【随米文库】东华理工大学2010—2011 学年第2 学期《高等数学AⅡ》期中试卷(B卷)及答案
安徽大学 10-11(2)高数A(二)、B(二)答案
+
2x
∂z
⎤ ⎥
∂y ⎥⎦
=
x2z2
sin
z + 2x2z cos z (cos z − xy)3
−
2x3 yz
．
四、应用题（每小题 8 分，共 16 分）
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1． 解． 构造 Lagrange 函数 L(x, y, z, λ, μ) = x + 2 y + 3z + λ(x2 + y2 − 2) + μ( y + z −1) ． 求偏导得 Lx = 1+ 2λ x, Ly = 2 + 2λ y + μ, Lz = 3 + μ , Lλ = x2 + y2 − 2, Lμ = y + z −1, 联立解得 x = −1, y = 1, z = 0 或 x = 1, y = −1, z = 2 ． 代入原函数得 f (−1,1, 0) = 1, f (1, −1, 2) = 5 ． 故所求最大值为 5, 最小值为1.
∫ 2． 解． 所求金属丝的质量为 m = ρds ． L
弧微分 ds = [x '(t)]2 + [ y '(t)]2 + [z '(t)]2 dt = 3etdt ．
∫ ∫ 故 m =
11 0 2e2t
3etdt = 3 1e−tdt = 3 (1− e−1) ．
20
2
五、证明题（每小题 5 分，共 10 分）
1 ． 证 明 ． 设 f (x) = x ， 则 f '(x) = 2011− x ， 显 然 x ≥ 2011 时 ，
x + 2011
2 x (x + 2011)
2010-2011学年上海理工大学附中高一(下)学期期中数学试卷 (解析版)
2010-2011学年上海理工大学附中高一第二学期期中数学试卷一．填空题（每题3分，共42分）1．在[0，2π）范围内与角α=253π终边相同的角是 ．2．已知tan α＝3，则sinα+cosαsinα−cosα= ．3．在三角形ABC 中，sin A =12，则角A 大小为 ．4．化y ＝3sin x +√3cos x 为 y ＝A sin （x +φ）（A ＞0，φ∈（﹣π，π）形式： ． 5．设f （x ）＝4x ﹣2x +1，则f ﹣1（0）＝ ．6．化简sin(π−α)tan(5π2+α)cos(2π−α)cot(π2−α)= ．7．函数y ＝log a x 在[2，4]上最大值比最小值大1，则a ＝ ． 8．已知：cos （α+π2）=45，且α∈(π，3π2)，sin （3π﹣β）=−1213，且β∈(32π，2π)，则sin （α+β）＝ ． 9．函数y ＝（12）x 2−3x+2的单调增区间为．10．α∈（π2，π），sin α=35，且tan （α+β）=13，则tan β＝ ． 11．若lgx +lgy ＝2，则x +y 最小值为 ．12．已知cos （π+2α）=−13，若−π4＜a ＜0，则sin(π2−a)= ．13．若tan α，tan β是方程2x 2+6x +3＝0的两个实数解，则tan （α+β）的值是 ． 14．据监测：服用某抗感冒药后每毫升血液中的含药量f （x ）（单位：微克）与时间x （单位：小时）之间满足：f （x ）={x ，(0≤x ≤4)4+log 0.5(x −3)，(x ＞4)．据测定：每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效．则服用这种药一次能维持的有效时间为 小时． 二、选择题：（每题3分，共12分）15．若−π2＜α＜0，则点（cot α，cos α）必在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．△ABC 中，若sin （A ﹣B ）cos B +cos （A ﹣B ）sin B ≥1，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形或钝角三角形 17．函数y =log 12（4+3x ﹣x 2）（ ）A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．既有最小值又有最大值D ．既无最大值又无最小值18．设函数y ＝f （x ）存在反函数y ＝f ﹣1（x ），且函数y ＝x ﹣f （x ）的图象过点（1，2），则函数y ＝f ﹣1（x ）﹣x 的图象一定过点（ ） A ．（﹣1，2）B ．（2，1）C ．（2，3）D ．（1，1）三、解答题：（6分+8分+8分+8分+8分+8分）19．解关于x 的方程：log 2（x +14）−log 12（x +2）＝3+log 2（x +6）．20．已知函数f （x ）＝x 2﹣4sin θ•x ﹣1，x ∈[−1，√3]，其中θ∈[0，2π] （1）当θ=π6时，求函数f （x ）的最大最小值；（2）求θ的取值范围，使y ＝f （x ）在区间[﹣1，√3]上存在反函数．21．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 的正半轴上，终边在y ＝﹣2x 且x ≤0，求sin （2α+2π3）的值． 22．已知α、β∈（0，π2），且sin α=√55，cos β=√1010，（1）求cos （α﹣β） （2）求α﹣β23．已知0＜α＜π4，sin （π4−α）=513，求cos2αcos(π4+α)的值． 24．设f （x ）=log 12(1−axx−1)为奇函数，a 为常数，（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）证明：f （x ）在（1，+∞）内单调递增；（Ⅲ）若对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f （x ）＞(12)x +m 恒成立，求实数m 的取值范围．2010-2011学年上海理工大学附中高一第二学期期中数学试卷参考答案一．填空题（每题3分，共42分）1．在[0，2π）范围内与角α=253π终边相同的角是13π ．【分析】根据角的性质即可以求解 【解答】∵α=253π=8π+13π ∴在[0，2π）范围内与角α=253π终边相同的角为13π【点评】相同终边的角都有2k π，其中k ∈Z 关系，属于基础题． 2．已知tan α＝3，则sinα+cosαsinα−cosα= 2 ．【分析】将原式分子分母同时除以cos α，化为关于tan α的三角式求解． 解：将原式分子分母同时除以cos α，得sinα+cosαsinα−cosα=tanα+1tanα−1=2故答案为：2【点评】本题主要考查了同角三角函数，考查转化计算能力． 3．在三角形ABC 中，sin A =12，则角A 大小为π6或5π6．【分析】利用特殊角的三角函数值，结合A 的范围求解即可． 解：在三角形ABC 中，0＜A ＜π，又sin A =12，所以A =π6或5π6故答案为：π6或5π6【点评】本题考查特殊角的三角函数值，求角，属于三角方程的问题体系．前提是准确掌握好特殊角的三角函数值，4．化y ＝3sin x +√3cos x 为 y ＝A sin （x +φ）（A ＞0，φ∈（﹣π，π）形式： y ＝2√3sin （x +π6） ． 【分析】利用辅助角公式，易将其化为正弦型函数的形式．解：3sin x +√3cos x =√32+(√3)2（√32sin x +12cosx ）＝2√3（sin x cos π6+cosxsin π6）＝2√3sin（x +π6）故答案为：y ＝2√3sin （x +π6）【点评】在三角函数中，我们常用辅助角公式a sin α+b cos α=√a 2+b 2sin （α+φ），将三角函数的表达式化为正弦型函数的形式． 5．设f （x ）＝4x ﹣2x +1，则f ﹣1（0）＝ 1 ．【分析】欲求f ﹣1（0），根据反函数的定义知，只要求出使等式4x ﹣2x +1＝0，成立的x 的值即可．解：∵4x ﹣2x +1＝0， 2x （2x ﹣2）＝0，∴2x ﹣2＝0 得：x ＝1． ∴f ﹣1（0）＝1． 故答案为1．【点评】本题主要考查了反函数的概念，属于基础题之列．6．化简sin(π−α)tan(5π2+α)cos(2π−α)cot(π2−α)= ﹣cot α ．【分析】把原式的分子第二个因式中的角5π2+α变为2π+（π2+α），利用诱导公式tan （2π+θ）＝tan θ及tan （π2+θ）＝﹣cot θ进行化简，第一个因式利用诱导公式sin （π﹣θ）＝sin θ进行化简，分母第一个因式利用cos （2π﹣θ）＝cos （﹣θ）及余弦函数为偶函数进行化简，第二个因式利用诱导公式cot （π2−θ）＝tan θ进行化简，然后分子分母再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，约分后即可得到最简结果．解：原式=sin(π−α)tan(2π+π2+α)cos(2π−α)cot(π2−α) =sinαtan(π2+α)cos(−α)tanα=−sinαcotαcosαtanα ＝﹣cot α． 故答案为：﹣cot α【点评】此题考查了三角函数的恒等变换应用，涉及的知识有诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及余弦函数的奇偶性，熟练掌握公式是解本题的关键． 7．函数y ＝log a x 在[2，4]上最大值比最小值大1，则a ＝12或2 ．【分析】分0＜a ＜1和a ＞1两种情况分别求出函数在给定区间上的最大值和最小值，然后由最大值比最小值大1列式求解a 的值．解：当a ＞1时，y ＝log a x 在[2，4]上最大值为log a 4，最小值为log a 2， 由log a 4＝log a 2+1＝log a 2a ，得a ＝2；当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在[2，4]上最大值为log a 2，最小值为log a 4， 由log a 2＝log a 4+1＝log a 4a ，得a =12． 所以a 的值为12或2．【点评】本题考查了对数函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了对数方程的解法，是基础题．8．已知：cos （α+π2）=45，且α∈(π，3π2)，sin （3π﹣β）=−1213，且β∈(32π，2π)，则sin （α+β）＝ −5665 ．【分析】利用诱导公式化简已知等式求出sin α与sin β的值，根据α与β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α与cos β的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值． 解：∵cos （α+π2）＝﹣sin α=45，且α∈（π，3π2），sin （3π﹣β）＝sin β=−1213，且β∈（3π2，2π），∴sin α=−45，sin β=−1213，∴cos α=2α=−35，cos β=−√1−sin 2β=−513，∴sin （α+β）＝sin αcos β+cos αsin β=−45×（−513）+（−35）×（−1213）=−5665．故答案为：−5665【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 9．函数y ＝（12）x 2−3x+2的单调增区间为（−∞，32] ．【分析】函数的定义域为R ，内层函数为二次函数，由对称轴可知其减区间，外层函数为指数函数，是减函数，所以复合函数的增区间可求． 解：令t ＝x 2﹣3x +2，其对称轴方程为x =32，所以函数t ＝x 2﹣3x +2在（−∞，32]上为减函数， 又y =(12)t 为R 上的减函数， 所以函数y ＝（12）x 2−3x+2的单调增区间为（−∞，32]．故答案为（−∞，32]．【点评】本题考查了复合函数的单调性，复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则，是中档题．10．α∈（π2，π），sin α=35，且tan （α+β）=13，则tan β＝139．【分析】依题意，可求得cos α，继而可得tan α，利用两角差的正切即可求得tan β． 解：∵sin α=35，α∈（π2，π），∴cos α=−45，∴tan α=−34，又tan （α+β）=13，∴tan β＝tan[（α+β）﹣α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=13−(−34)1+13×(−34)=139． 故答案为：139．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，考查两角差的正切函数，属于中档题． 11．若lgx +lgy ＝2，则x +y 最小值为 20 ．【分析】根据对数的运算性质计算已知的等式，得到xy 的值，且由对数函数的定义域得到x 与y 都大于0，然后把所求的式子通分后，利用分子利用基本不等式变形，将xy 的值代入即可求出所求式子的最小值． 解：由lgx +lgy ＝lgxy ＝2，得到xy ＝102＝100，且x ＞0，y ＞0， 则x +y ≥2√xy =20 当且仅当x ＝y 时取等号， 故x +y 最小值为20 故答案为 20【点评】此题考查了基本不等式与对数的运算性质，可以训练答题者灵活变形及选用知识的能力．要求学生掌握基本不等式，即a +b ≥2√ab （a ＞0，b ＞0），当且仅当a ＝b 时取等号．12．已知cos （π+2α）=−13，若−π4＜a ＜0，则sin(π2−a)= √63．【分析】由已知条件并利用诱导公式可得cos2α=13，且cos α＞0，根据cos2α=13=2cos 2α﹣1 求得cos α 的值，即为所求．解：已知cos(π+2α)=−13，若−π4＜a ＜0，则cos2α=13，且cos α＞0．由cos2α=13=2cos 2α﹣1 求得cos α=√63． 故sin(π2−a)=cos α=√63．故答案为：√63． 【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，得到cos2α=13，且cos α＞0，是解题的关键．13．若tan α，tan β是方程2x 2+6x +3＝0的两个实数解，则tan （α+β）的值是 6 ． 【分析】利用韦达定理与两角和的正切及可求得答案． 解：∵tan α，tan β是方程2x 2+6x +3＝0的两个实数解， ∴tan α+tan β＝﹣3，tan αtan β=32， ∴tan （α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−31−32=6． 故答案为：6．【点评】本题考查韦达定理与两角和的正切，考查记忆两角和的正切公式与运算能力，属于中档题．14．据监测：服用某抗感冒药后每毫升血液中的含药量f （x ）（单位：微克）与时间x （单位：小时）之间满足：f （x ）={x ，(0≤x ≤4)4+log 0.5(x −3)，(x ＞4)．据测定：每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效．则服用这种药一次能维持的有效时间为 10 小时． 【分析】由题意得，当x ＞4时，4+log 0.5（x ﹣3）≥1，从而可得服用这种药一次能维持的有效时间，故可解．解：由题意得，4+log 0.5（x ﹣3）≥1 ∴4＜x ≤11∴服用这种药一次能维持的有效时间为10小时故答案为10【点评】本题以所给分段函数为依托，解决实际问题，关键理解分段函数的意义，从而合理运用解析式．二、选择题：（每题3分，共12分）15．若−π2＜α＜0，则点（cotα，cosα）必在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据三角函数值的符号判断即可．解：∵−π2＜α＜0，∴cosα＞0 tanα＜0tanα•cotα＝1∴cotα＜0∴点（cotα，cosα）在第二象限．故选：B．【点评】本题主要考查了由三角函数值的符号判断角的终边位置，属于基础题．16．△ABC中，若sin（A﹣B）cos B+cos（A﹣B）sin B≥1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．直角三角形或钝角三角形【分析】逆用两角和的正弦可得sin A≥1，利用正弦函数的性质即可判断△ABC的形状．解：∵sin（A﹣B）cos B+cos（A﹣B）sin B＝sin[（A﹣B）+B]＝sin A≥1，∴sin A＝1．又A∈（0，π），∴A=π2．∴△ABC为直角三角形．故选：B．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查两角和的正弦与正弦函数的性质，属于中档题．17．函数y=log12（4+3x﹣x2）（）A．有最大值无最小值B．有最小值无最大值C．既有最小值又有最大值D．既无最大值又无最小值【分析】令t＝4+3x﹣x2，则由二次函数的性质可得函数t有最大值且没有最小者正值，故函数y=log12（4+3x﹣x2）=log12t有最小值而没有最大值，从而得出结论．解：令t＝4+3x﹣x2，则当x=32时，函数t有最大值为254，故函数y=log12（4+3x﹣x2）=log12t有最小值为log1225 4．由于函数t不存在最小的正实数，故函数y=log12（4+3x﹣x2）=log12t没有大值，故选：B．【点评】题主要考查复合函数的单调性及最值，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．18．设函数y＝f（x）存在反函数y＝f﹣1（x），且函数y＝x﹣f（x）的图象过点（1，2），则函数y＝f﹣1（x）﹣x的图象一定过点（）A．（﹣1，2）B．（2，1）C．（2，3）D．（1，1）【分析】根据函数y＝f（x）存在反函数y＝f﹣1（x），且函数y＝x﹣f（x）的图象过点（1，2）可得f（1）＝﹣1，再根据反函数与原函数的关系可求出f﹣1（﹣1）＝1，从而求出函数y＝f﹣1（x）﹣x的图象一定经过的定点．解：∵函数y＝f（x）存在反函数y＝f﹣1（x），且函数y＝x﹣f（x）的图象过点（1，2），∴f（1）＝﹣1，∴f﹣1（﹣1）＝1，∴当x＝﹣1时，y＝f﹣1（﹣1）﹣（﹣1）＝2函数y＝f﹣1（x）﹣x的图象一定过点（﹣1，2）故选：A．【点评】本题主要考查了反函数，解题的关键是熟练掌握反函数的定义，由定义求出函数所过的定点，属于基础题．三、解答题：（6分+8分+8分+8分+8分+8分）19．解关于x的方程：log2（x+14）−log12（x+2）＝3+log2（x+6）．【分析】由对数的运算法则，把原方程等价转化为log2[（x+14）（x+2）＝log2[8（x+6）]，由此能求出结果．解：∵log 2(x +14)−log 12(x +2)=3+log 2(x +6)，∴log 2[（x +14）（x +2）＝log 2[8（x +6）]， ∴（x +14）（x +2）＝8（x +6）， 解得x ＝2，或x ＝﹣10， 检验，得x ＝2．【点评】本题考查对数方程的解法，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数运算法则的灵活运用．20．已知函数f （x ）＝x 2﹣4sin θ•x ﹣1，x ∈[−1，√3]，其中θ∈[0，2π] （1）当θ=π6时，求函数f （x ）的最大最小值；（2）求θ的取值范围，使y ＝f （x ）在区间[﹣1，√3]上存在反函数． 【分析】（1）把θ=π6代入可得函数解析式，由二次函数区间的最值可得；（2）可得函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x ＝2sin θ，要满足题意须使函数在该区间单调，可得 2sin θ≤﹣1，或2sin θ≥√3，解之可得． 解：（1）当θ=π6时，f （x ）＝x 2﹣2x ﹣1＝（x ﹣1）2﹣2， 函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x ＝1， 故当x ∈[﹣1，1]时，函数单调递减， 当x ∈[1，√3]时，函数单调递增， 故当x ＝1时，函数取最小值f （1）＝﹣2， 当x ＝﹣1时，函数取最大值f （﹣1）＝2； （2）可得f （x ）＝（x ﹣2sin θ）2﹣1﹣4sin 2θ， 函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x ＝2sin θ， 要使函数y ＝f （x ）在区间[﹣1，√3]上存在反函数， 必须使函数在该区间单调，故2sin θ≤﹣1，或2sin θ≥√3，可得sin θ≤−12，或sin θ≥√32，解之可得7π6≤θ≤11π6，或π3≤θ≤2π3，故θ的取值范围为：7π6≤θ≤11π6，或π3≤θ≤2π3【点评】本题考查二次函数区间的最值，涉及三角函数和反函数的应用，属中档题． 21．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 的正半轴上，终边在y ＝﹣2x 且x ≤0，求sin （2α+2π3）的值． 【分析】由题意根据任意角的三角函数定义求出sin α与cos α的值，进而确定出sin2α与cos2α的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解：根据题意得：sin α=25，cos α=15，∴sin2α＝2sin αcos α=−45，cos2α＝cos 2α﹣sin 2α=−35，则sin （2α+2π3）＝sin2αcos 2π3+cos2αsin 2π3=25−3√310． 【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键．22．已知α、β∈（0，π2），且sin α=√55，cos β=√1010， （1）求cos （α﹣β）（2）求α﹣β【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出cos α和sin β的值，然后由两角和与差的余弦函数公式并将相应的值代入即可．（2）根据角的范围得出α﹣β∈（−π2，π2），由（1）知cos （α﹣β）=√22即可得出结果． 解：（1）∵sin α=√55，cos β=√1010，α、β∈（0，π2）， ∴cos α=1−(55)2=2√55 sin β=1−(√1010)2=3√1010∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=2√55×√1010+√55×3√1010=√22 （2）∵α，β∈（0，π2）， ∴﹣β∈（−π2，0）∴α﹣β∈（−π2，π2） ∵cos （α﹣β）=√22∴α﹣β=π4或−π4【点评】此题考查了同角三角函数的基本关系、两角和与差的余弦函数公式以及特殊角的三角函数值，熟记公式是解题的关键，属于基础题．23．已知0＜α＜π4，sin （π4−α）=513，求cos2αcos(π4+α)的值． 【分析】由题意可得sin （π4−α）的值，再由诱导公式可得sin （π4+α）的值，由二倍角公式化简可得原式＝2sin （π4+α），计算可得． 解：∵0＜α＜π4，∴0＜π4−α＜π4，又∵sin （π4−α）=513， ∴sin （π4+α）＝sin[π2−（π4−α）] ＝cos （π4−α）=√1−sin 2(π4−α)=1213∴cos2αcos(π4+α)=sin(π2+2α)cos(π4+α)=2sin(π4+α)cos(π4+α)cos(π4+α) ＝2sin （π4+α）＝2×1213=2413【点评】本题考查两角和与差的三角函数，涉及二倍角公式和诱导公式，属中档题． 24．设f （x ）=log 12(1−ax x−1)为奇函数，a 为常数， （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）证明：f （x ）在（1，+∞）内单调递增；（Ⅲ）若对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f （x ）＞(12)x +m 恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）利用奇函数的定义找关系求解出字母的值，注意对多解的取舍．（2）利用单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性，关键要在自变量大小的前提下推导出函数值的大小．（3）将恒成立问题转化为函数的最值问题，用到了分离变量的思想．解：（1）∵f （x ）是奇函数，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）．∴log 12(1+ax −x−1)=−log 12(1−ax x−1)⇔1+ax −x−1=x−11−ax ＞0⇒1−a 2x 2=1−x 2⇒a =±1． 检验a ＝1（舍），∴a ＝﹣1．（2）由（1）知f(x)=log 12(x+1x−1) 证明：任取1＜x 2＜x 1，∴x 1﹣1＞x 2﹣1＞0∴0＜2x 1−1＜2x 2−1⇒1+2x 1−1＜1+2x 2−1⇒0＜x 1+1x 1−1＜x 2+1x 2−1⇒log 12(x 1+1x 1−1)＞log 12(x 2+1x 2−1) 即f （x 1）＞f （x 2）．∴f （x ）在（1，+∞）内单调递增．（3）对[3，4]于上的每一个x 的值，不等式f(x)＞(12)x +m 恒成立，即f(x)−(12)x ＞m 恒成立．令g(x)=f(x)−(12)x ．只需g （x ）min ＞m ，又易知g(x)=f(x)−(12)x 在[3，4]上是增函数， ∴g(x)min =g(3)=−98． ∴m ＜−98时原式恒成立． 【点评】本题是以对数函数为载体考查函数基本性质的小综合题，用到了函数奇偶性，函数单调性的定义．恒成立问题中求字母的取值范围问题往往通过分离变量转化为函数的最值问题，体现了等价转化的思想．。
北京理工大学2009-2010学年第二学期高等数学期中试题(A卷)答案
北京理工大学2009-2010学年第二学期高等数学期中试题解答及评分标准(A 卷)一、填空题（每小题4分，共28分）1.；或37,35-=k 2.;32fdyf dx dz '-'-=3.5=d 4.⎰⎰----=221111),(x xdyy x f dx I 5.;7210181},7,10,8{-=+=-=z y x τ6..4,34-==n a 7..3310},2,1,2{-=∂∂--=n u n二、,21'+'+=∂∂xyf xf f xz ……………………….3分,2221'+'-=∂∂f x xyf yz ……………………….6分.)2(222222122211212"+"-+"-'+'-=∂∂∂yf x f xy x xyf xf yf yx z ….10分三、⎰⎰-=Ddxdyy x V ||……………………….3分dxdyx y dxdy y x D D ⎰⎰⎰⎰-+-=21)()(………………………6分⎰⎰⎰⎰---+-=x xy ydyx y dx dx y x dy 21021)()(……………….8分34=…………………….10分四、0)sin )(1(=-+=∂∂x e xfy 0cos =--=∂∂y y y ye e x e yf……………………….2分解得驻点：)0,2(),2,(π-π……………………….4分.)2(cos ,sin ),cos )(1(22222yy ye y x yf x e yx fx e xf --=∂∂-=∂∂∂-+=∂∂.6分在点)2,(-π22,0,1---==+=e C B e A ，0)1(222>+=-=∆--e e AC B ，所以点)2,(-π不是极值点；……………………….8分在点)0,2(π,1,0,02-==<-=C B A 022<-=-=∆AC B ，所以点)0,2(π是极大值点，且极大值为.3)0,2(=πf ………….10分五、dxdydzz y x I V⎰⎰⎰++=)(dxdydzz dxdydz y dxdydz x VVV⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=…………….2分=⎰⎰⎰ρπρρθ++122020200zdzd d ……………….7分.32π=……………………….10分六、},,{p n m s L =的方向向量为设直线，平面π的法向量为：}1,3,2{-=n……………………….2分由题意，π//L ，所以有032=+-p n m ……………………4分又已知直线的方向向量为}1,1,2{1--=s，)2,0,1(),2,1,1(N M -}0,1,0{=MN ，由题意有：共面，1,,s MN s有201112=+=--p m pn m ……………………….8分有pn p m -=-=,2……………………….10分所以121121:-=-+=--z y x L ………………12分七、1:22≤+Ωy x D xoy 面上的投影区域为在，……………….1分⎰⎰⎰Ω+=dv y x I )(22⎰⎰⎰ϕππϕϕθ=cos 20344020sin dr r d d ………….5分ϕϕϕπ=⎰πd 4053cos sin 564……………………….8分.3011π=……………………….10分八、目标函数为：000z y x V =……………………….2分约束条件为：1432000=++z y x ……………………….4分构造拉氏函数：)1432(),,(000000000-++λ+=z y x z y x z y x F ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=λ+='=λ+='=λ+='143240302000000000000z y x y x F z x F z y F z y x 解得唯一驻点为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===34132000z y x …….8分由问题的实际意义知，当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===34132000z y x 时，此长方体的体积最大，.98=最大V ……………………….10分。
山东大学2010-2011学年第二学期高等数学试题_A_
1. 设 数 列 an 单 调 减 少 ， lim an 0 ， S n
n
a n 1, 2, 无 界 ， 则 幂 级 数
k k 1
a x 1
n n 1
n
的收敛域为
。
(A) ( 1,1] ； 2. 设 0 an
(B) [ 1,1) ；
2010-2011 学年第二学期高等数学试题 (A)
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 设区域 D 为 x y 1 ，则
xyf x
D
2
y 2 dxdy =
。
2. 过点 M 0 (2，4，0)且与直线 L :
x 2z 1 0 平行的直线方程是 y 3z 2 0
x, y x y 1 上连续，且 f x 0, f y 0 ，
(C) 2 a b ； (D) 2 a b ；
f x f y
D
af y bf x
dxdy
(B) a b ；
(A) a b ；
。
1
(A)0；
(B)
4 abc 3 ； 15
(C) 4 3 ；
(D) ；
三、解答题（1~6 题每题 8 分，第 7 题 12 分，共 60 分） 1. 设 f u , v 具有二姐连续偏导数，且满足
2 f 2 f 1， u 2 v 2
x y ，求 2 2 。 又 g x, y f xy, x y 2
2n 2 2 n 1 x 的收敛域及和函数。 n! n 1
6. 证明函数 z 1 e
2010-2011学年度第二学期期中考试高二数学(理)试卷
2 2 4. 已知复数 z (m 4) (m m 6)i 是纯虚数，则实数 m=（
B. 2
5. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60°”时，应假设（ A. 三内角都不大于 60° B. 三内角都大于 60° C. 三内角至多有一个大于 60° D. 三内角至多有两个大于 60 6. 设函数 y f ( x ) 的导函数 y f ' ( x ) 的图象如图所示，则 f(x)的解析式可能是（ A. y a
）
3 2 10. 函数 f (x) ax bx cx d 的图象如图所示，且 f(x)在 x x 0 与 x=2 处取得极值，则 f (1) f (1) 的值一
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2010-2011 学年度第二学期期中考试高二数学（理）试卷
（试卷满分：150 分 A卷 一、选择题（每题 5 分，共 60 分） 1. 计算： A. 0 考试时间：120 分钟）
本卷满分：100 分
2
2
| x 3 1 |dx源自＝（）B. －43
19 C. 2
D. 16 ）
2. 已知点 P 是曲线 y x 2x 1 上的一点， 过点 P 的切线 l 平行于直线 y 2x 3 ， 则切线 l 的方程是 （
） [1,) (1,) (,1] (,1) A. B. C. D. 9. f (x )是定义在(0, ) 上的可导函数，且满足 xf ' ( x ) f ( x ) 0 ，对任意正数 a，b，若 a<b，则必有（ A. af (b) bf (a ) C. af (a ) bf (b) 定（ ） B. bf (a ) af (b) D. bf (b) af (a )
高数必不挂-高等数学A(一)2010-2011(A)解答
第 1 页 共 6 页上 海 海 事 大 学 试 卷2010 — 2011 学年第一学期期末考试 《 高等数学A （一）》（A 卷）解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分3小题, 每小题4分, 共12分).)( ;)(;2)( ; 0)(2coslim 120不存在，但不是无穷大为无穷大 等于 等于）（的值为、D C ••B A •••A••••••••••••••••xx x +→个不同的实根 有 有三个不同的实根 有唯一实根 无实根 ）（则方程适合、设5)()()()(0432,,53,,2352D C •••B A ••••B•••••c bx ax x b a b a =+++< 为正常数 恒为零 为负常数 不为常数 ）（则、设)()()()()(,)(32sin D C •••B A •••D•••••••••••x F dt e x F •x •xt ⎰+=π二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分2小题, 每小题4分, 共8分)1、的值为201lim x x e x x --→ 212、设a b c ,,均为非零向量，满足c b a a c b b a c ⨯=⨯=⨯=,,，b ++三 计算题（必须有解题过程，否则不给分） （本大题分10小题，每题6分，共 60分）1、极限xx xx 2)4(lim +∞→ 884)41(lim e xxx =+=⋅∞→原式 6分2、)0(,)cos()(y y xy e x y y xy '=+=求确定由方程设--------------------------------------------------------------------------------------装 订线第 2 页 共 6 页解：y xy y x y y x y e xy '='+-'+)sin()()(， 4分2)0(,2.,0='==y y x 时当 6分3、．求dx xx••⎰--1145 解：令 ，541452-==-x t x t () 1分 原式=-⎰185213()t dt4分 =166分 4、.d )1(arctan x x x x⎰+求解：x x x xd )1(arctan ⎰+)d(arctan arctan 2x x ⎰= 3分C x +=2)(arctan 6分（遗留C 扣1分）5、．点处的连续性和可导性在试讨论，，已知 0)( , 00cos )(20=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰x x f x •••x x tdt t x f •x •解：0)0(0lim )(lim )0(0cos lim )0(200====-==+--+→→→⎰f x x f f tdt t f x x xx 又 2分∴= 在点处连续f x x ()0 3分lim )0()(lim )0(0)cos (lim cos lim )0()(lim )0(200000==-='===-='--+++→→-→→→+⎰x x xf x f f x x xtdt t xf x f f x x x xx x 5分第 3 页 共 6 页'==f f x x ()()000，在点处可导． 6分．，试求： 斜率等于处的切线，且它在原点通过原点具有连续导数，又曲线、设函数xx dtt f •••x f y x f •x•x sin )(lim100)()(60⎰→=解：，，由题意知，1)0(0)0(='=f f 2分lim()sin lim ()sin cos x xx f t dt x x f x x x x→→⎰=+000 4分='-→lim()cos sin x f x x x x 02 5分='=12012f () 6分7、）为驻点，，使得点（中的试确定442,,,,23-+++=d c b a d cx bx ax y（1，—10）为拐点。
2010级高等数学II(2)试卷A评分标准
f x ( x, y ) 2 x 0 解： 解方程组 , 得驻点 ( 0 , 1 ) , f y ( x, y ) 2 y 2 0 y2 令 L ( x, y ) x 2 y 2 2 y ( x 2 1) 2 Lx ( x, y ) 2 x 2 x 0 , 解方程组 Ly ( x, y ) 2 y 2 y 0 , 2 2 x y 2 1 , 得所有可能极值点 ( 0 , 2 ) , (0 , 2 ) , 因为 f ( 0 , 1 ) 1 , f ( 0 , 2 ) 2 2 2 , f (0 , 2 ) 2 2 2 , 所以 最大值为 f (0 , 2 ) 2 2 2 , 最小值为 f ( 0 , 1 ) 1.
若级数 bn 收敛 , 则级数 an 也收敛 .
(2) (3)
n 1 n 1
证： 由题设得 相乘得
a b a b a2 b2 , 3 3 , , n n , a1 b1 a2 b2 an 1 bn 1 an
(2) (4) (6)
a1 bn , b1
( n 1 , 2 ,3 , )
本题 得分
四、 (本题 10 分)求旋转抛物面 z x 2 y 2 含在圆柱面 x 2 y 2 1内部的那部分面积. (1) (4) (8) (9) (10)
闭区域 . 解： 投影区域 D : x 2 y 2 1 (1)
1 1 2 0 0
解： 投影区域 Dxy : x 2 y 2 1 , A 1 4 x 2 4 y 2 dxdy
(4) 将函数 f ( x)
1 展开成 ( x 1) 的幂级数, 并指出展开式成立的区间 . x2 x 6 1 1 1 1 解：f ( x) ( ) (2) ( x 3)( x 2) 5 x 3 x 2 1 1 1 1 [ ] (4) 5 4 1 x 1 1 (( x 1)) 4 1 1 ( x 1) n [ (1)n ( x 1) n ] (6) 5 4 n 0 4n n0 1 1 [ n 1 (1)n ] ( x 1) n (7) (2 x 0) (8) 5 n0 4
东华理工大学信号与系统2011重修试题A
东华理工学院 2010 — 2011学年第 2 学期信号与系统 重修考试试题（ A1 ）卷9、周期序列2)455.1(0+k COS π的 周期N 等于 。
（A ）1（B ）2（C ）3（D ）410、若y(t)=f(t)*h(t),则f(2t)*h(2t)等于 。
（A ）)2(41t y （B ）)2(21t y （C ）)4(41t y （D ）)4(21t y 二、填空题（共9题，每空2分，共20分）1、描述某连续系统方程为()()()()()t f t f t y t y t y +=++''''52 该系统的冲激响应h(t)=2、频谱函数()()ωωsgn j j F =的傅里叶逆变换()t f =3、卷积和()()[]()k k u k -*++115.01δ=4、已知函数f(t)的单边拉普拉斯变换()1+=s sS F ，则函数()()t f e t y t 332∙=- 的单边拉普拉斯变换Y(s)=5、频谱函数F(j ω)=2u(1-ω)的傅里叶逆变换f(t)=6、已知信号f(t)的单边拉氏变换是F(s),则信号⎰-=2)()(t dx x f t y 的单边拉氏变换Y(s)=7、知某离散系统的差分方程为)1(2)()2()1()(2-+=----k f k f k y k y k y ，则系统的单位序列响应h(k)= 8、单边z 变换F(z)=12-z z的原序列f(k)= 9、写出拉氏变换的结果()=t u 66 ，=k t 22三、计算题1．应用冲击信号的抽样特性，求下列表示是的函数值 (3分每题共6分)(1)dt t tt f )()(0δ⎰∞∞-- （2）⎰∞∞--dt t t tf )()(0δ一、选择题（共10题，每题2分 ，共20分，每题给出四个答案，其中只有一个正确的） 1、信号()t e t j '2δ的傅里叶变换等于 。