概率_随机事件的概率.板块二.随机事件的概率计算.学生版

知识内容版块一：事件及样本空间1．必然现象与随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次．在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件．通常用大写英文字母来表示随机事件，简称为事件．A B C ，，，3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用表示．Ω版块二：随机事件的概率计算1．如果事件同时发生，我们记作，简记为；A B ，A B AB 2．一般地，对于两个事件，如果有，就称事件与相互独立，A B ，()()()P AB P A P B =A B 简称与独立．当事件与独立时，事件与，与，与都是相互独立的．A B A B A B A B A B 3．概率的统计定义一般地，在次重复进行的试验中，事件发生的频率，当很大时，总是在某个常数n A m nn 附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件的概率，记n A 为．()P A 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率满足：．()P A 0()1P A ≤≤当是必然事件时，，当是不可能事件时，．A ()1P A =A ()0P A =4．互斥事件与事件的并互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．由事件和事件至少有一个发生（即发生，或发生，或都发生）所构成的事A B A B A B ，件，称为事件与的并（或和），记作．C A B C A B = 若，则若发生，则、中至少有一个发生，事件是由事件或所包C A B = C A B A B A B 含的基本事件组成的集合．5．互斥事件的概率加法公式：若、是互斥事件，有A B ()()()P A B P A P B =+ 若事件两两互斥（彼此互斥），有12n A A A ，，，．1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++ 板块二.随机事件的概率计算事件“”发生是指事件中至少有一个发生．12n A A A 12n A A A ，，，6．互为对立事件不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件的对立事件记作．A A 有．(1()P A P A =-<教师备案>1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断．2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．3．基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形．主要方法：解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件独立事件n 次独立重复试验第二步，判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加⎧⎨⎩和事件积事件或相乘事件．第三步，运用公式求解()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B n P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件：独立事件：次独立重复试验:第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）：⑴ 随机事件的概率，等可能性事件的概率；⑵ 互斥事件有一个发生的概率；⑶ 相互独立事件同时发生的概率；⑷ 次独立重复试验中恰好发生次的概率；n k ⑸ 次独立重复试验中在第次才首次发生的概率；n k ⑹ 对立事件的概率．另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰好有一个发生”，“都发生”，“不都发生”，“都不发生”，“第次才发生”等．k 典例分析题型一概率与频率【例1】下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；n A m②做次随机试验，事件发生的频率就是事件的概率；n③百分率是频率，但不是概率；n④频率是不能脱离具体的次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是（ ）A．①④⑤ B．②④⑤ C．①③④ D．①③⑤【例2】对某工厂所生产的产品质量进行调查，数据如下：抽查件数50100200300500合格件数4795192285478根据上表所提供的数据，估计合格品的概率约为多少？若要从该厂生产的此种产950品中抽到件合格品，大约需要抽查多少件产品？【例3】某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：投篮次数810129101660100进球次数68977124574进球频率（1）在表中直接填写进球的频率；（2）这位运动员投篮一次，进球的概率为多少？【例4】下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；n A m A m②做次随机试验，事件发生次，则事件发生的概率为；nn③频率是不能脱离次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确命题的序号为．46【例5】盒中装有只相同的白球与只相同的黄球．从中任取一只球．试指出下列事件分别属于什么事件？它们的概率是多少？⑴“取出的球是白球”；A =⑵“取出的球是蓝球”；B =⑶“取出的球是黄球”；C =⑷“取出的球是白球或黄球”．D =题型二 独立与互斥【例6】（2010辽宁高考）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是2334否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A ．B ．C ．D ．125121416【例7】掷两枚均匀的骰子，记“点数不同”，“至少有一个是点”，判断与A =B =6A B是否为独立事件．【例8】设M 和N 是两个随机事件，表示事件M 和事件N 都不发生的是（ ） A ． B ． C ． D ．M N +M N ⋅M N M N ⋅+⋅M N⋅【例9】判断下列各对事件是否是相互独立事件⑴ 甲组名男生、名女生；乙组名男生、名女生，今从甲、乙两组中各选32231名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出名男生”与“从乙组中选出1名女生”．1⑵ 容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出个，取出1的是白球”与“从剩下的个球中任意取出个，取出的还是白球”．71【例10】⑴某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件为“只订甲报”，事件为A B “至少订一种报”，事件为“至多订一种报”，事件为“不订甲报”，事件为C D E “一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件，再判断它们是不是对立事件．①与；②与；③与；④与；⑤与．A CB E B D BC C E 【例11】抛掷一枚骰子，记事件为“落地时向上的数是奇数”，事件为“落地时向上A B 的数是偶数”，事件为“落地时向上的数是的倍数”，事件为“落地时向上C 3D 的数是或”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）64A ．与 B ．与 C ．与 D ．与A B B C A D C D【例12】每道选择题都有个选择支，其中只有个选择支是正确的．某次考试共有4112道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是，我每题都选择第一个选择14支，则一定有题选择结果正确”．对该人的话进行判断，其结论是（）3A ．正确的B ．错误的C ．模棱两可的D ．有歧义的题型三 随机事件的概率计算【例13】（2010丰台二模）一个正三角形的外接圆的半径为，向该圆内随机投一点，点恰好落在正三1P P 角形外的概率是_________．【例14】（2010崇文一模）从张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是或或的概率为52J Q K【例15】（2010朝阳一模）一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行． 若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．1811612738【例16】（2010东城二模）在直角坐标系中，设集合，在区域内任取xOy {}(,)01,01x y x y Ω=≤≤≤≤Ω一点，则满足的概率等于 ．(,)P x y 1x y +≤【例17】（2010朝阳一模）在区间内随机取两个数分别记为，则使得函数[π,π]-,a b 22()2πf x x ax b =+-+有零点的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．78341214【例18】（2010东城一模）某人向一个半径为的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内6各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于的概率为（ ）2A ． B ． C ． D ．113191412【例19】（2010西城一模）在边长为的正方形内任取一点，则点到点的距离小于的概率1ABCD P P A 1【例20】（2010丰台二模）已知，．若(){},|6,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥{}(,)4,0,20A x y x y x y =-≤≥≥向区域上随机投一点，则点落入区域的概率是_________．ΩP P A 【例21】（2010朝阳一模）袋子中装有编号为的2个黑球和编号为的3个红球，从中任意摸出2个,a b ,,c d e 球．⑴写出所有不同的结果；⑵求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；⑶求至少摸出1个黑球的概率．【例22】（2010崇文二模）在平面直角坐标系中，平面区域中的点的坐标满足，从xOy W (,)x y 225x y +≤区域中随机取点．W (,)M x y ⑴若，，求点位于第四象限的概率；x ∈Z y ∈Z M⑵已知直线与圆相交所截得的弦长为，求:(0)l y x b b =-+>22:5O x y +=的概率．y x b -+≥【例23】（2010西城一模）411234一个盒子中装有张卡片，每张卡片上写有个数字，数字分别是、、、．现从盒子中随机抽取卡片．337⑴若一次抽取张卡片，求张卡片上数字之和大于的概率；⑵若第一次抽张卡片，放回后再抽取张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字113的概率．【例24】（2010海淀一模）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费每满元可以100O20100转动如图所示的圆盘一次，其中为圆心，且标有元、元、元的三部分区域面积相等．假定指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相21820应金额的优惠券．（例如：某顾客消费了元，第一次转动获得了元，第二次获得了元，则其共获得了元优惠券．）顾客甲和乙都到商场进行了消费，1030并按照规则参与了活动．⑴若顾客甲消费了元，求他获得优惠券面额大于元的概率？1280⑵若顾客乙消费了元，求他总共获得优惠券金额不低于元的概率？28020【例25】（2010石景山一模）为援助汶川灾后重建，对某项工程进行竞标，共有家企业参与竞标．其中企6A 业来自辽宁省，、两家企业来自福建省，、、三家企业来自河南B C D E F 省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．⑴企业中标的概率是多少？E ⑵在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？【例26】（2010湖北高考）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰于向A 上 的点数是3”为事件，则事件，中至少有一件发生的概率是B A B A ． B ．C ．D ．5121271234【例27】盒子中有大小相同的只小球，只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球31颜色不同的概率是 ．【例28】（2010江西高考）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在100箱中各任意检查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为，则（ ）12,p p A ． B ． C ． D ．以上三种情况都有可能12p p =12p p <12p p >【例29】（2010陕西卷高考）铁矿石和的含铁率，冶炼每万吨铁矿石的的排放量及每万吨铁矿石A B a 2CO b 的价格如下表：c a （万吨）b （百万元）c A 50%13B 70%0.56某冶炼厂至少要生产（万吨）铁，若要求的排放量不超过2（万吨），则1.92CO 购买铁矿石的最少费用为______（百万元）．【例30】甲、乙两人进行击剑比赛，甲获胜的概率是，两人战平的概率是，那0.410.27甲不输的概率为________甲不获胜的概率为_______．【例31】已知是相互独立事件，且，，则______．A B ，()0.3P A =()0.6P B =()P A B ⋅=【例32】某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（）A ． B ． C ．D ．1201102535【例33】袋中有大小相同的个白球和个黑球，从中任意摸出个，求下列事件发生534的概率．⑴ 摸出个或个白球；23⑵ 至少摸出一个黑球．【例34】一批产品共件，其中件是废品，任抽件进行检查，求下列事件的概100510率．⑴ 件产品中至多有一件废品；⑵ 件产品中至少有一件废品．1010【例35】（2009湖南卷文）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，．现有121316名工人独立地从中任选一个项目参与建设．求：3⑴ 他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵ 至少有人选择的项目属于民生工程的概率．1【例36】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的10.8概率为，0.9221求：⑴人都射中的概率？⑵人中有人射中的概率？【例37】（2009全国卷Ⅰ文）3甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜局者获得这次比赛的胜利，比赛结0.60.4束．假设在一局中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相21互独立．已知前局中，甲、乙各胜局．⑴求再赛局结束这次比赛的概率；2⑵求甲获得这次比赛胜利的概率．【例38】纺织厂某车间内有三台机器，这三台机器在一天内不需工人维护的概率：第一台为，第二台为，第三台为，问一天内：0.90.80.853⑴台机器都要维护的概率是多少？⑵其中恰有一台要维护的概率是多少？⑶至少一台需要维护的概率是多少？【例39】从甲口袋摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，则1312是（ ）23A ．个球不都是红球的概率B ．个球都是红球的概率22C ．至少有一个红球的概率D ．个球中恰好有个红球的概率21【例40】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，1314求：⑴两个人都译出密码的概率；⑵两个人都译不出密码的概率；⑶恰有个人译出1密码的概率；⑷至多个人译出密码的概率；⑸至少个人译出密码的概率．11【例41】现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部场足球比赛，每场比赛有种结133果：胜、平、负，场比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中场为一等奖，其1312它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 ．【例42】从位同学（其中女，男）中，随机选出位参加测验，每位女同学能通10643过测验的概率均为，45每位男同学能通过测验的概率均为，试求：35⑴选出的3位同学中至少有一位男同学的概率；⑵10位同学中的女同学甲和乙及男同学丙同时被抽到，且三人中恰有二人通过测验的概率．【例43】（08天津）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．12p 116⑴求乙投球的命中率；p ⑵求甲投球2次，至少命中1次的概率；⑶若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．【例44】甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球，求取出的两个球是不同颜色的概率．10011000【例45】某商场有奖销售中，购满元商品得张奖券，多购多得．第张奖券为一个开奖单位，设特等奖个，一等奖个，二等奖个．设张奖券中特等110501奖、一等奖、二等奖的事件分别为，求：A B C，，P A P B P C，，()()()⑴；1⑵张奖券的中奖概率；1⑶张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．，，，，100129【例46】把张卡片分别写上后，任意叠放在一起，从中任取一张，设“抽到大于的奇数”为事件，“抽到小于的奇数”为事件，求，P BP A() 3A7B()和．P A B()0.70.5【例47】甲、乙两人下棋，乙不输的概率是，下成和棋的概率为，分别求出甲、乙获胜的概率．【例48】黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：血型A B AB O 该血型的人所占比例（%）2829835已知同种血型的人可以输血，型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可O 以输给型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是型血，若小明AB B 因病需要输血，问：⑴任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？⑵任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？【例49】在袋中装个小球，其中彩球有个红色、个蓝色、个黄色的，其余为20n 510白球．求：⑴如果从袋中取出个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是，且3131142≥n ，那么，袋中的红球共有几个？⑵根据⑴的结论，计算从袋中任取个小球至少有一个是红球的概率．3【例50】某射手射击一次射中环、环、环、环的概率分别为10987，计算这名射手射击一次：，，，0.120.320.270.119878⑴射中环或环的概率；⑵至少射中环的概率；⑶至多射中环的概率．0.832【例51】射击运动员李强射击一次击中目标的概率是，他射击次，恰好次击中目标的概率是多少？，，，，，，13412345【例52】在条线路汽车经过的车站上，有位乘客等候着路车的到来．假如汽车经过该站的次数平均来说路车是相等的，而路车是2345，，，1其他各路车次数的总和．试求首先到站的汽车是这位乘客所需要线路的汽车的概率．【例53】（2007年全国I卷文）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是，经销一件该商0.6品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润元；若顾客采用分期付款，商200场获得利润元．25031⑴求位购买该商品的顾客中至少有位采用一次性付款的概率；31650⑵求位位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元的概率．【例54】（2007年全国II卷文）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取件，假设事件：“取出的件产品中至多有件是二等品”的概率1A21．P A()0.961p⑴求从该批产品中任取件是二等品的概率；1002B2⑵若该批产品共件，从中任意抽取件，求事件：“取出的件产品中至少P B()有一件二等品”的概率．【例55】（2009全国卷Ⅰ文）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜局者获得这次比赛的胜利，比赛结30.60.4束．假设在一局中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相21互独立．已知前局中，甲、乙各胜局．⑴求再赛局结束这次比赛的概率；2⑵求甲获得这次比赛胜利的概率．【例56】为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，P 单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为）和所需费用如下表：预防措施甲乙丙丁P0.90.80.70.690603010费用（万元）预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．【例57】某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为．假定各个柜面是否需要照顾相互之，，0.90.80.7间没有影响，求在这个小时内：⑴只有丙柜面需要售货员照顾的概率；⑵三个柜面恰好有一个需要售货员照顾的概率；⑶三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率．【例58】（2006年北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试，，a b c是否及格相互之间没有影响．⑴分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；⑵试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）1P【例59】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是，且各发动机互不影响．如果至少的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多50%大的而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？P【例60】（2009陕西卷文），，0.4椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为的概率分别为，0120.50.1，1⑴求该企业在一个月内被消费者投诉不超过次的概率；⑵假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．【例61】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．45352515⑴ 求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；⑵ 求该选手至多进入第三轮考核的概率．题型四 条件概率【例62】设某批产品有是废品，而合格品中的是一等品，任取一件产品是一等4%75%品的概率是．_____【例63】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率是，既刮风又下415215雨的概率是，设“刮风”，“下雨”，求．110A =B =()()P B A P A B ，【例64】（09上海春）把一枚硬币抛掷两次，事件“第一次出现正面”，事件“第A =B =二次出现反面”，则．()_____P B A =【例65】（2010宣武二模）抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为．令事件{}1,2,3,4,5,6S =，事件，则的值为（ ）{}2,3,5A ={}1,2,4,5,6B =()P A B A ． B ． C ． D ．35122515【例66】设某种动物活到岁以上的概率为，活到岁以上的概率为，求现龄200.7250.4为岁的这种动物能活到岁以上的概率．2025【例67】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为 ．【例68】掷两枚均匀的骰子，记“点数不同”，“至少有一个是点”，求P A BA=B=6(|)与．P B A(|)。