高等数学第10章 线性规划
线性规划PPT课件
基解：令所为 有 0， 非求 基出 变的 (1量 .2)的 满解 足 称为基解。
基可行解与可行 足基 (1.3)： 的满 基解称为基可 对应基可行解的 为基 可， 行称 基。基 显可 然 解的数目 基解的数 C目 nm
基本最优解与最优基 满： 足(1.1) 的基可行解称为基本 优最 解，
对应m,如果 B是矩A中 阵的一 mm个 阶非奇异 (|B子 |0)矩 ,则阵 称 B是线性规 题的一个基。
基向量与非基向B量 中： 的基 列向量称为，基向 矩阵A中除B之外各列即为非，基 A中 向共 量 有nm个非基向量。
基变量与非基 基变 向P量 j量 对： 应与 的xj变 称量 为基变量；否 基则 变称 量为 。非
将文件存储并命名后，选择菜单 “Solve” 并对提示 “ DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS? ”回答“是”，即 可得到如下输出：
“资源” 剩余 为零的约束为 紧约束（有效 约束）
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
可行解 基 解
基可行解
1.4 线性规划问题的图解法
下面结合例1的求解来说明图解法步骤。
例1
max Z 4 x1 3 x2
2 x1 3 x2 24
s. t 3 x1 2 x2 26
x2
x1, x2 0
Q3(6,4)
第一步：在直角坐标系中分
别作出各种约束条件，求出
3x1+2x2=26
Q2(6,4)
B
条 件
3x1 100
x1,x2 0
l3:3x1 100 l4
l4:x10,l5:x200
数学建模线性规划
线性规划1.简介：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.规划问题。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
在优化模型中，如果目标函数f(x)和约束条件中的gi(x)都是线性函数，则该模型称为线性规划。
2.线性规划的3个基本要素（1）决策变量（2）目标函数f(x)（3）约束条件（gi(x)≤0称为约束条件）3.建立线性规划的模型（1）找出待定的未知变量（决策变量），并用袋鼠符号表示他们。
（2）找出问题中所有的限制或者约束，写出未知变量的线性方程或线性不等式。
（3）找到模型的目标或判据，写成决策变量的线性函数，以便求出其最大值或最小值。
以下题为例，来了解一下如何将线性规划用与实际的解题与生活中。
生产计划问题某工厂生产甲乙两种产品，每单位产品消耗和获得的利润如表试拟订生产计划，使该厂获得利润最大解答：根据解题的三个基本步骤（1）找出未知变量，用符号表示：设甲乙两种产品的生产量分别为x1与x2吨，利润为z万元。
（2）确定约束条件：在这道题目当中约束条件都分别为：钢材，电力，工作日以及生产量不能为负的限制钢材：9x 1+5 x 2≤360，电力：4x 1+5 x 2≤200，工作日：3x 1+10 x 2≤300，x 1 ≥0 ，x 2 ≥0，（3）确定目标函数：Z=7x 1+12 x 2所以综合上面这三步可知，这个生产组合问题的线性规划的数学模型为：max Z=7x 1+12 x 2s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+00300103200543605921212121x x x x x x x x4.使用MATLAB 解决线性规划问题依旧是以上题为例，将其用MATLAB 来表示出来1.将目标函数用矩阵的乘法来表示max Z=(7 12)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21x x 2.将约束条件也用矩阵的乘法表示s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121003002003601035459x x x x 编写MATLAB 的程序如下：c=[-7 -12]; (由于是max 函数，因此将目标函数的系数全部变为负数)A=[9,5;4,5;3,10];b=[360;200;300];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)其运行结果显示如下：x =20.000024.0000fval =-428.00005.MATLAB 求解线性规划的语句(1)c=[ ] 表示目标函数的各个决策变量的系数(2)A=[ ] 表示约束条件中≥或≤的式子中的各个决策变量的系数。
线性规划ppt课件
a11x1+a12x2++a1nxn=b1
a21x1+a22x2++a2nxn=b2
(*)
am1x1+am2x2++amnxn=bm
x1, x2, , xn≥0
其中，bi≥0 (i=1,2,,m)
或者更简洁的，利用矩阵与向量记为
max z CT x
s.t. Ax b
(**)
x0
其中C和x为n维列向量，b为m维列向量， b≥0,A为m×n矩阵，m<n且rank(A)=m
⑵约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≤b1 加入非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx松n+弛xn+变1=量b1，有
⑶约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≥b1 减去非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx剩n -余xn变+1=量b1，有
⑷变量xj无约束。
令xj= xj - xj，对模型中的进行变量代换。
1.2 线性规划问题的求解——单纯形法 1.2.1 基本概念
可行解 满足约束条件（包括非负条 件）的一组变量值，称可行解。
所有可行解的集合称为可行域。
最优解 使目标函数达到最大的可行解 称为最优解。
基本解 对于有n个变量、m个约束方程的标准 型线性规划问题，取其m个变量。若这些变量在约 束方程中的系数列向量线性无关，则它们组成一组 基变量。确定了一组基变量后，其它n-m个变量称 为非基变量。
x0 必非最优解。
证 （1）显然
线性规划知识点归纳总结
线性规划知识点归纳总结一、知识梳理1 目标函数：P=2x＋y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数。
2 可行域：约束条件表示的平面区域称为可行域。
3 整点：坐标为整数的点叫做整点。
4 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题。
只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决。
5 整数线性规划：要求量整数的线性规划称为整数线性规划。
二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科，主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定和条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。
1 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线。
2 确定二元一次不等式所表示的平面区域有种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一端为所求的平面区域。
若直线不过原点，通常选择原点代入检验。
3 平移直线y=-kx+P时，直线必须经过可行域。
4 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点。
5 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等于表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解。
积储知识：一、1．占P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+ y0+C=02．点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上方（左上或右下），则当B>0时，Ax0+ y0+C >0；当B<0时，Ax0+ y0+C<0 3．点P（x0+，y0）D在直线Ax0+ y0+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+ y0+C<0；当B>0时，Ax0+ y0+C>0 注意：（1）在直线Ax+ By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标（x，y）代入Ax+ By+C=0，所得实数的符号都相同。
高中数学知识点精讲精析 简单线性规划
3.4.2 简单线性规划1. 相关定义：(1)线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
(2)可行解：满足线性约束条件的解叫做可行解。
(3)可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域。
(4)最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解。
2. 线性规划问题的求解步骤：(1)先设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；(2)作出相应的图象（注意特殊点与边界）(3)利用图象，在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（小）值；在在求线性目标函数的最大（小）值时，直线往右（左）平移则值随之增大（小），这样就可以在可行域中确定最优解。
注：①对线性目标函数中的符号一定要注意：当时，当直线过可行域且在y 轴截距最大时，值最大，在y 轴截距最小时，值最小；当时，当直线过可行域且在y 轴截距最大时，值最小，在y 轴截距最小时，值最大。
②如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点。
例1：设满足约束条件：，分别求下列目标函数的的最大值与最小值：(1)； (2)；(3)（是整数）； （4）； （5） 示中的区域，且【解析】先作可行域，如下图所求得、、),(y x ny mx z +=0=+ny mx By Ax z +=B 0>B z z 0<B z z y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x y x z 106+=y x z -=2y x z -=2y x ,22y x +=ω1+=x y ωABC ∆)2,5(A)1,1(B )522,1(C(1)作出直线，再将直线平移，当的平行线过点B 时，可使达到最小值；当的平行线过点A 时，可使达到最大值。
故，(2)同上，作出直线，再将直线平移，当的平行线过点C 时，可使达到最小值；当的平行线过点A 时，可使达到最大值。
线性规划知识点
线性规划知识点一、什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决在给定约束条件下的线性目标函数的最优化问题。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，因此可以通过线性代数的方法进行求解。
线性规划在实际问题中有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
二、线性规划的基本要素1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中 Z 为目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ 为系数，x₁,x₂, ..., xₙ 为决策变量。
2. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，通常表示为x₁, x₂, ..., xₙ。
决策变量的取值决定了目标函数的值。
3. 约束条件：约束条件限制了决策变量的取值范围。
约束条件可以是等式约束或不等式约束，通常表示为 a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，a₂₁x₁ +a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂，...，aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ，其中 a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ 为系数，b₁, b₂, ..., bₙ 为常数。
4. 非负约束：线性规划中通常要求决策变量的取值非负，即 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ...,xₙ ≥ 0。
三、线性规划的解法线性规划可以通过不同的方法进行求解，常见的方法包括图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法：图形法适用于二维或三维的线性规划问题。
首先将目标函数和约束条件转化为几何形式，然后在坐标系中绘制约束条件的图形，最后通过图形的分析找到最优解点。
2. 单纯形法：单纯形法是一种通过迭代寻找最优解的方法。
该方法从一个可行解开始，通过不断移动到相邻的可行解来逐步接近最优解。
单纯形法的核心是单纯形表，通过表格的变换和计算来确定下一个迭代点，直到找到最优解。
3. 内点法：内点法是一种通过迭代寻找最优解的方法。
线性规划PPT优秀课件
y
1
x+y-1>0
1
O
x+y-1<0 x+y-1=0
x
复习二元一次不等式表示平面区域的范例 例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。 y
6
注意：把直
线画成虚线以 表示区域不包 括边界
O
2x+y-6=0
3
x
复习二元一次不等式表示平面区域的范例 y
5Hale Waihona Puke 例2 画出不等式组 x+y=0
x y 5 0 x y 0 x 3
探索结论
复习判断二元一次不等式表示哪一 侧平面区域的方法
由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入ax+by+c，所得的实 数的符号都相同，故只需在这条 直线的某一侧取一特殊点(x0，y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c>0表示这一直线 哪一侧的平面区域，特殊地，当 c≠0时常把原点作为此特殊点
可行域
(5,2)
(1,1)
线性规划
例1 解下列线性规划问题： 求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下 列条件： 2x+y=0 y
解线性规划问题的一般步骤：
2x+y=-3 y x 1 1 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； C( , ) 2 2 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； x y 1 O y 1 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数 B(2,-1) 2x+y=3
x-y=7 C(3,6) y=6
线性规划课件ppt
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
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值时，得
BXB b
由于B是满秩矩阵，故 B 是1 惟一存在的，于是
XB B1b
这样由XB和零组成的解称为基本解；满足约束条件的 解称为可行解；满足约束条件的基本解称为基本可行 解；对应基本可行解的基称为可行基；使目标函数达 到最优值的可行解称为最优可行解，如果这样的可行 解又是基本的，则称为最优基本可行解。
10.1 线性规划问题
例5 某线性规划问题的约束方程为
2
x1 x1
x3 4x
2
1
1
讨论线性规划问题的基本概念。
解：不难验证A与 A 的秩是相等的，都等于2， 而且A的全部二阶方阵为3个，即
B 1 1 20 4 ， B 2 1 21 0 ， B 3 0 41 0
于是问题就成为求出未知量，使它们满足前面 的方程组，且使函数S取最小值。
10.1 线性规划问题
共同的特点：就是问题的条件都可以用一 组线性等式或线性不等式来表达，并且取最大 (小)值的目标函数也是线性函数．具有这样特点 的问题便是线性规划问题，线性规划问题数学
模型的一般形式为：
max(min)S c1x1 c2 x2 cn xn
(3) 两个变量的线性规划问题的图解法,及图上作业法 解平衡型的运输问题；
第十章 线性规划
(4)性规划问题单纯形表的结构,单纯形法及改进的单 纯形法求解线性规划问题；
(5)线性规划问题无可行解、有可行解而无最优解、有 惟一最优解、有无穷多最优解等情况在单纯形方法 中的反映；
(6)线性规划在生产实践、车辆调度等问题上的应用；
例1 设某食品厂生产甲乙两种产品，生产1t 甲产品需要3个工日和10t小麦，可得盈利8千元； 生产1t乙产品需要4个工日和8t小麦，可得盈利 9千元。该食品厂一个月只能出300个工日，小 麦一月只能进700t，那么该厂应如何安排生产， 才能在现有的条件下获得最大的盈利？
10.1 线性规划问题
解：设甲、乙两种产品各生产x1，x2t，由于该 厂一个月只能出300个工日，所以
三个方阵全是满秩的，故都是线性规划的基。
10.1 线性规划问题
(1)对应于基B1，方程组的等价形式为
1 2
04xx1210x311；
D10，XBxx12，x1，x2是基变量，XDx3， x3
是非基变量，若令非基变量取0值，则有
(7) 表上作业法解平衡型运输问题的方法。
2．教学重点与难点 （1）重点
第十章 线性规划
熟练掌握用单纯形法解线性规划问题； “图解法”求解含两个变量的线性规划问题。
（2）Байду номын сангаас点
线性规划问题的概念、数学模型的建立； 图上作业法(和表上作业法)求解运输型问题。
第十章 线性规划
10.1 线性规划问题
10.1.1 数学模型
X 0
的解、可行解、基本解、基本可行解、最优
可行解、最优基本可行解系统表示如下：
10.1 线性规划问题
解 （满足AX b）
基本解（X B B1b, X D 0） (若X B的分量有零值时， 称为退化基本解)
基本可行解 （X B 0）
非基本可行解 （XB有负值）
最优基本可行解 （满足基本可行解条件） 且使CX取最大值
第十章 线性规划
10.1 线性规划问题 10.2 图解法与运输问题 10.3 单纯形法 10.4 应用与实践 10.5 拓展与提高
第十章 线性规划
一 知识结构框图
第十章 线性规划
二 教学基本要求和重点、难点
1．教学基本要求
(1) 线性规划问题的数学模型的建立及将数学模型化 为标准形式的方法；
(2) 线性规划问题的基、基变量、非基变量、可行 解、基本可行解、最优解的概念；
并且使S取得最大值，即
mS a x 8x19x2
10.1 线性规划问题
例2 在设计制造某一种产品时，需要用 300cm长的圆钢，截成长度分别为90cm和70cm 的两种坯料，要求截出长90cm的坯料1000根， 70cm的坯料2000根，那么应该如何截取，才能 使所用的圆钢最少？
10.1 线性规划问题
定理10.1 对于标准化模型问题
max S CX
AX b (b 0)
X 0
其中A为m行n列矩阵，矩阵的秩为。
(1)若存在一个可行解，则必存在一个基本可行解；
(2)若存在一个最优解，则必存在一个最优基本可行解。
10.1 线性规划问题
例4 将例1给出的线性规划问题数学模型 化为标准形式。
130xx1148xx22
300 700
xi 0, (i 1, 2)
解：引入松弛变量x30,x4 0，则标准形式
数学模型 max S 8 x1 9 x 2
130xx11
xi 0 , (i 1, 2 , 3 n )
10.1 线性规划问题
对于非标准化的模型都可以进行某种变换 使之标准化。具体方法如下： (1)引入松弛变量
如果约束条件不标准，例如第j个方程为：
a j1 x 1 a j2 x 2 a jn x n b j 时，则引进变量 xnj 0 ，使
如果A的全部m阶满秩方阵的集合记为{B}， 对任一B，约束方程可写为
B ,D X b 或 B X B D X D b
称B是该线性规划问题的一个基，对应于B 的 XB的每一分量称为基变量； XD的每一分量称 为非基变量。
10.1 线性规划问题
为了简化，令XD=0，即XD的每一分量令其取零
10.1 线性规划问题
10.1.2 线性规划问题的标准形式
m ax S c1x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2
a 21 x1
a22 x2
a1n x n b1 a2n xn b2
a
m
1
x1
am2
x2
amn xn bm
x2
x3)T(1 2
0
1)T 2
10.1 线性规划问题
(3)同理对应于基
0 B3 4
1 0
的基本解为
X(x1
x2
x3)T(0
1 4
1 )T
而且是基本可行解。
10.1 线性规划问题
为了便于理解线性规划问题的基本概念，
现将线性规划问题
max S CX
AX b (b 0)
3x14x2300
又由于小麦一个月只能进700t，所以
10x18x2 700
如果设总的盈利为S，则
S8x19x2
10.1 线性规划问题
本题目的就是求出一组变量x1，x2的值， 使它们满足不等式组
130xx1148xx22
300 700
xi 0, (i 1, 2)
3x3
4x4
2000
xi 0, (i 1, 2,3, 4)
并且使S取得最小值，即
mS ix n 1 x 2 x 3 x 4
10.1 线性规划问题
例3 一批工业物资，由三个仓库调运到 三个工厂，其存需数量如表10-2所示，单位 运价如表10-3所示，问应怎样调运才能使总 的运价最省？
a12
a1n
x1 b1
a22
a2n，X
x2,bb2
am2
amn
xn bm
C()
10.1 线性规划问题
假定在方程组有无穷多个解(m<n)时，最终 目的是从这无穷多个解中选出使
S CX
最大的解，称为最优解。
10.1 线性规划问题
4x2 8x2
x3 x4
300 700
， ．
xi 0(i 1,2,3,4)
10.1 线性规划问题
10.1.3 线性规划问题的基本概念
线性规划问题的数学模型用矩阵形式可表示为
max S CX
a11 Aa21
am1
AX b (b 0)
X 0
a11x1 a12 x2
a21x1 a22 x2
a1n xn b1( b1, b1) a2n xn b2 ( b2 , b2 )
am1x1 am2 x2 amn xn bm ( bm , bm )
xi 0, (i 1, 2,3 n)
10.1 线性规划问题
解：调运矩阵为
B1 B2 B3
A1 x11 x12 x13
A2
x
21
x 22
x
23
A3 x 31 x 32 x 33
其中xij表示从仓库Ai到工厂Bj调运物资的数量， 单位t，
10.1 线性规划问题
x11 x21 x31 2 0
10.1 线性规划问题
(3)目标函数的标准化 如果一模型的目标函数求值不标准，即求最
小值 m in S c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n ，则令
S'S
那么问题转化成求
m a x S ' c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n
(4)如果约束条件中，某个方程的常数项为 负值时，则对其等号两端同乘以(-1)，使常数项 化为正数，从而使之标准化。
一般基本可行解 （只满足X B 0条件）
非基本解 （不是由 X B B 1b, X D 0构成）
可行解 （满足AX b,