对几何直观的理解
怎样理解几何直观
怎样理解几何直观这一章我分为四节来读，按照文本的顺序。
第一节怎样理解几何直观。
我理解的直观就是直接的观察，加上几何两个字就是数学中的直观，要借助几何图形来认识。
但有很多关于几何直观的论述，他们的共同点表明几何直观都不是停留在感性认识阶段的直观，而是理性认识的升华。
通过三个层次的几何直观的实例，我发现这三种层次的不同深度，对学生理解能力的要求程度有所不同。
第二节中几何直观与数形结合部分我的感受最深。
因为在上高中的时候数形结合是最常用的数学思想，我们可以把一道题转化成图形再来思考会让思路清晰很多。
但通过阅读发现数形结合的作用是形使数更直观，这是两者的共同点，而形使数更入微是两者的区别。
以前我认为几何直观几乎与数形结合形同，但现在有了更清晰的认识。
因为确实存在不是数形结合的几何直观。
例如两点之间线段最短就是看出来的()，无需定量分析。
但数形结合的范围远超几何直观，所以我们也不必为了肯定几何直观而否定这一事实。
第三节怎样培养、发展小学生的几何直观。
现在自己是一位小学数学老师，不能仅仅停留在自己会做题，自己能理解数学思想，而是要培养学生的数学思想，让他们能更好的理解数学并发现数学的美。
既然要培养学生的几何直观就要让学生实际的去体会它的作用。
在拓展几何直观的时空部分，其中案例16是我印象最深的例子，因为这样的题目单凭想象的话很容易做错，如果用画图来解释就会一目了然，所以我们在平常的教学中可以给学生渗透数形结合的思想，把文字转化成图形会发现其中的奥秘和玄机。
第四节几何直观的局限性。
对于最后这一节举的例子我们会发现几何直观有发现真理的功能但不总能兼备证明真理、确保真理的可靠性功能。
就比如两条直线重合的情况在小学和初中可以避免，但是在高中的解析几何中就不能回避了，因为平面上的直线是有平面直角坐标系中的二元一次方程确定的，而把两个二元一次方程联立，有无穷多解时，两直线重合。
所以这些概念之间的差异的确有些微不足道，但是这些案例又能说明一些问题。
浅析几何直观在解决问题中的应用
浅析几何直观在解决问题中的应用几何直观是一种重要的解决问题方法，在各个领域都有着广泛的应用。
在数学、物理、工程等领域，几何直观都是解决问题的重要手段之一。
在这篇文章中，我们将浅析几何直观在解决问题中的应用，并介绍一些具体的例子。
几何直观在数学中的应用是非常广泛的。
在初中、高中数学中，我们就经常会遇到几何问题，比如求解几何图形的面积、体积、求解三角形的边长、角度等。
这时候，我们可以通过几何图形的直观特征，来帮助我们解决问题。
当我们要计算一个不规则图形的面积时，我们可以将它分割成几个规则的图形，然后分别计算每个规则图形的面积，最后将它们相加就是整个不规则图形的面积。
这个过程就是通过对几何形状的直观认识，来帮助我们解决问题。
在物理学中，几何直观也是非常重要的。
物理学中经常涉及到空间的变化、运动、以及场的变化等问题。
在这些问题中，我们经常需要通过几何图形来进行定性分析，比如通过力的合成原理来解决静力平衡问题，通过光的成像原理来解决成像问题等。
在这些问题中，几何直观可以帮助我们更好地理解问题的本质，从而找到解决问题的关键点。
在工程、计算机科学等领域中，几何直观也是非常重要的。
比如在机械设计、建筑设计中，我们经常需要通过几何图形来进行布局、构图、畅通等设计。
在计算机图形学中，几何直观也是非常重要的，它可以帮助我们更好地理解和设计图形算法、图像处理等方面的问题。
接下来，我们将通过具体的例子来展示几何直观在解决问题中的应用。
我们来看一个关于力的合成的例子。
在物理学中，通过力的合成原理可以很好地解决一些静力平衡问题。
要求一个物体的受力情况，我们可以通过将各个力的大小、方向用箭头表示在同一个平面上，再通过几何方法来进行合成，最终找到合力的大小和方向。
这个过程中可以通过几何直观来更好地理解力的规律，从而更好地解决问题。
我们来看一个关于建筑设计的例子。
在建筑设计中，要进行空间布局时，我们经常需要通过几何直观来进行构图、视觉效果等设计。
几何直观
什么是几何直观——对几何直观的认识与思考（七）关于几何直观，课标在第一部分前言的“课程设计思路”中描述了其定义，阐发了其价值与作用：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
可以说，这段话是目前理解几何直观的最重要依据。
数学课程标准（2011版）解读第92页—95页对几何直观的认识中指出：几何直观，顾名思义，所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西，更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来，它在本质上是一种通过图形所展开的想象力。
用最通俗的话说几何直观，它不仅是看到了什么?而是通过看到的图形思考到了什么?想象到了什么?直白点就是看图想事，看图说理，也包括想图、画图、表达想法。
利几何直观在小学数学中的运用2011年版课标指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
”教师在理解几何直观的过程中，要注意以下几个问题：第一，几何直观指的是通过“几何”的手段，达到“直观”的目的，实现“描述和分析问题”的目标。
这里的“几何”手段主要是指“利用图形”，“直观”的目的主要是将“复杂、抽象的问题变得简明、形象”。
因此，几何直观对学生而言是一种有效的学习方法，对教师而言是一种有效的教学手段，它是数形结合思想的体现，在整个数学学习过程中发挥着重要作用。
第二，几何直观所利用的“图形”主要是指点、线、面、体以及由以上四要素组成的其他几何图形，在小学阶段主要有正方形、长方形、三角形、平等四边形、梯形、圆以及线段、直线、射线等。
几何直观所要描述和分析的问题，不仅可以是生活问题，而且可以是数学问题。
对几何直观这个概念的理解
对几何直观这个概念的理解
《标准》中的10个核心概念有：数感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析观念、应用意识和创新意识。
下面谈一谈对几何直观这个概念的理解。
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
几何直观可以看成‘数形结合’的手段与方法。
‘数形结合’是一种数学思想方法，指利用代数里的模型来抽象地表示几何图形的本质内容，利用几何图形来形象直观地表示代数里的关系。
数学是抽象的，儿童喜欢具体形象的思维，几何直观经常能够解决抽象与形象之间的矛盾。
数学教学往往会利用简单的图形来表示比较抽象的数学问题或数量关系，如用线段图表示相差关系和倍数关系，用线段图表示相遇问题的已知、未知和数量关系，用简单图形表示田地面积的变化等，这些都十分有助于学生理解题意、找到问题的解法。
几何直观是人们理解复杂的数学问题，探索其解法的手段，是人们解决问题时经常采用的策略。
课程标准提出几何直观，不仅教师要充分利用这个手段教学数学知识，还应该培养学生自己运用几何直观的习惯和能力。
要联系实例让学生体会什么是几何直观，感受几何直观对解决问题的积极作用；要指导学生画图，初步学会几何直观；要鼓励学生经常运用几何直观，逐步成为个体的解决问题策略之一。
小学数学教学的视角角解读几何直观
小学数学教学的视角角解读几何直观
几何直观是指通过直观的观察和感知，理解几何概念和性质的能力。
在小学数学教学中，引导学生形成正确的几何直观是非常重要的。
下面从几个角度对小学数学教学的视角解读几何直观。
1. 视觉角度：几何直观与视觉经验有着密切关系。
以平行线为例，学生在观察平行线时会发现它们永不相交，具有一定的距离关系。
通过直观的观察和感知，学生能够形成关于平行线的直观理解。
在教学中，可以通过给学生展示一些实际的平行线的例子，引导学生观察和感知平行线的性质，培养学生的几何直观。
2. 动手角度：动手操作可以帮助学生更好地形成几何直观。
通过让学生亲自操作几何图形，观察其性质和特点，可以帮助学生加深对几何概念的理解。
在学习平面图形的性质时，可以让学生用纸板剪下不同形状的图形，通过观察和摆弄，发现图形的对称性、面积关系等性质，从而培养学生的几何直观。
3. 运动角度：在运动中，学生可以通过观察和感知几何对象的运动轨迹，形成对几何性质的直观理解。
在学习直线的概念和性质时，可以让学生在操场上画出一条直线，然后走在直线上观察它的特点，如方向、长度等。
通过运动中的观察和感知，学生能够更好地理解直线的性质，形成对直线几何直观。
4. 实例角度：通过讲解一些实际问题和例子，可以帮助学生建立起几何直观。
在学习三角形的概念和性质时，可以通过讲解桥梁、房屋、山峰等实际事物的例子，引导学生观察和感知其中的三角形，从而理解三角形的特点和性质。
通过实例的引导，学生能够更加形象地理解几何概念，培养几何直观。
“几何直观”的内涵及教育教学价值
几何直观”的内涵及教育教学价值对于“几何直观”的含义及其意义，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下文简称《数学课标》）是这样论述的：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
”从严格意义上讲，虽然这只是对几何直观内涵的一种描述性解释，但是却给了我们进行教学思考的基本依据。
几何直观基于“图形与几何”而又超越“图形与几何” 。
几何直观是《数学课标》新增加的核心概念之一，其教育教学价值在于，一方面要培养学生的逻辑推理能力，另一方面也能培养学生的直观思考能力。
在“图形与几何”的学习过程中，对实物或图形进行观察，形成表象并进行思考和想象，都蕴含着丰富的几何直观因素。
很多数学概念又都具有“数”与“形”两方面的特征，要透彻地理解它们的本质意义，必须从“数” “形”两个视角去认识和把握它们。
因此，学会用图形思考和想象问题是学习数学的基本能力，在数学学习领域，要重视培养学生的几何直观能力。
一、对图形的理解可以宽泛些几何直观的本质是凭借图形进行数学思考。
我们在教学时，对于图形的理解可以稍为宽泛些。
对于小学生来说，只要有利于他们的思考和理解，就不必囿于规范的几何图形。
比如，利用倒推策略解决问题，顺着把数量变化的过程表达清楚，倒推才有依据。
此时，可指导学生用箭头图描述数量变化的过程，虽然这会挤占学生一定的解题时间，但不应该被认为是多此一举的事情。
此外，图形可以是有形可视的，也可以是无形的想象。
教学到了一定阶段，有的学生能凭借想象，在脑子里“画”出图形来帮助思考。
此时只要学生思考顺畅，就不必要求学生必须画出图形来。
二、图形更为重要的是表达关系“4件上衣、3条裤子，一共有多少种不同的衣服搭配方法？” 对于这道题，要求学生画图来尝试解答时，总有一部分学生画出上衣和裤子的实物图来。
几何直观读后感
几何直观读后感《几何直观》读后感。
《几何直观》是一本关于几何学的启蒙读物，作者是美国著名的数学家大卫·伯克。
这本书以通俗易懂的语言，生动有趣的例子，向读者介绍了几何学的基本概念和应用。
通过阅读这本书，我深刻感受到了几何学的魅力和重要性，也对数学产生了更深的兴趣。
在书中，作者首先介绍了几何学的起源和发展历程，让人了解到几何学是人类思维发展的产物，是人类对周围世界的认知和理解。
作者还通过生活中的例子，向读者解释了几何学中的基本概念，如点、线、面、角等。
这些概念看似简单，却是几何学的基石，贯穿了整个数学体系。
通过这些例子，我对几何学的基础知识有了更清晰的认识，也对数学的逻辑和严谨性有了更深的理解。
在书的后半部分，作者还介绍了几何学在现实生活中的应用，如建筑、艺术、工程等领域。
通过这些例子，我了解到几何学并不是一门枯燥的学科，而是与我们的生活息息相关的。
几何学的应用不仅让我们更好地理解世界，还可以帮助我们解决实际问题，提高生活质量。
这让我对几何学产生了更大的兴趣，也对数学的实用性有了更深的认识。
通过阅读《几何直观》，我不仅对几何学有了更深的理解，还对数学产生了更大的兴趣。
这本书通俗易懂，生动有趣，让我在轻松愉快的阅读中学到了很多知识。
我相信，通过这本书的启发，我会更加努力地学习数学，探索数学的奥秘，也会更加关注数学在生活中的应用，为实际问题寻找数学的解决方案。
总的来说，《几何直观》是一本很好的启蒙读物，它让我对几何学有了更深的理解，也对数学产生了更大的兴趣。
我相信，这本书会对更多的读者产生积极的影响，让他们对数学有更深的理解和热爱。
《课程标准(2011年版)》中的几何直观
《课程标准(2011年版)》中的几何直观在《普通高中数学课程标准(实验)》中也对几何直观十分关注：“三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。
”在《课程标准(2011年版)》中，把几何直观作为数学课程标准l0个核心概念之一，这是一个进步。
《课程标准(2011年版)》明确指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
”在数学课程中，几何内容是很重要的一部分。
几何课程的教育价值，最主要的应该有两个方面：一方面，几何能培养学生的逻辑推理能力；另一方面，它也能培养学生几何直观能力。
但目前，在部分教师中对此在认识上存在着一定的局限性，在几何教学中他们仅仅重视培养逻辑推理能力，忽视了对学生几何直观能力的培养。
我们应全面地理解几何教育价值，重视几何直观。
在义务教育阶段教学和指导学生学习时，认识和理解“几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”这一点是非常重要的。
它表明，我们不仅在几何内容教学中要重视几何直观，在整个数学教学中都应该重视几何直观，培养几何直观能力应该贯穿义务教育数学课程的始终。
正如前面所指出的，图形有助于发现、描述问题，有助于探索、发现解决问题的思路，也有助于我们理解和记忆得到的结果。
总之，图形可以帮助我们把困难的数学问题变容易，把抽象的数学问题变简单，对于数学研究是这样，对于学习数学也是如此。
学会用图形思考、想象问题是研究数学，也是学习数学的基本能力。
这种几何直观能力能使我们更好地感知数学、领悟数学：数学逻辑和数学直观对数学都是重要的，他们也是相互交织、关联的，直观中有逻辑，逻辑中有直观。
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对几何直观的理解
《课标（2011年版）》在“课程设计思路”中提出了“几何直观”这个与学习内容有关
的新的核心概念，怎样理解“几何直观”？它在小学数学学习和教学中有何作用？
一、把握十个核心概念的三个层次
第一层，主要体现在某一内容领域的核心概念，如：数感、符号意识、运算能力主要体现在数与代数领域，空间观念主要体现在图形与几何领域，数据分析观念主要体现在统计与概率领域；
第二层，体现在不同领域的核心概念，包括几何直观、推理能力和模型思想；
第三层，超越课程内容，整个小学数学课程都应特别注重培养学生的应用意识和创新意识。
二、对直观的理解
1、直观是相对的，有不同的层面和表现。
眼前的美景难以描摹，我们拍下照片，这是一种直观；抽象的道理难以领悟，我们讲了一个故事，这是直观；复杂的逻辑关系难以梳理，我们画了一个流程图，这也是直观。
2、直观含有可视化的意思（英文Visual），作为一个隐喻，直观意味着是感官可以直接感知的，但并不局限于视觉。
比如，相较于文字的描绘，声音、颜色、气味、图形、味道，可以直接作用于不同感官的东西都可以构成一种直观。
3、直观它是认识的浅层次阶段，是进一步抽象的基础。
三、几何直观的含义
《标准》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.”
著名数学家徐利治先生也有过对几何直观的描述：“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系，产生对数量关系的直接感知.”
也有学者这么描述：“几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态.”
从这些描述中，我们可以有以下的认识：
◆几何直观是一种运用图形认识事物的能力，或者说是一种解决数学问题的思维方式。
◆这种能力可外化为一种在解决某些数学问题时的方法，这种方法区别于其他方法的典型特征在于它是以几何图形为工具的——即“几何”两字的意义.
◆用这种方法解决问题，不是运用几何中常用的论证方法，而是通过经验、观察、想象等途径，直观地感知问题的结果或方向——即“直观”两字的意义.
例如，三年级学生要学习同分子分数大小比较，这个知识相对比较抽象，学生较难理解.此时，学生如果能主动地采取画出（或想到）几何图形的方式，然后通过观察（或想象）图形的特点及联系，那么就能直观地解决问题，并理解“分子相同的分数，分母小的反而大”的道理。
学生如果具备这种解决问题的思维方式，掌握这样的方法，我们就可以说学生有几何直观的能力.
四、几何直观与数形结合
在理解几何直观意义的过程中，最大的困惑就是难以将几何直观与数形结合清晰地区别开来。
比如说，上文所举的分数大小比较时用几何图形来思考的例子，在以前，我们一直将其视为用数形结合思想来解决问题的典型.而如今，这样的观念要调整，数形结合变成了几何直观，这就难免让人产生疑惑：数形结合与几何直观，区别到底在哪里？
什么是数形结合？数形结合，是一种重要的数学思想方法，也是解决数学问题的有效策略.它是指解决数学问题时，可借助于“形”的直观来理解抽象的“数”，或反过来运用“数”与“式”的描述来刻画“形”的特征。
数形结合最基本的形式为“以形助数”和“以数解形”。
如小学数学中的分数应用题，我们运用画线段图来分析其中的数量关系，这样的情况就可叫做“以形助数”，在小学数学中，以数解形例子极少。
而我们在直角坐标系中，用数对来描述图形的变化（如平移、旋转），或计算两点之间的距离等，这样的情况则可叫做“以数解形”。
“以形助数”，是在发挥“形”所具有的直观特点，来降低“数”的抽象度；而“以数解形”，则是在利用“数”的精确性，来准确刻画“形”，让“形”得以量化。
如此，直观与抽象相互配合，取长补短，从而顺利、有效地解决问题。
如果用一个不太恰当的比喻来形容数形结合的特点，它就好比是架设在“数”与“形”之间的一条双向通道，起着由此及彼、相互促进的作用.
从几何直观的概念可知，它是指“利用图形描述和分析数学问题”。
几何直观就是用“形”来解决数学问题。
尽管这个“数学问题”可能并不仅仅是“数”，可以是“形”或者其他数学问题。
但不管怎样，如果与数形结合做个对比，那么它就只能算是一条由“形”出发的单向通道而已.
几何直观，也是在用“形”，但这个“形”，可以是眼睛见到的，可以是画出的，也可以
是大脑想到的。
更重要的是，它是要依托“形”直接地产生对数量关系及事物其他本质属性的感知，即“未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识。
”
五、几何直观案例
几何直观是一种立足于“形”却带有思维跳跃性的解决数学问题的方式，它是基于表象的、在人头脑中进行的“快捷推理”
【案例1】苏教版四年级下册“解决问题的策略（画图）”有这样一题：
小营村原来有一个宽20米的长方形鱼池。
后来因扩建公路，鱼池的宽减少了5米，这样鱼池的面积就减少了 150平方米。
现在鱼池的面积是多少平方米？
多数学生画好图后（如右），
这样算：150÷5=30（米），30×（20-5）=450（平方米）。
有的学生因为读题不仔细，同时受此前几题都是求原来面积的干扰，算成了30×20=600（平方米）。
只有极少数的学生，根据画的图，直接列式计算：150×3=450（平方米）。
对这样的简便算法，很多学生一时还不理解，但经学生或老师的解释，也都能恍然大悟。
考察直接列式计算的学生的思维过程，画图给他提供了直观的刺激：宽是5米的3倍，长不变，面积自然也是减少部分的3倍；更直接的，先看减少的150平方米，以5米作为标尺，根据图形，现在的面积是就是150平方米的3倍。
在这个过程中，150÷5=30的计算、长方形的面积公式是可以跳过去的。
这体现了几何直观的特点：未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识。
【案例2】在北师大版《数学》五年级下册“分数混合运算”的教学中，教师出示题目：小华录入一份稿件，录入了3/4后，还剩700字，小华录入了多少字？
解法（1）：设这份稿件共有X个字，X－ 3/4X=700，X=2800，所以 X=2100。
解法（2）：700÷（1－3/4）×3/4 =2100。
在汇报完上述两种常规算法后，有一男生激动地说：我还有一种解法，700×3=2100。
学生们七嘴八舌，都认为该生的结果是凑出来。
这位男生不服气了，说：我可没凑，我有依据的。
我是借助线段图来解题的。
该生在黑板上画好线段图（如右），
边指着线段图边解说：整条线段表示一本书字数，录入了3/4 就是把线段平均分成了4份，其中的3份表示已录入的，剩下1份没录，还剩700字就是这没录的1份。
求小华录入了多少字，就是求3份的字数，所以用700×3。
【案例3】在人教版六年级《数学》上册“分数除法”一道练习题（如下）
学生可以按照一般方法，先用24÷1/2=48（件），求得获奖作品总件数；再用48×1/3=16（件）求得二等奖获奖作品件数；然后用48×1/6=8（件）求得一等奖获奖作品件数。
其实也可以借助图形，通过合情推理的方法得到结果，而省去了中间繁琐的计算。
24人
三等奖
1/2
（ 16）人
二等奖
1/3
（ 8 ）人
一等奖
1/6
（1）他们都直接借助图形来思考，借助的手段有“几何”特色。
（2）借助图形思考跳过了一些步骤，更加简洁、快速地获得答案，体现了“直观”的特色。
（3）几学生分析与解决的问题都不属于“图形与几何领域”，正因此，他们采用的方法体现了创造性。
这一点是这两位学生体现出来的最可贵的思维品质。
对于几何直观难就难在学生会主动想到用几何的方法去分析问题，主动地“以形助数”，而不是教师给学生一个几何直观的方法，让学生去解题，培养学生主动地运用各种方法分析同一问题的意识，才是教学中真正的挑战。
天河区凌塘小学李应军
2013-10-28。