中考数学方程与方程组(3)
2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：二元一次方程组3(附答案)
2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：二元一次方程组3（附答案）1．已知长江比黄河长836 km，黄河长的6倍比长江长的5倍多1 284 km.若设长江长x km，黄河长y km，则下列方程组能满足上述关系的是( )A．836651284x yy x-=⎧⎨=+⎩B．836561284x yy x+=⎧⎨=+⎩C．836651284y xy x-=⎧⎨-=⎩D．836561284y xx y-=⎧⎨=+⎩2．某公司向银行申请了甲、乙两种贷款共计68万元，每年需付出8.42万元利息，已知甲种贷款每年的利率为12%，乙种贷款每年的利率为13%，则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为（）A．26万元，42万元B．40万元，28万元C．28万元，40万元D．42万元，26万元3．已知关于x，y的方程组212ax yx by+=⎧⎨-=⎩，甲看错a得到的解为12xy=⎧⎨=-⎩，乙看错了b得到的解为11xy=⎧⎨=⎩，他们分别把a、b错看成的值为（）A．a=5，b=﹣1 B．a=5，b=12C．a=﹣l，b=12D．a=﹣1，b=﹣14．已知方程组5458x yx y+=⎧⎨+=⎩则x y-的值为（）A．2 B．﹣1 C．12 D．﹣45．以方程组24321x yx y-=⎧⎨+=-⎩的解为坐标的点(x，y)在平面直角坐标系中的位置是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6﹣b+1|=0，则(b﹣a)2015=（）A．﹣1 B．1 C．52015D．﹣52015 7．甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是()A．1836024360x yx y+=⎧⎨-=⎩B．1836024360x yx y+=⎧⎨+=⎩C．1836024360x yx y-=⎧⎨-=⎩D．1836024360x yx y-=⎧⎨+=⎩8．用代入消元法解方程组21352x y x y -=⎧⎨+=⎩ ①②以下各式正确的是( ) A ．3(1－2y)＋5y ＝2B ．3(1＋2y)＋5y ＝2C ．3－2y ＋5y ＝2D ．1－3×2y ＋5y ＝29．关于x ,y 的方程组23,352x y k x y k +=⎧⎨+=+⎩的解x ,y 的和为12,则k 的值为 ( ) A ．14 B ．10 C ．0 D ．-1410．方程组43235x y k x y -=⎧⎨+=⎩的解x 与y 的值相等，则k 的值为( ) A ．1或－1 B ．1 C ．－1 D ．5或－511．若二元一次方程组23121x y ax by -=⎧⎨+=⎩和51cx ay x y -=⎧⎨+=⎩的解相同，则x= ___ ，y= ____ ． 12．已知方程组23y k 3x 5y k 1x +=⎧⎨+=+⎩的解和是2，则k 的值是 ． 13．若{x 1y 2==是方程组ax by 7bx cy 12+=⎧+=⎨⎩的解，则a 与c 的关系是______． 14．在等式2y ax bx c =++中，当x 1=-时，y 0=；当x 5=时，y 60=；当x 2=时，y 3.=则a b c ++= ______ ．15．如果实数x 、y 满足方程组2214x y x y -=⎧⎨+=⎩，那么(x ＋y)(x －y)＝________． 16．已知 x+2y ﹣3z=0，2x+3y+5z=0，则x y z x y x ++-+=_____． 17．已知关于x 的一元二次方程2640x x m -++=有两个实数根1x ，2x ，若1x ，2x 满足1232x x =+，则m 的值为_____________18．已知x ，y 满足方程组x 2y 5x 2y 3-=⎧+=-⎨⎩，则22x 4y -的值为______． 19．方程组251x y y z x z +=-⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩的解为________．20．如果2x n-2﹣y m-2n+3=3是关于x ，y 的二元一次方程，那么m=___，n=____．21．清朝数学家梅文鼎的《方程论》中有这样一题：山田三亩，场地六亩，共折实田四亩七分；又山田五亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？译文为：若有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7亩；若有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？22．（本题10分）（1）解方程组：4 {? 25x yx y-=+=；（2）解不等式：2132x x->-．23．某商店销售两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需280元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需210元．（Ⅰ）求这两种品牌计算器的单价；（Ⅱ）开学前，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的九折销售，B品牌计算器10个以上超出部分按原价的七折销售．设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1，y2关于x的函数关系式．（Ⅲ）某校准备集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过15个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．24．在今年“六•一”期间，扬州市某中学计划组织初一学生到上海研学，如果租用甲种客车2辆，乙种客车3辆，则可载180人，如果租用甲种客车3辆，乙种客车1辆，则可载165人.（1）请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？（2）若该学校初一年级参加研学活动的师生共有303名，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位.旅行前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、甲种客车和乙种客车的大小三种客车，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案应如何安排？25．解方程组：39 431x yx y-=-⎧⎨+=⎩①②26．（列方程（组）及不等式解应用题）水是人类生命之源．为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策．若居民每户每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费（现行居民生活用水水价=基本水价+污水处理费）；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100%，每立方米污水处理费不变．甲用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12立方米，缴水费46.3元．（注：污水处理的立方数=实际生活用水的立方数）（1）求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？（2）如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水多少立方米？27．为了解决农民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，2004年秋季有5000名农民工子女进入主城区中小学学习，预计2005年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女比2004年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样，2005年秋季将新增1160名农民工子女在主城区中小学学习．元计算，（1）如果按小学每生每年收“借读费”500元，中学每生每年收“借读费”1000求2005年新增加的1160名中小学学生共免收多少“借读费”？（2）如果小学每增加40名学生需配备2名教师，中学每增加40名学生需配备3名教师，若按2005年秋季入学后，农民工子女在主城区中小学就读的学生增加的人数计算，一共需要配备多少名中小学教师？28．已知甲、乙两种商品的原单价之和为100元，因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价10％，调价后甲、乙两种商品的单价之和比原单价之和提高了2％，求甲、乙两种商品的原单价各是多少元？参考答案1．A【解析】试题解析：根据长江比黄河长836千米，则836.x y -=根据黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，则651284y x -=．可列方程组为836651284x y y x -=⎧⎨=+⎩．故选A.点睛：二元一次方程组的应用，审题，找准题目中的等量关系式解题的关键.2．D【解析】设该公司甲、乙两种贷款的数额分别为x 万元与y 万元，则有6812%13%8.42x y x y +=⎧⎨+=⎩，解这个二元一次方程组得4226x y =⎧⎨=⎩，所以该公司甲、乙两种贷款的数额分别为42万元与26万元．【方法点睛】本题目中的相等关系是：甲、乙两种贷款共计68万元，每年需付出8.42万元利息，再利用相等关系列出方程组．3．C【解析】【分析】把甲得到的解代入第二个方程，把乙得到的解代入第一个方程，然后求解即可.【详解】根据题意得：{12221b a +=+=， 解得112a b =-=⎧⎨⎩.故选C.【点睛】此题考查了二元一次方程组的解的定义.此题比较简单，解题的关键是理解比掌握二元次方程组的解的定义.4．B【解析】分析：两式相减即可求出答案．详解：两式相减得：4x ﹣4y =﹣4，∴x ﹣y =﹣1故选B ．点睛：本题考查了二元一次方程，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．5．D【解析】24321x y x y -=⎧⎨+=-⎩,解得 12x y =⎧⎨=-⎩, 故点(x ，y )在第四象限.选D.6．A【解析】210a b -+=，∴50210a b a b ++=⎧⎨-+=⎩， 解得：23a b =-⎧⎨=-⎩，则()20152015321b a -=-+=-（）， 故选A ．【点睛】本题考查了非负数的性质，熟知几个非负数的和为0，那么每一个非负数都为0是解题的关键.7．A【解析】根据题意可得，顺水速度为：x y +，逆水速度为：x y -，所以根据所走的路程可列方程组为()()1836024360x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，故选A ． 8．B【解析】由①得x=1+2y,代入②. 3(1＋2y)＋5y＝2,故选B. 9．A【解析】【分析】先解关于x、y的方程组23352x y kx y k+=⎧⎨+=+⎩求得用含k的代数式表达的x、y的值，再由x、y的和为12列出关于k的方程，解此方程即可求得k的值. 【详解】解关于x、y的方程组23352x y kx y k+=⎧⎨+=+⎩得：26?4x ky k=-⎧⎨=-+⎩，∵x+y=12，∴2k-6-k+4=12，解得：k=14.故选A.【点睛】读懂题意，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键. 10．B【解析】由题意得43235x y kx yx y-=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,解得，k=1.故选B.11．3, -2【解析】分析：联立两方程组中不含a与b的方程组成方程组，求出x与y的值即可．详解：联立得：23121x yx y-⎧⎨+⎩＝①＝②，①+②×3得：5x=15，即x=3，把x=3代入②得：y=-2，故答案为：3；-2．点睛：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．12．3【解析】试题分析：先把k 当作已知条件求出x 、y 的值，再根据x 与y 的和为2列出关于k 的方程，求出k 的值即可．解23{351x y k x y k +=+=+①②①×3-②×2，得：-y=k-2∴y=2-k把y=2-k 代入①得：2x=4k-6∴x=2k-3∵x+y=2∴2k-3+2-k=2解得：k=3．考点：二元一次方程组的解．13．a-4c=-17【解析】【分析】把x 与y 的值代入方程组，通过整理即可确定出a 与c 的关系．【详解】把{12x y ==代入方程组得：27212a b b c +=⎧⎨+=⎩①②， 2-⨯①②得：417a c -=-，故答案为：417a c -=-【点睛】本题考查了二元一次方程组的解.将解代入方程组中并通过加减消元法得出a 与c 的关系是解题的关键．14．-4【解析】分析：将已知三对值代入等式得到关于a，b，c的方程组，求出方程组的解得到a，b，c的值即可．详解：②﹣①得：24a+6b=60，4a+b=10④，③﹣①得：3a+3b=3，a+b=1⑤，由④和⑤组成方程组，解方程组得：，把a、b的值代入①得：c=﹣5，所以a+b+c=﹣4．故答案为：﹣4．点睛：本题考查了三元一次方程组的解法，把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，消元的方法有：加减消元法与代入消元法．15．2【解析】解：两式相乘得：2（x-y）（x+y）=4，∴（x-y）（x+y）=2，故答案为：2．16．7 29【解析】分析：将x、y写成用z表示的代数式进行计算．详解：由题意得：230 2350x y zx y z+-⎧⎨++⎩＝①＝②，①×2-②得y=11z，代入①得x=-19z，原式=19117==191129x y z z z z x y z z z z ++-++-+--+． 故本题答案为：729． 点睛：此题需将三元一次方程组中的一个未知数当做已知数来处理，转化为二元一次方程组来解．17．4【解析】【分析】由韦达定理得出x 1+x 2=6，x 1·x 2=m +4，将已知式子3x 1= | x 2|+2去绝对值，对x 2进行分类讨论，列方程组求出x 1、x 2的值，即可求出m 的值.【详解】由韦达定理可得x 1+x 2=6，x 1·x 2=m +4， ①当x 2≥0时，3x 1=x 2+2，1212326x x x x =+⎧⎨+=⎩，解得1224x x =⎧⎨=⎩， ∴m =4；②当x 2＜0时，3x 1=2﹣x 2，1212326x x x x =-⎧⎨+=⎩，解得1228x x =-⎧⎨=⎩，不合题意，舍去. ∴m =4.故答案为4.【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，其中对x 2分类讨论去绝对值是解题的关键. 18．-15【解析】【分析】观察所求的式子以及所给的方程组，可知利用平方差公式进行求解即可得.【详解】∵x 2y 5x 2y 3-=⎧+=-⎨⎩，∴22x 4y -=（x+2y ）（x-2y ）=-3×5=-15， 故答案为：-15.【点睛】本题考查代数式求值，涉及到二元一次方程组、平方差公式因式分解，根据代数式的结构特征选用恰当的方法进行解题是关键.19．423x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩【解析】分析：方程组利用加减消元法求出解即可．详解：251x y y z x z +=-⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩①②③，①-②+③，得2x=-8，解得：x=-4，把x=-4代入①得：y=2，把y=2代入②得：z=3，则方程组的解为423x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故答案为：423x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.点睛：本题考查了解三元一次方程组的应用，解三元一次方程组的基本思路是想法把三元一次方程组转化成二元一次方程组．20．4 3【解析】【分析】根据二元一次方程的定义,列出关于m 、n 的方程组,然后解方程组即可.【详解】依题意得，21231n m n -=⎧⎨-+=⎩，解得43 mn=⎧⎨=⎩故答案为：(1). 4 (2). 3【点睛】本题考核知识点:二元一次方程.解题关键点：理解二元一次方程定义.21．每亩山田产粮相当于实田0.9亩，每亩场地产粮相当于实田13亩．【解析】整体分析：设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩，根据山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7亩;又山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩，列二元一次方程组求解.解：设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩可列方程组为36 4.7 53 5.5 x yx y+=⎧⎨+=⎩解得0.913xy=⎧⎪⎨=⎪⎩.答:每亩山田相当于实田0.9亩，每亩场地相当于实田13亩.22．（1）3{1xy==-；（2）x＞125．【解析】分析：（1）用加减消元法求出方程组的解．（2）根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并，系数化为1即可得解．详解：（1）4{25x yx y-=+=①②，①+②得：3x=9，x=3，代入①得：3﹣y=4，y=﹣1．则原方程组的解为：3{1 xy==-．（2）去分母得，2x＞6﹣3（x﹣2），去括号得，2x＞6﹣3x+6，移项、合并得，5x＞12，系数化为1得，x＞125．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组的方法，解一元一次不等式的方法及注意事项是关键.23．（1）A种品牌计算器50元/个，B种品牌计算器60元/个；（2）y1=45x，y2=60(010)42180(10)x xx x≤≤⎧⎨+⎩f；（3）详见解析.【解析】【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组并求解即可；(2)按照“购买所需费用=折扣×单价×数量”列式即可，注意B品牌计算器的采购要分0≤x≤10和x＞10两种情况考虑；(3)根据上问所求关系式，分别计算当x＞15时，由y1=y2、y1＞y2、y1＜y2确定其分别对应的销量范围，从而确定方案.【详解】（Ⅰ）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，根据题意得，23280 3210a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得：5060 ab=⎧⎨=⎩，答：A种品牌计算器50元/个，B种品牌计算器60元/个；（Ⅱ）A品牌：y1=50x•0.9=45x；B品牌：①当0≤x≤10时，y2=60x，②当x＞10时，y2=10×60+60×（x﹣10）×0.7=42x+180，综上所述：y1=45x，y2=()() 60010 4218010x xx x⎧≤≤⎪⎨+⎪⎩＞；（Ⅲ）当y 1=y 2时，45x=42x+180，解得x=60，即购买60个计算器时，两种品牌都一样； 当y 1＞y 2时，45x ＞42x+180，解得x ＞60，即购买超过60个计算器时，B 品牌更合算； 当y 1＜y 2时，45x ＜42x+180，解得x ＜60，即购买不足60个计算器时，A 品牌更合算， 当购买数量为15时，显然购买A 品牌更划算.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用.24．（1）甲45人，乙30人 (2) 租65座的客车2辆，45座的客车2辆，30座的3辆【解析】分析：（1）根据题意，设甲种客车每辆能载客x 人，乙两种客车每辆能载客x 人，由等量关系列方程组求解即可；（2）根据坐满的租车方案，由总人数列方程求解即可.详解：（1）设甲种客车每辆能载客x 人，乙两种客车每辆能载客x 人，根据题意得 231803165x y x y +=⎧⎨+=⎩，解之得：4530x y =⎧⎨=⎩答：甲种客车每辆能载客45人，乙两种客车每辆能载客30人.（2）设同时租65座.45座和30座的大小三种客车各m 辆，n 辆，（7﹣m ﹣n ）辆， 根据题意得出：65m+45n+30（7﹣m ﹣n ）=303+7，整理得出：7m+3n=20，故符合题意的有：m=2，n=2，7﹣m ﹣n=3，租车方案为：租65座的客车2辆，45座的客车2辆，30座的3辆．点睛：本题考查二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等关系式，列出对应的方程．25．23x y =-⎧⎨=⎩【解析】分析：把①×3＋②，消去y ,求出x 的值，再把求得的x 的值代入①求出y 的值即可. 详解：①×3＋②，得 13x ＝－26，x ＝－2，将x ＝-2代入①，得－6－y ＝－9，y ＝3，∴23x y =-⎧⎨=⎩. 点睛：本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，当两方程中相同的未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法解方程比较简单．灵活选择合适的方法是解答本题的关键.26．（1）每立方米的基本水价是2.45元，每立方米的污水处理费是1元；（2）如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水15立方米【解析】分析：（1）设每立方米的基本水价是x 元，每立方米的污水处理费是y 元，然后根据等量关系即可列出方程求出答案．（2）设该用户7月份可用水t 立方米（t ＞10），根据题意列出不等式即可求出答案． 详解：（1）设每立方米的基本水价是x 元，每立方米的污水处理费是y 元27.68846.3102212x y x x y +⎧⎨+⨯+⎩＝＝解得： 2.451x y ⎧⎨⎩＝＝ 答：每立方米的基本水价是2.45元，每立方米的污水处理费是1元．（2）设该用户7月份可用水t 立方米（t ＞10）10×2.45+（t-10）×4.9+t≤64解得：t≤15答：如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水15立方米. 点睛：本题考查学生的应用能力，解题的关键是根据题意列出方程和不等式.27．(1)820000元；(2)480人.【解析】本题考查的是方程组的应用（1）根据题意可知本题的等量关系有，2005年进入小学学习的人数=（1+20%）×2004年进入小学学习的人数，2005年进入中学学习的人数=（1+30%）×2004进入中学学习的人数．2005年进入中小学学习的总人数=5000+1160．依此列方程组再求解．（2）先算出秋季入学后，在小学就读的学生人数及在中学就读的学生人数，再根据师生比例即得结果。
七年级数学上册 第3章 一次方程与方程组 3.3 二元一次方程组及其解法(第3课时)课件
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20．对于实数 x、y 定义一种新的运算“*”：x*y＝ax＋by，其中 a、b 为常数， 等式的右边是通常的加法和乘法运算．已知 3*5=15,4*7=28,求 a+b 的值.
3a＋5b＝15
a＝－35
解：由题意得
4a＋7b＝28
，解得b＝24
，∴a＋b＝－35＋24＝－11.
x＋y＝1 (1)2x－y＝5
；
(2)2x3－y－x＋4 y＝－112 ； 3x＋y－22x－y＝3
x·4%＝x－y×10% (3)x＋300·4%＝x－y＋300×6.4% .
x＝2
x＝2
x＝500
解：(1)y＝－1 ； (2)y＝1 ； (3)y＝300 .
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2x＋3y＝k 18．已知方程组3x＋2y＝k＋2 的解满足 x＋y＝6，求 k 的值．
x＝－5 14．(乐山中考)二元一次方程组x＋2 y＝2x3－y＝x＋2 的解是 y＝－1 .
x∶y＝2∶3
x＝ 4
15．若3x＋2y＝24 ，则y＝ 6 .
2x－y＝m
x＝2
16．关于 x、y 的方程组x＋my＝n 的解是y＝1 ，则|m－n|的值为 2 .
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17．用适当的方法解下列方程组：
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2x＋3y＝1 3．用加减法解方程组3x－2y＝8 时，下列变形正确的是( B )
4x＋6y＝1 ①9x－6y＝8
6x＋9y＝1 ②6x－4y＝8
③6－x＋6x9＋y＝4y3＝－16
④49xx＋－66yy＝＝224
A．①②
B．③④
C．①③
D．①④
4．若二元一次方程 2x＋4y＝6、5x－2y＝3 和 2x－my＝－1 有公共解，则 m
方程与方程组知识点
第三章方程与方程组一、一元一次方程1•等式用等号表示相等关系的式子，叫做等式. 等式的性质：(1)等式的两边都加上 (或减去)同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式. 即若a=b，贝U a_m 二b_m.(2) _______________________________________________ 等式的两边都乘以同一个数(或除以同一个不为 ________________________________________________ 的数)，所得结果仍是等式•即a b若a = b，贝U am = bm，或(m = 0)m m2.方程含有未知数的等式叫方程叫方程.使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.求方程的解的过程叫解方程.3•同解方程及方程的同解原理(1 )如果两个方程的解相同，那么两个方程叫同解方程.(2)方程的同解原理：①方程的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程.②方程的两边都乘以同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得方程与原方程是同解方程.4.一元一次方程在方程中，只含一个未知数，且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程.标准形式：ax • b = 0(a = 0) 最简形式：ax二b(a = 0)补含字母系数的方程ax=b的解(1)若a = 0，则方程有唯一解x = b；a(2)若a=0，且b=0,方程变为0 • x=0,则方程有无数个解；(3)若a=0，且0，方程变为0・x=b，则方程无解.5•解一元一次方程的一般步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b; (5)方程两边同除以未知数的系数(系数化为1)，得出方程的解.6 .列方程解应用题的方法及步骤(1 )审题：明确己知是什么，未知是什么及相互关系，并用x表示题中一个合理未知数.(2 )根据题意找出能表示应用题含义的等量关系(关键一步)(3)据等量关系列出正确方程.(4 )解出方程：求出未知数的值.(5)检验、作答，检验应是：检验所求的解既能使方程成立，又能使它符合实际意7 •一兀一次方程应用题的主要类型(1)和差倍分问题 (2)等积变形 (3) 行程问题 (4 )百分比浓度问题(5)劳力调配 (6) 比例问题 (7 )工程问题(8)商品利润率问题(9) 数字问题&几个典型问题 储蓄问题 (1) 本金 顾客存入银行的钱叫本金 (2)利息 银行付给储户的酬金叫利息(3) 本息和 本息和=本金+利息 (4) 期数 存款的时间(年、月等) (5)利率 每个期数内的利息与本金之比.记本金为P,利率为i ，期数为n 则① 单利：本息和=本金+本金利率期数=本金 (1+利率期数)，即S=P (1+in )利息税=利息税率 =本金+ 利息一利息税率=本金+ 利息(1—税率) 最后金额=本息和一税金 市场经济问题 (2)进价，原价，售价，利润率的关系：利润原价汉0.1x —进价打x 折：实际售价=原价X 0.1x .此时，禾U 润率=——=——-----进价进价练习：原价为a ,实际售价为b ,则打 _______________ 折，折扣率为 __________ . 行程问题有相遇问题，追及问题、逆(顺)流问题，上坡、下坡问题等，在运动形式上分直线 运动及曲线运动(如环形跑道、时钟问题)基本量之间的关系：路程 =速度 时间(s =v t )(1)相遇问题：s 甲 ■ s^ = s (或V 甲t V z t 二S), t 为甲、乙相遇时间.(2)追及问题：s 甲=s 乙■ s 0 ( V 甲 v z ,s 0为追及初距离)，V 甲t=V 乙t ■ S 0义.②复利：本息和=本金(1+利率)n即 S=P (1+i )(1)利润=售价一进价 利润率=利润=售价进价进价 进价 〜S 甲B工程问题基本量之间的关系：工作量=工作效率X工作时间. 常见等量关系：甲的工作量+乙的工作量基本量之间的关系：现产量=原产量X （1+增长率）• 百分比浓度问题基本量之间的关系：溶质=溶液X浓度. 水中航行问题基本量之间的关系：V静-v水 =切顺,v静- v水二V逆，v顺-v逆= 2v水川顺-v^ = 2v静二、二元一次方程组1.二元一次方程组的相关概念含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.一般形式：ax by c 0 a 0,b = 0 .含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.2 .解二元一次方程组（1）代入消元法（代入法）：①用含有x（或y ）代数式表示y （或x），即变成y=ax，b（或x=ay，b）的形式;②将y =ax - b（或x =ay ■ b）代入另一个方程中，消去y （或x），得到一个关于x（或y）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；④把x（或y）的值代入y=ax，b（或x=ay，b）中，求出y （或x）的值，从而得到方程组的解.（2）加减消兀法（加减法）：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解.I ------------ ----------------------------------------------- --------------------------------------------: 补三元一次方程组: 三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.; 由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.i 解三元一次方程组的一般步骤：[… ①利用代入法或加减法-把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，逍去两组______________《中考基础知识大扫描》中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元二次方程组; ■: ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；. : ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一i元一次方程；: ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值，从而得到方程组的解. iI __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ I3 •二元一次方程组的应用能分析出题目中的等量关系列二元一次方程组.*4 •二元一次方程与一次函数新课标要求：能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.(1)一次函数与二元一次方程(组)以二元一次方程ax + by=c ( a,b = 0 )的解为坐标的点组成的图象与一次函数a cy x 的图象相同.b b广二元一次方程组」a i X+ b,y = c,的解可以看作是两个一次函数y = _ a i X十G和耳x + b2 y = c2b, b| a? C2y -x -的图象的交点.b2b2(2)一次函数与二元一次方程(组)的应用在实际生活中，如何应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程(组)求解.三、一元二次方程1•一元二次方程的概念方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程.含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式：ax2bx c 二0(a = 0)其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.2•一元二次方程的解法(1)直接开平方法形如(x a)^ b的一元二次方程当b 一0时，x • a二.b , x二-a -、b，当b <0时，方程没有实数根.(2)配方法通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0的一般步骤：①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(X • m)2二n的形式;④用直接开平方法解变形后的方程.2 b c小2丄b cax bx c = 0 =x x 0= x x 二a a a a2 b , b 、2 c , b、2/ b、2b2「4ac一x x ()() =(x )二a 2a a 2a a4a(3)公式法用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.对于一元二次方程ax2bx c = 0(a = 0)，当b2 -4ac _ 0时，它的根是:f b2_4acx =2a用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程化为一般形式，确定a,b,c的值;②求出b2 -4ac的值;③若b2 -4ac _0，则把a,b,c及b2 -4ac的值代入一元二次方程的求根公式:「b 二、b2—4ac 2x ，求出X i, X2;若b -4ac：：：0,则方程没有实数根.2a(4)分解因式法当一元二次方程的一边为0时，将另一边分解成两个一次因式的乘积，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；一④解这两个二元一次方程，它们的解就是原方程的解. ___________ ________ _________ ______ i 补判别式、韦达定理；:1 .一元二次方程根的判别式[: 我们就把b2 -4ac叫做一元二次方程ax2 bx 0的根的判别式，通常用“丄”; 来表示，即—c. I I '元二次方程根的情况与判别式 的关系：厶＞0=方程有两个不相等的实数根;二=0：=方程有两个相等的实数根；匚＜0：=方程没有实数根； / _0：=方程有两个实数根.2 •一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程ax 2 • bx • c = 0(a = 0)的两个实数根是 X i ,X 2，那么两根之和，等于方程i 的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数[I 所得的商，即为+x 2 =—b , X r X 2 =c .；a a:韦达定理的两个重要推论：:I I推论1：如果方程x 2 px ■ q = 0的两个根是x 1, x 2,那么x 1 x 2 - - p , x/2二q .I I推论2 :以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是I2x -（为 x 2）x x 1 x 2 = 0.一元二次方程的根与系数的关系的应用：(1) 验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根. (2) 由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数. ⑶不解方程，可以利用韦达定理求关于x 1,x 2的对称式的值，X 1,X 2互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数；式为关于x 1,x 2的对称式.i: (4)已知方程的两根，求作这个一元二次方程. : (5)已知两数的和与积，求这两个数.； (6)已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值. i (7)证明方程系数之间的特殊关系.: (8)解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等. :根的符号的讨论：I2X1X 2 ,2X 1 x 2X 1X 22 %「x 2 X 1 x 2说明：如果把含x 1, x 2的代数式中；利用韦达定理，还可进一步讨论根的符号，设一元二次方程ax2• bx • c = 0 (a = 0)III的两根为x1,x2，则II■⑴A >0,且X j X2 >0二两根同号.IIII二0,且X1X2 0, x i x2・0：=两根同正；II! 二0,且x1x2 0, x.) x2：：：0二两根同数.II»(2)也a 0,且x1 x2■< 0 二ac v 0二两根异号.II；ac c0，且为+x2=0二两根异号且正根的绝对值较大；II: ac c0，且％+x2 £0二两根异号且负根的绝对值较大.；补二元二次方程组i ；含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.关；I I 于x, y的二元二次方程的一般形式为：ax2■ bxy cy2dx e^ f = 0( a,b,c至少有[2 2一个不为0). ax ,bxy,cy叫做二次项，a,b,c叫做二次项系数；dx , ey叫做一次项，d,e : 叫做一次项系数；f叫做常数项. [ ；由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组成[ 的方程组都叫做二元二次方程组. 1 : 二元二次方程组的解法：: :1.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法：: :(1)代入法[ : ①把二元一次方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示；: : ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元方程；1 ; ③解这个一元方程，求得一个未知数的值；[ ；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值，否则，如1果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现增解的问题；; ; ⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组合在一起，就是原方程组[ 的解. : :(2)逆用韦达定理法[ X ：卜y 二ai 对型如y 的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x, y看做一：: \Xy=b i元二次方程一_z2一二az…b 一二0 的两个根，一解这个方程'…求得的一z t,_z2的.值，就是一x, y .的值.所_：% = z 2；i 2 •由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法：；一般步骤：! ①先把方程组中的一个方程分解降次，化为两个一次方程；: ②将这两个一次方程分别与原方程组中的另一个方程联立， 方程和一个二元二次方程组成的方程组；一③解这两个新的方程组，所得的解都是原方程组的解:四、分式方程新课标要求：会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个) (1) 分式方程的概念分母里含有未知数的方程叫分式方程. (2) 分式方程的解法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程” •它的一般解法是：① 去分母，方程两边都乘以最简公分母； ② 解所得的整式方程；③ 验根：将所得的根代入最简公分母，若等于 0就是增根，应该舍去；若不等于 0就是原方程的根. _______________________________________________________________________________' 补分式分式方程的特殊解法 换元法； 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种 ［特别形式，一般的去分母不易解决时，可考虑换元法. :用换元法解分式方程的一般步骤：；(1)设辅助的未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； ■ (2)解所得的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； ;(3)把辅助未知数的值代入原式中，求出原未知数的值； :(4)检验做答.以原方程的解是两组对称解:h组成两个由一个二元一次。
中考数学中的函数与方程组解题技巧总结
中考数学中的函数与方程组解题技巧总结中考数学中，函数与方程组是较为重要的考点，掌握相应的解题技巧对于取得好成绩至关重要。
本文将对中考数学中的函数与方程组解题技巧进行总结，希望能够帮助同学们提高解题能力。
一、函数的解题技巧在解题过程中，有时需要对函数的图象进行分析，进而求解一些相关问题。
下面是几个常见的函数解题技巧：1. 确定定义域和值域：对于给定的函数，首先要明确函数的定义域和值域，这是理解和分析函数的关键。
可以通过观察函数的图象、查看函数的表达式或者进行变量的替换等方式来确定。
2. 确定函数的性质：了解函数的基本性质有助于解题。
例如，判断函数的奇偶性、单调性、周期性等，可以通过求导、分析函数的对称性等方法来确定。
3. 利用函数的图象解题：函数的图象可以提供一些有用的信息。
可以根据图象对函数值、函数的最大值最小值、函数的增减区间等进行分析，从而解决与函数相关的问题。
4. 运用函数的性质求解方程：有时可以利用函数的性质将方程转化为易于解决的形式。
比如，利用奇偶性判断方程有几个实数解，或者通过函数之间的关系将方程组化简为一个方程等。
二、方程组的解题技巧方程组的解题过程中，也有一些常见的技巧可以帮助我们解决问题。
下面是几个常见的方程组解题技巧：1. 利用加减消元法：对于含有两个未知数的线性方程组，可以通过加减消元法将其化简为一个方程，从而求解未知数的值。
这需要灵活运用加减法与倍数运算，将方程组转化为更简单的形式。
2. 利用替换法：有时，可以通过将一个未知数用另一个未知数表示，进而化简方程组的求解过程。
这需要适当选择合适的替换关系，并将其代入方程组中，从而得到更简单的方程。
3. 运用两个方程的关系求解：有时，可以利用方程组中两个方程的关系，从而得到一个更简单的方程。
比如，通过两个方程的相减或相加，消去一个未知数，从而求解另一个未知数。
4. 运用方程组的特殊性质求解：有些特殊的方程组可以通过运用其特殊性质来求解。
人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理
第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。
中考数学复习重要知识点专项总结—方程和方程组
中考数学复习重要知识点专项总结—方程和方程组一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。
二、一元方程1、一元一次方程（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（2）一玩一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。
（4）一元一次方程有唯一的一个解。
2、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：（其中x是未知数，a、b、c 是已知数，a≠0）（2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如果没有要求，一般不用配方法。
（4）一元二次方程的根的判别式：当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时方程有两个相等的实数根；当Δ<0时方程没有实数根，无解；当Δ≥0时方程有两个实数根（5）一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两个根，那么：，（6）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：三、分式方程（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
（2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。
特殊方法：换元法。
（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。
四、方程组1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。
2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组3、一次方程组：（1）二元一次方程组：一般形式：（不全为0）解法：代入消远法和加减消元法解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。
2024年九年级中考数学专题复习+课件++含参方程(组)、不等式(组)+
C.m>
3
3
1
D.m≥
3
变式
1.(2021·南充)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k²+h=0.
(1)求证:无论k取何值,方程都有两个不相等的实数根;
1
(2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且k与 都为整数,求K所有可能的值.
2
2.若关于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0无实数根,则关于x方程
8m + 9n = 10.
(1)试选择其中一名同学的思路,解答此题.
x + 3y
=4−α
(2)试说明在关于x,y的方程组
中,不论a取什么实数,x+y的值始终不
x − 5y = 3a
变，
变式:
mx − y = 47
1.如果关于x,y的二元一次方程组
的解是
nx + 3y = −39
x=5
,不求 m,n.的值,你能否求关于x,y的二元一次方程组
y=3
m(x + y) − (x − y) = 47
的解?如果能,请求出方程组的解.
n(x + y) + 3(x − y) = −39
2.若相异的实数a，b满足
则 ab =
.
22−1
= 2
2 −1
,
类型三 分式方程的解的问题
例3:若关于x的分式方程
2
−1
=
3
无解,则m=
2
−1
3
2或2
件的所有整数a.
2
− 2
4−
+
=
江苏省南通市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题3 方程(组)和不等式(组)
2001-2012年江苏南通中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题3：方程（组）和不等式（组）一、选择题1. （江苏省南通市2002年3分）用换元法解方程2220x 3x 8x 3x=+-+，若设x 2＋3x=y ，则原方程可化为【 】A ．20y 2＋8y －1=0 B ．8y 2－20y ＋1=0 C ．y 2＋8y －20=0 D ．y 2－8y －20=0 【答案】D 。
【考点】换元法解分式方程。
【分析】根据原方程的特点，把x 2+3x 看作整体，用y 代替，转化为关于y 的分式方程20y 8y=-，去分母并整理得一元二次方程y 2－8y －20=0。
故选D 。
2. （江苏省南通市2002年3分）某厂今年3月份的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每月上升的百分率是多少？若设4、5月份平均每月上升的百分率为x ，则列出的方程是【 】A ．50（1＋x ）=72B ．50（1＋x ）＋50（1＋x ）2 = 72C ．50（1＋x ）×2=72 D．50（1＋x ）2 = 72【答案】D 。
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程（增长率问题）【分析】设4、5月份平均每月上升的百分率为x ，4月份的产值为50(1＋x)，则5月份的产值为50(1＋x) (1＋x) ＝50(1＋x)2。
据此列出方程50(1＋x)2=72。
故选D 。
3. （江苏省南通市2004年3分）一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时， 现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是【 】A 、126312312=--x x B 、131226312=-+x xC 、126312312=+-x xD 、131226312=--xx【答案】C 。
【考点】由实际问题抽象出分式方程【分析】关键描述语为：“现在该列车从甲站到乙站用的时间比原来减少了1h ．”；等量关系为：提速前所用的时间-提速后用的时间=1。
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第2课时 分式方程
一级训练
1．(2012年浙江丽水)把分式方程2x ＋4＝1x 转化为一元一次方程时，方程两边需同时乘以( )
A ．x
B ．2x
C ．x ＋4
D ．x (x ＋4)
2．(2012年四川成都)分式方程32x ＝1x －1
的解为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝2 C ．x ＝3 D ．x ＝4
3．解分式方程：1－x x －2＋2＝12－x
，可知方程的( ) A ．解为x ＝2 B ．解为x ＝4 C ．解为x ＝3 D ．无解
4．解关于x 的方程x －3x －1＝m x －1
会产生增根，则常数m 的值等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2
5．(2012年江苏无锡)方程4x －3x －2
＝0的解为________． 6．在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下．已知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳x 下，则可列关于x 的方程为______________．
7．解方程：3－x x －4＋14－x
＝1.
8．解方程：1x 2－x ＝2x 2－2x ＋1
.
X k B 1 . c o m
9．如图2－1－1，海峡两岸实现“三通”后，某水果销售公司从台湾采购苹果的成本大幅下降．请你根据两位经理的对话，计算出该公司在实现“三通”前从台湾采购苹果的成本价格．
图2－1－1
二级训练 10．(2011年湖北荆州)对于非零的两个实数a ，b ，规定a ⊗b ＝1b －1a
，若1⊗(x ＋1)＝1，则x
的值为( )
A.32
B.13
C.12 D ．－12
新课 标第 一 网 11．在四川省发生地震后，成都运往汶川灾区的物资须从西线或南线运输，西线的路程约800千米，南线的路程约80千米，走南线的车队在西线车队出发18小时后立刻启程，结果两车队同时到达．已知两车队的行驶速度相同，求车队走南线所用的时间．
12．已知||a －1＋b ＋2＝0，求方程a x
＋bx ＝1的解．
13．(2011年广东茂名)解分式方程：3x 2－12x ＋2
＝2x .
三级训练
14．关于x 的分式方程m x －5
＝1，下列说法正确的是( ) A ．方程的解是x ＝m ＋5 B ．m ＞－5时，方程的解是正数
C ．m ＜－5时，方程的解为负数
D ．无法确定
15．(2012年贵州安顺)张家界市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？
第2课时 分式方程
【分层训练】
1．D 2.C 3.D 4.A
5．x ＝8
6.90x ＝120x ＋20
7．解：方程两边同时乘以(x －4)，
得(3－x )－1＝x －4，解得x ＝3.
经检验，x ＝3是原方程的解．xK b1 .Com
8．解：原方程变形为1x (x －1)＝2(x －1)2
， 方程两边都乘以x (x －1)2，去分母，得x －1＝2x ，
解得x ＝－1.
经检验，x ＝－1是原方程的解．
9．解：设该公司今年从台湾采购苹果的成本价格为x 元/千克，则“三通”前苹果的成本价格为2x 元/千克，根据题意列方程，得
100 000x －100 0002x
＝20 000， 解得x ＝2.5.
经检验，x ＝2.5是原方程的解．
当x ＝2.5时，2x ＝5.
答：实现“三通”前该公司到台湾采购苹果的成本价格为5元/千克．
10．D
11．解：设车队走南线所用的时间为x 小时，则走西线所用的时间为(x ＋18)小时．
依题意，得80018＋x ＝80x
， 解得x ＝2.
经检验，x ＝2是原方程的解．
答：车队走南线所用的时间为2小时．
12．解：由|a －1|＋b ＋2＝0，得a －1＝0，b ＋2＝0，
即a ＝1，b ＝－2.
由方程1x
－2x ＝1，得2x 2＋x －1＝0. 解得x 1＝－1，x 2＝12
. X k B 1 . c o m 经检验，x 1＝－1，x 2＝12
是原方程的解． 13．解：去分母3x 2－12＝2x (x ＋2)，移项得3x 2－2x 2＝4x ＋12，得x 2－4x －12＝0，
分解因式得(x ＋2)(x －6)＝0，
得x ＝－2或x ＝6.而当x ＝－2时，分母x ＋2＝0.
故x ＝－2为增根，所以方程的解为x ＝6.
14．C 解析：两边乘以x －5，去分母得x ＝m ＋5.
∴当x －5≠0，把x ＝m ＋5代入得：m ＋5－5≠0，
即m ≠0，方程有解，故A 错；当x ＞0且x ≠5，
解得m ＞－5且m ≠0时方程的解为正数，B 错；
当x ＜0时，即m ＋5＜0，解得：m ＜－5，
则m ＜－5时，方程的解为负数，C 对，显然D 错误．
15．解：设原计划每天铺设管道x 米，依题意，得120x ＋300－120(1＋20%)x
＝27，解得x ＝10. 经检验，x ＝10是原方程的根．
答：原计划每天铺设管道10米。