2020年人教版九年级数学上册 课后练习本 一元二次方程 实际问题-面积问题 学生版
2020年人教版九年级数学上册课后练习本
一元二次方程实际问题-面积问题
一、选择题
1.某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为( )
A.x(x－10)=200
B.2x＋2(x－10)=200
C.x(x＋10)=200
D.2x＋2(x＋10)=200
2.在一幅长为80 cm.宽为50 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是( )
A.x2＋130x－1400=0
B.x2＋65x－350=0
C.x2－130x－1400=0
D.x2－65x－350=0
3.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程(化为一般形式)是( )
A. B.
C. D.
4.厦门市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为( )
A.x(x-10)=200
B.2x-2(x-10)=200
C.2x+2(x+10)=200
D.x(x+10)=200
5.某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m.设游泳池的长为x m，则可列方程( )
A.x(x－10)=375
B.x(x+10)=375
C.2x(2x－10)=375
D.2x(2x+10)=375
6.用10米长的铝材制成一个矩形窗框,使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（）
A.x(5+x)=6
B.x(5-x)=6
C.x(10-x)=6
D.x(10-2x)=6
7.如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（）
A.x2+9x﹣8=0
B.x2﹣9x﹣8=0
C.x2﹣9x+8=0
D.2x2﹣9x+8=0
8.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（）
A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm
二、填空题
9.如图,在宽为30m,长为40m的矩形地面上修建两条宽都是1m的道路,余下部分种植花草.那么,种植花草的面积为.
10.如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是m（可利用的围墙长度超过6m）．
11.如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为．
12.如图是我市将要开发的一块长方形的土地，长为xkm，宽为3km，建筑开发商将这块土地分为甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公园，若已知丙地的面积为2km2，则x的值为 .
13.在一幅长50cm,宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程
为．
14.如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为．
15.学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x 米，则可列方程为．
16.《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，王文素著,完成于明嘉靖三年,全书12本42卷,近50万字,代表了我国明代数学的最高水平.《算学宝鉴》中记载的用导数解高次方程的方法堪与牛顿媲美,且早于牛顿140年.《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步,之云阔不及长十二步,问长阔共几何？”
译文：一个矩形田地的面积等于864平方步,且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步？如果设矩形田地的长为x步，可列方程为．
三、解答题
17.如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．
⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?
⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?
18.学校的课外生物小组的实验园地是一块长35米，宽26米的长方形，为了便于行走和管理，现要在中间修同样宽的到路，路宽均为a米，余下的作为种植面积，求种植面积是多少？
19.如图，已知墙的长度是20米，利用墙的一边，用篱笆围成一个面积为96平方米的长方形ABCD，中间用篱笆分隔出两个小长方形，总共用去36米长的篱笆，求AB的长度？
20.要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路.下面分别是小亮和小颖的设计方案.
（1）求小亮设计方案中甬路的宽度x
（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中x的取值相同）。
人教版九年级数学上册21.3实际问题与一元二次方程(图形面积类问题)同步练习题
实际问题与一元二次方程（图形面积类问题）同步练习题一、单选题1．如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x 米，则根据题意可列方程为（ ）A ．22171722300x x ⨯--=B ．222171722300x x x ⨯---=C ．()()2217300x x --=D ．()()2217300x x ++=2．某农场拟建一间长方形饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留2m 宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门)的总长度为50m ．设饲养室长为x （m ），占地面积为2402m ，则根据题意可列方程为（ ）A ．25040x x -+=B ．20.524240x x -+=C ．20.525240x x -+=D ．20.526240x x -+=3．如图，在宽为20m ，长为38m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽，如果设小路宽为m x ，根据题意，所列方程正确的是（ ）A ．(20)(38)540x x --=B ．(20)(38)3820540x x --=⨯-C ．(202)(382)540x x --=D ．(202)(382)3820540x x --=⨯-4．我们古代数学家研究过一元二次方程．下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．”意思是一块田是矩形，矩形面积为8642m ，长比宽多12m ，如果设宽为x m ，则列出的方程为（ ）A ．x （x +12）=864B ．x （x +6）=864C ．x （x -12）=864D ．x （x -6）=8645．开封某小区决定对小区的一块长为30m 、宽为20m 的矩形空地进行改造，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，设计方案如图所示，求花带（阴影部分为花带）的宽度．设花带的宽度为x m ，则可列方程为（ ）A ．（30﹣x ）（20﹣x ）34=⨯20×30 B ．30+2×20x 14=⨯20×30 C ．（30﹣2x ）（20﹣x ）14=⨯20×30 D ．（30﹣2x ）（20﹣x ）34=⨯20×306．某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长8dm 、宽为5dm 的矩形内画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积等于222dm （如图），若设彩纸的宽度为x 分米，则可得方程为（ ）A ．40101618x x --=B ．()()8518x x -⋅-=C ．()()825218x x -⋅-=D ．24058422x x x -+=-7．如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为（ ）A ．()()40234960x x --=B ．2403440342960x x x ⨯--+=C ．()()40342960x x --=D ．403440234960x x ⨯--⨯=8．等腰三角形一边长为2，另外两边长是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋k ＝0的两个实数根，则k 的值是（ ）A ．8B ．9C ．8或9D ．12二、填空题9．矩形的周长32cm，面积为60cm2，则这个矩形的较长的边为________ cm10．用一面墙（墙的长度为9m）和13m长的篱笆围成一个面积为215m的矩形菜园，若篱笆全部用完，则平行于墙的篱笆应设计为________m．11．如图，某小区有一块长为8m的矩形空地，阴影部分准备种植面积为224m的草地，旁边留出两块全等的矩形小路，那么小路的宽x为______m．12．一花户，有25m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为100m2长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一下1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则可列方程为__________．13．有一间长20m，宽15m的矩形会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的长、宽分别为______和______．14．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为_______．15．如图，某小区有一块长为30m、宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为2480m，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m．16．如图，某生物兴趣小组要在长40米、宽30米的矩形园地种植蔬菜，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽小路，若蔬菜种植面积为1008平方米，则小路的宽为_____米．三、解答题17．某广场有一块长为100米，宽为60米的矩形空地，政府决定利用这块空地上修建一横两纵的小路方便群众通行，其他部分种植花草供群众欣赏休闲，若三条小路的宽度均为x米．(1)若种植花草的价格为10元/平方米，种植花草的总费用为49500元，求修建的小路的宽度；(2)若修建小路的价格为40元/平方米，求修建小路的总造价．18．某社区利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．(1)求通道的宽是多少米．(2)该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元且使租出的车位较多？19．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？20．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在EH、FG、BC上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米．(1)若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为7米，求BC＝米．(2)若饲养场（矩形ABCD）的面积为192平方米，求边CD的长．(3)饲养场的面积能达到198平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．。
2020年人教版九年级数学上册 课后练习本 一元二次方程 定义及方程的解(含答案)
参考答案
2020 年人教版九年级数学上册 课后练习本
一元二次方程 定义及方程的解
一、选择题
1.已知关于的方程，(1)ax2+bx+c=0；(2)x2-4x=8+x2；(3)1+(x-1)(x+1)=0；(4)(k2+1)x2 + kx +
1= 0 中，一元二次方程的个数为( )个
A.1
B.2
C.3
D.4
2.方程 3x2﹣ x+ =0 的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（ ）
A．3
B．﹣
C．
D．﹣9
3.若 a 为方程 x2+x-5=0 的解，则 a2+a+1 的值为（ ）
A.12
B.6
C.9
D.16
4.已知关于 x 的方程 x2＋m2x－2＝0 的一个根是 1，则 m 的值是（ ）
A．1
B．2
C．±1
D．±2
5.一元二次方程 4x2﹣3x﹣5=0 的一次项系数是（
）
A.﹣5
19.若 x=﹣4 是关于 x 的方程 ax2﹣6x﹣8=0 的一个解，则 a=
.
20.已知关于 x 的方程 x2＋3mx＋m2=0 的一个根是 x=1，那么 m2＋3m=______.
Hale Waihona Puke 1.答案为：B 2.答案为：D 3.答案为：B 4.答案为：C 5.答案为：C 6.答案为：D； 7.答案为：A； 8.答案为：A； 9.答案为：B 10.答案为：D； 11.答案为 x2+2x﹣1=0，1，2，﹣1 12.答案为：m=﹣2． 13.答案为：﹣3 14.答案为：3x2﹣6x﹣4=0． 15.答案为：2x2-3x-5=0 16.答案为：30． 17.答案是：﹣3． 18.答案为：1； 19.答案为：﹣1. 20.答案为：－1；
人教版数学九年级上册同步练习：21.3 实际问题与一元二次方程 附答案
2020年秋季人教版数学九年级上册同步练习21.3 实际问题与一元二次方程一．传播问题1．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（）A．1+x＝225B．1+x2＝225C．（1+x）2＝225D．1+（1+x2）＝2252．有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干人，现有一人患有此病，开始两天共有225人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（）A．14B．15C．16D．253．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是43个，则x等于（）A．4B．5C．6D．74．有一人患了流感，假如平均一个人传染了x个人，经过两轮感染后共有121人患了流感，依题意可列方程为．5．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了个人．6．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？二．握手问题1．某班学生毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）＝1260B．2x（x+1）＝1260C．x（x﹣1）＝1260D．x（x﹣1）＝1260×22．某单位要组织篮球邀请赛，每两队之间都要赛一场且只赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意，可列方程（）A．x（x+1）＝15B．x（x﹣1）＝15C．x（x+1）＝15D．x（x﹣1）＝153．在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则参赛的球队数为（）A．6个B．8个C．9个D．12个4．元旦期间，九年（1）班数学研究小组的同学互送新年贺卡，如果研究小组有x名学生，共送出132张贺卡，那么可列出方程为．5．2019年12月6日，某市举行了2020年商品订货交流会，参加会议的每两家公司之间都签订了一份合同，所有参会公司共签订了28份合同，则共有家公司参加了这次会议．三．增长问题1．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（）A．20%B．30%C．40%D．50%2．某省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业．据统计，该省目前5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．按照计划，设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均率为x，根据题意列方程，得（）A．6（1+x）2＝17.34B．17.34（1+x）2＝6C．6（1﹣x）2＝17.34D．17.34（1﹣x）2＝63．某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少．据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%，那么这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少？设平均每年降低的百分率为x，根据题意列方程得（）A．1﹣x2＝75%B．（1+x）2＝75%C．1﹣2x＝75%D．（1﹣x）2＝75% 4．某市某楼盘的价格是每平方米6500元，由于市场萎靡，开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两次下调后，该楼盘的价格为每平方米5265元．设平均每次下调的百分率为x，则可列方程为．5．某市继续加大对教育经费的投入，2018年投入2500万元，2020年预计投入3600万元，则该市投入教育经费的年平均增长率为．6．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？四．利润问题1．某商场台灯销售的利润为每台40元，平均每月能售出600个．这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，台灯的售价是多少？若设每个台灯涨价x元，则可列方程为（）A．（40+x）（600﹣10x）＝10000 B．（40+x）（600+10x）＝10000C．x[600﹣10（x﹣40）]＝10000D．x[600+10（x﹣40）]＝100002．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满：当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．设房价定为x元，宾馆当天利润为8640元．则可列方程（）A．（180+x﹣20）（50﹣）＝8640B．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝8640 C．x（50﹣）﹣50×20＝8640D．（x﹣20）（50﹣）＝86403．某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则每天销售量会减少2kg．该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（）A．（20+x）（100﹣2x）＝1800B．C．D．x[100﹣2（x﹣20）]＝18004．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多销出2件．若商场每天要盈利1200元，设每件衬衫应降价x 元．请你帮助商场算一算，满足x的方程是..5．某种商品，平均每天可销售40件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，若每天要赢利2400元，则每件应降价元．6．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程：．小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程：．（2）请写出一种完整的解答过程．五．面积问题1．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝6002．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x＝32B．10×6﹣4x2＝32C．（10﹣x）（6﹣x）＝32D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝323．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设榣栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（）A．x（55﹣x）＝375B．x（55﹣2x）＝375C．x（55﹣2x）＝375D．x（55﹣x）＝3754．学校打算用长16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小动物，生物园的一面靠墙（如图），面积是30m2，求生物园的长和宽．设生物园的宽（与墙相邻的一边）为xm，则列出的方程为．5．如图，某小区规划在一个长34m、宽22m的矩形ABCD上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为100m2，那么通道的宽应设计成m．6．学校有一块长14米，宽10米的矩形空地，准备将其规划，设计图案如图，阴影应为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区为路面，且四周出口一样宽广且宽度不小于2米，不大于5米，路面造价为每平方米200元，绿化区为每平方米150元，设绿化区的长边长为x米．（1）用x表示绿化区短边的长为米，x的取值范围为．（2）学校计划投资25000元用于此项工程建设，求绿化区的长边长．参考答案一．传播问题1．解：设1人平均感染x人，依题意可列方程：（1+x）2＝225．故选：C．2．解：设平均每天一人传染了x人，根据题意得：1+x+（1+x）×x＝225，（1+x）2＝225，解得：x1＝14，x2＝﹣16（舍去）．答：平均每天一人传染了14人．故选：A．3．解：依题意，得：1+x+x2＝43，整理，得：x2+x﹣42＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．故选：C．4．解：依题意，得：1+x+x（1+x）＝121．故答案为：1+x+x（1+x）＝121．5．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得（1+x）2＝1691+x＝±13x1＝12，x2＝﹣14（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．故答案为：12．6．解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝169，解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．（2）169×（1+12）＝2197（人）．答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．二．握手问题1．解：依题意，得：x（x﹣1）＝1260．故选：C．2．解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x﹣1）＝15．故选：D．3．解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36，解得：x＝9或x＝﹣8（舍去），故选：C．4．解：设研究小组有x名学生，可列出方程为：x（x﹣1）＝132．故答案为：x（x﹣1）＝132．5．解：设共有x家公司参加了这次会议，根据题意，得x（x﹣1）＝28整理，得x2﹣x﹣56＝0解得x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）答：共有8家公司参加了这次会议．故答案是：8．三．增长问题1．解：设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2（1+x）万户，2021年底全市5G用户数为2（1+x）2万户，依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72，整理，得：x2+3x﹣1.36＝0，解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣3.4（不合题意，舍去）．故选：C．2．解：依题意，得：1.5×4（1+x）2＝17.34，即6（1+x）2＝17.34．故选：A．3．解：依题意，得：（1﹣x）2＝75%．故选：D．4．解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，6500（1﹣x）2＝5265．故答案为：6500（1﹣x）2＝5265．5．解：设该市投入教育经费的年平均增长率为x，依题意，得：2500（1+x）2＝3600，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．故答案为：20%．6．解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得20000（1+x）2＝24200解得x1＝﹣2（舍去），x2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%．（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．答：预计4月份平均日产量为26620个．四．利润问题1．解：售价上涨x元后，该商场平均每月可售出（600﹣10x）个台灯，依题意，得：（40+x）（600﹣10x）＝10000，故选：A．2．解：设房价定为x元，由题意得：（x﹣20）（50﹣）＝8640．故选：D．3．解：由题意可得，x（100﹣）＝1800，故选：C．4．解：设每件衬衫应降价x元，根据题意得出：（20+2x）（40﹣x）＝1200故答案为：（20+2x）（40﹣x）＝1200．5．解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：（44﹣x）（40+5x）＝2400解方程得x＝4或x＝32，∵在降价幅度不超过10元的情况下，∴x＝32不合题意舍去，答：每件服装应降价4元．故答案是：4．6．解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件，依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（30+×10）件，依题意，得：（y﹣750）（30+）＝12000．故答案为：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；（y﹣750）（30+）＝12000．（2）选择小明的的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000，整理，得：x2﹣200x+7500＝0，解得：x1＝50，x2＝150，∴1100﹣x＝1050或950．答：每件皮衣定价为1050元或950元．选择小红的设法，则（y﹣750）（30+）＝12000，整理，得：y2﹣2000y+997500＝0，解得：y1＝1050，y2＝950．答：每件皮衣定价为1050元或950元．五．面积问题1．解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．2．解：设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，依题意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．故选：D．3．解：设榣栏AB的长为x米，则AD＝BC＝米，根据题意可得，x（55﹣x）＝375，故选：A．4．解：设宽为x m，则长为（16﹣2x）m．由题意，得x（16﹣2x）＝30，故答案为：x（16﹣2x）＝30．5．解：设通道的宽应设计成xm，则种植花草的部分可合成长（34﹣2x）m，宽（22﹣x）m 的矩形，依题意，得：（34﹣2x）（22﹣x）＝100×6，整理，得：x2﹣39x+74＝0，解得：x1＝2，x2＝37（不合题意，舍去）．故答案为：2．6．解：（1）路面宽为（14﹣2x）米，则绿化区短边的长为[10﹣（14﹣2x）]÷2＝（x﹣2）米，依题意得2≤14﹣2x≤5，解得≤x≤6；（2）设绿化区的长边长为x米．由题意列方程得150×4x（x﹣2）+200[14×10﹣4x（x﹣2）]＝25000，整理得x2﹣2x﹣15＝0，解得x1＝5，x2＝﹣3（不合题意，舍去）．答：绿化区的长边长为5米．故答案为：（x﹣2），≤x≤6．。
人教版九年级数学上册教案本《一元二次方程 实际问题-面积问题》
人教版九年级数学上册教案本《一元二次方程实际问题-面积问题》一. 教材分析本节课的内容是《一元二次方程实际问题-面积问题》，是人教版九年级数学上册的教学内容。
这部分内容是在学生已经掌握了一元二次方程的基本概念和解法的基础上进行教学的，旨在让学生能够将一元二次方程应用到实际问题中，特别是在面积问题的计算中。
通过本节课的学习，学生将能够进一步理解和掌握一元二次方程的实际应用，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一元二次方程的概念和解法有一定的了解。
但是，学生在应用一元二次方程解决实际问题时，可能会遇到一些困难，比如对实际问题的理解不够深入，对一元二次方程在解决实际问题中的应用方法不够清晰等。
因此，在教学过程中，需要帮助学生深入理解实际问题，引导学生将一元二次方程应用到实际问题中，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生能够理解一元二次方程在解决面积问题中的应用，能够运用一元二次方程计算一些简单的面积问题。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学在实际生活中的重要性，培养学生的责任感和使命感。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程在面积问题中的应用。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为数学问题，如何帮助学生理解和掌握一元二次方程在解决面积问题中的应用方法。
五. 教学方法本节课采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
同时，采用小组合作学习的方法，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
在教学过程中，教师注重启发式教学，引导学生主动思考，提高学生的解决问题的能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要提前准备一些面积问题的实际案例，以便在课堂上进行教学演示和练习。
2.学生准备：学生需要预习一元二次方程的基本概念和解法，以便能够更好地理解和掌握本节课的内容。
2020年人教版九年级数学上册 课后练习本 一元二次方程 实际问题-面积问题(含答案)
2020年人教版九年级数学上册课后练习本一元二次方程实际问题-面积问题一、选择题1.某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x 米，则可列方程为( )A.x(x－10)=200B.2x＋2(x－10)=200C.x(x＋10)=200D.2x＋2(x＋10)=2002.在一幅长为80 cm.宽为50 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是( )A.x2＋130x－1400=0B.x2＋65x－350=0C.x2－130x－1400=0D.x2－65x－350=03.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程(化为一般形式)是( )A. B.C. D.4.厦门市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为( )A.x(x-10)=200B.2x-2(x-10)=200C.2x+2(x+10)=200D.x(x+10)=2005.某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m.设游泳池的长为x m，则可列方程( )A.x(x－10)=375B.x(x+10)=375C.2x(2x－10)=375D.2x(2x+10)=3756.用10米长的铝材制成一个矩形窗框,使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（）A.x(5+x)=6B.x(5-x)=6C.x(10-x)=6D.x(10-2x)=67.如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（）A.x2+9x﹣8=0B.x2﹣9x﹣8=0C.x2﹣9x+8=0D.2x2﹣9x+8=08.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（）A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm二、填空题9.如图,在宽为30m,长为40m的矩形地面上修建两条宽都是1m的道路,余下部分种植花草.那么,种植花草的面积为 .10.如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 m（可利用的围墙长度超过6m）．11.如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为 ．12.如图是我市将要开发的一块长方形的土地，长为xkm，宽为3km，建筑开发商将这块土地分为甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公园，若已知丙地的面积为2km2，则x的值为 .13.在一幅长50cm,宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程为．14.如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为．15.学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为 ．16.《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，王文素著,完成于明嘉靖三年,全书12本42卷,近50万字,代表了我国明代数学的最高水平.《算学宝鉴》中记载的用导数解高次方程的方法堪与牛顿媲美,且早于牛顿140年.《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步,之云阔不及长十二步,问长阔共几何？”译文：一个矩形田地的面积等于864平方步,且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步？如果设矩形田地的长为x步，可列方程为．三、解答题17.如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?18.学校的课外生物小组的实验园地是一块长35米，宽26米的长方形，为了便于行走和管理，现要在中间修同样宽的到路，路宽均为a米，余下的作为种植面积，求种植面积是多少？19.如图，已知墙的长度是20米，利用墙的一边，用篱笆围成一个面积为96平方米的长方形ABCD，中间用篱笆分隔出两个小长方形，总共用去36米长的篱笆，求AB的长度？20.要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路.下面分别是小亮和小颖的设计方案.（1）求小亮设计方案中甬路的宽度x（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中x的取值相同）参考答案1.C2.B3.B4.D5.A6.B7.C8.D9.答案为：113110.答案为：111.答案为：1米．12.答案为：4km或5km13.答案为：x2+40x﹣75=0．14.答案为：（9﹣2x）（5﹣2x）=12．15.答案为:（35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0）．16.答案为：x（x﹣12）=864．17.解：⑴设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为米．依题意，得 即， 解此方程，得∵墙的长度不超过45m，∴不合题意，应舍去． 当时，所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m２．⑵不能．因为由得又∵=(－80)2－4×1×1620=－80＜0，∴上述方程没有实数根．因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2。
九年级数学：实际问题与一元二次方程 -面积、围墙、动点问题练习
21.3实际问题与一元二次方程面积、围墙、动点问题一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。
（1）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（2）找：找出等量关系；（3）列：列出一元二次方程；（4）解：求出所列方程的解；（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（6）答：作答。
二、典型题型例题1、如图，某小区在宽20m，长32m的矩形场地上修同样宽的三条人行道（阴影部分），余下的部分种花草．若种植花草的面积为589m2，求道路的宽度．【分析】设道路宽为x米，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解即可．【解答】解：设道路宽为x米，根据题意，得（20﹣x）（32﹣x）=589．整理得：x2﹣52x+51=0．解得x1=51（不合题意，舍去），x2=1．答：道路宽为1米．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解．例题2、如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．【分析】可设矩形草坪BC边的长为x米，则AB的长是米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．【解答】解：设BC边的长为x米，则AB=CD=米，根据题意得：•x=120，解得：x1=12，x2=20，∵20＞16，∴x2=20不合题意，舍去，答：矩形草坪BC边的长为12米．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．例题3、如图，在长方形ABCD中，AB=10厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以3厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么：（1）如图1，用含t的代数式表示AP=，AQ=，并求出当t为何值时线段AP=AQ．（2）如图2，在不考虑点P的情况下，连接QB，问：当t为何值时△QAB的面积等于长方形面积的．【分析】（1）由题意表示出：AP=3t，DQ=2t，则AQ=6﹣2t，并根据AP=AQ列等式解出t 的值；（2）根据已知列等式求解．【解答】解：（1）由题意得：AP=3t，DQ=2t，则AQ=6﹣2t，当AP=AQ时，3t=6﹣2t，t=1.2；故答案为：3t，6﹣2t；（2）∵，∴，得：t=1【点评】本题考查了矩形的性质、三角形面积和矩形面积以及动点运动问题，此类题首先要明确动点运动的路线、速度、时间，根据路程=时间×速度表示行动的路程，再利用已知条件列等式解决问题．三、综合练习一．选择题（共22小题）1．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32 C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=322．某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（）A．（7+x）（5+x）×3=7×5 B．（7+x）（5+x）=3×7×5C．（7+2x）（5+2x）×3=7×5 D．（7+2x）（5+2x）=3×7×53．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程正确的是（）A．（20﹣x）（32﹣x）=540 B．（20﹣x）（32﹣x）=100 C．（20+x）（32﹣x）=540 D．（20+x）（32﹣x）=1004．同一根细铁丝可以折成边长为10cm的等边三角形，也可以折成面积为50cm2的长方形．设所折成的长方形的一边长为x，则可列方程为（）A．x（10﹣x）=50 B．x（30﹣x）=50 C．x（15﹣x）=50 D．x（30﹣2x）=505．用总长10m的铝合金型材做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的外围是矩形，上部是两个全等的正方形，窗框的总面积为3.52m2（材料的厚度忽略不计）．若设小正方形的边长为xm，下列方程符合题意的是（）A．2x（10﹣7x）=3.52 B．C．D．2x2+2x（10﹣9x）=3.526．现有一块长方形绿地，它的短边长为20m，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300m2，设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是（）A．x（x﹣20）=300 B．x（x+20）=300 C．60（x+20）=300 D．60（x﹣20）=300 7．用长为4米的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为25平方米，若设它的一边长为x 米，根据题意列出关于x的方程为（）A．x（4﹣x）=25 B．2x（2﹣x）=25 C． D．8．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行道的宽度为x m，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．（30﹣3x）（24﹣2x）=480 B．（30﹣3x）（24﹣x）=480C．（30﹣2x）（24﹣2x）=480 D．（30﹣x）（24﹣2x）=4809．从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是（）A．9cm2B．68cm2C．8cm2D．64cm210．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．32x+2×20x﹣2x2=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570C．（32﹣2x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．（32﹣2x）（20﹣x）=57011．使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（）A．x（13﹣x）=20 B．x•=20 C．x（13﹣x）=20 D．x•=2012．某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB=x米，则可列方程（）A．x（81﹣4x）=440 B．x（78﹣2x）=440 C．x（84﹣2x）=440 D．x（84﹣4x）=440 13．某广场绿化工程中有一块长2km，宽1km的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的空地如图），且保留空地的面积与绿地面积相等．设保留空地的宽度为x km，则下面列出的方程中正确的是（）A．（2﹣3x）（1﹣2x）=B．（2﹣3x）（1﹣2x）=C．（2﹣3x）（1﹣2x）=1 D．（2﹣3x）（1﹣2x）=114．用长为28米的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为25平方米．若设它的一边长为x 米，根据题意列出关于x的方程为（）A．x（28﹣x）=25 B．2x（14﹣x）=25 C．x（14﹣x）=25 D．15．如图，一块长和宽分别为30cm和20cm的矩形铁皮，要在它的四角截去四个边长相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的侧面积为272cm2，则截去的正方形的边长是（）A．4cm B．8.5cm C．4cm或8.5cm D．5cm或7.5cm16．用22cm的铁丝围成一个面积为30cm2的矩形，则这个矩形的两边长是（）A．5cm和6cm B．6cm和7cm C．4cm和7cm D．4cm和5cm17．如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m 长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（）A．x（26﹣2x）=80 B．x（24﹣2x）=80 C．（x﹣1）（26﹣2x）=80 D．x（25﹣2x）=80 18．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（）A．B．C．D．19．有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，设铁皮各角应切去的正方形边长为xcm，则下面所列方程正确的是（）A．4x2=3600 B．100×50﹣4x2=3600C．（100﹣x）（50﹣x）=3600 D．（100﹣2x）（50﹣2x）=360020．某学校拟建一间矩形活动室，一面靠墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，建成后的活动室面积为75m2，求矩形活动室的长和宽，若设矩形宽为x，根据题意可列方程为（）A．x（27﹣3x）=75 B．x（3x﹣27）=75 C．x（30﹣3x）=75 D．x（3x﹣30）=75 21．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（）A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟22．如图，△ABC中，∠C=90，AB=10cm，AC=8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s 的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（）秒后四边形APQB是△ABC面积的．A．2 B．4.5 C．8 D．7二．解答题（共6小题）23．成都市中心城区“小游园，微绿地”规划已经实施，武侯区某街道有一块矩形空地进入规划试点．如图，已知该矩形空地长为90m，宽为60m，按照规划将预留总面积为4536m2的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等．（1）求各通道的宽度；（2）现有一工程队承接了对这4536m2的区域（阴影部分）进行种植花草的绿化任务，该工程队先按照原计划进行施工，在完成了536m2的绿化任务后，将工作效率提高25%，结果提前2天完成任务，求该工程队原计划每天完成多少平方米的绿化任务？24．如图，某小区规划在一个长30m，宽20m的矩形场地上修建两横竖通道，横竖通道的宽度比为2：1，其余部分种植花草，若通道所占面积是整个场地面积的．（1）求横、竖通道的宽各为多少？（2）若修建1m2道路需投资750元，种植1m2花草需投资250元，此次修建需投资多少钱？25．如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆总长为24m，设平行于墙的BC边长为xm．（1）若围成的花圃面积为40m2时，求BC的长；（2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50m2，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求BC的长？如果不能，请说明理由；（3）如图3，若计划在花圃中间用n道篱笆隔成小矩形，且当这些小矩形为正方形时，请列出x、n满足的关系式．26．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．27．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A，C 同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D 移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm？（3）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？28．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，（1）当x为何值时，点P、N重合；（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．参考答案一．选择题（共22小题）1．B．2．D．3．A．4．C．5．B．6．A．7．C．8．A．9．D．10．D．11．B．12．D．13．D．14．C．15．C．16．A．17．A．18．B．19．D．20．C．21．B．22．A．二．解答题（共7小题）23．解：（1）设各通道的宽度为x米，根据题意得：（90﹣3x）（60﹣3x）=4536，解得：x1=2，x2=48（不合题意，舍去）．答：各通道的宽度为2米．（2）设该工程队原计划每天完成y平方米的绿化任务，根据题意得：﹣=2，解得：y=400，经检验，y=400是原方程的解，且符合题意．答：该工程队原计划每天完成400平方米的绿化任务．24．解：（1）设竖通道的宽为xm，则横通道的宽为2xm．根据题意得：（30﹣2x）（20﹣4x）=30×20×（1﹣），整理得：x2﹣20x+19=0，解得：x1=1，x2=19（不合题意，舍去），∴2x=2．答：横通道宽2m，竖通道宽1m．（2）30×20××750+30×20××250，=114 000+112000，=226000（元）．答：此次修建需要投资226000元．25．解：（1）根据题意得，AB=m，则•x=40，∴x1=20，x2=4，因为20＞15，所以x1=20舍去答：BC的长为4米；（2）不能围成花圃，根据题意得，，方程可化为x2﹣24x+150=0△=（﹣24）2﹣4×150＜0，∴方程无实数解，∴不能围成花圃；（3）∵用n道篱笆隔成小矩形，且这些小矩形为正方形，∴AB=，而正方形的边长也为，∴关系式为：．26．解：（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x（32﹣2x）=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y（36﹣2y）=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=（﹣18）2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．27．解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6=33，解之得x=5，（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作QE⊥AB，垂足为E，则QE=AD=6，PQ=10，∵PA=3t，CQ=BE=2t，∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6．（3）过点P作PM⊥CD于M，QN⊥AB于N则DM=AP=3cm．CQ=BN=2tcm分三种情况；∴当DP=DQ时，则DM=MQ=3tcm．∵3t+3t+2t=16．∴t=2；②当DQ=PQ时，在直角△PNQ中，由勾股定理得：（16﹣2t）2=62+（16﹣3t﹣2t）2整理，得7t2﹣32t+12=0，解得t1=，t2=；③当DP=DQ时，在直角△DAP中，由勾股定理得：（16﹣2t）2=62+（3t）2解得t1=，t2=（舍去）综上所述，经过2秒、秒、秒或秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形．答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．（3）经过2秒、秒、秒或秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形．28．解：（1）∵P，N重合，∴2x+x2=20，∴，（舍去），∴当时，P，N重合；（2）因为当N点到达A点时，x=2，此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，依题意得20﹣（x+3x）=20﹣（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2，当x=2时四边形PQMN是平行四边形；②当点P在点N的右侧时，依题意得20﹣（x+3x）=（2x+x2）﹣20，解得x1=﹣10（舍去），x2=4，当x=4时四边形NQMP是平行四边形，所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．。
2020年秋九年级数学上册 第2章 2.5 一元二次方程的应用 第2课时 图形面积问题同步练习
2.5 一元二次方程的应用第2课时图形面积问题知识点 1 面积问题图2－5－11．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图2－5－1)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )A．(x＋1)(x＋2)＝18B．x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18D．x2＋3x＋16＝02．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm3，则原正方形铁皮的边长为( )A．10 cm B．13 cm C．14 cm D．16 cm图2－5－23．如图2－5－2是一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，它的长为8 m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18 m2.那么花边的宽为________m.4．如图2－5－3，利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．图2－5－35．如图2－5－4，要在一个长为10 m、宽为8 m的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，试求这个花圃的宽度．图2－5－4知识点 2 动点问题6．教材练习第2题变式如图2－5－5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，图2－5－5BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B同时开始运动，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点Q运动到点C后停止运动，点P也随之停止运动．经过几秒后，能使△PBQ的面积为15 cm2？( )A．2 s B．3 s C．4 s D．5 s7．如图2－5－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，其速度均为2 cm/s，几秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半？图2－5－68．如图2－5－7，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米．图2－5－79．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝24 cm，BC＝16 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以4 cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CB边向点B以2 cm/s的速度运动．它们同时出发，求几秒后，△PBQ的面积是△ABC面积的一半．10．2016·百色如图2－5－8，在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA，OB长度不限)中，要砌20 m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且矩形地面AOBC的面积为96 m2.(1)求矩形地面的长；(2)有规格为0.80 m×0.80 m和1.00 m×1.00 m的地板砖单价分别为55元/块和80元/块．若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？图2－5－811．如图2－5－9①，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？分析：由横、竖彩条的宽度比为2∶3，可设每个横彩条的宽为2x cm，则每个竖彩条的宽为3x cm.为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD.(1)结合以上分析完成填空：如图②：用含x的代数式表示：AB＝________cm；AD＝________cm；矩形ABCD的面积为________cm2.(2)列出方程并完成本题的解答．图2－5－9详解详析1．C [解析] 根据题意，可知剩余的长方形空地的长为(x－1)m，宽为(x－2)m，所以可列出方程为(x－1)(x－2)＝18，故选C.2． D [解析] 设原正方形铁皮的边长是x cm，则做成的没有盖的长方体盒子的长、宽均为(x－3×2)cm，高为3 cm，根据题意列方程得(x－3×2)×(x－3×2)×3＝300，解得x1＝16，x 2＝－4(不合题意，舍去)．即原正方形铁皮的边长是16 cm.故选D.3．1 [解析] 设花边的宽为x m ，则地毯的长为(8－2x )m ，宽为(5－2x )m ，根据题意列方程得(8－2x )(5－2x )＝18，解得x 1＝1，x 2＝5.5(不符合题意，舍去)．故花边的宽为1 m.4．解：设垂直于墙的一边长为x m ，则平行与墙的一边长为(58－2x )m. 依题意得x (58－2x )＝200， 解得x 1＝25，x 2＝4，58－2x 1＝8，58－2x 2＝50.答：矩形的长为25 m ，宽为8 m 或矩形的长为50 m ，宽为4 m. 5．解：设这个花圃的宽度为x m ，依题意，得 (10－2x )(8－x )＝10×8×(1－30%)， 解得x 1＝12(不合题意，舍去)，x 2＝1. 答：这个花圃的宽度为1 m.6．B [解析] 设经过t s 后，能使△PBQ 的面积为15 cm 2， 则BP ＝(8－t )cm ，BQ ＝2t cm ，由三角形的面积计算公式列方程得12×(8－t )×2t ＝15，解得t 1＝3，t 2＝5(当t ＝5时，BQ ＝10，不合题意，舍去)．故经过3 s 后，能使△PBQ 的面积为15 cm 2. 7．解：设t s 后△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半，则可得此时PC ＝AC －AP ＝(12－2t )cm ，CQ ＝BC －BQ ＝(9－2t )cm ，∴△PCQ 的面积为12·PC ·CQ ＝12(12－2t )(9－2t )cm 2.∵△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半，△ABC 的面积＝12×12×9＝54(cm 2)，∴12(12－2t )(9－2t )＝27，解得t ＝9或t ＝1.5.∵0≤t ≤4.5， ∴t ＝1.5，则1.5 s 后△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半． 8．设AB ＝x 米，则BC ＝(100－4x )米． 根据题意得x (100－4x )＝400，整理得x 2－25x ＋100＝0，解得x 1＝20，x 2＝5. 当AB ＝20米时，BC ＝20米，符合题意； 当AB ＝5米时，BC ＝80米>25米，故舍去． 答：羊圈的边长AB ，BC 都为20米．9．解：设x s 后，△PBQ 的面积是△ABC 面积的一半，则12(24－4x )(16－2x )×32＝12×12×24×16×32，解得x ＝2或x ＝12(舍去)． 答：2 s 后，△PBQ 的面积是△ABC 面积的一半．10．解： (1)设矩形地面的长为x m ，则宽为(20－x )m ，由题意，得x (20－x )＝96， 解得x 1＝12，x 2＝8(舍去)． 答：矩形地面的长为12 m.(2)需要规格为0.80 m×0.80 m 的地板砖96÷(0.8×0.8)＝150(块)， 则总费用为55×150＝8250(元)；需要规格为1.00 m×1.00 m 的地板砖96÷(1.0×1.0)＝96(块)， 则总费用为80×96＝7680(元)．∵7680＜8250，∴用规格为1.00 m×1.00 m 的地板砖费用较少．11． (1)(20－6x ) (30－4x ) (24x 2－260x ＋600)(2)根据题意，得24x 2－260x ＋600＝(1－13)×20×30，整理，得6x 2－65x ＋50＝0，解得x 1＝56，x 2＝10(不合题意，舍去)，则2x ＝53，3x ＝52.答：每个横、竖彩条的宽度分别为53 cm ，52 cm.。
人教版九年级上册数学同步练习《实际问题与一元二次方程》(习题+答案)
21.3 实际问题与一元二次方程内容提要1.列一元二次方程解应用题应注意各类应用题中常见的等量关系，注意挖掘题目中隐含的等量关系.2.本节主要讨论增长率问题、几何图形面积问题、传播类型问题.应用一元二次方程解决实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.3.求得方程的解后，注意检验其结果是否符合题意，然后得到原问题的解答. 基础训练（1）二次增长类型1．某商品原价为200元，连续两次降价%a 后售价为148元，下面所列方程正确的是（ ）A ．()22001%148a +=B ．()22001%148a -=C ．()2200%148a +=D ．()2200%148a -=2．某地区2013年投入教育经费2500万元，预计2015年投入教育经费3600万元.设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．225003600x =B ．()2250013600x +=C ．()225001%3600x +=D ．()()225001250013600x x +++= 3．由于国家出台对房屋的限购令，某地房屋价格原价为2400元/平方米，通过连续两次降价%a 后，售价变为2000元/平方米，下列方程中正确的是（ ）A ．()224001%2000a -=B ．()220001%2400a -=C ．()224001%2000a +=D ．()224001%2400a -=4．某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价%m 后现价为25元.根据题意可列方程为 .5．某地区以旅游业为龙头的服务业将成为推动该区经济发展的主要动力.2013年全区全年旅游总收入大约1000亿元，如果到2015年全区全年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为 .6．某公司只生产普通汽车和新能源汽车，该公司在去年的汽车产量中，新能源汽车占总产量的10%，今年由于国家能源政策的导向和油价上涨的影响，计划将普通汽车的产量减少10%，为保持总产量与去年相等，那么今年新能源汽车的产量应增加的百分数为.7．据报道，某市农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2013年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了，假定该市每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2015年的利用率提高到60%，求每年的增长率. 1.41）8.某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工需比乙工程队单独施工多用30天才能完成此项工程.（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）若甲工程队单独做a天后，再由甲、乙两工程队合作多少天（用含a的代数表示）可完成此项工程？（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使总施工费不超过64万元？基础训练1．某中学准备建一个面积为2375m的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m.设游泳池的长为xm，则可列方程（）A．()10375x x+=x x-=B．()10375C．()2210375x x+=x x-=D．()22103752．在一幅长60cm，宽40cm的矩形中学生书画作品的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示.如果要使整个作品的面积是22816cm，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．()()++=6024022816x xB ．()()60402816x x ++=C ．()()602402816x x ++=D ．()()604022816x x ++=3．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问二月、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x ，根据题意列得方程为（ ）A ．()2501175x +=B ．()250501175x ++=C ．()()2501501175x x +++=D ．()()250501501175x x ++++=4．一块正方形钢杆上截去3cm 宽的长方形钢条，剩下的面积是254cm ，则原来这块钢板的面积是 2cm .5．某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，设长方形绿地的宽为x 米，则可列方程为 .6．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米、宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a 米.（1）用含a 的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时通道的宽.7．思思家有一块长8m 、宽6m 的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花园，并使花园面积为空地面积的一半，思思设计了如下的四种方案供妈妈挑选，请你选择其中的一种方案帮思思求出图中的x 值.基础训练（3）传播类型1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人2．一月份某地发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出方程正确的是（ ）A ．()21001250x +=B ．()()210011001250x x +++=C ．()21001250x -=D ．()1001x +3．要某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）A ．()110x x -=B ．()1102x x -= C ．()110x x += D ．()1102x x +=4．有4支球队要进行篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则一共需比赛场.5．2011年甲型H1N1流感病毒在某地有蔓延趋势，世界卫生组织提出各国要严加防控，因为曾经有一种流感病毒，若一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感.如果设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么可列方程为.6．由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降，由原来每千克16元下调到每千克9元.设平均每次下调的百分率为x，则根据题意可列方程为.7．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮传染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮传染中平均一台电脑会传染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮传染后，被传染的电脑会不会超过700台？8.一种电脑病毒NHK传播速度极快，每台带NHK病毒的电脑一天能传染若干台.（1）现有一台电脑感染上这种NHK病毒，开始两天共有225台电脑感染上NHK病毒，每台电脑每天平均传染了几台？（2）两天后，启用新的杀毒软件“小北毒霸”，平均一天一台带NHK病毒电脑以少传染5台的速度在递减，再过两天，共有多少台电脑感染上NHK病毒？能力提高1．在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形中学生书画作品的四周镶一条相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个作品的面积是25400cm，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．213014000x x+-=+-=B．2653500x xC．213014000--=x xx x--=D．26535002．关于x 的方程的两根分别为13x =-，22x =，则这个方程可以为（ ）A ．()()320x x --=B ．()()320x x ++=C ．()()320x x -+=D ．()()320x x +-= 3．根据下列表格的对应值： x 3.233.24 3.25 3.26 2ax bx c ++0.06- 0.02- 0.03 0.07 判断方程20ax bx c ++=（0a ≠，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是（ ）A ．3 3.23x <<B ．3.23 3.24x <<C ．3.24 3.25x <<D ．3.25 3.26x <<4．如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，根据图中数据，计算耕地的面积为 .5．填空：22x x ++（ ）()22_______x =+.6．跳水运动员李玲从10米高台上跳水，她跳下的高度h （单位：米）与所用时间t （单位：秒）的关系是()()521h t t =--+，她从起跳到入水所用的时间是 .7．用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为()217x cm +，正六边形的边长为()22x x cm +（其中0x >）.求这两段铁丝的总长.8．某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克.若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？9.某火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍.（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元.在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）10.为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电作如下规定：一间宿舍一个月用电量若不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交100a 元.某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元. （1）求a 的值； （2）该宿舍5月份交电费为45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？拓展探究1.思思和同桌聪聪在课后复习时，对一道思考题进行了探索：一架2.5米长的梯子AB 斜靠在竖直的墙AC 上，这时B 到墙C 底端的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B 将向外移动多少米？（1）请你将思思对思考题的解答补充完整：解：设点B 将向外移动x 米，即1BB x =，10.7B C x =+，2211 2.50.70.42AC AC AA =--=. 而11 2.5A B =，在11Rt A B C ∆中，由2221111B C A C A B +=，得方程 ，解方程得1x =，2x = . ∴点B 将向外移动米. （2）解完思考题后，聪聪提出：①在思考题中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？②在思考题中，梯子的顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？2.把一边长为40cm 的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）.（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.①要使折成的长方体盒子的底面积为2484cm ，那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由.（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分拆成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为2550cm ，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）.3.某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，思思设计了点做圆周运动的一个雏形.如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A ，B 以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l (cm)与时间t (s)满足关系：()213022l t t t =+≥，乙以4/cm s 的速度匀速运动，半圆的长度为21cm.（1）甲运动4s 后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运用了多少时间？（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？4.低碳生活的理念已逐步被人们所接受.据相关资料统计：一个人平均一年节约的用电，相当于减排二氧化碳约18千克；一个人平均一年少买的衣服，相当于减排二氧化碳约6千克.问题解决：甲、乙两校分别对本校师生提出“节约用电”“少买衣服”的倡议.2012年两校响应本校倡议的人数共60人，因此而减排的二氧化碳总量为600千克.（1）2012年两校响应本校倡议的人数分别为多少？（2）2012年到2014年，甲校响应本校倡议的人数每年增加相同的数量；乙校响应本校倡议的人数每年按相同的百分率增长.2013年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的2倍；2014年两校响应本校倡议的总人数比2013年两校倡议的总人数多100人.求2014年两校因响应本校倡议减排二氧化碳的总量.数学应用请阅读下列材料：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.解：设所求方程的根为y ，则2y x =，所以2y x =.把2y x =代入已知方程，得21022y y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.化简，得2240y y +-=，故所求方程为2240y y +-=.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：（1）已知方程220x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍，则所求方程为 ；（2）已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.应用2构造一元二次方程解决较复杂的几何问题：如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB=，点P从A点出发，沿射线AB运动，点Q从点C出发，以相同的速度沿BC的延长2线运动，PQ与直线AC交于点D.当AP的长为何值时，PCQ∆的面积相等？∆与ABC数学应用1.解一元二次方程要观察方程的特点，灵活选取适当的方法来解.一般地，用配方法可以解任意一个一元二次方程.但对形如20a≠的一元二次方程，采用因式分解法+=()0ax bx求解更为简便.2.本章中还渗透了一些重要的数学思想方法，如在利用配方法解题过程中，体现了一种重要的数学思想方法——化归，即把一个一般的一元二次方程转化为“()2+=”的形x a b式；用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程时，抓住“降次”这一基本策略.在学习过程中，同学们应多加体会.3.列一元二次方程解应用题应注意各类应用题中常见的等量关系：（1）与几何图形有关的问题：这类应用题经常用到的几何知识有：①面积公式；②勾股定理.（2）有关增长率（或降低率）的问题：①若原有值为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为()+，二次增长后的值为()2a x1+；②若原有值为b，平均降低率为y，则一a x1次降低后的值为()b y-，二次降低后的值为()21-；③解决这类问题时，如果原有值没b y1有具体给出，那么我们通常把它设为单位1.4.方程是一种重要的数学模型，许多代数、几何问题以及实际问题可以通过构造一元二次方程来解决.数学文化塔塔利亚发现的一元三次方程的解决1494的，意大利数学家帕西奥利对三次方程进行过艰辛的探索后作出极其悲观的结论.他认为在当时的数学中，求解三次方程，犹如化圆为方问题一样，是根本不可能的.费罗在帕西奥利作出悲观结论不久，大约在1500年左右，得到了3x mx n +=这样一类缺项三次方程的求解公式.大约1510年左右，帕西奥利将这一成果传给他的学生菲奥尔.1534年塔塔利亚宣称自己已得到了形如32x mx n +=这类没有一次项的三次方程的解的方法.菲奥尔与塔塔利亚二人相约在米兰进行公开比赛.双方各出三十个三次方程的问题，约定谁解出的题目多谁就获胜.塔塔利亚在1535年2月13日，在参加比赛前夕经过多日的苦思冥想后终于找到了多种类型三次方程的解法.于是在比赛中，他只用了两个小时的时间就轻而易举地解出了对方出的所有题目，而对方对他出的题目却一题都做不出来，这样他以30：0的战绩大获全胜，这次辉煌的胜利为塔塔利亚带来轰动一时的荣誉，塔塔利亚为这次胜利所激励，更加热心于研究一般三次方程的解法.到1541年，终于完全解决了三次方程的求解问题，卡尔达诺在此之前对三次方程求解问题已进行过长时间的研究，却没有得到结果.于是多次向塔塔利亚求教，开始都被塔塔利亚拒绝了.但最终在卡尔达诺立下永不泄密的誓言后，他于1539年3月25日向卡尔达诺公开了自己的秘密.但卡尔达诺并没有遵守自己的诺言，1545年他出版《大术》一书，将三次方程解法公之于众，从而使自己在数学界声名鹊起.由于卡尔达诺最早发表了求解三次方程的方法，因而数学上三次方程的解法至今仍被称为“卡达尔诺公式”，塔塔利亚之名反而湮没无闻了.一元三次方程的一般形式是320x sx tx u +++=，如果作一个横坐标平移3s y x =+，那么我们就可以把方程的二次项消去，所以我们只要考虑形如3x px q =+的三次方程.假设方程的解x 可以写成x a b =-的形式，这里a 和b 是待定的参数.代数方程，我们就有()322333a a b ab b p a b q -+-=-+，整理得()()333a b a b p ab q -=-++，由二次方程理论可知，一定可以适当选取a 和b ，使得在x a b =-的同时30ab p +=，这样上式就成为33a b q -=，两边各乘以327a ，就得到6333272727a a b qa -=，由3p ab =-可知6332727a p qa +=.这是一个关于3a的二次方程，所以可以解得a.进而可解出b和根x.学业评价21.3 参考答案：基础训练（1）1．B 2．B 3．D 4．()2361%25m -= 5．20% 6．90%7．设每年产出的农作物秸秆总量为a ，合理利用量的增长率是x ，由题意得()230%160%a x a ⋅⋅+=⋅，即()212x +=．所以10.41x ≈，2 2.41x ≈-（不合题意，舍去）．故0.41x ≈，即每年秸秆合理利用量的增长率约是41%．8．（1）设乙单独做x 天完成此项工程，由题意得1120130x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，整理得2106000x x --=，解得130x =，220x =-，经检验：130x =，220x =-都是分式方程的解，但220x =-不符合题意舍去． 答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天．（2）设甲独做a 天后，甲、乙再合做203a ⎛⎫- ⎪⎝⎭天，可以完成此项工程． （3）由题意得()11 2.520643a a ⎛⎫⨯++-≤ ⎪⎝⎭，解得36a ≥． 答：甲工程队至少要独做36天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使总施工费不超过64万元．基础训练（2）1．A 2．A 3．D 4．81 5．()10300x x +=6．（1）()()402602a a -- （2）57．方案一：根据题意，得()()186862x x --=⨯⨯，解得112x =，22x =．112x =不合题意，舍去，∴2x =，其他方案略．基础训练（3） 1．B 2．B 3．B 4．6 5．()1181x x x +++=或()2181x += 6．()21619x -=7．设每轮传染中平均每一台电脑会传染x 台电脑，依题意得()1181x x x +++=，()2181x +=，19x +=或19x +=-，18x =或210x =-（舍去），()()23118729700x +=+=>．答：每轮传染中平均每一台电脑会传染8台电脑，3轮传染后，被传染的电脑会超过700台．8．（1）设每台感染NHK 病毒电脑每天传染x 台，依题意得()11225x x x +++=，()21225x +=，115x +=±，114x =，216x =-（不合题意，舍去）． 答：每台每天平均传染了14台．（2）第三天感染上NHK 病毒电脑有：()2252251452250+-=，第四天感染上NHK 病毒电脑有：()22502250145511250+--=答：第四天共有11250台电脑感染上NHK 病毒．能力提高1．B 2．D 3．C 4．2551m 5．18 146．2秒 7．由已知得，正四边形周长为()2517x +cm ，正六边形周长为()262x x +cm ，因为正五边形和正六边形的周长相等，所以()()2251762x x x +=+．整理得212850x x +-=，解得15x =，217x =-（舍去），故正五边形的周长为()25517210⨯+=(cm)，又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm ．8．（1）解：设每千克核桃应降价x 元．根据题意，得()60401002022402x x ⎛⎫--⋅+⨯= ⎪⎝⎭．解得14x =，26x =．答：每千克核桃应降价4元或6元．（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为60654-=（元），54100%90%60⨯=． 答：该店应按原售价的九折出售．9．（1）设甲队单独完成这项工程需要x 个月，则乙队单独完成这项工程需要()5x -个月．由题意得()()565x x x x -=+-，解得12x =，215x =，因为12x =不合意，舍去，故15x =，510x -=． 答：甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月．（2）设在完成这项工程中甲队做了m 个月，则乙队做了2m 个月，由题意知：乙队每月的施工费为150万元，根据题意列不等式得10015015002m m +⨯≤，解得487m ≤，∵m 为正整数，∴m 的大整数值为8．答：完成这项工程，甲队最多施工8个月．10．（1）()802035100a a -+=．解得150a =，230a =．∵45a ≥，230a =不合题意，舍去．∴50a =． （2）设宿舍5月份用电量为x 千瓦时，()50502045100x -⨯+=，解得100x =， 答：该宿舍5月份用电量为100千瓦时．拓展探究 1．（1）()2220.72 2.5x ++= 0.8 2.2-（舍去） 0.8（2）①不会是0.9米 ②有可能．设梯子顶端从A 处下滑x 米，则有()()2220.7 2.4 2.5x x ++-=，解得 1.7x =或0x =（舍去）． 2．（1）①设剪掉的正方形的边长为x cm ，则()2402484x -=，解得131x =（不合题意，舍去），29x =，∴剪掉的正方形的边长为9cm ． ②侧面积有最大值．设剪掉的小正方形的边长为x cm ，盒子的侧面积S 为()4402x x -2cm ，即()2810800S x =--+，∴当10x =时，即当剪掉的正方形的边长为10cm 时，长方形盒子的侧面积最大为2800cm ．（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的长方形盒子的高为x cm ．()()()()2402202202402550x x x x x x --+-+-=，解得135x =-（不合题意，舍去），215x =．∴剪掉的正方形的边长为15cm ．此时长方体盒子的长为15cm ，宽为10cm ，高为5cm ．3．（1）当4t =时，()213441422l cm =⨯+⨯=．答：甲运动4s 后的路程是14cm ．（2） 设它们运动了ms 后第一次相遇，根据题意，得21342122m m m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得13m =，214m =-（不合题意，舍去）．答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s ．（3）设它们运动了ns 后第二次相遇，213421322n n n ⎛⎫++=⨯ ⎪⎝⎭，解得17n =，218n =-（不合题意，舍去）．答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s ．4．（1）设2012年甲校响应本校倡议的人数为x 人，乙校响应本校倡议的人数为y 人，依题意得60,186600.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得20x =，40y =． ∴2012年甲、乙两校应倡议的人数分别是20人和40人．（2）设2012年到2014年，甲校响应本校倡议的人数每年增加m 人；乙校响应本校倡议的人数每年增长的百分率为n ．依题意得()()()()()()2202401,20240120401100.m n m n m n ⎧+⨯=+⎪⎨+++=++++⎪⎩由①得20m n =，代入②并整理得22350n n +-=，解之得11n =，2 2.5n =-（负值舍去）． ∴20m =，∴2014年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量：()()22022018401162040+⨯⨯++⨯=（千克）． 答：2014年两次响应本校倡议减排二氧化碳的总量为2040千克．数学应用应用1 （1）2390y y +-=（2）设所求方程的根为y ，则()10y x x =≠，于是()10x y y=≠． 把1x y =代入方程20ax bx c ++=，得2110a b c y y ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭．去分母，得20a by cy ++=． 若0c =，有20ax bx += ，于是方程20ax bx c ++=有一个根为0，不符合题意．∴0c ≠． 故所求方程为()200cy bx a c ++=≠．应用2 设AP x =，当点P 在线段AB 上时，PCQ ∆与ABC ∆的面积不相等；当点P 在AB 的延长线上时，有()1222PCQ S x x ∆=-=，解得11x =，21x =-（舍去），即1AP =。
人教版九年级上册数学 22 3实际问题与一元二次方程 同步练习(含答案)
人教版九年级上册数学22.3 实际问题与一元二次方程同步练习一、单选题1．粮食是人类赖以生存的重要物质基础．某农业基地现有杂交水稻种植面积30公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至36.3公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x ，根据题意列出方程正确的是（ ） A ．230(1)36.3x -= B ．230(1)36.3x += C ．()236.3130x -=D ．236.3(1)30x +=2．广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x 人，则可列方程（ ） A ．2125x x ++= B ．225x x += C ．()2125x +=D ．()125x x x ++=3．某中学连续3年开展植树活动，已知第一年植树500棵，第三年植树720棵，若设该校这两年植树棵数的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A ．()5001720x += B ．()25001720x += C ．()50012720x +=D ．()25001720x -=4．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地95号汽油价格三月底是7.1元/升，五月底是9.4元/升．设该地95号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x ，根据题意列出方程，正确的是（ ） A ．()27.119.4x += B ．()29.417.1x +=C ．()27.119.4x+=D ．()()27.117.119.4x x +++=5．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元．如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为（ ） A ．()220011000x +=B ．20020021000x +⨯=C ．()()2200120011000x x +++=D ．()()2200200120011000x x ++++=6．随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了2862张照片，若该班有x 名同学，则根据题意可列出方程为（ ）A ．()12862x x -=B ．()12862x x +=C ．()212862x x -=D ．()128622x x -=⨯7．某种药品原来售价200元，连续两次降价后售价为162元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是（ ） A ．10%B ．9%C ．19%D ．10%或19%8．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1560张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（ ）二、填空题9．目前以5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2020年底有5G 用户2万户，计划到2022年底全市5G 用户数达到13.52万户，设全市5G 用户数年平均增长率为x ，则x 值为___________．10．某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，问增加了_________行或_________列．11．电影《长津湖之水门桥》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x ，则方程可以列为___________．12．“疫情”期间，某商场积压了一批商品，现欲尽快清仓．老板决定在抖音直播间降价促销，据调查发现，若每件商品盈利50元，可售出500件，商品单价每下降1元，则可多售出20件，设每件商品降价x 元若要使销售该商品的总利润达到28000元，并能尽快清仓，则每件商品应降价 _____元．13．受疫情影响，某快递公司的投递业务锐减，已知今年1月份与3月份完成的快递总件数分别为25万件和16万件，若假设快递量平均每月降低率为x ，则可列出方程________．14．阅读理解：给定一个矩形，如果存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当矩形的长和宽分别为2和1时，其“加倍矩形”的外接圆半径为____．15．一个长方体包装盒的表面展开图如图所示，若此包装盒的容积为1500cm 3，则该长方体最短的棱的长为_________________cm ．16．某学区房房价连续两次上涨，由原来的每平方米10000元涨至每平方米12100元，设每次涨价的百分率相同，则涨价的百分率为______．三、解答题17．某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为60元，现以每个100元销售，每天可售出20个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1元，则每天多售出2个．(1)未降价之前，该商场的总盈利为多少元？(2)为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？18．某小区为了改善绿化环境，计划购买A、B两种树苗共100棵，其中A树苗每棵40元，B树苗每棵35元．经测算购买两种树苗一共需要3800元．(1)计划购买A B、两种树苗各多少棵?(2)在实际购买中，小区与商家协商：两种树苗的售价均下降a元（10a ），且每降低1元，小区就多购买A树苗2棵，B树苗3棵．小区实际购买这两种树苗的费用比原计、树苗共多少棵?划费用多了300元，则该小区实际购买A B19．“绿化校园，书香开州”，今年三月份，开州区某校计划购买梧桐树苗和杉树苗共100棵，其中梧桐树苗每棵40元，杉树苗每棵35元，经预算，此次购买两种树苗一共至少需要3800元．(1)计划购买梧桐树苗最少是多少棵？(2)在实际购买中，因受树苗积压以及市场影响，为此商家降低了两种树苗的售价，且降价相同，但降价金额不得高于10元/棵，经统计发现，两种树苗的售价每降低1元，梧桐树苗的销售量会增加2棵，杉树苗的销售量会增加3棵．若该校实际购进这两种树苗一共所需费用比计划购买的最低费用多了300元，则两种树苗都降低多少元？20．如图，在Rt ABC △中，90B ，6cm AB =，8cm BC =．点P 从点A 出发，沿AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 向点C 以2cm /s 的速度移动．(1)经过多少秒后，PBQ 的面积为28cm ？(2)线段PQ 能否将ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由．(3)若点P 从点A 出发，沿射线AB 方向以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点C 出发，沿射线CB 方向以2cm /s 的速度移动，经过多少秒后PBQ 的面积为21cm参考答案：不能将ABC分成面积相等的两部分。
数学人教版九年级上册一元二次方程的实际应用----面积问题
B
C
举一反三，体验成功
【变式】如图,绿色矩形ABCD,AB=15m,BC=20m, 四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积 A D 为246m2,求小路的宽度.
解：设道路的宽的为x米，依题意得
x
27m x
27-2x 21m
21-2x
3 ( 27 2 x )· ( 21 2 x ) 27 21 4
x
举一反三，触类旁通
【例】要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm, 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如 果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一， 上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边 衬的宽度（结果保留小数点后一位） ？ 分析： （1）如何理解“正中央是 一个与整个封面长宽比例 27 相同的矩形” （2）如何转化“四周的彩 色边衬所占面积是封面面积 的四分之一”？
解:设小路宽为x米， 则
B
C
( 20 2 x )( 15 2 x ) 246 15 20
举一反三，触类旁通
3x
30m
3x 2x
21m
如图，在矩形场地上修筑两 横两纵四条小路，横纵路的宽 度之比2∶3 ，余下的草坪面积 是原来矩形面积的二分之一， 则路宽应为多少？
பைடு நூலகம்
2x
解：设横纵路的宽度分别 为2x和3x ，依题意得 2x
设小道进出口宽度为x米依题意得牛刀小试解决问题302x20x5323020变式某公园计划在矩形的空地上挖一矩形的人工湖矩形内部四周环绕着宽度相等的小路如图空地矩形abcdab21mbc26m已知小路的面积为246m举一反三体验成功26202462126变式如图绿色矩形abcdab15mbc20m四周外围环绕着宽度相等的小路已知小路的面积为246m2015246举一反三体验成功如图在矩形场地上修筑两度之比23余下的草坪面积是原来矩形面积的二分之一则路宽应为多少