验才能解决的；（6）某些复杂的运筹学问题，可以通过计算机及其软件予以解决。
运筹学基础课后习题答案
运筹学基础课后习题答案[2002年版新教材]第一章导论P51.、区别决策中的定性分析和定量分析，试举例。
定性——经验或单凭个人的判断就可解决时，定性方法定量——对需要解决的问题没有经验时；或者是如此重要而复杂，以致需要全面分析（如果涉及到大量的金钱或复杂的变量组）时，或者发生的问题可能是重复的和简单的，用计量过程可以节约企业的领导时间时，对这类情况就要使用这种方法。
举例：免了吧。
2、.构成运筹学的科学方法论的六个步骤是哪些？.观察待决策问题所处的环境；.分析和定义待决策的问题；.拟定模型；.选择输入资料；.提出解并验证它的合理性（注意敏感度试验）；.实施最优解；3、．运筹学定义：利用计划方法和有关许多学科的要求，把复杂功能关系表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据第二章作业预测P251、.为了对商品的价格作出较正确的预测，为什么必须做到定量与定性预测的结合？即使在定量预测法诸如加权移动平均数法、指数平滑预测法中，关于权数以及平滑系数的确定，是否也带有定性的成分？答：（1）定量预测常常为决策提供了坚实的基础，使决策者能够做到心中有数。
但单靠定量预测有时会导致偏差，因为市场千变万化，影响价格的因素很多，有些因素难以预料。
调查研究也会有相对局限性，原始数据不一定充分，所用的模型也往往过于简化，所以还需要定性预测，在缺少数据或社会经济环境发生剧烈变化时，就只能用定性预测了。
（2）加权移动平均数法中权数的确定有定性的成分；指数平滑预测中的平滑系数的确定有定性的成分。
2.、某地区积累了5个年度的大米销售量的实际值（见下表），试用指数平滑法，取平滑系数α=0.9，预测第6年度的大米销售量（第一个年度的预测值，根据专家估计为4181.9千公斤）年度12345大米销售量实际值（千公斤）52025079393744533979。
答：F6=a*x5+a(1-a)*x4+a(1-a)~2*x3+a(1-a)~3*x2+a(1-a)~4*F16=0.9*3979+0.9*0.1*4453+0.9*0.01*3937+0.9*0.001*5079+0.9*0.0001*4181.9F6=3581.1+400.77+35.433+4.5711+0.3764F6=4022.33、某地区积累了11个年度纺织品销售额与职工工资总额的数据，列入下列表中（表略），计算：（1）回归参数a,b（2）写出一元线性回归方程。
运筹学(第5章 目标规划)
解：设甲、乙产品的产量分别为x1，x2，建立线性规划模型：
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4
x1 x1
2x2
8 16
4x2 12
x1 , x2 0
其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： (1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
20x1＋50x2≤90000
x1
0
1000
2000
3000
4000
5000
图2 图解法步骤2
针对优先权次高的目标建立线性规划
优先权次高（P2）的目标是总收益超过10000。 建立线性规划如下：
Min d2s.t.
20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 d1+＝0 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
显然，此问题属于目标规划问题。它有两个目标变量：一是限制风险，一 是确保收益。在求解之前，应首先考虑两个目标的优先权。假设第一个目 标（即限制风险）的优先权比第二个目标（确保收益）大，这意味着求解 过程中必须首先满足第一个目标，然后在此基础上再尽量满足第二个目 标。 建立模型：
设x1、x2分别表示投资商所购买的A股票和B股票的数量。 首先考虑资金总额的约束：总投资额不能高于90000元。即 20x1＋50x2≤90000。
目标规划模型的标准化
例6中对两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解。为简 便，把它们用一个模型来表达，如下：
第5章 整数线性规划-第1-4节
现设想，如能找到像CD那样的直线去切割域R(图 5-6)，去掉三角形域ACD，那么具有整数坐标的C 点(1，1)就是域R′的一个极点，
如在域R′上求解①～④， 而得到的最优解又恰 巧在C点就得到原问题 的整数解，所以解法 的关键就是怎样构造 一个这样的“割平 面”CD，尽管它可能 不是唯一的，也可能 不是一步能求到的。 下面仍就本例说明：
例 2
求解A
max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数
① ② ③ (5.2) ④ ⑤
解 先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B,①～④ (见图5-2)，得最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356
可见它不符合整数条件⑤。 这时z0是问题A的最优目标函数值 z*的上界，记作z0= z 。 而在x1=0，x2=0时， 显然是问题A的一个整数可行解， 这时z=0，是z*的一个下界， z 记作 =0，即0≤z*≤356 z。
第3节 割平面解法
在原问题的前两个不等式中增加非负松弛 变量x3、x4，使两式变成等式约束： -x1+x2+x3 =1 ⑥ 3x1+x2 +x4=4 ⑦ 不考虑条件⑤，用单纯形表解题，见表5-2。
表5-2
CB 0 0 1 1 cj XB x3 x4 cj-zj x1 x2 cj-zj b 1 4 0 3/4 7/4 -5/2 1 x1 -1 3 1 1 0 0 1 x2 1 1 1 0 1 0 0 x3 1 0 0 -1/4 3/4 -1/2 0 x4 0 1 0 1/4 1/5 -1/2
第二步：比较与剪支
各分支的最优目标函数中若有小于 z 者，则剪 掉这支(用打×表示)，即以后不再考虑了。若大 于 z ，且不符合整数条件，则重复第一步骤。一直 到最后得到z*为止，得最优整数解xj* ，j=1，…，n。 用分支定界法可解纯整数线性规划问题和混合 整数线性规划问题。它比穷举法优越。因为它仅在 一部分可行解的整数解中寻求最优解，计算量比穷 举法小。若变量数目很大，其计算工作量也是相当 可观的。
《管理运筹学》第四版 第5章 单纯形法 课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析第5章单纯形法1．解：表中a 、c 、e 、f 是可行解，f 是基本解，f 是基本可行解。
2．解：（1）该线性规划的标准型如下。
max 5x 1＋9x 2＋0s 1+0s 2+0s 3 s.t. 0.5x 1＋x 2＋s 1＝8 x 1＋x 2－s 2＝100.25x 1＋0.5x 2－s 3＝6 x 1，x 2，s 1，s 2，s 3≥0（2）至少有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个非基变量，非基变量取零。
（3）（4，6，0，0，-2）T （4）（0，10，-2，0，-1）T （5）不是。
因为基本可行解要求基变量的值全部非负。
（6）略 3.解：令333x x x ''-'=，z f -=改为求f max ；将约束条件中的第一个方程左右两边同时乘以-1，并在第二和第三个方程中分别引入松弛变量5x 和剩余变量6x ，将原线性规划问题化为如下标准型：j x '、j x ''不可能在基变量中同时出现，因为单纯性表里面j x '、j x ''相应的列向量是相同的，只有符号想法而已，这时候选取基向量的时候，同时包含两列会使选取的基矩阵各列线性相关，不满足条件。
4．解： （1） 表5-10,,,,,, 24423 1863 1334 7234max 654332163321543321433214321≥'''=-''+'--=++''+'-+-=+''+'---++-=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f 约束条件：（2）线性规划模型如下。
max 6x 1＋30x 2＋25x 3 s.t. 3x 1＋x 2＋s 1=40 2x 2＋x 3＋s 2=50 2x 1＋x 2-x 3＋s 3＝20 x 1，x 2，x 3，s 1，s 2，s 3 ≥0（3）初始解的基为（s 1，s 2，s 3）T ，初始解为（0，0，0，40，50，20）T ，对应的目标函数值为0。
DEA线性规划模式
DEA線性規劃模式
❖ 決策變數：
wg = 綜合醫院輸入及輸出的權重 wu = 大學醫院輸入及輸出的權重 wc = 郡立醫院輸入及輸出的權重 ws = 州立醫院輸入及輸出的權重 E = 郡立醫院輸入值中混合醫院可用的部分
wu
wc
ws 1
48.14wg 34.62wu 36.72wc 33.16ws 36.72
43.10wg 27.11wu 45.98wc 56.46ws 45.98
253wg 148wu 175wc 60ws 175
41wg 27wu 23wc 84ws 23
285.20wg 162.30wu 275.70wc 210.40ws 275.70E
輸出必須大於或等於第j 單位的輸出。 步驟4. 定義決策變數 E，代表混合單位可使用的輸
入相對於第 j 單位輸入值的比率。 步驟5. 對每項輸入，以一個限制式令混合單位的輸
入必須小於等於其可使用的輸入值。 步驟6. 令目標函數為Min E。
第5章 進階線性規劃應用 第210頁
5.2 收益管理
❖ 收益管理在於管理定量非耐久性庫存的短 期需求，以提升組織的潛在收益。
輸入量 1. 全職非醫療人員的數目（包含兼職人員換算後的 數目） 2. 2. 供應品的花費 3. 可用病床數（以一天一床為單位）
輸出量 1. 醫療保險的病人住院日數（以一天一病人為單位） 2. 非醫療保險的病人住院日數 3. 受訓的護士人數 4. 受訓的實習醫生人數
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获利 物资 地区
甲 乙 丙
钢材
260 210 180
铝材
300 250 400
铜材
400 550 350
2020年9月30日8时42分
机械优化设计
建模例2： 某工厂生产A、B、C三种产品，现根据订货合同以及生产 状况制定5月份的生产计划，已知合同甲为：A产品1000件，单件价 格为500元，违约金为100元/件；合同乙为：B产品500件，单件价格 为400元，违约金为120元/件；合同丙为：B产品600件，单件价格为 420元，违约金为130元/件；C产品600件，单件价格为400元，违约 金为90元/件；有关各产品生产过程所需工时以及原材料的情况见下 表。试以利润为目标，建立该工厂的生产计划线性规划模型 。
机械优化设计
例5-3：某厂生产甲、乙两种产品，已知：①两种产品分别由两 条生产线生产。第一条生产甲，每天最多生产9件，第二条生产 乙，每天最多生产7件；②该厂仅有工人24名，生产甲每件用2工 日，生产乙每件用3工日；③产品甲、乙的单件利润分别为40元 和80元。问工厂如何组织生产才能获得最大利润？
2分
机械优化设计
将其化成线性规划标准形式：
求 x [x1x2 ]T 使 min f (x) 60x1 120x2 且满足 9x1 4x2 x3 360
3x1 10x2 x4 300
4x1 5x2 x5 200
xi 0(i 1, 2,3, 4,5)
2020年9月30日8时42分
2020年9月30日8时42分
机械优化设计
二、线性规划的标准形式
线性规划数学模型的一般形式：求 x [x1x2 xn ]T
使 且满足
说明： 1）m=n,唯一解 2）m>n,无解 3）m<n,无穷解
f (x) c1x1 c2 x2 cn xn min
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1 a22 x2 a2n xn b2 am1x1 am2 x2 amn xn bm
2020年9月30日8时42分
机械优化设计
§第一节 线性规划的标准形式与基本性质
一、线性规划实例
解：设生产A、B两产品分别
例每生5-1产：一某台工产厂品要A生可产获A产、值B2两万种元产；品，为数x学1,模x型2台为，：则该问题的优化
需占用一车间工作日3天，二车间工 作日6天；每生产一台产品B 可获产
品的合理投资产数，以获得最大的总
产值。
2020年9月30日8时42分
机械优化设计
例5-2：生产甲种产品每件需使用材料9kg、3个工时、4kw电，获 利润60元。生产乙种产品每件需用材料4kg、10个工时、5kw电， 可获利120元。若每天能供应材料360kg，有300个工时，能供 200kw电。试确定两种产品每天的产量，使每天可能获得的利润 最大？
max z 2x1 x2 s.t. 3 x1 5x2 15
值1万元；需占用一车间工作日5天，
6 x1 2x2 24
二车间工作日2天。现一车间可用于
x1 0 x2 0
生产A、B产品的时间15天，二车间
可用于生产A、B产品的时间24天。
试求出生产组织者安排A、B两种产
在年度计划按月分配时一般要考虑:1）从数量和品种上保 证年度计划的完成；2）成批的产品尽可能在各个月内均衡生 产或集中在几个月内生产；3）由于生产技术准备等方面原因， 某些产品要在某个月后才能投产；4）根据合同要求，某些产 品要求在年初交货；5）批量小的产品尽可能集中在一个月或 几个月内生产出来，以便减少各个月的品种数量等等。如何在 满足上述条件的基础上，使设备均衡负荷且最大负荷。
机械优化设计
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第五章 线性规划
第五章 线性规划
第一节线性规划的标准形式与基本性质 第二节基本可行解的转换 第三节单纯形方法 第四节单纯形法应用举例 第五节修正单纯形法
2020年9月30日8时42分
机械优化设计
第五章
线性规划
目标函数和约束条件都是线性的，像这类约束 函数和目标函数都是为线性函数的优化问题，称作 线性规划问题。它的解法在理论和方法上都很成熟， 实际应用也很广泛。虽然大多数工程设计是非线性 的，但是也有采用线性逼近方法求解非线性问题的。 此外，线性规划方法还常被用作解决非线性问题的 子问题的工具，如在可行方向法中可行方向的寻求 就是采用线性规划方法。当然，对于真正的线性优 化问题，线性规划方法就更有用了。
分析：每天生产的甲、乙两种产品分别为 x1, x2 件
f (x1, x2 ) 60x1 120x2 max (利润最大) g1( X ) 9x1 4x2 360 （材料约束）
g2 ( X ) 3x1 10x2 300 （工时约束）
g3( X ) 4x1 5x2 200 （电力约束）
工序1 工序2 工序3 原材料1 原材料2 其他成本
产品A /件
2
3
2
3
4
10
产品B /件
1
1
3
2
3
10
产品C /件
2
1
2
4
2
10
总工时或原材料 4600 4000 6000 10000 8000
工时或原材料成本
（元）
15 10 10
20
40
2020年9月30日8时42分
机械优化设计
建模例3： 成批生产企业年度生产计划的按月分配 。 在成批生产的机械制造企业中，不同产品劳动量的结构上可能 有很大差别。如：某种产品要求较多的车床加工时间，另一种 产品的劳动量可能集中在铣床和其他机床上。因此，企业在按 月分配年度计划任务时，应考虑到各种设备的均衡且最大负荷。
机械优化设计
解: 设甲、乙两种产品的日产件数分别为 x1, x2.
max F ( X ) 40x1 80x2 X D R2 s.t. x1 9 x2 7 2x1 3x2 24 x1, x2 0
日利润最大
生产能力限制 劳动力限制 变量非负
2020年9月30日8时42分
机械优化设计
建模例1： 某公司有钢材、铝材、铜材1200t，800t和650t，拟调往 物资紧张的地区甲、乙、丙。已知甲、乙、丙对上述物资的总需求分 别为：900t，800t和1000t。各种物资在各地销售每吨的获利如下表 所示。试问公司应如何安排调运计划，才能获利最大？建立该问题的 数学模型。