第2章 网孔节点分析
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电路分析网孔分析法和节点分析
等效单口网络：当两个单口网络的VCR关系完全 相同时，称这两个单口是互相等效的。
将电路中的某些单口用其等效电路代替，可以简化 电路的分析和计算。
一、线性电阻的串联和并联
1．线性电阻的串联（见第一章）
2．线性电阻的并联（见第一章）
3．线性电阻的串并联 由若干个线性电阻的串联和并联所形成的单口网
络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻。
i5 R2 i＋2 R5 ib uS－2
支路电流： i1,i2,i3,i4,i5,i6 网孔电流：
假想沿网孔边沿流动的电流，
i4
R4 ic R6 i6
如图中ia,ib,ic
R3 ＋uS3－i3 参考方向可以任意选取。
若以网孔电流为求解变量， 所需方程数将大大减少。（重点）
一、网孔电流
设想电流i1、i2和i3沿每个
图中 节点1与公共点O间电阻称为R1 节点2与公共点O间电阻称为R2 节点3与公共点O间电阻称为R3
二、Δ形联接
当三个电阻依次联成一个 闭合电路，且三个联接点再 分别与外电路相联，叫Δ形 联接。
图中：
节点1与2间电阻称为R12 节点2与3间电阻称为R23 节点3与1间电阻称为R31
方法： Y-变换
R2
R12
R23 R12 R 23 R31
特例：当三电阻相等时，则
R 3RY
或
RY
1 3
R
历年考题：
9、图示电路，求u 。(2V)
10、图示电路，求i 。(9/13A)
3Ω
6Ω
i
+ 18V
+u–
1A
3Ω 2A 2Ω 4Ω
–
2Ω
6Ω
3Ω
第三章网孔分析法和结点分析法
将电路中的某些单口用其等效电路代替，可以简化 电路的分析和计算。
一、线性电阻的串联和并联
1．线性电阻的串联（见第一章）
2．线性电阻的并联（见第一章）
3．线性电阻的串并联 由若干个线性电阻的串联和并联所形成的单口网
络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻。
i5 R2 i＋2 R5 ib uS－2
支路电流： i1,i2,i3,i4,i5,i6 网孔电流：
假想沿网孔边沿流动的电流，
i4
R4 ic R6 i6
如图中ia,ib,ic
R3 ＋uS3－i3 参考方向可以任意选取。
若以网孔电流为求解变量， 所需方程数将大大减少。（重点）
一、网孔电流
设想电流i1、i2和i3沿每个
图中 节点1与公共点O间电阻称为R1 节点2与公共点O间电阻称为R2 节点3与公共点O间电阻称为R3
二、Δ形联接
当三个电阻依次联成一个 闭合电路，且三个联接点再 分别与外电路相联，叫Δ形 联接。
图中：
节点1与2间电阻称为R12 节点2与3间电阻称为R23 节点3与1间电阻称为R31
方法： Y-变换
R2
R12
R23 R12 R 23 R31
特例：当三电阻相等时，则
R 3RY
或
RY
1 3
R
历年考题：
9、图示电路，求u 。(2V)
10、图示电路，求i 。(9/13A)
3Ω
6Ω
i
+ 18V
+u–
1A
3Ω 2A 2Ω 4Ω
–
2Ω
6Ω
3Ω
第三章网孔分析法和结点分析法
网孔节点
具有m个网孔的平面电路的网孔电流方程
R11iM1 R12iM 2 R1miMm uS11
R21iM 1
R22iM 2 R2miMm
uS 22
Rm1iM1 Rm2iM 2 RmmiMm uSmm
在不含有受控源的电阻电路中，Rij = Rji
2.1.2 计算举例
1.一般步骤
(10+5)Im1–5Im2 = 10+30=40 –5Im1 + (5+15)Im2 = –30+35=5
(3)用消去法或行列式法，解得Im1 = 3A，Im2 = 1A
I = Im1–Im2 = 2 A
(4)校验。取一个未用过的回路，列KVL方程有 -10 + 10Im1 + 15Im2-35 = 0
第二章 网孔分析和节点分析
2-1 网孔分析 2-2 互易定理 2-3 节点分析 2-4 含运算放大器的电阻电路 2-5 电路对偶性
本章教学要求
◆熟练掌握网孔分析法; ◆熟练掌握节点分析法; ◆了解电路对偶性。
§2.1 网孔分析法
网孔电流——沿网孔流动的假想电流
方程的独立变量
网孔分析法: 以网孔电流为求解对象列写电路方程，
0
R3iM 3 R4 (iM 3 iM1) R6 (iM 2 iM 3 ) uS 4 uS3 0
R1iM R2iM
1 2
R5 (iM1 iM 2 ) R4 (iM1 iM 3 ) uS 4 uS1 R5 (iM1 iM 2 ) R6 (iM 2 iM 3 ) uS 2 0
结论：含有电流源电路网孔方程
• 理想电流源在非公共的支路上，其所在网 孔的网孔电流已知；
• 理想电流源在公共的支路上：方法一，设 电流源设电压，并补充方程：电流源与网 孔电流的关系方程；方法二，避开电流源 所在的网孔，设回路电流，列写回路电压 降方程。
电路分析第2章电路分析方法.ppt
I1=(U2 – U3)/4=(1 – 21)/4= – 5A
I2= –(1/3)U3= – 7A
12A
若选3为参考点，列节点电压方程
节点1 (1/3)U1= – 4 – 12 +Io
节点2 (1/4)U2= 4 – Io 辅助方程 U2 – U1=1
U1 – 3Io = – 48 U1+4Io =15 U1 = – 21V U2= – 20V 12A I1=U2/4= – 20/4= – 5A I2=U1/3= – 21/3= – 7A
令 R11=R1+R4+R5
i1 R1
R2 i2
为第一网孔的自电阻
令 R12= R21 = R5 为一、二两网孔中互电阻
令 R13 =R31 =－R4
+
US1
iA
–
–+ US4
R4
i5
R5
iB
i4 R6 i6 iC
+ –US2
为一、三两网孔中互电阻
令 uS11= uS1-uS4 为第一网孔中电压源电压升的代数和
- G5u1 - G3u2 + (G3 + G4 + G5 )u3 = 0
1. 自电导×节点电位 + 互电导×相邻节点电位 = 流进 该节点的电流源电流代数和。 2. 自电导均为正值，互电导均为负值。
例1 求图示电路中I1及I2。 解：若选1为参考点，列节点电压方程
– 1V+
节点2
U2=1V
节点3 (1/3+1/4)U3 – (1/4) U2=12 U3=21V
名称 放大倍数(增益) 输入电阻 输出电阻
典型值 105-107 106-1013 10-100
电路分析网孔分析法和节点分析
n
iS iSk k 1
与iS参考方向相同的电流源iSk取正号，相反则取负号。
图
电压源、电流源、电阻网络混联
当电压源与电流源或电阻并联时，可等效为一个电压源.
a IS
b
＋ R US
－
a
＋
US －
b
电流源与电压源或电阻串联时,可等效为一个电流源.
a IS
b
＋
US R
－
a IS
b
三、含独立电源的电阻单口网络
二、网孔方程
＋i1 R1
以网孔电流为变量，结 －uS1 ia 合VCR列写网孔的KVL方程。 －uS＋4
R2 i5
i＋2
R5 ib uS－2
例如网孔a，ia 的箭头方 i4
向，既代表ia 的参考方向， 也代表列写KVL的绕行方向。
R4
R6 i6
ic
R3 ＋uS3－i3
问题: 如果我们假定网孔电流方向：同为顺时针 或逆时针, 网孔的互电阻正﹑负是否有规律？
(RR1i11 RR45 (i1 R5i)2i1) R54i(2i1Ri34)i3uuS1S1 R52i12 (RR52(i1 Ri52) R6R)6i(2i2Ri63i)3 uSS2
R34i13 R66i(2i2(Ri33) R44 (i1R6i)3i3) uSS33
第三章 网孔分析法和节点分析
科学家研究世界 工程师创造崭新世界
第二章 用网络等效简化电路分析
2b法的缺点是需要联立求解的方程数目 太多，给求解带来困难。
本章通过两个途径来解决这个问题:
1. 利用单口网络的等效电路来减小电路规模， 从而减少方程数目。
2. 减少方程变量的数目，用独立电流或独立电 压源作变量来建立电路方程。
iS iSk k 1
与iS参考方向相同的电流源iSk取正号，相反则取负号。
图
电压源、电流源、电阻网络混联
当电压源与电流源或电阻并联时，可等效为一个电压源.
a IS
b
＋ R US
－
a
＋
US －
b
电流源与电压源或电阻串联时,可等效为一个电流源.
a IS
b
＋
US R
－
a IS
b
三、含独立电源的电阻单口网络
二、网孔方程
＋i1 R1
以网孔电流为变量，结 －uS1 ia 合VCR列写网孔的KVL方程。 －uS＋4
R2 i5
i＋2
R5 ib uS－2
例如网孔a，ia 的箭头方 i4
向，既代表ia 的参考方向， 也代表列写KVL的绕行方向。
R4
R6 i6
ic
R3 ＋uS3－i3
问题: 如果我们假定网孔电流方向：同为顺时针 或逆时针, 网孔的互电阻正﹑负是否有规律？
(RR1i11 RR45 (i1 R5i)2i1) R54i(2i1Ri34)i3uuS1S1 R52i12 (RR52(i1 Ri52) R6R)6i(2i2Ri63i)3 uSS2
R34i13 R66i(2i2(Ri33) R44 (i1R6i)3i3) uSS33
第三章 网孔分析法和节点分析
科学家研究世界 工程师创造崭新世界
第二章 用网络等效简化电路分析
2b法的缺点是需要联立求解的方程数目 太多，给求解带来困难。
本章通过两个途径来解决这个问题:
1. 利用单口网络的等效电路来减小电路规模， 从而减少方程数目。
2. 减少方程变量的数目，用独立电流或独立电 压源作变量来建立电路方程。
02-4网孔法和节点法
+ US1 _
用 矩 阵 形 式 表 示 得：
R11 R21 R31
R12 R22 R32
R13 I m1 U S11 R23 I m2 U S22 R33 I m3 U S33
2.3
网孔电流法
2.4
节点电压法
2.4
节点电压法
一、解题步骤
二、只含电导和电流源的电路
三、含实际电压源支路的电路
四、含理想电压源支路的电路 五、含两个节点的电路
例题
2.4
节点电压法
G3 G2
1
_ US3 + Un2 IS4
2
一、解题步骤：
1. 设定参考点和节点 电压 Un3
3G6
Un1 IS1
2. 列KCL方程
2.3
网孔电流法
练习
解
列写图示电路的 网孔电流方程 2Ω
_ u 1 +
5A Im1 _ 20V +
1、设定网孔电流及 其参考方向
10A 2、在电流源两端增设电压 + u2 3、列写方程 _ 4、补充方程
Im2
2Ω _ 40V +
Im3
10Ω _ 10V +
2 0 I m1 20 u1 2 2 2 2 I 40 u 2 2 m2 2 2 10 0 10 40 20 Im3
R11 I m1 R12 I m2 R13 I m3 U S11 R21 I m1 R22 I m2 R23 I m3 U S22 R I R I R I U 32 m2 33 m3 S33 31 m1
节点分析法
（2-7）
电路分析基础——第一部分：2-2
7/23
进一步整理后得： G11un1+G12un2+G13un3= is11 G21un1+G22un2+G23un3= is22 G31un1+G32un2+G33un3= is33
（2-8）
自电导：G11、G22、G33。它们分别是各个节点上所 有电导之和，如： G22= G1+G2+G3 ；
= 0.175
– 0.1 = 0.0306 – 0.01 = 0.0206
– 0.1 0.175
6 – 0.1 1 = – 6 0.175 = 1.050 – 0.6 = 0.45
电路分析基础——第一部分：2-2
0.175 6 2 = – 0.1 – 6 = – 1.050 + 0.6 = – 0.45
电路分析基础——第二部分：第二章 目录
第二章 运用独立电流电压变量 的分析方法
1 网孔分析法 2 节点分析法 3 含运算放大器
的电阻电路 4 树的概念
5 割集分析法
6 回路分析法
7 线性电阻电路解答的 存在性和唯一性定理
电路分析基础——第一部分：2-2
1/23
2-2 节点分析法
内容回顾：如何选用完备独立的变量作为第一步求解
方程，因此与该节点有关的所有
电流都必须计算在内。
+
G1
Is33可一理般解在为此流种入情节况点下的，所I有s11已、知Is2的2、–
2 Us
电流源电流和未知的电压源电流的
G4
代数和。节点分析法都是如此处理
非接地电压源的！
1
G2
G3
网孔分析和节点分析47页PPT
理
R 4 i m 1 R 6 i m 2 ( R 3 R 4 R 5 ) i m 3 u S 3 u S 4
27.10.2019
电路分析基础
5
§2-1 网孔分析
2. 网孔方程一般形式:
R 1im 1 1 R 1im 2 2 R 1im 3 3 u S 1 1 R 2im 1 1 R 2im 2 2 R 2im 3 3 u S 22 R 3im 1 1 R 3im 2 2 R 3im 3 3 u S 33
27.10.2019
电路分析基础
16
§2-1 网孔分析
4. 含受控源网络的网孔方程 （1）受控源按独立源处理，列网孔方程； （2）辅助方程：控制量用网孔电流表示。
27.10.2019
电路分析基础
17
§2-1 网孔分析
例3：求网孔电流？
2Ω 6Ω
（1）设网孔电流方 +
向i1 ，i2
12V
(2)列网孔方程： -
（1）有伴时，化为戴维南模型； （2）无伴时：
(a) 电路最外边，为一网孔独有；
(b) 增加电流源电压u作变量来建立这些网孔
的网孔方程；同时，补充电流源电流与网孔电流关 系的方程。
27.10.2019
电路分析基础
14
§2-1 网孔分析
例2. 用网孔分析法求解图示 电路的网孔电流？
解：当电流源出现在电路外围边界上时，该网孔电流等于 电流源电流，成为已知量，此例中为i3=2A。此时不必 列出此网孔的网孔方程。
第2章 网孔分析和节点分析
本章主要介绍电路的另外两种基本分析方法：
网孔分析法和节点分析法
支路法优点：直接求解支路电流（电压）。
重庆交通大学 电路分析 第二章
该式有何特点？
自电阻：
R11 = R1+R4+R5
第一网孔中自电阻
互电阻：
R12=R5
一、二两网孔中互电阻
R13 = － R4
一、三两网孔中互电阻
1. 自电阻×网孔电流 + 互电阻×相邻网孔电 流=该网孔中电压源电压升之和 2.自电阻为正，互电阻有正有负，两网孔电 流流过互电阻时方向相同取正 , 方向相反时取 负 。
注：和电流源串联的电阻是虚元件，不能进入节 点电位方程。
例3，编写如图电路的节点方程。
解：容易错误地写成
( G 1 G 2 G 3 ) u n1 G 1 u s i s×
把电压源、电流源和电导的交点 看成节点，如图： u n2 u s 有：
( G 1 G 2 G 3 ) u n1 G 1 u s G 3 u n3 0 …..①
都是图G中的一部分节点和支路，则图
G1则为图G的子图。
• 在选定树以后，一个网络的支路就分属
于树支或连支。若图形的节点数为n，则
树支数必为（n-1）。
§2-4 Loop Analysis
• 连支电流也是一组完备的独立电流变量，计
有b-(n-1)。
• 在选定树以后，如果我们每次只接上一条连
支，这就可以形成一个这样的闭合回路，这
综合以上分析，采用节点电压法对电路进行求 解，可以根据节点电压方程的一般形式直接写出电 路的节点电压方程。其步骤归纳如下：
（1）指定电路中某一节点为参考点，标出 各独立节点电位（符号）。 （2）按照节点电压方程的一般形式，根据
实际电路直接列出各节点电压方程。
列写第K个节点电压方程时，与K节点相
连接的支路上电阻元件的电导之和（自 电导）一律取“+”号；与K节点相关联 支路的电阻元件的电导 （互电导）一律 取“– ”号。流入K节点的理想电流源的 电流取“+”号；流出的则取“– ”号。
自电阻：
R11 = R1+R4+R5
第一网孔中自电阻
互电阻：
R12=R5
一、二两网孔中互电阻
R13 = － R4
一、三两网孔中互电阻
1. 自电阻×网孔电流 + 互电阻×相邻网孔电 流=该网孔中电压源电压升之和 2.自电阻为正，互电阻有正有负，两网孔电 流流过互电阻时方向相同取正 , 方向相反时取 负 。
注：和电流源串联的电阻是虚元件，不能进入节 点电位方程。
例3，编写如图电路的节点方程。
解：容易错误地写成
( G 1 G 2 G 3 ) u n1 G 1 u s i s×
把电压源、电流源和电导的交点 看成节点，如图： u n2 u s 有：
( G 1 G 2 G 3 ) u n1 G 1 u s G 3 u n3 0 …..①
都是图G中的一部分节点和支路，则图
G1则为图G的子图。
• 在选定树以后，一个网络的支路就分属
于树支或连支。若图形的节点数为n，则
树支数必为（n-1）。
§2-4 Loop Analysis
• 连支电流也是一组完备的独立电流变量，计
有b-(n-1)。
• 在选定树以后，如果我们每次只接上一条连
支，这就可以形成一个这样的闭合回路，这
综合以上分析，采用节点电压法对电路进行求 解，可以根据节点电压方程的一般形式直接写出电 路的节点电压方程。其步骤归纳如下：
（1）指定电路中某一节点为参考点，标出 各独立节点电位（符号）。 （2）按照节点电压方程的一般形式，根据
实际电路直接列出各节点电压方程。
列写第K个节点电压方程时，与K节点相
连接的支路上电阻元件的电导之和（自 电导）一律取“+”号；与K节点相关联 支路的电阻元件的电导 （互电导）一律 取“– ”号。流入K节点的理想电流源的 电流取“+”号；流出的则取“– ”号。