第六章万有引力与航天
(完整版)第六章万有引力与航天知识点总结
万有引力与航天1、开普勒行星运动定律(1).所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上.(2).对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积.(3).所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等. 32a K T= （K 只与中心天体质量M 有关） 行星轨道视为圆处理，开三变成32r K T =（K 只与中心天体质量M 有关）2、万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体质量的乘积成正比，跟它们距离的二次方成反比。
表达式：122,m m F G r=2211kg /m N 1067.6⋅⨯=-G 适用于两个质点（两个天体）、一个质点和一个均匀球（卫星和地球）、两个均匀球。
(质量均匀分布的球可以看作质量在球心的质点)3、万有引力定律的应用：（天体质量M , 卫星质量m ，天体半径R, 轨道半径r ，天体表面重力加速度g ，卫星运行向心加速度n a ，卫星运行周期T)两种基本思路：1．万有引力=向心力 (一个天体绕另一个天体作圆周运动时，r=R+h )人造地球卫星（只讨论绕地球做匀速圆周运动的人造卫星r=R+h ）：r GM v =，r 越大，v 越小；3r GM =ω，r 越大，ω越小；GM r T 324π=，r 越大，T 越大；2n GMa r =，r 越大，n a 越小。
(1)求质量：①天体表面任意放一物体重力近似等于万有引力：= G M m R2→2gR M G = ②当一个星球绕另一个星球做匀速圆周运动时，设中心星球质量为M ，半径为R ，环绕星球质量为m ，线速度为v ，公转周期为T ，两星球相距r ，由万有引力定律有：2222⎪⎭⎫ ⎝⎛==T mr r mv r GMm π，可得出中心天体的质量：23224GT r G r v M π==求密度34/3M M V R ρπ==2高空物体的重力加速度：mg = G2)(h R Mm + 3、万有引力和重力的关系: 一般的星球都在不停地自转，星球表面的物体随星球自转需要向心力，因此星球表面上的物体所受的万有引力有两个作用效果：一个是重力，一个是向心力。
第六章 万有引力和航天
克服阻力做功，故动能减小，速度变小，为了
继续环绕地球，由于卫星速度 V GM 可知，v
减小则半径R必增大，又因 V
r
，故ω变小，
r
可见应该选A、C、D。
分析纠错：当卫星受到阻力作用后，其总机 械能要减小，卫星必定只能降至低轨道上飞行， 故R减小。由 V GM 可知，v要增大，动能、
V。b卫星 运动的加速度的大小。
发射地球同步卫星时，先将卫星 发射至近地圆轨道1，然后经点火， 使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点 火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、 2相切于Q点，轨道2、3相切于P点， 如图所示。则在卫星分别在1、2、3 轨道上正常运行时，以下说法正确的 是：
第六章 万有引力与航天
本章结构
第一节 行星的运动 第二节 太阳与行星间的引力 第三节 万有引力定律 第四节 万有引力理论的成就 第五节 宇宙航行 第六节 经典力学的局限性
行星的 运动
地心说与日心说 开普勒三定律
地心说：地球是宇宙的中心 日心说：太阳是宇宙的中心 ①轨道定律 ②面积定律
③周期定律
万
第一宇宙速度的推导：在地面附近绕地球 运行，轨道半径即为地球半径。由万有引力提 供向心力
G
Mm R2
m
v2 R
v GM R
v6.6 7 1 6. 4 1 0 10 1 5.9 60 8 120 m 4/s7.9km /s
第六节 经典力学的局限性
经典力学不适合用来解决高速度、微观、 强引力情况下的问题。
应有： t
T1
……………………④
上式中 C'A O , ． C'B O
由几何关系得：
rcosR ……R1 …………⑤
人教版必修二第六章：万有引力与航天-----简明实用笔记(知识要点)
一、行星的运动——开普勒三定律（观测到的，不是实验定律）（环绕，中心天体可视为不动）1、开普勒第一定律——轨道定律（圆周模型）所有的行星围绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2、开普勒第二定律——面积定律（2112r v r v =）对于任意一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
根据开普勒第二定律可得，行星在远日点的速率较小，在近日点的速率较大。
3、开普勒第三定律——周期定律（k Ta =23）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。
（a 表示椭圆的半长轴，T 代表公转周期，同一中心天体k 是定值2234πGM k T r ==）显然k 是一个与行星本身无关的量，只与中心体有关。
开普勒第三定律对所有行星都适用。
对于同一颗行星的卫星，也符合这个运动规律。
二、万有引力定律1、定律的推导。
2、定律的内容： 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。
3、定律的公式： 221rm m GF =（ G=6.67×10-11N.m 2/kg 2.） 4、万有引力定律公式的适用条件：①质点间（对于相距很远因而可以看作质点的物体） 思考：在公式中，当r →0时，F →∞是否有意义？②对均匀的球体，可以看成是质量集中于球心上的质点，这是一种等效的简化处理方法。
③不是质点也不能视为质点的不能直接用公式，但可采用微积分的思想间接求！ 5、万有引力定律说明①引力的方向——两质点的连线上。
②为引力常量G ——在数值上等于两个质量都是1kg 的物体相距1m 时的相互作用力，其数值与单位制有关。
在SI 制中，G ＝6.67×10－11N ·m 2/kg 2，1687年牛顿发表规律，而1798年英卡文迪许完成实验之时测定。
卡被称为称出地球质量的人. 精度不高，可取来运算③统一单位——在运用万有引力定律计算时，公式中各量的单位须统一使用国际单位制。
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周期（d）
87.97 224.7 365 687 4333 10759 30660 60148 27.3 1
K（km³ /d² ）
2.51×1019 2.51×1019 2.51×1019 2.51×1019 2.51×1019 2.51×1019 2.51×1019 2.51×1019
7.62×1013 7.62×1013
动手计算后，你得到了什么？ 所有行星的半长轴的三次方与周期的平方的比值都相等， 月球、卫星的比值也相等 K值与环绕天体无关，与中心天体有关
万有引力定律
• 在中学阶段，我们将椭圆轨道按照圆形轨 道处理，则开普勒定律描述为：
1.行星绕太阳运动的轨道 十分接近圆，太阳处在圆 心 2.对于某一行星来说，它绕 太阳做圆周运动的角速度 （或线速度的大小）不变， 即行星做匀速圆周运动 3.所有行星的轨道半径的 三次方跟公转周期的二次 方的比值都相等 即 R³/T²=k
91 90 90
12月22日 12月22日 12月22日
分析数据，你得到了什么？ 春天：93天 夏天：94天 秋天：90天 四季的时间是不相等的
冬天：88天
地球绕太阳的运动并不是完美的匀速圆周运动
万有引力定律
一、行星的运动
开普勒
开 普 勒 第 三 定 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟 律 公转周期的二次方的比值（k）都相等
万有引力定律
行星/卫星
水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 月球 同步卫星
动手算一算
半长轴（×106km）
57.9 108.2 149.6 228 778 1426 2870 4497 0.3844 0.0424
万有引力定律
一、行星的运动
学业水平考试---第六章 万有引力与航天
第六章 万有引力与航天一、天体的运动规律从运动学的角度来看，开普勒行星运动定律提示了天体的运动规律，回答了天体做什么样的运动。
1．开普勒第一定律说明了不同行星的运动轨迹都是椭圆，太阳在不同行星椭圆轨道的一个焦点上；2．开普勒第二定律表明：由于行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，所以行星在绕太阳公转过程中离太阳越近速率就越大，离太阳越远速率就越小。
所以行星在近日点的速率最大，在远日点的速率最小；3．开普勒第三定律告诉我们：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，比值是一个与行星无关的常量，仅与中心天体——太阳的质量有关。
开普勒行星运动定律同样适用于其他星体围绕中心天体的运动（如卫星围绕地球的运动），比值仅与该中心天体质量有关。
二、天体运动与万有引力的关系从动力学的角度来看，星体所受中心天体的万有引力是星体作椭圆轨道运动或圆周运动的原因。
若将星体的椭圆轨道运动简化为圆周运动，则可得如下规律：1．加速度与轨道半径的关系：由2MmGma r =得2r GM a =2．线速度与轨道半径的关系：由22Mm v G m r r =得v =3．角速度与轨道半径的关系：由22Mm G m r r ω=得ω=4．周期与轨道半径的关系：由r T m r Mm G 222⎪⎭⎫⎝⎛=π得GM r T 32π= 若星体在中心天体表面附近做圆周运动，上述公式中的轨道半径r 为中心天体的半径R 。
一、求解星体绕中心天体运动问题的基本思路1．万有引力提供向心力；2．星体在中心天体表面附近时，万有引力看成与重力相等。
二、几种问题类型1．重力加速度的计算 由2()Mm Gmg R h =+得2()GMg R h =+式中R 为中心天体的半径，h 为物体距中心天体表面的高度。
2．中心天体质量的计算（1）由r Tm r GMm 22)2(π=得2324GT r M π= （2）由mg R MmG =2得2gR M G=式（2）说明了物体在中心天体表面或表面附近时，物体所受重力近似等于万有引力。
第六章 万有引力与航天
第六章万有引力与航天一行星的运动［要点导学］1．开普勒第一定律又称轨道定律，它指出：所有行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。
远日点是指__________，近日点是指_________。
不同行星的椭圆轨道是不同的，太阳处在这些椭圆的一个公共焦点上。
2．开普勒第二定律又称面积定律。
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
所以行星在离太阳比较近时，运动速度________。
行星在离太阳较远时，运动速度_________。
3．开普勒第三定律又称周期定律，内容是：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
该定律的数学表达式是：_________。
4．对于多数大行星来说，它们的运动轨道很接近圆，因此在中学阶段，可以把开普勒定律简化，认为行星绕太阳做匀速圆周运动。
行星的轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
这样做使处理问题的方法大为简化，而得到的结果与行星的实际运动情况相差并不大。
5.开普勒行星运动定律，不仅适用于行星，也适用于其它卫星的运动。
研究行星运动时，开普勒第三定律中的常量k与________有关，研究月球、人造地球卫星运动时，k与____________有关。
6.地心说是指____________________________________，日心说是指_______________________________________________。
以现在的目光来看地心说与日心说不过是参考系的改变，但这是一次真正的科学革命，日心说的产生不仅仅是人们追求描绘自然的简洁美，更是使得人们的世界观发生了重大的变革，意大利科学家布鲁诺曾为此付出生命的代价！两种观点的斗争反映了科学与反科学意识形态及宗教神学的角逐。
也能反映科学发展与社会文化发展的相互关系。
［范例精析］例1：地球绕太阳的运行轨道是椭圆，因而地球与太阳之间的距离随季节变化。
一轮复习知识点第六章万有引力与航天
第六章 万有引力与航天知能图谱123211222||||=|2π6.6710N m /kg m m F G r Mm G G m r r T -⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎫⎧←⎨⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎛⎫=⨯⋅= ⎪⎝⎭地心说认为地球是宇宙的中心地心说与日心说日心说认为太阳是宇宙的中心行星的运动开普勒第一定律（轨道定律）开普勒三定律开普勒第二定律（面积定律）开普勒第三定律（周期定律）万有引力定律————万有引力引力常量与航天测天体万有引力在天万有引力定律文学上的应用2323231234π|3π7.9km/s 11.2km/s 16.7km/s r M GT r GT R v v v ρ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪↑=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎪⎪=⎧⎪⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪⎪=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩质量：————测天体密度：=第一宇宙速度：宇宙速度第二宇宙速度：第三宇宙速度：人造卫星一、开普勒三定律定律内容图示理解开普勒第一定律（轨道定律） 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上行星运动的轨道上出现了近日点和远日点开普勒第二定律（面积定律） 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积行星在近日点的速率大于远日点的速率，行星从近日点向远日点运动时，速率变小；从远日点向近日点运动时，速率变大开普勒第三定律（周期定律） 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等比值k 是与太阳有关而与行星无关的常量由于行星的椭圆轨道都跟圆十分接近，所以在中学阶段的研究中可以按圆处理。
因此可以认为：1．大多数行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。
2．对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度（或线速度）小变，即行星做习逨圆周运动。
3．所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即32a k T=。
第六章 万有引力与航天
第六章 万有引力与航天第1节 行星的运动(1)开普勒第一定律(轨道定律)：所有行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在椭 圆的一个________上．(2)开普勒第二定律(面积定律)：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内 扫过相等的________．(3)开普勒第三定律(周期定律)：所有行星的________________________跟它的________________________的比值都相等，即a 3T2＝k ，比值k 是一个对于所有行星都相同 的常量．3．行星运动的近似处理(1)行星绕太阳运动的轨道十分接近________，太阳处在________．(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的__________(或____________)不变，即行星 做____________运动．(3)所有行星________________________跟它的________________________的比值都相等，即r 3T2＝k. 4．日心说的代表人物是( )A ．托勒密B ．哥白尼C ．布鲁诺D ．第谷5．关于天体的运动，以下说法正确的是( )A ．天体的运动毫无规律，无法研究B ．天体的运动是最完美、最和谐的匀速圆周运动C ．太阳从东边升起，从西边落下，所以太阳绕地球运动D ．太阳系中所有行星都围绕太阳运动6．下列说法正确的是( )A ．地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动B ．太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳转动C ．地球是绕太阳运动的一颗行星D ．日心说和地心说都是错误的7．已知两个行星的质量m 1＝2m 2，公转周期T 1＝2T 2，则它们绕太阳运动轨道的半长轴 之比为( )A .a 1a 2＝12B .a 1a 2＝21C .a 1a 2＝34D .a 1a 2＝134【概念规律练】知识点一 地心说和日心说1．关于日心说被人们所接受的原因是( )A ．以地球为中心来研究天体的运动有很多无法解决的问题B ．以太阳为中心，许多问题都可以解决，行星运动的描述也变得简单了C ．地球是围绕太阳转的D ．太阳总是从东面升起从西面落下2．16世纪，哥白尼根据天文观测的大量资料，经过40多年的天文观测和潜心研究，提 出“日心说”的如下四个基本论点，这四个论点就目前来看存在缺陷的是( )A ．宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动B ．地球是绕太阳做匀速圆周运动的行星，月球是绕地球做匀速圆周运动的卫星，它绕 地球运转的同时还跟地球一起绕太阳运动C ．天穹不转动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象D ．与日地距离相比，其他恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多知识点二 开普勒行星运动定律3．关于行星的运动，以下说法正确的是( )A ．行星轨道的半长轴越长，自转周期越大B ．行星轨道的半长轴越长，公转周期越大C ．水星的半长轴最短，公转周期最长D ．海王星离太阳“最远”，绕太阳运动的公转周期最长4．对于开普勒关于行星的运动公式a 3/T 2＝k ，以下理解正确的是( )A ．k 是一个与行星无关的常量B ．a 代表行星运动的轨道半径C ．T 代表行星运动的自转周期D ．T 代表行星运动的公转周期【方法技巧练】一、行星运动速率和周期的计算方法5．某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a ，近日点离太阳的距离为b ，过远 日点时行星的速率为v a ，则过近日点时的速率为( )A ．v b ＝b a v aB ．v b ＝a b v aC ．v b ＝a b v aD ．v b ＝b a v a6．2006年8月24日晚，国际天文学联合会大会投票，通过了新的行星定义，冥王星被 排除在行星行列之外，太阳系行星数量将由九颗减为八颗．若将八大行星绕太阳运行的A ．80年B ．120年C ．164年D ．200年二、用开普勒行星运动定律分析天体运动问题的方法7.图1如图1所示是行星m 绕恒星M 运动情况示意图，下列说法正确的是( )A ．速度最大点是A 点B ．速度最小点是C 点C ．m 从A 到B 做减速运动D ．m 从B 到A 做减速运动8．人造地球卫星运动时，其轨道半径为月球轨道半径的13，由此知卫星运行周期大约是 ( )A ．1～4天B ．4～8天C ．8～16天D ．大于16天1．关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是( )A ．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动B ．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处C ．离太阳越近的行星的运动周期越长D ．所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等2．把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周，由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求 得( )A ．火星和地球的质量之比B ．火星和太阳的质量之比C ．火星和地球到太阳的距离之比D ．火星和地球绕太阳运行速度大小之比3．设月球绕地球运动的周期为27天，则月球中心到地球中心的距离R 1与地球的同步卫 星到地球中心的距离R 2之比即R 1∶R 2为( )A ．3∶1B ．9∶1C ．27∶1D ．18∶14．宇宙飞船围绕太阳在近似圆周的轨道上运动，若其轨道半径是地球轨道半径的9倍， 则宇宙飞船绕太阳运行的周期是( )A ．3年B ．9年C ．27年D ．81年5．哈雷彗星绕太阳运动的轨道是比较扁的椭圆，下面说法中正确的是( )A ．彗星在近日点的速率大于在远日点的速率B ．彗星在近日点的角速度大于在远日点的角速度C ．彗星在近日点的向心加速度大于在远日点的向心加速度D ．若彗星周期为75年，则它的半长轴是地球公转半径的75倍6．某图2行星绕太阳运行的椭圆轨道如图2所示，F 1和F 2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A 点 的速率比在B 点的大，则太阳是位于( )A ．F 2B ．AC ．F 1D ．B7．太阳系的八大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下面4幅图是用来描述这些行星运动所遵循的某一规律的图象．图中坐标系的横轴是lg(T/T0)，纵轴是lg(R/R0)；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是()图3美国计划2021年开始每年送15 000名游客上太空旅游．如图3所示，当航天器围绕地球做椭圆运行时，近地点A的速率________(填“大于”、“小于”或“等于”)远地点B的速率．9．太阳系中除了八大行星之外，还有许多也围绕太阳运行的小行星，其中有一颗名叫“谷神”的小行星，质量为1.00×1021kg，它运行的轨道半径是地球轨道半径的2.77倍，试求出它绕太阳一周所需要的时间是多少年？第六章万有引力与航天第1节行星的运动课前预习练1．地球地球太阳太阳匀速圆周第谷2．(1)椭圆焦点(2)面积(3)轨道的半长轴的三次方公转周期的二次方3．(1)圆圆心(2)角速度线速度匀速圆周(3)轨道半径的三次方公转周期的二次方4．B5．D[对天体的运动具有决定作用的是各星体间的引力，天体的运动与地球表面物体的运动遵循相同的规律；天体的运动，特别是太阳系中的八大行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，而非圆周；太阳的东升西落是由地球自转引起的．]6．CD [地球和太阳都不是宇宙的中心，地球在绕太阳公转，是太阳的一颗行星，A 、B 错，C 对．地心说是错误的，日心说也是不正确的，太阳只是浩瀚宇宙中的一颗恒星，D 对．与地心说相比，日心说在天文学上的应用更广泛、更合理些．它们都没有认识到天体运动遵循的规律与地球表面物体运动的规律是相同的，但都是人类对宇宙的积极的探索性认识．]7．C [由a 3T 2＝k 知(a 1a 2)3＝(T 1T 2)2＝4，则a 1a 2＝34，故选C.] 课堂探究练1．B2．ABC [所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上；行星在椭圆轨道上运动的周期T 和轨道的半长轴满足a 3T 2＝k (常量)，故所有行星实际上并不是做匀速圆周运动．整个宇宙是在不停地运动的．]点评 天文学家开普勒在认真整理了第谷的观测资料后，在哥白尼学说的基础上，抛弃了圆轨道的说法，提出了以大量观察资料为依据的三大定律，揭示了天体运动的真相，它们中的每一条都是以观测事实为依据的定律．3．BD [根据开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即a 3/T 2＝k .所以行星轨道的半长轴越长，公转周期就越大；行星轨道的半长轴越短，公转周期就越小．特别要注意公转周期和自转周期的区别，例如：地球的公转周期为一年，而地球的自转周期为一天．]4．AD [由开普勒第三定律可知，行星运动公式a 3T 2＝k 中的各个量a 、T 、k 分别表示行星绕太阳做椭圆运动轨道的半长轴、行星绕太阳做椭圆运动的公转周期、一个与行星无关的常量，因此，正确选项为A 、D.周期T 是指公转周期，而非自转周期．]5．C [如图所示，A 、B 分别为远日点和近日点，由开普勒第二定律，行星和太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，取足够短的时间Δt ，则有：12v a ·Δt ·a ＝12v b ·Δt ·b ，所以v b ＝a bv a .] 6．C [设海王星绕太阳运行的平均轨道半径为R 1，周期为T 1，地球绕太阳公转的轨道半径为R 2，周期为T 2(T 2＝1年)，由开普勒第三定律有R 31T 21＝R 32T 22，故T 1＝ R 31R 32·T 2≈164年．] 方法总结 (1)对题目的求解应视条件而定，本题中用半径替代了半长轴，从解题结果可以进一步理解离太阳越远公转周期越大的结论．(2)地球的公转周期是一个重要的隐含条件，可以先将太阳系中的其他行星和地球公转周期、公转半径相联系，再利用开普勒第三定律分析其他行星的运动．7．AC [因恒星M 与行星m 的连线在相同时间内扫过的面积相同，又因AM 最短，故A 点是轨道上的最近点，所以速度最大，因此m 从A 到B 做减速运动，而从B 到A 做加速运动．故A 、C 选项正确．]方法总结 应用开普勒第二定律从M 与m 的连线在相同时间内扫过的面积相同入手分析．8．B [设人造地球卫星和月球绕地球运行的周期分别为T 1和T 2，其轨道半径分别为R 1和R 2，根据开普勒第三定律有R 31T 21＝R 32T 22，则人造地球卫星的运行周期为T 1＝(R 1R 2)3T 2＝(13)3×27天＝27天≈5.2天，故选B.]方法总结 开普勒行星运动定律也适用于人造地球卫星，圆形轨道可作为椭圆轨道的一种特殊形式；T 月≈27天，这是常识，为题目的隐含条件．课后巩固练1．D [所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，但不是同一轨道，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A 、B 错．所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，离太阳越近的行星其运动周期越短，故C 错，D 对．]2．CD [由于火星和地球均绕太阳做圆周运动，由开普勒第三定律有R 3T 2＝k ，k 为常量，又v ＝2πR T，则可知火星和地球到太阳的距离之比和运行速度大小之比，所以C 、D 选项正确．] 3．B [由开普勒第三定律有R 31T 21＝R 32T 22，所以R 1R 2＝3T 21T 22＝3(T 1T 2)2＝3(271)2＝91，选项B 正确．]4．C [由开普勒第三定律R 31T 21＝R 32T 22得T 2＝(R 2R 1)32.T 1＝932×1年＝27年，故C 项正确．] 5．ABC [由开普勒第二定律知：v 近>v 远、ω近>ω远，故A 、B 正确；由a 向＝v 2r知a 近>a 远，故C 正确；由开普勒第三定律得R 3T 2＝R 3地T 2地，当T ＝75T 地时，R ＝3752R 地≠75R 地，故D 错．题目的求解方法应视具体情况而定，由于将地球绕太阳的运动视为圆周运动，因此开普勒第三定律中的半长轴可用地球公转半径替代．]6．A [根据开普勒第二定律：对任意一个行星来说，行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积，因为行星在A 点的速率比在B 点大，所以太阳位于F 2.] 7．B [由开普勒第三定律有R 30T 20＝R 3T 2，则⎝⎛⎭⎫R R 03＝⎝⎛⎭⎫T T 02，即3lg R R 0＝2lg T T 0，因此lg R R 0－lg T T 0图线为过原点的斜率为23的直线，故B 项正确．] 8．大于解析 根据开普勒第二定律：对任意一个行星来说，行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，由此可得知近地点A 的速率大于远地点B 的速率．9．4.6年解析 由开普勒第三定律可得T 星＝R 3星R 3地·T 地＝ 2.773×1年＝4.6年． 第2节 太阳与行星间的引力1．牛顿在物理学上的重大贡献之一就是建立了关于运动的清晰的概念，他在前人对于惯性研究的基础上，首先思考的问题是“物体怎样才会不沿直线运动”，他的回答是： ________________________________________________________.由此推出：使行星沿圆 或椭圆运动，需要指向__________________的力，这个力应该就是_____．于是，牛顿利用他的____________把行星的向心加速度与____________________联系起来了．不仅如此，牛顿还认为这种引力存在于________________．2．行星绕太阳做近似匀速圆周运动，需要的向心力是由____________________提供的， 由向心力的公式结合开普勒第三定律得到向心力F ＝____________.由此我们可以推得太阳对不同行星的引力，与行星的质量m 成______，与行星和太阳间 距离的二次方成______，即F ∝m r2. 3．根据牛顿第三定律，可知太阳吸引行星的同时，行星也必然吸引太阳，行星对太阳的引力与太阳的质量M 成________，与行星和太阳间距离的二次方成________，即F ′∝M r2.4．太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成 反比，即F ＝________，式中G 为比例系数，其大小与太阳和行星的质量________，太 阳与行星引力的方向沿二者的____________．5．下面关于行星对太阳的引力的说法中正确的是( )A ．行星对太阳的引力和太阳对行星的引力是同一性质的力B ．行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星的质量无关C ．太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力D ．行星对太阳的引力大小与太阳的质量成正比，与行星距太阳的距离成反比6．太阳对行星的引力F 与行星对太阳的引力F ′大小相等，其依据是( )A ．牛顿第一定律B ．牛顿第二定律C ．牛顿第三定律D ．开普勒第三定律7．下面关于太阳对行星的引力的说法中正确的是( )A ．太阳对行星的引力等于行星做匀速圆周运动的向心力B ．太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比C ．太阳对行星的引力规律是由实验得出的D ．太阳对行星的引力规律是由开普勒定律、牛顿运动定律和行星绕太阳做匀速圆周运 动的规律推导出来的【概念规律练】知识点一 太阳与行星间的引力1．陨石落向地球是因为( )A ．陨石对地球的吸引力远小于地球对陨石的吸引力，所以陨石才落向地球B ．陨石对地球的吸引力和地球对陨石的吸引力大小相等，但陨石的质量小，加速度大， 所以改变运动方向落向地球C ．太阳不再吸引陨石，所以陨石落向地球D ．陨石是在受到其他星球斥力作用下落向地球的2．关于太阳对行星的引力，下列说法中正确的是( )A ．太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，因此有F 引＝m v 2r，由此可知， 太阳对行星的引力F 引与太阳到行星的距离r 成反比B ．太阳对行星的引力提供行星绕太阳运动的向心力，因此有F 引＝m v 2r，由此可知，太 阳对行星的引力F 引与行星运行速度的二次方成正比C ．太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离的二次方成 反比D ．以上说法均不对3．关于太阳与行星间引力F ＝GMm r 2，下列说法中正确的是( ) A ．公式中的G 是引力常量，是人为规定的B ．这一规律可适用于任何两物体间的引力C ．太阳与行星间的引力是一对平衡力D ．检验这一规律是否适用于其他天体的方法是比较观测结果与推理结果的吻合性 知识点二 太阳与行星间的引力与行星运动的关系4．关于行星绕太阳运动的原因，下列说法中正确的是( )A ．由于行星做匀速圆周运动，故行星不受任何力的作用B ．由于行星周围存在旋转的物质C ．由于受到太阳的引力D ．除了受到太阳的吸引力，还必须受到其他力的作用 5．把行星的运动近似看作匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写为T 2＝r 3k，m 为行星质量，则可推得( )A ．行星所受太阳的引力为F ＝k m r 2B ．行星所受太阳的引力都相同C ．行星所受太阳的引力为F ＝k 4π2m r 2D ．质量越大的行星所受太阳的引力一定越大【方法技巧练】太阳与行星间的引力的求解方法6．一颗小行星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径是地球公转半径的4倍，则这颗小行星 的运行速率是地球运行速率的( )A ．4倍B ．2倍C ．0.5倍D ．16倍7．已知木星质量大约是地球质量的320倍，木星绕日运行轨道的半径大约是地球绕日运 行轨道半径的5.2倍，试求太阳对木星和对地球引力大小之比．1．行星之所以绕太阳运行，是因为( )A ．行星运动时的惯性作用B ．太阳是宇宙的控制中心，所有星体都绕太阳旋转C ．太阳对行星有约束运动的引力作用D ．行星对太阳有排斥力作用，所以不会落向太阳2．地球对月球具有相当大的万有引力，可它们没有靠在一起，这是因为( )A ．不仅地球对月球有万有引力，而且月球对地球也有万有引力，这两个力大小相等， 方向相反，互相抵消了B ．不仅地球对月球有万有引力，而且太阳系中的其他星球对月球也有万有引力，这些 力的合力为零C ．地球对月球的引力还不算大D ．地球对月球的万有引力不断改变月球的运动方向，使得月球围绕地球运动3．关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是( )A ．由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大B ．行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在近日点所受引力大，在远日点所受引力小C ．由F ＝G Mm r 2可知，G ＝Fr 2Mm，由此可见G 与F 和r 2的乘积成正比，与M 和m 的乘积 成反比D ．行星绕太阳运动的椭圆轨道可近似看作圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引 力4．下列说法正确的是( )A ．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式mv 2r，这个关系式实际上是牛顿第 二定律，是可以在实验室中得到验证的B ．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v ＝2πr T，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由速度的定义式得来的C ．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式r 3T 2＝k ，这个关系式是开普勒第三 定律，是可以在实验室中得到证明的D ．在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式都是可以在实验室中得到证明的5．关于万有引力，下列说法正确的是( )A ．万有引力只有在天体与天体之间才能明显表现出来B ．一个苹果由于其质量很小，所以它受的万有引力几乎可以忽略C ．地球对人造卫星的万有引力远大于卫星对地球的万有引力D ．地球表面的大气层是因为万有引力的约束而存在于地球表面附近6．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星所受万有引力F 与轨道半径r 的关系是( )A ．F 与r 成正比B ．F 与r 成反比C ．F 与r 2成正比D ．F 与r 2成反比7．两个行星的质量分别为m 1和m 2，它们绕太阳运行的轨道半径分别是r 1和r 2，若它们 只受太阳引力的作用，那么这两个行星的向心加速度之比为( )A ．1B .m 2r 1m 1r 2C .m 1r 2D .r 222 8.对太阳系的行星，由公式v ＝2πr T ，F ＝4πmr T 2，r T2＝k 可以得到F ＝________，这个公式 表明太阳对不同行星的引力，与________________成正比，与_________成反比．9．已知太阳光从太阳射到地球需要500 s ，地球绕太阳的公转周期约为3.2×107 s ，地球 的质量约为6×1024 kg ，求太阳对地球的引力为多大？(答案只需保留一位有效数字)第2节 太阳与行星间的引力课前预习练1．以任何方式改变速度(包括改变速度的方向)都需要力 圆心或椭圆焦点 太阳对它的引力 运动定律 太阳对它的引力 所有物体之间2．太阳对行星的引力 4π2k m r2 正比 反比 3．正比 反比4．G Mm r 2 无关 连线方向 5．A [行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是作用力和反作用力的关系，两者性质相同、大小相等、反向，所以A 正确，C 错误；行星与太阳间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比，所以B 、D 错误．]6．C [物体间力的作用是相互的，作用力和反作用力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上，所以依据是牛顿第三定律．]7．AD [行星围绕太阳做圆周运动的向心力是太阳对行星的引力，它的大小与行星和太阳质量的乘积成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，所以A 对，B 错．太阳对行星的引力规律是由开普勒第三定律、牛顿运动定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的，所以C 错，D 对．]课堂探究练1．B2．C [由向心力表达式F ＝mv 2/r 和v 与T 的关系式v ＝2πr /T 得F ＝4π2mr /T 2①根据开普勒第三定律r 3/T 2＝k 变形得T 2＝r 3/k ②联立①②有F ＝4π2k ·m /r 2故太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比．]3．BD [G 值是由物体间存在的万有引力的性质决定的，而不是人为规定的，故A 错误；万有引力公式适用于任意两物体间的引力作用，故B 正确；太阳与行星之间的引力是一对作用力和反作用力，而不是一对平衡力，故C 错误；理论推理的结果是否正确，要看根据理论推出的结果是否与观察的结果相吻合，故D 正确．]4．C [行星绕太阳运动的原因就是太阳对行星的吸引力提供了行星做圆周运动的向心力．]5．C [行星所受太阳的引力提供行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力，由公式F ＝m v 2r ，又v ＝2πr T ，结合T 2＝r 3k 可得F ＝k 4π2m r 2，故C 正确，A 错误；不同行星所受太阳的引力由太阳、行星的质量和行星与太阳间的距离决定，故B 、D 错误．]6．C [小行星、地球绕太阳运行的向心力分别为F 1、F 2，对应的速度分别为v 1、v 2，由向心力公式得，F 1＝m 1v 21r 1，由太阳与行星之间的相互作用规律可知，F 1∝m 1r 21，由上述两式可得，v 1∝1r 1，同理可得，v 2∝1r 2，故v 1v 2＝r 2r 1，因r 1＝4r 2，故v 1v 2＝12，故正确答案是C.]方法总结 要明确小行星、地球绕太阳运行的向心力的来源．在计算比值一类的问题时，可将所计算的物理量进行化简至不同的对象间具有相同的物理量为止，这样便于解题，请结合本题认真体会．7．11.8∶1解析 设地球质量为m ，则木星质量为320m ，设地球绕日运行轨道半径为r ，则木星绕日运行轨道半径为5.2r ，则有：太阳对地球的引力：F 1＝GMm r2 太阳对木星的引力：F 2＝GM 320m (5.2r )2因此引力大小之比为F 2F 1＝3205.22≈11.81. 课后巩固练1．C [惯性应使行星沿直线运动，A 错．太阳不是宇宙的中心，并非所有星体都绕太阳运动，B 错．行星绕太阳做曲线运动，轨迹向太阳方向弯曲，是因为太阳对行星有引力作用，C 对．行星之所以没有落向太阳，是因为引力提供了向心力，并非是对太阳有排斥力，D 错．]2．D [地球对月球的引力和月球对地球的引力是相互作用力，作用在两个物体上不能相互抵消，A 错．地球对月球的引力提供了月球绕地球做圆周运动的向心力，从而不断改变月球的运动方向，所以B 、C 错，D 对．]3．BD4．AB [开普勒第三定律R 3T2＝k 是无法在实验室中得到验证的．它是开普勒在研究天文学家第谷的行星观测记录资料发现的．]5．D [自然界中任何两个物体间都有相同的引力作用，故A 错；苹果质量虽小，但由于地球质量很大，故引力不可忽略，B 错；物体间的万有引力是相互的，由牛顿第三定律知应等大，故C 错．D 选项正确．]6．D [卫星围绕地球做匀速圆周运动时，向心力由万有引力提供，此时卫星与地球间的距离即为卫星的轨道半径，由太阳与行星间的引力F ＝GMmr2可知，D 正确．]7．D [设行星m 1、m 2的向心力分别是F 1、F 2，由太阳、行星之间的作用规律可得：F 1∝m 1r 21，F 2∝m 2r 22，而a 1＝F 1m 1，a 2＝F 2m 2，故a 1a 2＝r 22r 21，D 项正确．] 8.4π2kmr2 行星的质量 行星和太阳间距离的二次方9．3×1022 N解析 F 引＝F 向＝mRω2＝mR 4π2T 2，又R ＝ct (c 为光速)，得F 引＝4π2mct T 2＝4×3.142×6×1024×3×108×500(3.2×107)2N ＝3×1022 N. 第3节 万有引力定律1．假定维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力真的是同一种力，同样遵从“____________”的规律，由于月球轨道半径约为地球半径(苹果到地心的距离)的60倍， 所以月球轨道上一个物体受到的引力是地球上的________倍．根据牛顿第二定律，物体 在月球轨道上运动时的加速度(月球______________加速度)是它在地面附近下落时的加 速度(____________加速度)的________．根据牛顿时代测出的月球公转周期和轨道半径， 检验的结果是____________________．2．自然界中任何两个物体都____________，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与 ________________________成正比、与__________________________成反比，用公式表 示即________________．其中G 叫____________，数值为________________，它是英国 物理学家______________在实验室利用扭秤实验测得的．3．万有引力定律适用于________的相互作用．近似地，用于两个物体间的距离远远大于 物体本身的大小时；特殊地，用于两个均匀球体，r 是________间的距离． 4．关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( ) A ．不能看做质点的两物体间不存在相互作用的引力B ．只有能看做质点的两物体间的引力才能用F ＝Gm 1m 2r2计算C ．由F ＝Gm 1m 2r2知，两物体间距离r 减小时，它们之间的引力增大D ．万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且等于6.67×10－11 N ·m 2/kg 25．对于公式F ＝G m 1m 2r2理解正确的是( )A ．m 1与m 2之间的相互作用力，总是大小相等、方向相反，是一对平衡力。
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第六章 万有引力与航天
要点解读
一、天体的运动规律
从运动学的角度来看，开普勒行星运动定律提示了天体的运动规律，回答了天体做什么样的运动。
1．开普勒第一定律说明了不同行星的运动轨迹都是椭圆，太阳在不同行星椭圆轨道的一个焦点上；
2．开普勒第二定律表明：由于行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，所以行星在绕太阳公转过程中离太阳越近速率就越大，离太阳越远速率就越小。
所以行星在近日点的速率最大，在远日点的速率最小；
3．开普勒第三定律告诉我们：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，比值是一个与行星无关的常量，仅与中心天体——太阳的质量有关。
开普勒行星运动定律同样适用于其他星体围绕中心天体的运动（如卫星围绕地球的运动），比值仅与该中心天体质量有关。
二、天体运动与万有引力的关系
从动力学的角度来看，星体所受中心天体的万有引力是星体作椭圆轨道运动或圆周运动的原因。
若将星体的椭圆轨道运动简化为圆周运动，则可得如下规律：
1．加速度与轨道半径的关系：由2
Mm G ma r =得2r GM a =
2．线速度与轨道半径的关系：由22Mm v G m r r
=得v =
3．角速度与轨道半径的关系：由22Mm G m r r
ω=得ω=4．周期与轨道半径的关系：由r T m r Mm G 222⎪⎭
⎫ ⎝⎛=π得GM r T 32π= 若星体在中心天体表面附近做圆周运动，上述公式中的轨道半径r 为中心天体的半径R 。
学法指导
一、求解星体绕中心天体运动问题的基本思路
1．万有引力提供向心力；
2．星体在中心天体表面附近时，万有引力看成与重力相等。
二、几种问题类型
1．重力加速度的计算 由2
()Mm G mg R h =+得2()GM g R h =+ 式中R 为中心天体的半径，h 为物体距中心天体表面的高度。
2．中心天体质量的计算
（1）由r T m r GMm 22)2(π=得23
24GT
r M π= （2）由mg R
Mm G =2得2gR M G = 式（2）说明了物体在中心天体表面或表面附近时，物体所受重力近似等于万有引力。
该式给出了中心天体质量、半径及其表面附近的重力加速度之间的关系，是一个非常有用的代换式。
3．第一宇宙速度的计算
第一宇宙速度是星体在中心天体附近做匀速圆周运动的速度，是最大的环绕速度。
（1）由2R
Mm G =R v m 21得1v =
（2）由mg =R
v m 2
1得1v =4．中心天体密度的计算
（1）由mg R Mm G =2和ρπρ334R V M ==得RG
g πρ43= （2）由R T m R Mm G
22)2(π= 和ρπρ334R V M ==得23GT πρ=。