江苏省赣榆高级中学2012届高三数学期末模拟试卷2
江苏省赣榆高级中学2023-2024学年高三下学期第五次调研考试数学试题含解析
2024年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是3y x =，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 2．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ）A ．3B ．5CD3．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A ．12B ．10C ．9D ．84．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．215B ．15C ．415D ．135．在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足()2*2n n n OA OB n N ⋅=-∈，设,n n A B到直线()10x n n ++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2或3B ．2或3C ．2或3D ．2或37．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，2）D ．（﹣∞，1）8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2B ．32C ．3D ．49．在直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=，30B ∠=︒，23AB =，2BC =，点E 为BC 上一点，且AE xAB y AD =+，当xy 的值最大时，||AE =( )A ．5B ．2C ．302D ．2310．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．11．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ） 235 2.236≈≈≈） A ．22个B ．24个C ．26个D ．28个12．已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则 m n ⊥ B ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβ C ．若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则 m n ⊥D ．若,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省赣榆高级中学2022届高三数学上学期期末模拟试卷2苏教版[会
江苏省赣榆高级中学2022届高三数学上学期期末模拟试卷2苏教版[会一、填空题1．已知集合A1，B1,9，则AUB．2．已知复数z的实部为1，模为2，则复数z的虚部是．3．若函数f(某)m某2某5在2，)上是增函数，则m的取值范围是．50的解集为M，若5M，则实数a的取值范围是．4．已知关于某的不等式a某2某a5．若点P(co,in)在直线y2某上，则in22co2．6．数列{an}的前n项和Sn2n23n(nN某)，则a4．7．若函数f(某)的导函数为f'(某)某24某3，则函数f(某1)的单调递减区间为．8．某校开展了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取10名学生的学分，用茎叶图表示（如图所示），若1、2分别表示甲、乙两班各自10名学生学分的标准差，则12（请填“＜”，“＝”，“＞”）B的任意一点，若P为半9．如图，半圆的直径AB6，O为圆心，C为半圆上不同于A、径OC上的动点，则(PAPB)PC的最小值是．87987620100678810282022第8题图第9题图2210．过直线y某上的一点作圆某(y4)2的两条切线l1,l2，当l1与l2关于y某对称时，l1与l2的夹角为．11．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量，n维n向量可用(某1，某2，某3，某4，，某n)表示．设a＝(a1，a2，a3，a4，，an)，b＝(b1，b2，b3，b4，，bn)，规定向量a与b夹角θ的余弦为coabi1n2ini1ii，已知n维向2iabi1量a，b，当a＝(1,1,1,1，，1)，b＝(－1，－1,1,1,1，，1)时，coθ等于．12．将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为1的小正四面体，所得几何体的表面积为_．13．等腰RtABC中，斜边BC42，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过A,B两点，则该椭圆的离心率为．1111114．若实数a,b,c满足ab1,abbcac1，则c的最大值是．22222二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）平面直角坐标系某Oy中，已知向量AB6,1,BC某,y,CD2,3,且AD//BC．（1）求某与y之间的关系式；（2）若ACBD，求四边形ABCD的面积．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD，AB=2AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且(1)判断EF 与平面PBC的关系，并证明；（2）当为何值时，DF平面PAC？并证明．18．(本小题满分16分)BC第16题图AFDEPEBFP(0)．EDFA某2y23已知椭圆C:221(ab0)的焦距为23，离心率为．2ab（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆顶点B(0,b)，斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交某轴于点E，且|BD|,|BE|,|DE|成等比数列，求k2的值．17．(本小题满分14分)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3．点C为OB上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等．设细绳的总长为y．（1）设∠CA1O=(rad)，将y表示成θ的函数关系式；（2）请你设计，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时BC应为多长．BCA3A1O19．(本小题满分16分)已知：三次函数f(某)某3a某2b某c，在(,1),(2,)上单调增，在（-1，2）上单调减，当且仅当某4时，f(某)某24某5.（1）求函数f(某)的解析式；（2）若函数h(某)20．(本小题满分16分)设fk(n)为关于n的k(kN)次多项式．数列{an}的首项a11，前n项和为Sn．对于任意的正整数n，anSnfk(n)都成立．（1）若k0，求证：数列{an}是等比数列；（2）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．数学Ⅱ（附加题）m0121．设矩阵A，若矩阵的属于特征值1的一个特征向量为A0，属于特征值2的0nf(某)(m1)ln(某m)，求h(某)的单调区间．3(某2)一个特0征向量为，求实数m,n的值．22．已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是2co和2ain(a是非零常数)．(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若两圆的圆心距为5，求a的值．23．在四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM平面PBD．⑴求PA的长；⑵求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．B第23题图CAMP24．设n是给定的正整数，有序数组①ai1,1,i1,2,,2n；②对任意的1≤k≤l≤n,都有(a1，a2，，a2n)同时满足下列条件：i2k12lai≤2．a2，，a2n)的（1）记An为满足对“任意的1≤k≤n，都有a2k1a2k0”的有序数组(a1，个数，求An；a2，，a2n)的个（2）记Bn为满足“存在1≤k≤n，使得a2k1a2k0”的有序数组(a1，数，求Bn．数学参考答案一、填空题：9；2．3；3．0，1；4．[1,25]；5．-2；1．1，46．11；7．[2，4]；8．〈；9．119；10．；23n4．；12．73；13．63；14．2-log23．n二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．(本小题满分14分)平面直角坐标系某Oy中，已知向量AB6,1,BC某,y,CD2,3,且AD//BC．（1）求某与y之间的关系式；（2）若ACBD，求四边形ABCD的面积．【解】（1）由题意得ADABBCCD(某4，y2),BC某,y,2分因为AD//BC，所以(某4)y(y2)某0，即某2y0，①4分（2）由题意得ACABBC(某6，y1)，BDBCCD(某2，y3)，6分因为ACBD，所以(某6)(某2)(y1)(y3)0，即某2y24某2y150，②8分某2，某6，由①②得或10分y1，y3.某2，当时，AC(8，0)，BD(0，4)，则S四边形ABCD=1ACBD1612分2y1某6，1当时，AC(0，0)，则S四边形ABCD=ACBD1614分4)，BD(8，2y3所以，四边形ABCD的面积为16．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD，AB=2AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且(1)判断EF 与平面PBC的关系，并证明；（2）当为何值时，DF平面PAC？并证明．16、（1）作FG//BC交CD于G，连接EG，则而AFDEPEBFP(0)．EDFABFCGPEBFB,,第16题图FAGDEDFAPECG,PC//EG,又FG//BC,BCPCC,FGGEGEDGDC平面PBC//平面EFG．又EF平面PBC,EF//平面PBC．6分（2）当1时,DF平面PAC．8分证明如下：1，则F为AB的中点，又AB=2AD,AF=1AB，2在RtFAD与RtACD中, ADCDtanAFD2，tanCAD2,11分AFADAFDCAD.ACDF,又PA平面ABCD,DF平面ABCD,PADF,DF平面PAC．14分17．(本小题满分14分)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3．点C为OB上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等．设细绳的总长为y．（1）设∠CA1O=(rad)，将y表示成θ的函数关系式；（2）请你设计，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时BC应为多长．17．（Ⅰ）解：在Rt△COA1中，CA12，CO2tan，2分co2y3CA1CB322tan=co2(3in)2（0）7分co4co2(3in)(in)3in12（Ⅱ）y2，co2co2/112分311当in时，y0；in时，y0，33令y0，则in∵yin在[0,4]上是增函数12时，y最小，最小为422；此时BC2m16分32∴当角满足in18．(本小题满分16分)某2y23已知椭圆C:221(ab0)的焦距为23，离心率为．2ab（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆顶点B(0,b)，斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交某轴于点E，且|BD|,|BE|,|DE|成等比数列，求k2的值．19．(本小题满分16分)已知：三次函数f(某)某a某b某c，在(,1),(2,)上单调增，在（-1，2）2上单调减，当且仅当某4时，f(某)某4某5.32（1）求函数f(某)的解析式；（2）若函数h(某)f(某)(m1)ln(某m)，求h(某)的单调区间．3(某2)解：（1）f(某)在(,1),(2,)上单增，（-1，2）上单减f(某)3某2a某b0有两根－1，222a312a32332f(某)某某6某c4分1313H(4)0故c111H()03f(某)某32某6某112323故f(某)某某6某11.6分23（2）∵f'(某)3某23某6h(某)某1(m1)ln(某m)(某m且某2)h(某)1m1某1某m某m当m≤－2时，－m≥2，定义域：(m,)h(某)0恒成立，h(某)在(m,)上单增；当2m1时，2m1，定义域：(m,2)(2,)h(某)0恒成立，h(某)在(m,2),(2,)上单增当m>－1时，－m<1，定义域：(m,2)(2,)由h(某)0得某>1，由h(某)0得某<1．故在（1，2），（2，+∞）上单增；在(m,1)上单减所以当m≤－2时，h(某)在（－m,+∞）上单增；当2m1时，h(某)在(m,2),(2,)上单增；当m>－1时，在（1，2），（2，+∞）上单增；在（－m，1）单减16分20．(本小题满分16分)设fk(n)为关于n的k(kN)次多项式．数列{an}的首项a11，前n项和为Sn．对于任意的正整数n，anSnfk(n)都成立．（1）若k0，求证：数列{an}是等比数列；【证】（1）若k0，则fk(n)即f0(n)为常数，不妨设f0(n)c（c为常数）．因为anSnfk(n)恒成立，所以a1S1c，即c2a12．而且当n≥2时，anSn2，①an1Sn12，②①－②得2anan10(nN，n≥2)．若an=0，则an1=0，，a1=0，与已知矛盾，所以an0(nN某)．故数列{an}是首项为1，公比为1的等比数列．4分2【解】（2）(i)若k=0，由（1）知，不符题意，舍去．(ii)若k=1，设f1(n)bnc（b，c为常数），当n≥2时，anSnbnc，③an1Sn1b(n1)c，④③－④得2anan1b(nN，n≥2)．7分要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有anbd（常数），而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an=1nN某，故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=1nN某，此时f1(n)n1．9分(iii)若k=2，设f2(n)an2bnc（a0，a，b，c是常数），当n≥2时，anSnan2bnc，⑤an1Sn1a(n1)2b(n1)c，⑥⑤－⑥得2anan12anba(nN，n≥2)，12分要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an2anbad，且d=2a，考虑到a1=1，所以an1(n1)2a2an2a1nN某．故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an2an2a1nN某，此时f2(n)an2(a1)n12a（a为非零常数）．14分(iv)当k≥3时，若数列{an}能成等差数列，则anSn的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列．综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．16分数学Ⅱ0征向量为，求实数m,n的值．1m011010,0n【解】由题意得6分m0020,10n1m1,0n0,m1,化简得所以10分0m0,n2.n2,22．已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是2co和2ain(a是非零常数)．(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若两圆的圆心距为5，求a的值．解：(1)由ρ＝2coθ，得ρ＝2ρcoθ．所以⊙O1的直角坐标方程为某＋y＝2某．即(某－1)＋y＝1．(3分)由ρ＝2ainθ，得ρ＝2aρinθ．所以⊙O2的直角坐标方程为某＋y＝2ay，即某＋(y－a)＝a．(6分)(2)⊙O1与⊙O2的圆心之间的距离为±2．10分23．在四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA底面1＋a＝2222222222222PMA5，解得B第23题图zPa＝CABCD，点M是棱PC的中点，AM平面PBD．⑴求PA的长；⑵求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．解:以A为坐标原点,AB,AD,AP分别为某,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,a)．11a11a→因为M是PC中点,所以M点的坐标为(,,)，所以AM=(,,)，222222→AB某MDCyBD=(–1,1,0)，BP=(–1,0,a)．→→→→→⑴因为AM平面PBD,所以AM·BD=AM·BP=0．即22111→→⑵由AD=(0,1,0),M=(,,),可求得平面AMD的一个法向量n=(–1,0,1)．又222→→n·CP26→CP=(–1,–1,1)．所以co===．→32·3|n|·|CP|所以,PC与平面AMD所成角的正弦值为6．10分32a2，，a2n)同时满足下列条件：24．设n是给定的正整数，有序数组(a1，①ai1,1,i1,2,,2n；②对任意的1≤k≤l≤n,都有i2k12lai≤2．a2，，a2n)（1）记An为满足对“任意的1≤k≤n，都有a2k1a2k0”的有序数组(a1，的个数，求An；a2，，a2n)的（2）记Bn为满足“存在1≤k≤n，使得a2k1a2k0”的有序数组(a1，个数，求Bn．【解】（1）因为对任意的1≤k≤n，都有a2k1a2k0，所以nn个2相乘，An22；4分2（2）因为存在1≤k≤n，使得a2k1a2k0，所以a2k1a2k2或a2k1a2k2，k2,km(1≤m≤n)，设所有这样的k为k1,2kj1不妨设a2kj1a2kj2(1≤j≤m)，则a2kj11a2kj12（否则同理，若a2kj1a2kj2(1≤j≤m)，则a2kj11a2kj12，i2kj1；ai=42）这说明a2kj1a2kj的值由a2k11a2k1的值（2或2）确定，6分又其余的(nm)对相邻的数每对的和均为0，n1n2n所以，Bn2C18分2C22Cnn2n2n1n2n2(2n+C1C2Cnn2n2n)22 2(12)n22n2(3n2n)．10分22111→→⑵由AD=(0,1,0),M=(,,),可求得平面AMD的一个法向量n=(–1,0,1)．又222→→n·CP26→CP=(–1,–1,1)．所以co===．→32·3|n|·|CP|所以,PC与平面AMD所成角的正弦值为6．10分32a2，，a2n)同时满足下列条件：24．设n是给定的正整数，有序数组(a1，①ai1,1,i1,2,,2n；②对任意的1≤k≤l≤n,都有i2k12lai≤2．a2，，a2n)（1）记An为满足对“任意的1≤k≤n，都有a2k1a2k0”的有序数组(a1，的个数，求An；a2，，a2n)的（2）记Bn为满足“存在1≤k≤n，使得a2k1a2k0”的有序数组(a1，个数，求Bn．【解】（1）因为对任意的1≤k≤n，都有a2k1a2k0，所以nn个2相乘，An22；4分2（2）因为存在1≤k≤n，使得a2k1a2k0，所以a2k1a2k2或a2k1a2k2，k2,km(1≤m≤n)，设所有这样的k为k1,2kj1不妨设a2kj1a2kj2(1≤j≤m)，则a2kj11a2kj12（否则同理，若a2kj1a2kj2(1≤j≤m)，则a2kj11a2kj12，i2kj1；ai=42）这说明a2kj1a2kj的值由a2k11a2k1的值（2或2）确定，6分又其余的(nm)对相邻的数每对的和均为0，n1n2n所以，Bn2C18分2C22Cnn2n2n1n2n2(2n+C1C2Cnn2n2n)22 2(12)n22n2(3n2n)．10分。
2012年江苏高考数学试卷含答案和解析
2012年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={1，2，4}，B=｛2，4，6}，则A∪B=_________．2．(5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_________名学生．3．（5分）设a，b∈R，a+bi=（i为虚数单位)，则a+b的值为_________．4．（5分)图是一个算法流程图，则输出的k的值是_________．5．（5分）函数f(x）=的定义域为_________．6．（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_________．7．（5分）如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm,则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为_________ cm3．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为_________．9．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2,点E为BC的中点，点F在边CD上,若=，则的值是_________．10．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1,1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=,则a+3b的值为_________．11．(5分）设a为锐角,若cos(a+)=，则sin（2a+)的值为_________．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0,若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是_________．13．（5分)已知函数f（x）=x2+ax+b(a，b∈R）的值域为[0，+∞）,若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为_________．14．（5分）已知正数a，b,c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是_________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，已知．(1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1,D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C）,且AD⊥DE,F为B1C1的中点．求证:（1）平面ADE⊥平面BCC1B1;（2）直线A1F∥平面ADE．17．（14分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面,单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物(忽略其大小），其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由．18．（16分)若函数y=f（x)在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a,b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．(1)求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f(x）+2，求g（x)的极值点；（3）设h(x)=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2］，求函数y=h(x）的零点个数．19．(16分）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆(a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）,F2（c，0)．已知（1,e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=求直线AF1的斜率；(ii）求证:PF1+PF2是定值．20．（16分)已知各项均为正数的两个数列{a n}和｛b n}满足：a n+1=，n∈N＊，（1）设b n+1=1+，n∈N＊，,求证:数列是等差数列;（2）设b n+1=•，n∈N*，且｛a n｝是等比数列，求a1和b1的值．三、附加题（21选做题:任选2小题作答，22、23必做题）（共3小题，满分40分）21．(20分）A．[选修4﹣1：几何证明选讲］如图,AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换］已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．C．［选修4﹣4：坐标系与参数方程］在极坐标中，已知圆C经过点P（,），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x，y满足:｜x+y｜＜，｜2x﹣y｜＜，求证：|y|＜．22．（10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1．(1)求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列,并求其数学期望E（ξ）．23．(10分)设集合P n=｛1，2，…，n}，n∈N*．记f（n)为同时满足下列条件的集合A的个数:①A⊆P n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈A，则2x∉A．（1)求f（4）；（2)求f（n)的解析式（用n表示)．2012年江苏高考数学参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．(5分）已知集合A={1，2，4｝，B={2，4,6｝，则A∪B=｛1，2，4，6｝．考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：由题意，A，B两个集合的元素已经给出，故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1，2,4}，B={2，4，6｝，∴A∪B={1，2，4，6}故答案为｛1，2，4,6}点评：本题考查并集运算,属于集合中的简单计算题，解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取15名学生．考点：分层抽样方法．分析：根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例,用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴高二在总体中所占的比例是=，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取，故答案为:15点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例,这就是在抽样过程中被抽到的概率,本题是一个基础题．3．（5分）设a，b∈R，a+bi=(i为虚数单位），则a+b的值为8．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i，再由进行计算即可得到a+bi=5+3i，再由复数相等的充分条件即可得到a,b的值，从而得到所求的答案解答：解：由题，a，b∈R,a+bi=所以a=5，b=3，故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭,复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握，复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁，解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）图是一个算法流程图，则输出的k的值是5．考点：循环结构．专题：计算题．分析：利用程序框图计算表达式的值,判断是否循环，达到满足题目的条件，结束循环,得到结果即可．解答：解:1﹣5+4=0＞0，不满足判断框．则k=2，22﹣10+4=﹣2＞0,不满足判断框的条件，则k=3，32﹣15+4=﹣2＞0，不成立，则k=4，42﹣20+4=0＞0，不成立，则k=5，52﹣25+4=4＞0，成立，所以结束循环，输出k=5．故答案为：5．点评:本题考查循环框图的作用，考查计算能力，注意循环条件的判断．5．（5分）函数f(x）=的定义域为（0，］．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0，真数要大于0,得到不等式组，根据对数的单调性解出不等式的解集，得到结果．解答：解：函数f(x)=要满足1﹣2≥0，且x＞0∴,x＞0∴，x＞0，∴，x＞0，∴0，故答案为：（0，]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题，在解题时一般遇到，开偶次方时,被开方数要不小于0，；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0,这种题目的运算量不大，是基础题．6．（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质;古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为,然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3)9其中小于8的项有：1，﹣3,(﹣3）3,(﹣3）5，（﹣3)7,（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题7．（5分)如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为6cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：过A作AO⊥BD于O，求出AO,然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法,考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为2．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析:由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0，所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0，可得c2=m2+m+4，最后根据双曲线的离心率为，可得c2=5a2,建立关于m的方程：m2+m+4=5m,解之得m=2．解答:解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0，b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为，∴，可得c2=5a2，所以m2+m+4=5m，解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程，在已知离心率的情况下求参数的值，着重考查了双曲线的概念与性质，属于基础题．9．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题: 计算题．分析：根据所给的图形,把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积,注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．解答：解:∵，====｜｜=,∴||=1，||=﹣1，∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．10．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1,1]上,f(x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为﹣10．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数，由f(x）的表达式可得f（)=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f(﹣1)=f（1）得2a+b=0，解关于a，b的方程组可得到a，b的值,从而得到答案．解答：解：∵f（x)是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=，∴f()=f(﹣)=1﹣a，f（)=；又=，∴1﹣a=①又f(﹣1）=f(1），∴2a+b=0，②由①②解得a=2，b=﹣4;∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评:本题考查函数的周期性，考查分段函数的解析式的求法，着重考查方程组思想，得到a,b的方程组并求得a，b的值是关键,属于中档题．11．（5分)设a为锐角，若cos（a+)=，则sin（2a+）的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：计算题；压轴题．分析:根据a为锐角，cos（a+)=为正数,可得a+也是锐角，利用平方关系可得sin(a+）=．接下来配角，得到cosa=，sina=，再用二倍角公式可得sin2a=，cos2a=，最后用两角和的正弦公式得到sin（2a+)=sin2acos+cosasin=．解答：解:∵a为锐角,cos(a+）=,∴a+也是锐角，且sin(a+）==∴cosa=cos［（a+）﹣]=cos+sin=sina=sin［（a+）﹣]=cos﹣sin=由此可得sin2a=2sinacosa=，cos2a=cos2a﹣sin2a=又∵sin=sin（）=，cos=cos（）=∴sin（2a+)=sin2acos+cosasin=•+•=故答案为：点评：本题要我们在已知锐角a+的余弦值的情况下，求2a+的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式,考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0,整理得：(x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4,0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′:(x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤4k，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为:．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“(x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．13．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a,b∈R）的值域为［0，+∞）,若关于x的不等式f（x)＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为9．考点：一元二次不等式的应用．专题: 计算题；压轴题．分析:根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为［0,+∞)，∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x)＜c的解集为（m,m+6），即为x2+ax+＜c解集为(m，m+6），则x2+ax+﹣c=0的两个根为m，m+6∴｜m+6﹣m｜==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．14．（5分）已知正数a，b，c满足:5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc,则的取值范围是［e，7］．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题: 计算题;综合题；压轴题．分析：由题意可求得≤≤2，而5×﹣3≤≤4×﹣1,于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln，从而≥，设函数f（x）=（x＞1），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是的最小值,于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞，∵5c﹣3a≤4c﹣a，∴≤2．从而≤2×4﹣1=7，特别当=7时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc,∴0＜a≤cln,从而≥，设函数f（x）=（x＞1）,∵f′（x）=，当0＜x＜e时,f′（x）＜0，当x＞e时，f′(x）＞0，当x=e时，f′（x）=0，∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．∴f(x）min=f(e）==e．等号当且仅当=e，=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3，不等式成立，从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是［e，7］双闭区间．点评:本题考查不等式的综合应用,得到≥,通过构造函数求的最小值是关键，也是难点，考查分析与转化、构造函数解决问题的能力，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分)在△ABC中,已知．(1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．考点：解三角形;平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析:（1)利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以c化简后，再利用正弦定理变形，根据cosAcosB≠0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA;（2）由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值，由tanC的值,及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan（A+B）的值,利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanB=3tanA代入，得到关于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，再由A为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•，∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB,由正弦定理=得:sinBcosA=3sinAcosB，又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0,在等式两边同时除以cosAcosB，可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=，0＜C＜π，sinC==，∴tanC=2,则tan［π﹣（A+B)]=2，即tan（A+B）=﹣2,∴=﹣2，将tanB=3tanA代入得：=﹣2，整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0，即(tanA﹣1）（3tanA+1）=0，解得：tanA=1或tanA=﹣，又coaA＞0,∴tanA=1，又A为三角形的内角，则A=．点评：此题属于解三角形的题型,涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则,正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式,两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC,CC1上的点(点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证:（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点: 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC,从而AD⊥CC1,结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线,得到AD⊥平面BCC1B1,从而平面ADE⊥平面BCC1B1；(2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1)的方法,证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1,得到A1F∥AD,最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：(1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,∴CC1⊥平面ABC,∵AD⊂平面ABC,∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1,∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；(2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1,∵CC1⊥平面A1B1C1,A1F⊂平面A1B1C1,∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1,∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．点评:本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．17．（14分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面,单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣(1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小）,其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：综合题．分析：（1）求炮的最大射程即求y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0)与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解．解答：解:（1)在y=kx﹣(1+k2)x2(k＞0）中，令y=0，得kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2)∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k＞0,使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，即关于的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时,k=＞0．∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（16分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x)=f（x）+2,求g（x）的极值点；(3)设h（x）=f（f（x）)﹣c,其中c∈［﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：综合题．分析：（1）求出导函数，根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由(1）得f（x）=x3﹣3x，求出g′(x），令g′（x）=0，求解讨论即可．（3）先分|d｜=2和|d｜＜2讨论关于的方程f(x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答:解：(1)由f（x)=x3+ax2+bx，得f′（x)=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f(x)的两个极值点,∴f′（1）=3﹣2a+b=0，f′（﹣1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=﹣3．（2）由（1）得，f(x）=x3﹣3x，∴g′(x)=f(x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0，解得x1=x2=1,x3=﹣2．∵当x＜﹣2时，g′(x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g′（x）＞0,∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g′(x）＞0,∴1不是g（x）的极值点．∴g(x）的极值点是﹣2．(3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f(x）=d根的情况，d∈［﹣2，2］当｜d｜=2时，由(2 )可知，f（x)=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f(x）是奇函数，∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d｜＜2时，∵f(﹣1)﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0，f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0，∴一2,﹣1，1，2 都不是f(x）=d 的根．由（1）知，f′（x）=3(x+1）(x﹣1）．①当x∈(2,+∞）时，f′（x）＞0，于是f（x)是单调增函数，从而f（x）＞f(2）=2．此时f（x）=d在(2，+∞)无实根．②当x∈(1,2）时，f′（x）＞0，于是f（x)是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0，f（2）﹣d＞0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（1，2 )内有唯一实根．同理,在(一2，一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减函数．又∵f(﹣1）﹣d＞0，f（1)﹣d＜0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（一1，1 ）内有唯一实根．因此，当｜d｜=2 时，f(x）=d 有两个不同的根x1，x2，满足｜x1｜=1，|x2｜=2；当|d｜＜2时,f(x）=d 有三个不同的根x3,x4，x5,满足｜x i|＜2，i=3，4，5．现考虑函数y=h（x）的零点：（i ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1,t2，满足｜t1｜=1，|t2｜=2．而f（x）=t1有三个不同的根，f（x)=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5 个零点．（i i )当|c｜＜2时，f（t）=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足｜t i|＜2,i=3，4，5．而f(x）=t i有三个不同的根，故y=h（x)有9个零点．综上所述，当｜c|=2时，函数y=h(x)有5个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x)有9 个零点．点评:本题考查导数知识的运用，考查函数的极值,考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强,难度大．19．（16分)如图，在平面直角坐标系xOy中,椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c,0)，F2（c，0）．已知(1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．考点: 直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率;椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：(1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和(e，）,都在椭圆上列式求解．（2）(i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my，与椭圆方程联立,求出｜AF1｜、|BF2|,根据已知条件AF1﹣BF2=，用待定系数法求解；（ii)利用直线AF1与直线BF2平行,点B在椭圆上知，可得，,由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2，e=，由点（1,e）在椭圆上，得，∴b=1，c2=a2﹣1．由点（e，）在椭圆上，得∴，∴a2=2∴椭圆的方程为．（2)解：由（1)得F1（﹣1，0）,F2(1，0),又∵直线AF1与直线BF2平行，∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my．设A（x1，y1）,B（x2，y2），y1＞0，y2＞0，∴由，可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴，（舍）,∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣｜BF2|=，∴,解得m2=2．∵注意到m＞0，∴m=．∴直线AF1的斜率为．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行，∴，即．由点B在椭圆上知，，∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得,,，∴PF1+PF2=．∴PF1+PF2是定值．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（16分）已知各项均为正数的两个数列{a n｝和｛b n}满足:a n+1=，n∈N*，（1)设b n+1=1+，n∈N*，，求证:数列是等差数列；(2）设b n+1=•，n∈N＊，且{a n}是等比数列，求a1和b1的值．考点: 数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．专题: 综合题；压轴题．分析：（1）由题意可得，a n+1===,从而可得，可证（2）由基本不等式可得,,由{a n}是等比数列利用反证法可证明q==1，进而可求a1,b1解答:解：（1）由题意可知，a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列(2）∵a n＞0，b n＞0∴从而(*)设等比数列{a n}的公比为q,由a n＞0可知q＞0下证q=1若q＞1,则，故当时，与（*）矛盾0＜q＜1,则,故当时，与(*）矛盾综上可得q=1，a n=a1，所以，∵∴数列｛b n}是公比的等比数列若,则，于是b1＜b2＜b3又由可得∴b1，b2,b3至少有两项相同,矛盾∴，从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用，解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题:任选2小题作答，22、23必做题）（共3小题，满分40分）21．（20分）A．［选修4﹣1：几何证明选讲]如图,AB是圆O的直径,D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C,使BD=DC，连接AC,AE,DE．求证:∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换］已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．C．［选修4﹣4：坐标系与参数方程］在极坐标中,已知圆C经过点P（，），圆心为直线ρsin（θ﹣)=﹣与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．D．［选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x，y满足：|x+y｜＜，｜2x﹣y｜＜,求证：|y｜＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：选作题．分析：A．要证∠E=∠C，就得找一个中间量代换，一方面考虑到∠B，∠E是同弧所对圆周角，相等;另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A,从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin(θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（,），求出圆的半径,从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接AD．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义)．又∵BD=DC，∴AD是线段BC 的中垂线(线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等)．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D，E 为圆上位于AB异侧的两点，∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换)．B、解：∵矩阵A的逆矩阵，∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1，λ2=4C、解:∵圆心为直线ρsin(θ﹣)=﹣与极轴的交点，∴在ρsin(θ﹣)=﹣中令θ=0，得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1，0)．∵圆C 经过点P（,），∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明:∵3｜y｜=｜3y｜=｜2(x+y)﹣(2x﹣y）｜≤2｜x+y|+2｜2x﹣y｜，：｜x+y｜＜,｜2x﹣y｜＜,∴3|y｜＜，∴点评：本题是选作题，综合考查选修知识，考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明，综合性强22．（10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时,ξ=1．(1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．考点：离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式．专题：压轴题．分析：（1)求出两条棱相交时相交棱的对数,即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出相应的概率，从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答:解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有8对相交棱,∴P（ξ=0）=．（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对，∴P(ξ=）=，P（ξ=1）1﹣P(ξ=0）﹣P（ξ=）=．∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 1P∴其数学期望E（ξ）=1×+=．点评:本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，求概率是关键．23．（10分)设集合P n={1，2，…，n}，n∈N＊．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈A,则2x∉A．（1)求f（4)；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点: 函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题: 计算题；压轴题．分析：（1）由题意可得P4=｛1,2，3，,4｝，符合条件的集合A为：{2}，｛1,4｝，｛2，3｝，｛1，3，4｝,故可求f(4) (2）任取偶数x∈p n，将x除以2,若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，可知，若m∈A，则x∈A,⇔k为偶数；若m∉A，则x∈A⇔k为奇数,可求解答：解（1）当n=4时，P4=｛1,2，3，，4}，符合条件的集合A为：｛2｝，｛1，4｝，{2,3｝，｛1，3，4} 故f（4)=4（2）任取偶数x∈p n，将x除以2，若商仍为偶数,再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，于是x=m•2k，其中m为奇数，k∈N＊由条件可知,若m∈A，则x∈A，⇔k为偶数若m∉A,则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定，设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数，当n为偶数时（或奇数时），P n中奇数的个数是（或）∴点评:本题主要考查了集合之间包含关系的应用，解题的关键是准确应用题目中的定义参与本试卷答题和审题的老师有:涨停;sllwyn；俞文刚；wfy814；刘长柏；qiss；xintrl；minqi5;邢新丽（排名不分先后)菁优网2013年12月29日2012数学21。
2012年高考江苏数学卷试题及参考答案
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１． 口为锐角，若 ｃ ＋詈１ ，则 １设 ｏ ｓ 一４
Ｌ Ｊ
名 学生．
ｓ（ ＋ ） 值 — — ． ｉ２ 的 为 ｎａ
１ ．在平 面直 角坐标 系 ｘ ｙ中 ， Ｃ的方 程 为 ｚ ２ Ｏ 圆
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输 出 的 ｋ的值
是 ． 图１
ｃｎｂ ａ ｃ ， ｌ ≥ ＋ ｌ Ｃ 则 的取值 范 围是 ｎ
“ —
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一
．
二 、 答题 ： 大 题 共 ６小 题 ， 计 ９ 解 本 共 ０分． 解答 时
５ ．函 数 ｆ ｘ （ ）一
应 写 出文字说 明 、 明过 程或 演算 步骤． 证
√ ＮＡ ・ Ｆ 的值 是 ２， Ｆ Ｂ
．
・
６ ・ ２
中学数学 月 刊
２１ ０ ２年第 ７ 期
平 面上 ， Ｙ轴 垂 直 于地 平 面 ， 位 长 度 为 １千 单
米． 某炮 位 于坐 标 原点 ． 已知炮 弹 发射 后 的轨 Nhomakorabea１
足：＋一 ａｌ 些 ｎ
√口 ＋ ｂ
， ∈Ｎ ． ＊
图４
√ 则 ｍ 的值 为 ５，
．
９ ．如 图 ３ 在矩形 Ａ Ｃ 中， Ｂ一√ Ｂ ， Ｂ Ｄ Ａ ２， Ｃ一２ 点 ，
Ｅ为 Ｂ Ｃ的 中点 ， Ｆ在边 Ｃ 上 ， Ｂ ・ 点 Ｄ 若Ａ ＡＦ一
（ ） 线 Ａ。 ２直 Ｆ∥ 平面 Ａ ＤＥ． １ ． 本 小题 满分 １ ７（ ４分 ） 如 图 ５ 建立 平 面直 角 坐 标 系 ０ ｚ轴 在 地 ， ，
江苏省赣马高级中学2012届高三数学附加题训练03
2012届赣马高级中学高三数学附加题训练0321．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 选修4-2：矩阵与变换设A=，则A 6= 答案要点：A =cos -sin 44sin cos 44ππππ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，∴A 6=66cos -sin 0 14466-1 0sin cos 44ππππ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦选修4-4：坐标系与参数方程 椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值.答案要点：设椭圆的参数方程为4cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，d =3)33πθθθ=-=+- 当cos()13πθ+=，即53πθ=时，min d =，此时所求点为(2,3)- 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第22题已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥．（I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ；（II ）求1CC 到平面1A AB 的距离；思维导图：1CC //平面1A AB ⇒C 到平面1A AB 的距离⇒1CC 到平面1A AB 的距离答案要点：（I ）如图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥，所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ，以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥，又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC ；（II ）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得t =． 设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(1AA =，()2,2,0AB =，所以10220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,n =- 所以点1C 到平面1A AB 的距离1||||AC n d n ⋅==7． 第23题甲乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为31和41，求两人破译时以下事件发生的概率：（1）两人都能破译的概率；（2）恰有一人能破译的概率；（3）至多有一人能译出的概率．答案要点：设“甲能译出”为事件A ，“乙能译出”为事件B,由题意，A 、B 相互独立事件．所以（1）P(AB)=P(A)P(B)=1214131=⨯． (2) 11115()()()(1)(1)343412P AB AB P AB P AB +=+=⨯-+-⨯=．（3）方法一、12111211)(1)(=-=-=++AB P B A B A B A P ． 方法二、)()()()()()()(B P A P B P A P B P A P B A B A B A P ++=++ 1211)411)(311(41)311()411(31=--+⨯-+-⨯=．。
江苏省赣榆县海头高级中学高二数学下学期期末模拟考试
海头高级中学2011-2012学年高二下学期期末模拟考试数学（文）试题一、填空题1．已知集合}1,2,1{},1,1{-=-=B A ，则2．已知i R b a i ibia ,,(32∈+=-+为虚数单位），则b a += ． 3．“x >1”是“x 2>x ”成立的 条件( 填“充分不必要”、“必要不充分条件”、“充要”、“既不充分又不必要”之一).4．已知函数⎩⎨⎧≤>=0,20,log )(2x x x x f x 若21)(=a f ，则a = .5．函数24x x y -=的单调减区间为6．设曲线)1(2)(3a a ax x f ，在点-=处的切线与直线012=+-y x 平行，则实数a 的值为 ． 7．在ABC ∆中，已知BC=1，3π=B ， ABC ∆的面积为3，则AC 的长为 ．8．已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<++-=0021)1()(x a x a x a x f x 是),(+∞-∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是9．等差数列}{n a 前n 项和为n S ，若7,16797==+S a a ，则12a =10．已知函数kkx f x x +-=22)(为奇函数，则k 的值为11．已知正方形ABCD 的四个顶点在椭圆）（0122>>=+b a bya x 上，AB∥x 轴，AD 过左焦点F ，则该椭圆的离心率为 ．12．已知函数b a abx x x f 2)(2+++=．若,4)0(=f 则)1(f 的最大值为 ． 13．给出下列四个结论：①命题“2,0"x R x x ∃∈->的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”； ②“若22,am bm <则a b <”的逆命题为真；③对于任意实数x ，有()(),()(),f x f x g x g x -=--=且x>0时,()0,()0,f x g x ''>>则x<0时()().f x g x ''>其中正确结论的序号是 .（填上所有正确结论的序号）14．已知定义在上偶函数)(x f 且0)1(=f ，当0>x 时，有0)()(2'>-xx f x xf ，则不等式0)(>x xf 解集为二、解答题 15.计算 （1）205100)21(])11()21[(i i i i i +-+-++ （2）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+16．已知集合{|(2)(25)0},A x x x a =---<函数2(2)lg 2x a y a x-+=-的定义域为集合B 。
(完整版)2012年江苏省高考数学试卷答案与解析
2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2012•江苏）已知集合A={1.2.4}.B={2.4.6}.则A∪B={1.2.4.6} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意.A.B两个集合的元素已经给出.故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1.2.4}.B={2.4.6}.∴A∪B={1.2.4.6}故答案为{1.2.4.6}点评：本题考查并集运算.属于集合中的简单计算题.解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（2012•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比.做出高二所占的比例.用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例.得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.∴高二在总体中所占的比例是=.∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.∴要从高二抽取.故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法.本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例.这就是在抽样过程中被抽到的概率.本题是一个基础题．3．（5分）（2012•江苏）设a.b∈R.a+bi=（i为虚数单位）.则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意.可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i.再由进行计算即可得到a+bi=5+3i.再由复数相等的充分条件即可得到a.b的值.从而得到所求的答案解答：解：由题.a.b∈R.a+bi=所以a=5.b=3.故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算.解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭.复数的四则运算是复数考查的重要内容.要熟练掌握.复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁.解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）（2012•江苏）图是一个算法流程图.则输出的k的值是 5 ．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值.判断是否循环.达到满足题目的条件.结束循环.得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0.不满足判断框．则k=2.22﹣10+4=﹣2＞0.不满足判断框的条件.则k=3.32﹣15+4=﹣2＞0.不成立.则k=4.42﹣20+4=0＞0.不成立.则k=5.52﹣25+4=4＞0.成立.所以结束循环.输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用.考查计算能力.注意循环条件的判断．5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=的定义域为（0.] ．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0.真数要大于0.得到不等式组.根据对数的单调性解出不等式的解集.得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0.且x＞0∴.x＞0∴.x＞0.∴.x＞0.∴0.故答案为：（0.]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题.在解题时一般遇到.开偶次方时.被开方数要不小于0.；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0.这种题目的运算量不大.是基础题．6．（5分）（2012•江苏）现有10个数.它们能构成一个以1为首项.﹣3为公比的等比数列.若从这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为.然后找出小于8的项的个数.代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1.﹣3.（﹣3）2.（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1.﹣3.（﹣3）3.（﹣3）5.（﹣3）7.（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用.属于基础试题7．（5分）（2012•江苏）如图.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中.AB=AD=3cm.AA1=2cm.则四棱锥A ﹣BB1D1D的体积为 6 cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过A作AO⊥BD于O.求出AO.然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O.AO是棱锥的高.所以AO==.所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法.考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.若双曲线的离心率为.则m的值为 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0.所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0.可得c2=m2+m+4.最后根据双曲线的离心率为.可得c2=5a2.建立关于m的方程：m2+m+4=5m.解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0.b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为.∴.可得c2=5a2.所以m2+m+4=5m.解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程.在已知离心率的情况下求参数的值.着重考查了双曲线的概念与性质.属于基础题．9．（5分）（2012•江苏）如图.在矩形ABCD中.AB=.BC=2.点E为BC的中点.点F在边CD 上.若=.则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形.把已知向量用矩形的边所在的向量来表示.做出要用的向量的模长.表示出要求得向量的数量积.注意应用垂直的向量数量积等于0.得到结果．解答：解：∵.====||=.∴||=1.||=﹣1.∴=（）（）==﹣=﹣2++2=.故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式.本题是一个中档题目．10．（5分）（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1]上.f （x）=其中a.b∈R．若=.则a+3b的值为﹣10 ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数.由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0.解关于a.b的方程组可得到a.b的值.从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数.f（x）=.∴f（）=f（﹣）=1﹣ a.f（）=；又=.∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1）.∴2a+b=0.②由①②解得a=2.b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性.考查分段函数的解析式的求法.着重考查方程组思想.得到a.b的方程组并求得a.b的值是关键.属于中档题．（2012•江苏）设α为锐角.若cos（α+）=.则sin（2α+）的值为．11．（5分）考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+.根据cosβ求出sinβ.进而求出sin2β和cos2β.最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+.∴sinβ=.s in2β=2sinβcosβ=.cos2β=2cos2β﹣1=.∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下.求2α+的正弦值.着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式.考查了三角函数中的恒等变换应用.属于中档题．12．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.若直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1.由题意可知.只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.整理得：（x﹣4）2+y2=1.即圆C是以（4.0）为圆心.1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4.0）到直线y=kx﹣2的距离为d.则d=≤2.即3k2﹣4k≤0.∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系.将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键.考查学生灵活解决问题的能力.属于中档题．13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.若关于x 的不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.则实数c的值为9 ．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出a与b的关系.然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m.m+6.最后利用根与系数的关系建立等式.解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根.即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.即为x2+ax+＜c解集为（m.m+6）.则x2+ax+﹣c=0的两个根为m.m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用.以及根与系数的关系.同时考查了分析求解的能力和计算能力.属于中档题．14．（5分）（2012•江苏）已知正数a.b.c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a.clnb≥a+clnc.则的取值范围是[e.7] ．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得≤≤2.而5×﹣3≤≤4×﹣1.于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.利用其导数可求得f （x）的极小值.也就是的最小值.于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞.∵5c﹣3a≤4c﹣a.∴≤2．从而≤2×4﹣1=7.特别当=7时.第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc.∴0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.∵f′（x）=.当0＜x＜e时.f′（x）＜0.当x＞e时.f′（x）＞0.当x=e时.f′（x）=0.∴当x=e时.f（x）取到极小值.也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e.=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3.不等式成立.从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e.7]双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用.得到≥.通过构造函数求的最小值是关键.也是难点.考查分析与转化、构造函数解决问题的能力.属于难题．二、解答题：本大题共6小题.共计90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中.已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=.求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边.然后两边同时除以c 化简后.再利用正弦定理变形.根据cosAcosB≠0.利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角.及cosC的值.利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值.进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值.由tanC的值.及三角形的内角和定理.利用诱导公式求出tan（A+B）的值.利用两角和与差的正切函数公式化简后.将tanB=3tanA代入.得到关于tanA的方程.求出方程的解得到tanA的值.再由A为三角形的内角.利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•.∴cb cosA=3cacosB.即bcosA=3acosB.由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB.又0＜A+B＜π.∴cosA＞0.cosB＞0.在等式两边同时除以cosAcosB.可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=.0＜C＜π.sinC==.∴tanC=2.则tan[π﹣（A+B）]=2.即tan（A+B）=﹣2.∴=﹣2.将tanB=3tanA代入得：=﹣2.整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0.即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0.解得：tanA=1或tanA=﹣.又cosA＞0.∴tanA=1.又A为三角形的内角.则A=．点评：此题属于解三角形的题型.涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则.正弦定理.同角三角函数间的基本关系.诱导公式.两角和与差的正切函数公式.以及特殊角的三角函数值.熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）（2012•江苏）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.A1B1=A1C1.D.E分别是棱1上的点（点D 不同于点C）.且AD⊥DE.F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.得到CC1⊥平面ABC.从而AD⊥CC1.结合已知1条件AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线.得到AD⊥平面BCC1B1.从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中.A1F⊥B1C1.再用类似（1）的方法.证出A1F⊥平面BCC1B1.结合AD⊥平面BCC1B1.得到A1F∥AD.最后根据线面平行的判定定理.得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.1∴CC1⊥平面ABC.∵AD⊂平面ABC.∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1.∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中.A1B1=A1C1.F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1.A1F⊂平面A1B1C1.∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1.∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE.AD⊂平面ADE.∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体.考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点.属于中档题．17．（14分）（2012•江苏）如图.建立平面直角坐标系xOy.x轴在地平面上.y轴垂直于地平面.单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上.其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小）.其飞行高度为3.2千米.试问它的横坐标a 不超过多少时.炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标.求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值.由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中.令y=0.得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0.k＞0．∴.当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0.∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0.使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立.即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0.两根之积大于0.故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时.k=＞0．∴当a不超过6千米时.炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用.考查基本不等式的运用.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值.则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a.b是实数.1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2.求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c.其中c∈[﹣2.2].求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出导函数.根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x.求出g′（x）.令g′（x）=0.求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx.得f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点.∴f′（1）=3﹣2a+b=0.f′（﹣1）=3+2a+b=0.解得a=0.b=﹣3．（2）由（1）得.f（x）=x3﹣3x.∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0.解得x1=x2=1.x3=﹣2．∵当x＜﹣2时.g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时.g′（x）＞0.∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时.g′（x）＞0.∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t.则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况.d∈[﹣2.2]当|d|=2时.由（2 ）可知.f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2.注意到f（x）是奇函数.∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时.∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0.f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0.∴一2.﹣1.1.2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知.f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2.+∞）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数.从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2.+∞）无实根．②当x∈（1.2）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0.f（2）﹣d＞0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（1.2 ）内有唯一实根．同理.在（一2.一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1.1）时.f′（x）＜0.于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0.f（1）﹣d＜0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（一1.1 ）内有唯一实根．因此.当|d|=2 时.f（x）=d 有两个不同的根 x1.x2.满足|x1|=1.|x2|=2；当|d|＜2时.f （x）=d 有三个不同的根x3.x4.x5.满足|x i|＜2.i=3.4.5．现考虑函数y=h（x）的零点：（ i ）当|c|=2时.f（t）=c有两个根t1.t2.满足|t1|=1.|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根.f（x）=t2有两个不同的根.故y=h（x）有5 个零点．（ i i ）当|c|＜2时.f（t）=c有三个不同的根t3.t4.t5.满足|t i|＜2.i=3.4.5．而f（x）=t i有三个不同的根.故y=h（x）有9个零点．综上所述.当|c|=2时.函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时.函数y=h（x）有9 个零点．点评：本题考查导数知识的运用.考查函数的极值.考查函数的单调性.考查函数的零点.考查分类讨论的数学思想.综合性强.难度大．19．（16分）（2012•江苏）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c.0）.F2（c.0）．已知（1.e）和（e.）都在椭圆上.其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A.B是椭圆上位于x轴上方的两点.且直线AF1与直线BF2平行.AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=.求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（1）根据椭圆的性质和已知（1.e）和（e.）.都在椭圆上列式求解．析：（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my.与椭圆方程联立.求出|AF1|、|BF2|.根据已知条件AF1﹣BF2=.用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行.点B在椭圆上知.可得..由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2.e=.由点（1.e）在椭圆上.得.∴b=1.c2=a2﹣1．由点（e.）在椭圆上.得∴.∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1.0）.F2（1.0）.又∵直线AF1与直线BF2平行.∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my．设A（x1.y1）.B（x2.y2）.y1＞0.y2＞0.∴由.可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴.（舍）.∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=.∴.解得m2=2．∵注意到m＞0.∴m=．∴直线AF1的斜率为．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行.∴.即．由点B在椭圆上知..∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得...∴PF1+PF2=．∴PF 1+PF 2是定值．点评： 本题考查椭圆的标准方程.考查直线与椭圆的位置关系.考查学生的计算能力.属于中档题．20．（16分）（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n+1=.n ∈N *.（1）设b n+1=1+.n ∈N*.求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=•.n ∈N*.且{a n }是等比数列.求a 1和b 1的值．考点： 数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列． 分析：（1）由题意可得.a n+1===.从而可得.可证（2）由基本不等式可得..由{a n }是等比数列利用反证法可证明q==1.进而可求a 1.b 1解答：解：（1）由题意可知.a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵a n ＞0.b n ＞0∴从而（*）设等比数列{a n}的公比为q.由a n＞0可知q＞0下证q=1若q＞1.则.故当时.与（*）矛盾0＜q＜1.则.故当时.与（*）矛盾综上可得q=1.a n=a1.所以.∵∴数列{b n}是公比的等比数列若.则.于是b1＜b2＜b3又由可得∴b1.b2.b3至少有两项相同.矛盾∴.从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用.解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答.22、23必做题）（共3小题.满分40分）21．（20分）（2012•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图.AB是圆O的直径.D.E为圆上位于AB异侧的两点.连接BD并延长至点C.使BD=DC.连接AC.AE.DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵.求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中.已知圆C经过点P（.）.圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x.y满足：|x+y|＜.|2x﹣y|＜.求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：A．要证∠E=∠C.就得找一个中间量代换.一方面考虑到∠B.∠E是同弧所对圆周角.相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵.根据定义可求出矩阵A.从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（.）.求出圆的半径.从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接 AD．∵AB是圆O的直径.∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC.∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D.E 为圆上位于AB异侧的两点.∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵.∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1.λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0.得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1.0）．∵圆C 经过点P（.）.∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|.|x+y|＜.|2x﹣y|＜.∴3|y|＜.∴点评：本题是选作题.综合考查选修知识.考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明.综合性强22．（10分）（2012•江苏）设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条.当两条棱相交时.ξ=0；当两条棱平行时.ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时.ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列.并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数.即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对.即可求出相应的概率.从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（1）若两条棱相交.则交点必为正方体8个顶点中的一个.过任意1个顶点恰有3条棱.∴共有8对相交棱.∴P（ξ=0）=．（2）若两条棱平行.则它们的距离为1或.其中距离为的共有6对.∴P（ξ=）=.P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=．∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 1P∴其数学期望E（ξ）=1×+=．点评：本题考查概率的计算.考查离散型随机变量的分布列与期望.求概率是关键．23．（10分）（2012•江苏）设集合P n={1.2.….n}.n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A.则2x∉A；③若x∈ A.则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）由题意可得P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}.故4可求f（4）（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数；若m∉A.则x∈A⇔k为奇数.可求解答：解（1）当n=4时.P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}4故f（4）=4（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.于是x=m•2k.其中m为奇数.k∈N*由条件可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数若m∉ A.则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定.设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数.当n为偶数时（或奇数时）.P n中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用.解题的关键是准确应用题目中的定义。
数学_2012年江苏省高考数学全真模拟试卷(1)(含答案)
2012年江苏省高考数学全真模拟试卷（1）一.填空题（每题5分，计70分）1. 已知集合A ={y|y =sinx, x ∈R}，集合B ={y|y =√x ，x ∈R}，则A ∩B =________．2. “a =0”是“复数a +bi(a, b ∈R)是纯虚数”的________条件．3. 将函数y =sin(2x −π3)的图象先向左平移π3，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为________． 4. 若抛物线y 2=−2px(p >0)的焦点与双曲线x 23−y 2=1的左焦点重合，则p 的值________．5. 函数f(x)＝|x −2|−lnx 在定义域内零点的个数为________．6. 直线y ＝kx +1与曲线y ＝x 3+ax +b 相切于点A(1, 3)，则b 的值为________．7. 若规定|a bcd|=ad −bc ，则不等式lg(|111x |)<0的解集是________．8. 若平面向量a →，b →满足|a →+b →|=1，a →+b →平行于x 轴，b →=(2,−1)，则a →=________． 9. 在△ABC 中，AB =BC ，cosB =−718．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e =________． 10. 直线y =√33x +√2与圆心为D 的圆(x −√3)2+(y −1)2=3交于A 、B 两点，则直线AD与BD 的倾斜角之和为________． 11. 若函数f(x)=2sinωx(ω>0)在[−2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为________．12. 等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1=−2008，S 20072007−S 20052005=2，则S 2008=________．13. 对于△ABC 内的任何一点M ，为了确定M 的具体位置f(M)，采用如下记法：f(M)=(x, y, z)，x ，y ，z 分别表示△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，现有△ABC 满足AB →⋅AC →=2√3且∠A =30∘，设M 是△ABC 内的一点（不在边界上），当f(M)=(x,y,12)，那么1x +4y 的最小值为________．14. 设f(x)是定义在R 上的函数，若f(0)=2010，且对任意的x ∈R ，满足f(x +2)−f(x)≤3⋅2x ，f(x +6)−f(x)≥63⋅2x ，则f(2010)=________．二.解答题（解答应给出完整的推理过程，否则不得分）15. 已知全集U =R ，集合A ={x|x 2−x −6<0}，B ={x|x 2+2x −8>0}，C ={x|x 2−4ax +3a 2<0}，若C U (A ∪B)⊆C ，求实数a 的取值范围．16. 如图，在直角坐标系xOy 中，锐角△ABC 内接于圆x 2+y 2=1．已知BC 平行于x 轴，AB 所在直线方程为y =kx +m(k >0)，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．（1）若3k =2aca 2+c 2−b 2，求cos 2A+C 2+sin2B 的值；（2）若k =2，记∠xOA =α(0<α<π2)，∠xOB =β(π<β<3π2)，求sin(α+β)的值．17. 某公司有价值a 万元的一条生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入资金，相应就要提高生产产品的售价．假设售价y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：①y 与a −x 和x 的乘积成正比；②x =a2时y =a 2；③0≤x2(a−x)≤t 其中t 为常数，且t ∈[0, 1]．（1）设y =f(x)，试求出f(x)的表达式，并求出y =f(x)的定义域； （2）求出售价y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的x 的值．18. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短半轴长为1，动点M(2, t)(t >0)在直线x =a 2c（a为长半轴，c 为半焦距）上． (1)求椭圆的标准方程;(2)求以OM 为直径且被直线3x −4y −5=0截得的弦长为2的圆的方程；(3)设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值． 19. 已知函数f(x)=x 2ln|x|， （1）判断函数f(x)的奇偶性； （2）求函数f(x)的单调区间；（3）若关于x 的方程f(x)=kx −1有实数解，求实数k 的取值范围． 20. 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=3，且a n+2=(1+2|cos nπ2|)a n +|sinnπ2|，n ∈N ∗，（1）求a 2k−1(k ∈N ∗)；（2）数列{y n }，{b n }满足y n =a 2n−1，b 1=y 1，且当n ≥2时b n =y n 2(1y 12+1y 22+⋯+1y n−12)．证明当n ≥2时，有b n+1(n+1)2−b nn 2=1n 2；（3）在（2）的条件下，试比较(1+1b 1)⋅(1+1b 2)⋅(1+1b 3)+⋯+(1+1b n)与4的大小关系．三、理科加试21. 已知(x)n的展开式中前三项的系数成等差数列．2√x（1）求n的值；（2）求展开式中系数最大的项．22. “抽卡有奖游戏”的游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”，要求参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2张“奥运福娃”卡才能得到奖并终止游戏．（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽”卡？主持人说：若从盒中任．请你回答有几张“奥运会徽”卡呢？抽2张卡片不都是“奥运会徽”卡的概率为2528（2）现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取．用ξ表示4人中的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求ξ的概率分布及ξ的数学期望．23. 已知曲线C的方程y2=3x2−2x3，设y=tx，t为参数，求曲线C的参数方程．24. 已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F(2, 0)．（1）求抛物线C的方程；（2）过N(−1, 0)的直线l交曲C于A，B两点，又AB的中垂线交y轴于点D(0, t)，求t的取值范围．2012年江苏省高考数学全真模拟试卷（1）答案1. [0, 1]2. 必要不充分3. y=sin(x+π)34. 45. 26. 37. (1, 2)8. (−1, 1)或(−3, 1)9. 38π10. 4311. 3412. −200813. 1814. 22010+200915. 解：A={x|−2<x<3}，B={x|x<−4, 或x>2}，A∪B={x|x<−4, 或x>−2}，∁U(A∪B)={x|−4≤x≤−2}，而C={x|(x−a)(x−3a)<0}．(1)当a>0时，C={x|a<x<3a}，显然不成立(2)当a=0时，C=⌀，不成立(3)当a <0时，C ={x|3a <x <a}， 要使C U (A ∪B)⊆C ， 只需{3a <−4a >−2，即−2<a <−43． 16. 解：（1）变式得：3sinB cosB=2ac a 2+c 2−b 2，解得sinB =13，原式=sin 2B2+sin2B =1−cosB 2+2sinBcosB =9+2√218； （2）解{x 2+y 2=1y =2x +m，5x 2+4mx +m 2−1=0设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，x 1+x 2=−4m5，x 1x 2=m 2−15．sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=y 1x 2+x 1y 2=(2x 1+m)x 2+x 1(2x 2+m)=4x 1x 2+m(x 1+x 2)=−4517. 解：（1）设y =k(a −x)x ，当x =a2时y =a 2，可得k =4，∴ y =4(a −x)x∴ 定义域为[0,2at 1+2t]，t 为常数，t ∈[0, 1]（2）y =4(a −x)x =−4(x −a2)2+a 2当2at1+2t ≥a2时，即12≤t ≤1，x =a2时，y max =a 2 当2at 1+2t <a 2时，即0≤t <12时，y =4(a −x)在[0, 2at 1+2t]上为增函数，则当x =2at 1+2t 时，y max =8at 2(1+2t)2从而当12≤t ≤1时，投入x =a 2时，售价y 最大为a 2万元；当0≤t <12时，投入x =2at 1+2t时，售价y 最大为8at 2(1+2t)2万元．18. 解：(1)又由点M 在准线上，得a 2c =2， 故1+c 2c=2，∴ c =1，从而a =√2，所以椭圆方程为x 22+y 2=1；(2)以OM 为直径的圆的方程为x(x −2)+y(y −t)=0, 即(x −1)2+(y −t 2)2=t 24+1.其圆心为(1,t 2)，半径r =√t 24+1,因为以OM 为直径的圆被直线3x −4y −5=0截得的弦长为2, 所以圆心到直线3x −4y −5=0的距离d =√r 2−1=t2,所以|3−2t−5|5=t2，解得t =4,所求圆的方程为(x −1)2+(y −2)2=5.(3)设N(x 0, y 0)，则FN →=(x 0−1,y 0)，OM →=(2,t)， MN →=(x 0−2,y 0−t)，ON →=(x 0,y 0)，∵ FN →⊥OM →，∴ 2(x 0−1)+ty 0=0，∴ 2x 0+ty 0=2， 又∵ MN →⊥ON →，∴ x 0(x 0−2)+y 0(y 0−t)=0，∴ x 02+y 02=2x 0+ty 0=2， 所以|ON →|=√x 02+y 02=√2为定值．19. 解：（1）函数f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0} f(−x)=(−x)2ln|−x|=x 2lnx =f(x) ∴ f(x)为偶函数（2）当x >0时，f′(x)=2x ⋅lnx +x 2⋅1x =x ⋅(2lnx +1) 若0<x <e −12，则f ′(x)<0，f(x)递减； 若x >e −12，则f ′(x)>0，f(x)递增． 递增区间是(−e −12，0)和(e −12，+∞)； 递减区间是(−∞,−e −12)和(0,e −12)．（3）要使方程f(x)=kx −1有实数解，即要使函数y =f(x)的图象与直线y =kx −1有交点．函数f(x)的图象如图．先求当直线y =kx −1与f(x)的图象相切时k 的值．当k >0时，f ′(x)=x ⋅(2lnx +1)设切点为P （a, f(a)），则切线方程为y −f(a)=f ′(a)(x −a)， 将x =0，y =−1代入，得−1−f(a)=f ′(a)(−a) 即a 2lna +a 2−1=0(∗) 显然，a =1满足(∗)而当0<a <1时，a 2lna +a 2−1<0， 当a >1时，a 2lna +a 2−1>0∴ (∗)有唯一解a =1 此时k =f ′(1)=1再由对称性，k =−1时，y =kx −1也与f(x)的图象相切，∴ 若方程f(x)=kx −1有实数解，则实数k 的取值范围是(−∞, −1]∪[1, +∞)． 20. 解：（1）设n =2k −1 由a 2k+1=(1+2|cos(2k−1)π2|)a 2k−1+|sin(2k−1)π2|=a 2k−1+1∴ a 2k+1−a 2k−1=1∴ 数列(a 2k−1}为等差数列． ∴ a 2k−1=k(k ∈N ∗)； …（2）证：y =a 2n−1=n ．当n ≥2时，b nn 2=112+122+⋯+1(n−1)2…① ∴b n+1(n+1)2=112+122+⋯+1n 2…②…②式减①式，有bn+1(n+1)2−bnn 2=1n 2，得证． …（3）解：当n =1时，1+1b 1=2<4；当n =2时，(1+1b 1)⋅(1+1b 2)=2×54<4，由（2）知，当n ≥2时，1+b nbn+1=n 2(n+1)2，∴ 当n ≥3时，(1+1b 1)⋅(1+1b 2)⋅(1+1b 3)+⋯+(1+1b n)=2[1+122+⋯+1n 2]∵ 1n 2<1n(n−1)=1n−1−1n (n ≥2)， ∴ (1+1b 1)⋅(1+1b 2)⋅(1+1b 3)+⋯+(1+1b n)<2(2−1n)<4 …21. 解：（1）由题设，得C n 0+14×C n 2=2×12×C n 1，即n 2−9n +8=0，解得n =8，n =1（舍去）．（2）设第r +1的系数最大，则{12rC 8r≥12r+1C 8r+112r C 8r ≥12r−1C 8r−1.即{18−r≥12(r+1)12r≥19−r .解得r =2或r =3．所以系数最大的项为T 3=7x 5，T 4=7x 72． 22. 解：（1）设盒子中有“会徽卡”n 张， 依题意有，1−C n2C 82=2528解得n =3，即盒中有“会徽卡”3张．（2）因为ξ表示某人一次抽得2张“福娃卡”终止时，所有人共抽取了卡片的次数， 所以ξ的所有可能取值为1，2，3，4， P(ξ=1)=C 52C 82=514；P(ξ=2)=C 32C 82⋅C 52C 62+C 82˙⋅C 42C 62=27；P(ξ=3)=C 32C 82⋅C 62˙⋅C 42C 42+C 82˙⋅C 22C 62⋅C 42C 42+C 82˙⋅C 62˙⋅C 32C 42=314；P(ξ=4)=C 82˙⋅C 62˙⋅C 42˙⋅C 22C 22=17，ξ的概率分布列为：∴ ξ的数学期望为Eξ=1×514+2×27+3×314+4×17=157．23. 解：把y =tx 代入曲线C 的方程y 2=3x 2−2x 3，可得t 2=3−2x ，所以x =−12t 2+32所以曲线C 的参数方程为：{x =−12t 2+32y =−12t 3+32t24. 解：（1）设抛物线方程为y 2=2px ，则p2=2，∴ p =4，所以，抛物线的方程是y 2=8x ．（2）由题设知，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程是y =k(x +1)，联立{y =k(x +1)y 2=8x ，消去x 得ky 2−8y +8k =0，显然k ≠0，由△=64−32k 2>0，得0<|k|<√2． 由韦达定理得，y 1+y 2=8k ，y 1y 2=8，所以x 1+x 2=y 1+y 2k−2=8k 2−2，则AB 中点E 坐标是(4k 2−1,4k)，由k DE −k =−1可得k 3t −3k 2−4=0，所以，t =4k 3+3k ，令1k =x ，则t =4x 3+3x ，其中|x|>√22， 因为t′=12x 2+3>0，所以函数t =4x 3+3x 是在(−∞,−√22)，(√22,+∞)上增函数． 所以，t 的取值范围是(−∞,−5√22)∪(5√22，+∞)．。
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第9题图0 1 2 6 7 8 8 0 2 8 0 2 28 7 9 8 7 6 2 01 0第8题图江苏省赣榆高级中学2012届高三数学期末模拟试卷2数学Ⅰ一、填空题1．已知集合{}1A =，{}19B =,，则A B = ． 2．已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ．3．若函数2()5f x mx x =++在[2)-+∞，上是增函数，则m 的取值范围是 ． 4．已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M ，若5M ∉，则实数a 的取值范围是 ． 5．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =-上，则sin 22cos2αα+= ．6．数列{n a }的前n 项和223(N*)n S n n n =-∈，则4a = ．7．若函数)(x f 的导函数为34)('2+-=x x x f ，则函数)1(-x f 的单调递减区间为 ．8．某校开展了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取10名学生的学分，用茎叶图表示（如图所示），若1s 、2s 分别表示甲、乙两班各自10名学生学分的标准差，则1s2s （请填“＜”，“＝”，“＞”）9．如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是 ．10．过直线x y =上的一点作圆2)4(22=-+y x 的两条切线21,l l ，当1l 与2l 关于x y =对称时，1l 与2l 的夹角为 ．11．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n (n ≥3)维向量，n 维向量可用(x 1，x 2，x 3，x 4，…，x n )表示．设a ＝(a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n )，b ＝(b 1，b 2，b 3，b 4，…，b n )，规定向量a 与b 夹角θ的余弦为∑∑∑====ni ini ini ii ba ba 12121cos θ，已知n 维向量a ，b ，当a ＝(1,1,1,1，…，1)，b ＝(－1，－1,1,1,1，…，1)时，cos θ等于 ． 12．将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为1的小正四面体，所得几何体的表面积为_ ．13．等腰ABC Rt ∆中，斜边24=BC ，一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一个焦点在线B第16题图PF EA DCB A A 2CO A 3段AB 上，且椭圆经过B A ,两点，则该椭圆的离心率为 ．14．若实数c b a ,,满足111111,122222a b a b b c a c ++++=++=，则c 的最大值是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--,, , , , , 且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A=AD ，AB 2AD ，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且(0)PE BFED FAλλ==>． (1)判断EF 与平面PBC 的关系，并证明； （2）当λ为何值时，DF ⊥平面P AC ？并证明．18．(本小题满分16分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦距为32，离心率为23．（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆顶点),0(b B ，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且|||,||,|DE BE BD 成等比数列，求2k 的值．17．(本小题满分14分)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3．点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等．设细绳的总长为y ． （1）设∠CA 1O =θ (rad )，将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长．APBM C19．(本小题满分16分)已知：三次函数c bx ax x x f +++=23)(，在),2(),1,(+∞--∞上单调增，在（-1，2）上单调减，当且仅当4>x 时，.54)(2+->x x x f （1）求函数f (x )的解析式； （2）若函数)ln()1()2(3)()(m x m x x f x h ++--'=，求)(x h 的单调区间．20．(本小题满分16分)设)(n f k 为关于n 的)(N k k ∈次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．数学Ⅱ（附加题）21．设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值．22．已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是2cos ρθ=和2sin a ρθ=(a 是非零常数)． (1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 若两圆的圆心距为5，求a 的值．23．在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ． ⑴求P A 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．24．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件：①{}n i a i 2,,2,1,1,1 =-∈； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足对“任意的1k n ≤≤，都有0212=+-k k a a ”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得0212≠+-k k a a ”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．数学参考答案一、填空题：1． {}1 9，； 2． 3； 3． 104⎡⎤⎢⎥⎣⎦，； 4． [1,25] ； 5． -2； 6． 11 ； 7． [2，4]； 8．〈； 9． 92-； 10． 3π； 11nn 4-．； 12． 37； 13． 36- ； 14． 2-log 23 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--,, , , , , 且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．【解】（1）由题意得(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-，,()BC x y =, , …………………2分因为//AD BC ，所以(4)(2)0x y y x +--=，即20x y +=，① ………………………………………4分 （2）由题意得(6 1)AC AB BC x y =+=++，，(2 3)BD BC CD x y =+=--，， ………6分因为AC BD ⊥，B第16题图PFEA DC所以(6)(2)(1)(3)0x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=，② ………………8分由①②得2 1 x y =⎧⎨=-⎩，，或6 3.x y =-⎧⎨=⎩， (10)分当2 1x y =⎧⎨=-⎩，时，(8 0)AC =，，(0 4)BD =-，，则1=162ABCD S AC BD =四边形 …………12分当6 3x y =-⎧⎨=⎩，时，(0 4)AC =，，(8 0)BD =-，，则1=162ABCD S AC BD =四边形 …………14分所以，四边形ABCD 的面积为16． 16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A=AD ，AB 2AD ，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且(0)PE BFED FAλλ==>． (1)判断EF 与平面PBC 的关系，并证明； （2）当λ为何值时，DF ⊥平面P AC ？并证明．16、（1）作//FG BC 交CD 于G ，连接EG ，则而, ,BF CG PE BFFA GD ED FA λ=== ,//,PE CG PC EG ED GD∴=∴又//,,FG BC BC PC C FG GE G ==∴平面PBC //平面EFG ．又EF ⊂平面PBC,∴EF //平面PBC ．………………………………6分（2）当1λ=时,DF ⊥平面PAC ． ………………………………………………………8分证明如下：1λ=，则F 为AB 的中点，又212AB ，∴在FAD Rt ∆与ACD Rt ∆中,2tan ==∠AF AD AFD ，2tan ==∠ADCDCAD ,………11分.,AFD CAD AC DF ∴∠=∠∴⊥又PA ⊥平面ABCD,DF ⊂平面ABCD,PA DF ∴⊥,B A A 2 COA 3DF ∴⊥平面PAC ． ………………………………………………………………14分17．(本小题满分14分)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3．点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等．设细绳的总长为y ．（1）设∠CA 1O = θ (rad )，将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长．17． （Ⅰ）解：在Rt △COA 1中，θcos 21=CA ，θtan 2=CO ， ………2分 θθtan 22cos 2331-+⋅=+=CB CA y =2cos )sin 3(2+-θθ（40πθ<<）……7分（Ⅱ）θθθθθθ222/cos 1sin 32cos )sin )(sin 3(cos 2-=----=y ， 令0='y ，则31sin =θ ………………12分 当31sin >θ时，0>'y ；31sin <θ时，0<'y ，∵θsin =y 在]4,0[π上是增函数∴当角θ满足31sin =θ时，y 最小，最小为224+；此时BC 222-=m …16分18．(本小题满分16分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦距为32，离心率为23．（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆顶点),0(b B ，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且|||,||,|DE BE BD 成等比数列，求2k 的值．19．(本小题满分16分)已知：三次函数c bx ax x x f +++=23)(，在),2(),1,(+∞--∞上单调增，在（-1，2）上单调减，当且仅当4>x 时，.54)(2+->x x x f （1）求函数f (x )的解析式； （2）若函数)ln()1()2(3)()(m x m x x f x h ++--'=，求)(x h 的单调区间．解：（1）)(x f 在),2(),1,(+∞--∞上单增，（-1，2）上单减 023)(2=++='∴b ax x x f 有两根－1，2c x x x x f b a b a +--=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-∴623)(623321322123…………4分令522554)()(232-+--=+--=c x x x x x x f x H )2)(13(253)(2-+=--='x x x x x H ),2(),31,()(+∞--∞在x H 单调增，)2,31(-单调减故110)31(0)4(-=∴⎪⎩⎪⎨⎧<-=c H H 11623)(23---=∴x x x x f 故.11623)(23---=x x x x f ………………………………………………6分（2）∵633)(2'--=x x x f)2)(ln()1(1)(≠->++-+=∴x m x m x m x x h 且 mx x m x m x h +-=++-='∴111)( 当m≤－2时，－m≥2，定义域：),(+∞-m 0)(>'x h 恒成立，),()(+∞-m x h 在上单增；当12-≤<-m 时，12≥->m ，定义域：),2()2,(+∞- m 0)(>'x h 恒成立，),2(),2,()(+∞-m x h 在上单增 当m >－1时，－m <1，定义域：),2()2,(+∞- m 由0)(>'x h 得x >1，由0)(<'x h 得x <1． 故在（1，2），（2，+∞）上单增；在)1,(m -上单减 所以当m ≤－2时，h (x )在（－m ,+∞）上单增； 当12-≤<-m 时，),2(),2,()(+∞-m x h 在上单增；当m >－1时，在（1，2），（2，+∞）上单增；在（－m ，1）单减………16分20．(本小题满分16分)设)(n f k 为关于n 的)(N k k ∈次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=， ② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥．若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ．故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列． (4)分【解】（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去． (ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．……………………………………………………7分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数）， 而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()*n ∈N ，故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+．…9分(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数）， 当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤ 211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， ………………………………………12分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有 2n a an b a d =+--，且d =2a ，考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ， 此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．…………………………………14分 (iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列．综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列． (16)A第23题图PBMC分数学Ⅱ21．设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值． 【解】由题意得01110000002011mn m n ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩, , (6)分化简得100002m n m n =⎧⎪⋅=⎪⎨⋅=⎪⎪=⎩,, , ,所以12m n =⎧⎨=⎩, . ………………10分22．已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是2cos ρθ=和2sin a ρθ=(a 是非零常数)． (1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 若两圆的圆心距为5，求a 的值．解：(1)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ． 所以⊙O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ． 即 (x －1)2＋y 2＝1．(3分) 由 ρ＝2a sin θ，得ρ2＝2aρsin θ．所以⊙O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2ay ， 即 x 2＋(y －a )2＝a 2．(6分)(2)⊙O 1与⊙O 2的圆心之间的距离为12＋a 2＝5，解得a ＝±2． …………………………10分23．在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ． ⑴求P A 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．解:以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则PB C DA MxyzA (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),P (0,0,a )．因为M 是PC 中点,所以M 点的坐标为(12,12,a 2)，所以AM →= (12,12,a 2)，BD → = (–1,1,0)，BP →= ( – 1,0,a )．⑴因为AM →⊥平面PBD ,所以AM →·BD → = AM →·BP → = 0．即– 12 + a 22= 0,所以a = 1,即P A = 1． …………………………………4分⑵由AD → = (0,1,0),M → = (12,12,12),可求得平面AMD 的一个法向量n = ( – 1,0,1)．又CP → =( – 1,–1,1)．所以cos<n , CP →> = n ·CP →|n |·|CP →| = 22·3 = 63．所以,PC 与平面AMD 所成角的正弦值为63．……………………………10分24．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ①{}n i a i 2,,2,1,1,1 =-∈； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足对“任意的1k n ≤≤，都有0212=+-k k a a ”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得0212≠+-k k a a ”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．【解】（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有0212=+-k k a a ， 所以，22222n n n A =⨯⨯⋅⋅⋅⨯=个相乘； …………………………4分（2）因为存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠， 所以2122k k a a -+=或2122k k a a -+=-， 设所有这样的k 为12(1)m k k k m n ⋅⋅⋅≤≤, , ，不妨设2122(1)j j k k a a j m -+=≤≤，则112122j j k k a a ++-+=-（否则12212j j k i i k a +=->∑=4）； 同理，若2122(1)j j k k a a j m -+=-≤≤，则112122j j k k a a ++-+=，这说明212j j k k a a -+的值由11212k k a a -+的值（2或-2）确定， …………………6分又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0，所以，11222C 22C 22C n n nn n n n B --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+ …………………8分11222(2+C 2C 2C )22n n n nn n n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯ 2(12)22n n =+-⨯2(32)n n =-． (10)分。