高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1 集合知识导学案 新人教A版必修1
高中数学 第一章 集合与函数导学案新人教A版必修1
第一章 集合与函数 小结一．学习目标：1.复习巩固本章知识，了解本章知识体系，形成知识网络；2.强化知识与方法的应用，进一步熟练一些重要类型题的解法；3.引导学生归纳，总结，在归纳总结中提升应用知识解决问题的能力.重点、难点：知识网络的形成，知识与方法的运用.二．本章知识网络（认真研读教材，根据知识间的内在联系，尝试画出某一单元或全章的知识网络图.相信自己，你能行的！）三．典例剖析例1.（1）设集合{}{}(){}22|,,,1|,,1|x y y x C R x x y y B R x x y y A ==∈+==∈+==, 则_________________,==C B B A（2）集合{}{},21|,22|<<=<<-=x x B a x a x A 且B C A R ⊆，求a 的取值范围.例2.已知函数()342+-=x x x f (1)画出函数()x f 的图像，并写出其值域；（2）求()x f 在区间]3,5[--上的最值；（3）求()x f 在区间]5,1[上的最值；（4）求()x f 在区间]6,3[上的最值；（5）你认为（2）（3）（4）题有区别吗？若有，区别在哪里？第（1）题对你解答（2）（3）(4)题有何帮助？例3.函数3||2)(2++-=x x x f ，（1）利用定义证明函数)(x f 的奇偶性；（2）画出此函数的图象；（3）求函数)(x f 的单调区间及最值.★例4.函数21)(xb ax x f ++=是定义在)1,1(-上的奇函数,且52)21(=f . (1)确定函数)(x f 的解析式；(2)用定义证明)(x f 在)1,0(上是增函数.四．课外作业1．函数1122-+-=x x y 的定义域是（ ）（A ）]1,1[- （B ）),1[]1,(+∞--∞ （C ）]1,0[ （D ）}1,1{-2.设集合()},,1|,{N y N x y x y x A ∈∈≤+=，则集合A 的子集个数为（A ） 3 （B ） 4 （C ） 7 （D ）83. 定义在R 上的函数)(x f 对任意两个不等实数b a ,,总有0)()(>--ba b f a f 成立,则( ) A.函数)(x f 在R 是先增后减函数 B. 函数)(x f 在R 是先减后增函数C. )(x f 在R 上是增函数D. )(x f 在R 上是减函数4. 如果奇函数)(x f 在区间[3,7]上是增函数,且最小值为5,则)(x f 在区间[3,7--]上是( )A.增函数且最小值为5-B. 增函数且最大值为5-C.减函数且最小值为5-D. 减函数且最大值为5-5. )(x f 是偶函数,)(x g 是奇函数,则)()()(x g x f x h =的图像( )A.关于x x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于x y =轴对称D. 关于原点对称6. 已知.10)2(,8)(35=--++=f bx ax x x f 且则)2(f 等于（ ）．（A ） 26- （B ） 18- （C ） 10- （D ） 107．函数3)1(2)1(2--=x y ；43)2(2+-=x x y ；x y =)3(；x xy =)4(中，既非奇函数也非偶函数的是（ ）．（A ） (1)(2)(3) (B) (1)(3)(4) (C) (1)(3) (D) (1)8. 设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()223f a a -+（a R ∈）的大小关系是 （ ） （A ）()2f -<()223f a a -+（B ）()2f -≥()223f a a -+ （C ）()2f ->()223f a a -+ （D ）与a 的取值有关 9.设函数()x f 是R 上的减函数，若()()121->-m f m f ，则实数m 的取值范围是 .10.函数(),322+-=mx x x f 若函数()x f 在[)+∞,2上是增函数，则实数m 的取值范围是________.11.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0>x 时,xx x f 1)(2+=,求)(x f 的解析式.★12.通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用()f x 表示学生接受概念的能力（()f x 的值愈大，表示接受的能力愈强），x 表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的公式：()20.1 2.643,(010)59,(1016)3107,(1630)x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎪⎩，⑴开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？⑵开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.2 集合间的基本关系课堂导学案 新人教A版必修1
1.1.2 集合间的基本关系课堂导学三点剖析一、集合间的关系【例1】判断下列各式是否正确.(1)2⊆{x|x≤2};(2)2∈{x|x≤2};(3){2}{x|x≤2};(4)∅∈{x|x≤2};(5)∅⊆{x|x≤2};(6){a,b,c,d}⊆{e,f,b,d,g}.思路分析：要注意元素与集合之间、集合与集合之间关系符号的不同，绝对不能混淆. 解：根据元素与集合、集合与集合之间的有关规定，(1)(4)(6)不正确，(2)(3)(5)正确. 温馨提示一般来说，元素与集合之间应该用“∉”或“∈”；而“⊆，”应该出现于集合与集合之间；∅作为特殊集合应遵从∅⊆A，⊆A(非空).但这不是绝对的，选择的关键在于具体分析二者的关系.例{1,2}∈{{1,2},{1}}，而∅∈{∅,1},∅{∅,1}都是对的.二、运用集合间的关系解题【例2】 {a,b}⊆A{a,b,c,d,e},求所有满足条件的集合A.思路分析：从子集、真子集的概念着手解答.解：因为{a,b}⊆A,所以，A中必有元素a,b.因为，A是{a,b,c,d,e}的真子集，所以，A中元素可以有2个，3个，4个三种情形.具体为：{a,b};{a,b,c};{a,b,d};{a,b,e};{a,b,c,d};{a,b,c,e};{a,b,d,e}共7个.温馨提示1.按顺序摆，做到不重不漏.2.正确地把集合语言表述的问题“翻译”成普通数学语言.【例3】集合A={1,3,a},B={a2},且B A，求实数a的取值集合.思路分析：在利用B A这一条件时要注意对a进行讨论.解：由于B={a2}A={1,3,a},因此，①a2=1,得a=1(不合题意舍去)或a=-1;②a2=3得a=±3；③a2=a得a=1(不合题意舍去)或a=0.综上，实数a的取值集合为{-1,3,-3,0}.温馨提示1.分类讨论思想是很重要的思想方法，注意掌握分类方法；2.在解决集合的元素问题时，最后结论要注意检验元素是否具备互异性.三、元素与集合之间、集合与集合之间的关系再讨论【例4】已知集合A={a,b},B={x|x∈A,}C={x|x⊆A},试判断A、B、C之间的关系.解：集合B中的代表元素是x,x满足的条件是x∈A,因此x=a或x=b,即B={a,b}=A,而集合C 则不然，集合C的代表元素虽然也是x，但x代表的是集合，x⊆A,因此，x={a}或x={b}或x={a,b}或x= ∅,即C={∅，{a},{b},{a,b}}，此时集合C中的元素是集合，故B⊆C,A∈C.∴A=B,B⊆C,A∈C.温馨提示对于元素与集合、集合与集合之间的∈、⊆关系要理解透彻，“∈”是用于描述元素与集合之间的关系，即只要元素a是构成集合A的一个元素，则a∈A，如{1}与{{1}，{2}}，尽管{1}是一个集合，但是{1}是构成集合{{1}，{2}}的一个元素，故{1}∈{{1}，{2}}，“⊆”是用于描述集合与集合之间的关系，如{1，2，3}⊆{1,2,3,4}.各个击破类题演练1下列各式中，正确的个数是（）①∅={0} ②∅⊆{0} ③∅∈{0} ④0={0}⑤0∈{0} ⑥{1,2}⊆{1,2}A.1 个B.2 个C.3 个D.4个解析：正确命题有②⑤⑥.答案：C变式提升1在以下五个写法中，写法正确的个数有（）①{0}∈{0,1,2} ②∅{0} ③{0,1,2}⊆{1,2,0} ④0∈∅⑤1∈{x|x⊆{1,2}}A.1个B.2个C.3个D.4个解析：①集合与集合之间应用⊆，⊇或=而不是属于关系.②空集是任何非空集合的真子集.③两集合相等时也可以写成A⊆B的形式.④∅中不含任何元素.⑤此集合的元素是集合而不是数字.故②和③是正确的.答案：B类题演练2求满足条件{x|x2+1=0}M⊆{x|x2-1=0}的集合M的个数.解析：{x|x2-1=0}={-1,1},其非空子集为{-1}，{1}，{-1，1}.所以满足条件{x|x2-1=0}M⊆{x|x2-1=0}的集合M共3个.变式提升2集合{x∈N|x=-y2+6,y∈N},试写出该集合的所有真子集.解析：由集合{x∈N|x=-y2+6,y∈N},x∈N,则x=-y2+6≥0⇔y2≤6.又因为y∈N，所以y=0,1,2，相应地x=6,5,2.集合为{2,5，6}，其真子集个数为23-1=7个.分别写出为∅,{2},{5},{6},{2,5},{2,6},{5,6}.类题演练3已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1}且A⊇B,求a的值.解析：∵B⊆A，∴①当a2-a+1=3时，a2-a-2=0,∴a=2或a=-1.②当a 2-a+1=a 时，a=1,代入A 中不满足A 中元素互异性，舍去.∴a=2或a=-1. 变式提升3设A={x|4x+p<0},B={x|x<-1或x>2},若使A ⊆B,则p 的取值范围是________________. 解析：A={x|4x+p<0}={x|x<-4p }画数轴，分析得-4p ≤-1,∴p ≥4. 类题演练4集合A={（x,y ）xy x=1}与B={（x,y ）|y=x}的关系是（ ） A.A=B B.A B C.A ⊇ B D.AB 解析:注意xy =1与y=x 这两个式子是不同的，前者只有x ≠0时才有意义，故A 中少一个点（0，0），因此A B.答案：B变式提升4已知a 、x ∈R,A={2，4，x 2-5x+9},B={3,x 2+ax+a},求使2∈B ，B A 的a 与x 的值.解析：∵2∈B,∴x 2+ax+a=2.∵B A,∴3=x 2-5x+9.解得⎪⎩⎪⎨⎧-==32,2a x 或⎪⎩⎪⎨⎧-==.47,3a x 答案：⎪⎩⎪⎨⎧-==32,2a x 或⎪⎩⎪⎨⎧-==.47,3a x。
2021学年高中数学第1章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义学案新人教A版必修1
第1课时集合的含义学习目标核心素养1．通过实例了解集合的含义．(难点) 2．掌握集合中元素的三个特性．(重点) 3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)1．通过集合概念的学习，逐步培养数学抽象素养．2．借助集合中元素的互异性的应用，提升逻辑推理素养.1．元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．思考：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．2．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.3．常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R1．下列给出的对象中，能构成集合的是( )A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩D．清华大学2019年入学的全体学生D[“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项A、B、C中的元素均不能构成集合，故选D.]2．用“book中的字母”构成的集合中元素个数为( )A．1 B．2C．3 D．4C[由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．]3．用“∈”或“∉”填空：1________N；－3________Z；2______Q；0______N*；5________R.2[答案] ∉∈∉∉∈4．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________.3[由题意可知a＋1＝4，即a＝3.]集合的基本概念①中国各地最美的乡村；②高一、一班身高较高的同学；③高一、一班身高为185 cm以上的同学；④不小于3的自然数．A．③④B．②③④C．②③D．②④A[①中“最美”，②中“较高”标准不明确，不符合确定性，故不能构成集合；③④中的元素、标准明确，且元素互异，均能构成集合，故选A.]判断一组对象能否组成集合的标准,判断一组对象能否组成集合，关键看两点：1确定性：看该组对象是否满足确定性，即能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素.2互异性：即该组对象中没有相同的对象.[跟进训练]1.判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合；(2)上海世博园中所有漂亮的展馆构成一个集合．[解] (1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．(2)不正确．“漂亮”标准不明确，不能构成一个集合．元素与集合的关系①π∈R；②2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.A．1 B．2C．3 D．4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )A．2 B．2或4C．4 D．0(1)B(2)B[(1)①π是实数，所以π∈R正确；②2是无理数，所以2∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选B.(2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B.]判断元素与集合关系的2种方法1直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.2推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.[跟进训练]2．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.6 [∵x∈N,2<x<a，且集合P中恰有三个元素，∴结合数轴知a＝6.]3．集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．0,1,2 [∵63－x∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x ＝2或1或0或－3. 又x ∈N ，故x ＝0或1或2. 即集合A 中的元素为0,1,2.]集合中元素的特性及应用1．若集合A 中含有两个元素a ，b ，则a ，b 满足什么关系？ 提示：a ≠b .2．若1∈A ，则元素1与集合中的元素a ，b 存在怎样的关系？ 提示：a ＝1或b ＝1.【例3】 已知集合A 含有两个元素1和a 2，若a ∈A ，求实数a 的值． 思路点拨：A 中含有元素：1和a 2――→a ∈A a ＝1或a 2＝a ――→求a 的值 检验集合中元素的互异性 [解] 由题意可知，a ＝1或a 2＝a ，(1)若a ＝1，则a 2＝1，这与a 2≠1相矛盾，故a ≠1.(2)若a 2＝a ，则a ＝0或a ＝1(舍去)，又当a ＝0时，A 中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a 的值为0.1．(变条件)本例若去掉条件“a ∈A ”，其他条件不变，求实数a 的取值范围． [解] 由集合中元素的互异性可知a 2≠1，即a ≠±1.2．(变条件)已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，求实数a 的值． [解] 若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 有重复元素， 所以a ≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a ＝－1.1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．2．本题在解方程求得a 的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分． 提醒：解答此类问题易忽视元素的互异性而产生增根的情形．1．核心要点：集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性．判断一组对象能否构成集合的依据是元素的确定性和互异性，求解与集合有关的字母的值时，需借助元素的互异性来检验所求参数值是否符合要求．2．数学思想：解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)接近于0的数可以组成集合．( )(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．( )(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．( )[答案] (1)×(2)√(3)×2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉AC[∵0<1，∴0是集合A中的元素，故0∈A.]3．下列各组对象不能构成一个集合的是( )A．不超过20的非负实数B．方程x2－9＝0在实数范围内的解C．中央电视台著名节目主持人D．某校身高超过170厘米的同学的全体C[A项，不超过20的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．B 项，方程x2－9＝0在实数范围内的解，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．C 项，“著名”标准不明确，元素不具有确定性，不能构成一个集合．D项，某校身高超过170厘米的同学，同学身高具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．故选C.] 4．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．[解] ∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，a＝0或a＝－1.。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1 集合第2课时预习导航学案 新人教A版必修1
1.1 集合
预习导航
一、Venn图
二、子集
名师点拨“∈”与“∉”表示元素与集合之间的关系，开口仅指向右，对着集合；“⊆”与“⊇”表示两个集合间的关系，开口可以向右，也可以向左．子集定义可表示为：任意x∈A，都有x∈B⇒A⊆B.
三、集合相等
四、真子集
自然语言如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集符号语言A B(或B A)
图形语言
名师点拨若A B，则A中的元素都是B的元素，且B中元素比A中元素至少多一个．
五、性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.
(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C.
(3)对于集合A，B，C，如果A B，B C，那么A C.
六、空集
自主思考1能否把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”？
提示：不能．这是因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A ⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B成立，所以上述理解是错误的．自主思考2∅就是0，或∅就是{0}吗？
提示：两种说法均是错误的，∅是不含任何元素的集合，概念中强调了两点：“不含任何元素”“集合”．(1)0是一个数，而非集合，故∅不是0；(2){0}表示集合，且集合中有且仅有一个元素0，是非空集合，故{0}与∅含义不同，所以∅不是{0}．
特别提醒在写一个集合的子集与真子集时，不要忘记∅；当题目中给出条件“A⊆B”时，要注意集合A可以是∅.。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1 集合(1)教案 新人教A版必修1(2021年整理)
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集合（第1课时）一、知识目标：①内容：初步理解集合的基本概念,常用数集,集合元素的特征等集合的基础知识。
②重点：集合的基本概念及集合元素的特征③难点：元素与集合的关系④注意点：注意元素与集合的关系的理解与判断；注意集合中元素的基本属性的理解与把握。
二、能力目标：①由判断一组对象是否能组成集合及其对象是否从属已知集合，培养分析、判断的能力;②由集合的学习感受数学的简洁美与和谐统一美。
三、教学过程：Ⅰ)情景设置:军训期间，我们经常会听到教官在高喊:（x）的全体同学集合！听到口令,咱们班的全体同学便会从四面八方聚集到教官的身边，而那些不是咱们班的学生便会自动走开。
这样一来教官的一声“集合”（动词）就把“某些指定的对象集在一起”了。
数学中的“集合”这一概念并不是教官所用的动词意义下的概念,而是一个名词性质的概念，同学们在教官的集合号令下形成的整体即是数学中的集合的涵义。
Ⅱ）探求与研究:①一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。
问题：同学们能不能举出一些集合的例子呢？（板书学生们所举出的一些例子）②为了明确地告诉大家,是哪些“指定的对象”被集在了一起并作为一个整体来看待，就用大括号｛ }将这些指定的对象括起来，以示它作为一个整体是一个集合，同时为了讨论起来更方便，又常用大写的拉丁字母A、B、C……来表示不同的集合，如同学们刚才所举的各例就可分别记为……（板书）另外,我们将集合中的“每个对象”叫做这个集合的元素，并用小写字母a、b、c……(或x1、x2、x3……）表示同学口答课本P5练习中的第1大题③分析刚才同学们所举出的集合例子，引出：对某具体对象a与集合A，如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A;如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作a∉A④再次分析同学们刚才所举出的一些集合的例子，师生共同讨论得出结论：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.然后请同学们分别阅读课本P5和P40上相关的内容。
[推荐学习]高中数学第一章集合与函数概念1.1集合第1课时预习导航学案新人教A版必修1
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1.1 集合
预习导航
一、集合的概念
名师点拨集合中元素的性质：
(1)确定性：指的是给定一个集合A，任何一个对象a是不是这个集合的元素就确定了，即某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一；
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的；
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，也就是说，集合中的元素没有先后之分．
二、元素与集合的关系
特别提醒符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．
三、集合的表示
自主思考1 什么样的集合可以用列举法来表示？
提示：对于元素个数很少或元素存在明显规律的集合可用列举法表示．
自主思考2 在描述法中，表示这个集合元素的一般符号不同，但竖线后的条件一样，
那么这样的集合还相同吗？如A＝{x|y，B＝{(x，y)|y．
提示：一般地，这样两个集合是不相同的，如集合A＝{x|y表示集合{x|x≥1}，
而集合B＝{(x，y)|y＝表示二元方程y y＝
自主思考3 用列举法与描述法表示集合的区别是什么？
提示：。
「精品」高中数学第一章集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示第一课时集合的含义学案含解析新人教A版必修1
1．1.1 集合的含义与表示 第一课时 集合的含义[提出问题] 观察下列实例： (1)某公司的所有员工；(2)平面内到定点O 的距离等于定长d 的所有的点；(3)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥3，x 2≤9的整数解；(4)方程x 2－5x ＋6＝0的实数根； (5)某中学所有较胖的同学．问题1：上述实例中的研究对象各是什么？ 提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学． 问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？ 提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定．问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定． [导入新知] 元素与集合的概念[化解疑难]准确认识集合的含义(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.[提出问题问题1：“知识点一”中的实例(3)组成的集合的元素是什么？提示：2,3.问题2：“知识点一”中的实例(4)组成的集合的元素是什么？提示：2,3.问题3：“知识点一”中的实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？提示：相等．[导入新知]1．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．2．集合元素的特性集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．[化解疑难]对集合中元素特性的理解(1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合.[某中学2017年高一年级20个班构成一个集合．问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合中的元素吗？提示：是这个集合的元素．问题2：高二(3)班是这个集合中的元素吗？为什么？提示：不是．高一年级这个集合中没有高二(3)班这个元素．[导入新知]1．元素与集合的关系(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.2．常用的数集及其记法1．对“∈”和“∉”的理解(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．(2)“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R ∈0是错误的． 2．常用数集关系网[例1] (1)面上到点A 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)判断下列说法是否正确，并说明理由． ①某个公司里所有的年轻人组成一个集合； ②由1，32，64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12，12组成的集合有五个元素；③由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合．[解] (1)选A “接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．(2)①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合．②不正确．由于32＝64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝12，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1，32，12这三个元素组成的．③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，但它们仍表示同一个集合．[类题通法]判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．[活学活用]判断下列每组对象能否构成一个集合．(1)著名的数学家；(2)某校2017年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(5)平面直角坐标系内第一象限的一些点．解：(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.[例2] (1))A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A(2)下列所给关系正确的个数是( )①π∈R；② 3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1 B．2C．3 D．4[解析] (1)由元素与集合的关系可知，a∈A.(2)①π∈R显然是正确的；②3是无理数，而Q表示有理数集，∴3∉Q，正确；③N*表示不含0的自然数集，∴0∉N*，③错误；④|－4|＝4∈N*，④错误，所以①②是正确的．[答案] (1)C (2)B[类题通法]判断元素与集合间关系的方法判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．[活学活用]给出下列说法：①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a∉Z；③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q.其中正确的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B 实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确.[例3][解] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，∴a≠1.当a＝－1时，集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a＝－1.[类题通法]关注元素的互异性根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能取值，但要时刻关注集合中元素的三个特性，尤其是互异性，解题后要注意进行检验．[活学活用]已知集合A中含有三个元素1,0，x，若x2∈A，求实数x的值．解：∵x2∈A，∴x2是集合A中的元素．又∵集合A中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若x2＝0，则x＝0，此时集合A中有两个元素0，不符合互异性，舍去；②若x2＝1，则x ＝±1.当x＝1时，此时集合A中有两个元素1，舍去；当x＝－1时，此时集合A中有三个元素1,0，－1，符合题意；③若x2＝x，则x＝0或x＝1，不符合互异性，都舍去．综上可知，x＝－1.1.警惕集合元素的互异性[典例] 若集合A 中有三个元素x ，x ＋1,1，集合B 中也有三个元素x ，x 2＋x ，x 2，且A ＝B ，则实数x 的值为________．[解析] ∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2.解得x ＝±1.经检验，x ＝1不适合集合元素的互异性，而x ＝－1适合． ∴x ＝－1. [答案] －1 [易错防范]1．上面例题易由方程组求得x ＝±1后，忽视对求出的值进行检验，从而得出错误的结论．2．当集合中元素含字母并要求对其求值时，求出的值一定要加以检验，看是否符合集合元素的互异性．[成功破障]若集合A 中含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________． 解析：①若a －3＝－3，则a ＝0， 此时A ＝{－3，－1，－4}，满足题意．②若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性． ③若a 2－4＝－3，则a ＝±1.当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}，满足题意； 当a ＝－1时，由②知不合题意． 综上可知a ＝0或a ＝1. 答案：0或1[随堂即时演练]1．下列选项中能构成集合的是( ) A ．高一年级跑得快的同学 B ．中国的大河C．3的倍数D．有趣的书籍解析：选C 根据集合的定义，选项A，B，D都不具备确定性．2．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( ) A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形解析：选A 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．3．有下列说法：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号)．解析：因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④4．设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________.解析：代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意；若a＝6，则6－6＝0∉A，不符合题意，舍去．所以a＝2或a＝4.答案：2或45．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．解：因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.①当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由①知x＝0应舍去．综上知x＝1，y＝0.[课时达标检测]一、选择题1．下列判断正确的个数为( )(1)所有的等腰三角形构成一个集合．(2)倒数等于它自身的实数构成一个集合．(3)素数的全体构成一个集合．(4)由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C (1)正确；(2)若1a＝a ，则a 2＝1，∴a ＝±1，构成的集合为{1，－1}，∴(2)正确；(3)也正确，任何一个素数都在此集合中，不是素数的都不在；(4)不正确，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2,3,4,6}，含4个元素，故选C.2．设不等式3－2x <0的解集为M ，下列正确的是( ) A ．0∈M,2∈M B ．0∉M,2∈M C ．0∈M,2∉MD ．0∉M,2∉M解析：选B 从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M 间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x <0的解即可．当x ＝0时，3－2x ＝3>0，所以0不属于M ，即0∉M ；当x ＝2时，3－2x ＝－1<0，所以2属于M ，即2∈M .3．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集解析：选A 由于选项A 中P ，Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而选项B ，C ，D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．4．已知集合M 中的元素x 满足x ＝a ＋b 2，其中a ，b ∈Z ，则下列实数中不属于集合M 中元素的个数是( )①0；②－1；③32－1；④23－22；⑤8；⑥11－2.A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A 当a ＝b ＝0时，x ＝0；当a ＝－1，b ＝0时，x ＝－1；当a ＝－1，b ＝3时，x ＝－1＋32；23－22＝＋22－22＋22＝6＋42，即a ＝6，b ＝4；当a ＝0，b＝2时，x ＝22＝8；11－2＝1＋2－2＋2＝－1－2，即a ＝－1，b ＝－1.综上所述：0，－1,32－1，23－22，8，11－2都是集合M 中的元素．5．由实数－a ，a ，|a |，a 2所组成的集合最多含有________个元素．( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a ≠0时，a2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >0，－a ，a <0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中最多有两个元素．二、填空题6．方程x 2－2x －3＝0的解集与集合A 相等，若集合A 中的元素是a ，b ，则a ＋b ＝________.解析：∵方程x 2－2x －3＝0的解集与集合A 相等， ∴a ，b 是方程x 2－2x －3＝0的两个根， ∴a ＋b ＝2. 答案：27．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ______A ，ab _____A ．(填“∈”或“∉”)解析：∵a 是偶数，b 是奇数， ∴a ＋b 是奇数，ab 是偶数， 故a ＋b ∉A ，ab ∈A . 答案：∉ ∈8．设A 是由满足不等式x ＜6的自然数组成的集合，若a ∈A ，且3a ∈A ，则a 的值为________．解析：∵a ∈A ，且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜6，3a ＜6，解得a ＜2. 又∵a ∈N ， ∴a ＝0或a ＝1. 答案：0或1 三、解答题9．已知集合M 由三个元素－2，3x 2＋3x －4，x 2＋x －4组成，若2∈M ，求x . 解：当3x 2＋3x －4＝2时，即x 2＋x －2＝0，x ＝－2或x ＝1，经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意；当x 2＋x －4＝2时，即x 2＋x －6＝0，x ＝－3或x ＝2，经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意．∴x ＝－3或x ＝2.10．设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求实数x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x .解：(1)由集合中元素的互异性可知，x ≠3，且x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3. 解得x ≠－1且x ≠0，且x ≠3. (2)∵－2∈A ，∴x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 由于x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴x ＝－2.11．数集M 满足条件：若a ∈M ，则1＋a1－a ∈M (a ≠±1且a ≠0)．若3∈M ，则在M 中还有三个元素是什么？解：∵3∈M ， ∴1＋31－3＝－2∈M ， ∴1＋－1－－＝－13∈M ，∴1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－131－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝2343＝12∈M .又∵1＋121－12＝3∈M ，∴在M 中还有元素－2，－13，12.12．数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)．(1)若2∈A ，试求出A 中其他所有元素；(2)自己设计一个数属于A ，然后求出A 中其他所有元素；(3)从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的这个“道理”．精品资料 值得拥有11 解：根据已知条件“若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)”逐步推导得出其他元素． (1)其他所有元素为－1，12. (2)假设－2∈A ，则13∈A ，则32∈A .其他所有元素为13，32. (3)A 中只能有3个元素，它们分别是a ，11－a ，a －1a，且三个数的乘积为－1. 证明如下：由已知，若a ∈A ，则11－a ∈A 知，11－11－a ＝a －1a ∈A ，11－a －1a ＝a ∈A .故A 中只能有a ，11－a ，a －1a这3个元素． 下面证明三个元素的互异性：若a ＝11－a，则a 2－a ＋1＝0有解，因为Δ＝1－4＝－3<0，所以方程无实数解，故a ≠11－a . 同理可证，a ≠a －1a ，11－a ≠a －1a.结论得证．。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.2 集合间的基本关系导学案(无答案)新人教A版必修1
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————1.1.2集合间的基本关系【导学目标】1.通过实例理解集合之间包含与相等的含义，理解子集、真子集等概念,能识别给定集合的子集.2.在具体情景中，了解空集的含义.3. 体会类比方法，渗透分类思想，提高数学思维能力【自主学习】知识回顾：集合中元素的性质？集合的表示方法？新知梳理：1.子集类比两个实数间的大小关系，分析课本的三个引例，总结两个集合不能用大小来称呼，如果集合A的元素都是集合B的元素，这时我们就说这两个集合有关系，并称集合A为集合B的子集，记做（或）.图形表示：感悟:这里我们讲的集合的基本关系主要就指包含关系（相等关系是包含关系的特例），包含关系中蕴含着子集、集合相等、真子集等概念，而子集又分集合相等与真子集两种情况对点练习：1. 已知A={1，2，3，5，7}，B={2,5}，则（）A、A>BB、 A⊇BC、B∈AD、A=B2. 集合相等分析课本的引例（3），集合C，D都是由所有组成的集合，集合C，D的元素是，所以集合C与集合D相等.⊆），且集合B也从子集的角度来理解，如果集合A是集合B的 ________ （A B是集合A的⊆）,称集合A与集合B相等，记做 _________ ._____ （B A感悟:集合相等的概念在前一节已出现，这里从子集的角度提升对此概念的理解.a+=对点练习：2.若集合A={1，a}，B={3,b}，且A=B，则b3.真子集如果集合A B ⊆，但 ，称集合A 为集合B 的真子集，记做 （或 ____________ ）.图形表示：感悟:关键把握在子集的前提下，增加什么条件使之成为真子集，正确理解这一条件. 对点练习：3. 集合{2,5}的真子集的个数有（）A 、4 个B 、 3个C 、2个D 、1个 对点练习：4. 用适当的符号填空：（1）1 {x|x 2=1} （2）{1} {x|x 2=1}（3）φ {x|x 2+2=0} （4）{2,3} {x|(x-2)(x-3)=0}4.空集我们把 的集合叫做空集,记为 ______ ，并规定 .5. 子集的有关性质（1）任何一个集合是它本身的____________，即__________；（2）空集是任何集合的 ，是任何非空集合的 ；(3)对于集合A ,B ,C ,如果A ⊆B ,B ⊆C ,那么___________.6.结合实例说明A a ∈与{}a A ⊆的区别.7.思考：（1）集合A={0}和φ有什么区别？（2）如果一个集合中含有n 个元素，则该集合子集的个数为多少？真子集的个数有多少？非空真子集的个数呢？【合作探究】 典例精析例1、写出集合{}b a ,的所有子集，并指出哪些是它的真子集.变式练习1、写出集合{0，1，2}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.例题2、已知集合{}{}的自然数是不大于3,12x x B x x A ===，满足,C A ⊆C B ⊆，则集合C 中元素最少有（ ）A. 2个B. 4个C.5个D.6个**变式2： 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z a a x x A ,61，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==Z b b x x B ,312，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z c c x x C ,612，则集合 C B A ,,满足的关系是 （用,,⊆⊂=中的符号连接）例题3、{},21≤≤=x x A {}1,1≥≤≤=a a x x B .（1）若A B ，求a 的取值范围（2）若B ⊆A ，求a 的取值范围变式训练2、已知集合{}21<<=ax x A ，B={}1<x x ，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围【课堂小结】。
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1.1 集合知识导学集合是一个原始的、不加定义的概念.我们现在刚开始接触集合的概念,最好还是要通过一些实例了解集合的含义.了解集合的含义时要考虑集合元素的三个性质即确定性、互异性和无序性,这有助于我们对集合概念的理解.元素、集合的字母表示,以及元素与集合之间的属于或不属于关系,可在具体运用中逐渐熟悉.集合语言是现代数学的基本语言,也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言.集合语言通常可以分为文字语言、符号语言和图形语言,将集合的三种语言之间进行相互的转化,或将集合语言转化为自然语言、几何语言,有助于弄清楚集合是由哪些元素构成的,有助于提高分析和解决问题的能力.要辩证理解集合和元素这两个概念:(1)集合和元素是两个不同的概念,符号∈和∉是表示元素和集合之间关系的,不能用来表示集合之间的关系.例如{1}∈{1,2,3}的写法就是错误的,而{1}∈{{1},{2},{3}}的写法才是正确的.(2)一些对象一旦组成了集合,那么这个集合的元素就是这些对象的全体,而非个别现象.例如对于集合{x∈R |x≥0},就是指所有不小于0的实数,而不是指“x可以在不小于0的实数范围内取值”,不是指“x是不小于0的一个实数或某些实数,”也不是指“x是不小于0的任一实数值”……(3)集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符合条件.在集合的表示方法上,有列举法和描述法,应在正确表示的基础上牢固把握两种方法的模式,深入理解问题的本质,根据具体问题选用合理简洁的表示方法.此外,还要会用Venn图的方法直观形象地表示集合.在用描述法表示集合时,对元素公共属性准确理解是关键.只有准确抓住代表元素的意义及其公共属性才能简化集合,从而将集合语言转化为文字语言、图形语言.习惯上借助数轴来表示数的集合,借用平面直角坐标系来表示有序实数对集合,从而实现数与形的结合,有助于我们思路解析和解决数学问题.子集:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a ∈B),则称集合A为集合B的子集,记作:A⊆B或B⊇A,读作:“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”,即便有了子集的定义两个集合间也不一定是包含关系.如A={x|x为高一(1)班的男生},B={x|x为高一(1)班的女生},则A与B不具有包含关系,此时可记作:A B 或B A.子集的有关性质:①A=B⇔A⊆B且B⊆A.②A B,B⊆C⇒A C;A⊆B,B C⇒A C.③若集合A有n个元素,则A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1个,非空子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.并集:x∈A∪B,则x∈A或x∈B,这里的“或”是指x∈A;x∈B;x同时属于A与B,这三种情况.三个集合的交、并运算应遵循“按顺序计算”“有括号先算括号”的原则.如A∪B∩C,应先算“∪”再算“∩”.一般说,A∪B∩C≠A∪(B∩C).另外,(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C).A⊆B⇔A⊇ Bcard(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C).(card(A)表示有限集合A元素的个数)交集:要从x∈A∩B,则x∈A且x∈B理解,要理解这里的“且”;①A∩B是一个新集合的表达式,是由A与B的所有的公共元素组成的;②当A与B没有公共元素时,不能说它们没有交集,而是交集为∅,同时结合集合的一些特征去理解.补集:由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A的补集.理解补集的概念首先要在全集的基础上理解,没有全集就谈不上补集,另一个要注意的是一个集合与它的补集的交集是∅.记忆口诀:集合平时很常用,数学概念有不同.理解集合并不难,三个要素是关键.元素确定和互异,还有无序要牢记.集合不论空不空,总有子集在其中.集合用图很方便,子交并补很明显.图1-1-4疑难导析列举法:①有些无穷集合亦可用列举法表示,如所有正奇数组成的集合:{1,3,5,7,…};②a与{a}不同:a表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素.描述法:①在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分.如:{直角三角形};{大于10上标4的实数};②错误表示法:把R写成{实数集}或{全体实数};③在用描述法表示集合时,对元素公共属性准确理解是关键.当用列举法和描述法表示集合时,应在正确表示的基础上牢固把握两种表示方法的模式,深入理解问题的本质,根据具体问题选用合理简洁的表示方法.此外,还要会用Venn图的方法直观形象地表示集合.习惯上借助数轴来表示数的集合,借用平面直角坐标系来表示有序实数对集合,从而实现数与形的结合，有助于我们分析和解决数学问题.明确集合中元素的特征及元素和集合的关系.集合元素的确定性,是指集合中的元素是确定的,即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素,两者必具其一,它是判断一组对象是否形成集合的标准;互异性是指给定的一个集合的元素中,任何两个元素都是不同的,因而在同一个集合中,不能重复出现同一元素,这一点常被我们所忽略;元素和集合的关系是∈和∉,二者有且只有一种成立.对于集合与集合相等,可与实数中的结论“若a ≥b,且b ≥a,则a=b ”相类比,这种由某类事物已有的性质,通过类比、联想的方式猜想另一类相似事物的性质,是数学逻辑思维的重要思维方法.集合相等可从元素完全相同的角度去理解,若从子集的角度去理解,可提升对集合相等的理解.证明两个集合相等,分清元素的性质及构成情况是关键.问题导思教科书中的解释是根据集合论的创始人德国数学家康托尔关于集合的论述而来的.康托尔的一些见解至今仍然是很严谨的,但也有某些观点或解释被后来的数学家们作了修正.现在看来,“对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的”(通常称为集合中元素的确定性)这句话,最好解释为:“对于一个给定的集合,它的元素的意义是明确的”.列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法.要注意,一般无限集,不宜采用列举法,因为不能将无限集中的元素一一列举出来,而没有列举出来的元素往往难以确定.使用描述法时,应注意六点:①写清集合中元素的代号;②说明该集合中元素的性质;③不能出现未被说明的字母;④多层描述时,应当准确使用“且”“或”;⑤所有描述的内容都要写在大括号内;⑥用于描述的语句力求简明、确切.用描述法表示集合,要特别注意这个集合中的元素是什么,它应该符合什么条件,从而准确理解集合的意义.补集具有相对性,它是相对于全集而言的,全集改变了,补集也相应地改变.典题导考绿色通道集合中的元素是确定的,某一元素a 要么a ∈A,要么a ∉A,两者必居其一,这也是判断一组对象能否构成集合的依据.此题是生活中的实例,说明生活处处皆学问.典题变式 下列对象不能构成集合的是…( )①方程x 2-9=0的实数根②我国近代著名的数学家③联合国常任理事国④空气中密度大的气体A.①②B.①④C.①②④D.②④答案:D黑色陷阱在做关于集合的基本概念的辨析题时应严密,紧扣概念,对每个概念不仅要记住,而且要理解其本质.另外要注意的是:对于错误的说法,举一个反例即可.典题变式1.下列说法正确的是( )①任意集合必有子集②1,0.5,23,21组成的集合有四个元素③若集合A 是集合B 的子集,集合B 是集合C 的子集,则集合A 是集合C 的子集④若不属于集合A 的元素也一定不属于集合B,则B 是A 的子集A.①②③B.①③④C.①③D.①②③④ 答案:B2.下面六种表示法:①{x=-1,y=2};②{(x,y)|x=-1,y=2};③{-1,2};④(-1,2);⑤{(-1,2)};⑥{(x,y)|x=-1或y=2}.能正确表示方程组⎩⎨⎧=+-=+03,02y x y x 的解集的是( )A.①②③④⑤⑥B.①②④⑤C.②⑤D.②⑤⑥ 答案:C黑色陷阱在用列举法表示集合时,容易发生的错误:一是列举出来的元素不完整,如将(1)中的答案写成{1,4,9,16};二是列举的元素有重复,如把第(2)小题答案写成{1,1,2};三是不明确集合中的元素,把第(3)小题的答案写成{3,2}等.典题变式 用列举法表示下列集合:(1){自然数中五个最小的完全平方数};(2){x|(x-1) 2 (x-2)=0};(3){(x,y)|⎩⎨⎧=-=+182y x y x }. 答案:(1){0,1,4,9,16};(2){1,2};(3){(3,2)}.黑色陷阱对于集合中元素的求法,要看清原来是用什么方法表示出的,有时要分类讨论.如果不注意分类讨论将导致思维的不严密.典题变式已知全集I=R,集合A={x|x 2+ax+12b=0},B={x|x 2-ax+b=0},满足(A)∩B={2},(B)∩A={4},求实数a 、b 的值.答案:a=78,b=-712. 绿色通道集合是由元素构成的,要确定一个集合,一是把集合中的元素一一找出来,用列举法去表示;二是明确集合中元素的范围及其满足的性质,用描述法去表示.典题变式已知集合A={0,2,3,4},B={0,1,2,3},非空集合M 满足M ⊆A 且M ⊆B,则满足条件的集合M 的个数为( )A.7B.8C.15D.16答案:A绿色通道此题考查分类讨论思想,以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换,及集合之间的关系,可以把相关问题化归为解方程的问题.这称为数学的化归思想,是数学思想的常用方法,在高考中重点考查.典题变式设集合A={A|2x 2+3px+2=0},B={x|2x 2+x+q=0},其中p 、q 、x ∈R ,当A ∩B={21}时,求p 的值和A ∪B.答案:p=-35,A ∪B={-1, 21,2}. 黑色陷阱本题可能会有如下解法:由题设易知B={2,3},C={2,-4}.由A ∩B ≠∅,且A ∩C=∅知3∈A.把x=3代入方程x 2-ax+a 2-19=0,得9-3a+a 2-19=0.解得a=5或a=-2.这里由条件推知3∈A,进而推出a 的值,并不能肯定反过来都符合题设条件.典题变式 已知A={x|x 2-ax+a 2-19=0},B={x|x 2-5x+6=0},是否存在a,使A 、B 满足下列三个条件:①A ≠B;②A ∪B=B;③∅(A ∩B).若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由. 答案:不存在实数a,使得满足条件.黑色陷阱本题容易出现以下错误:由A ∩B ≠∅,知方程组⎩⎨⎧+=+=153,2x y b ax y 有解,即方程3x 2-ax+15-b=0有解.∴Δ=a 2-4×3×(15-b)=a 2+12b-180≥0. ①由(a,b)∈C,得144≥a 2+b 2.②(以上二元二次不等式组难以求解,故可能半途而废,不了了之)①+②,得a 2+12b-36≥a 2+b 2,即(b-6) 2≤0⇒b=6.把b=6代入①,得a 2≥108;把b=6代入②,得a 2≤108.∴a 2=108,即a=±63. 故存在实数a 、b 满足条件.典题变式 方程x 2-ax+b=0的两根为α、β,方程x 2-bx+c=0的两根为γ、δ,其中α、β、γ、δ互不相等,设集合M={α,β,γ,δ},且集合S={x|x=u+υ,u ∈M,υ∈M,u ≠υ},P={x|x=u υ,u ∈M,υ∈M,u ≠υ},若S={5,7,8,9,10,12},P={6,10,14,15,21,35},求a 、b 、c.答案:b=10,a=7,c=21.。