核心词解读四,几何直观-3
小学数学新课标解读之“几何图形分析与研讨”
小学数学新课标解读之“几何与图形”分析与研讨王晓萍“图形与几何”的课程内容，在小学阶段分为图形的认识、测量、图形的运动、图形与位置四个部分，它们以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心展开。
我们接下来的讨论交流将围绕着“如何在这四个部分的课程内容中，来发展学生的空间观念、几何直观和推理能力，落实四基中的后两基”为主线展开。
一、图形的认识1、图形的认识的内容主线我们首先来看图形的认识的内容主线。
主要有如下的几条基本线索：一是从立体到平面再到立体。
新课标对空间观念这个核心词的描述有这样一条：根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体。
教材这样的编排正好体现这样一个过程：从立体图形中找到平面图形，从平面图形中还原立体图形。
在教学中要把握好这条主线，建立学生的空间观念。
二是从生活中的实物抽象出图形到应用于生活。
例如圆的认识，首先让学生观察生活中的大量现实模型，然后抽象出圆形，探究其特征。
这一点大家都能充分认识并做得非常好，但反过来将图形及其特征应用到生活中去，重视的不够。
我们的教材有这样一道练习：这就是应用于生活。
当学生在尝试解决这个问题问题时，不仅促进了对圆性质的理解，同时还发展了学生解决问题的能力。
三是从直观辩认图形到操作探索图形的特征。
例如对于长方形的认识，课标中对第一、二学段的要求就有明显的层次：从辨认到初步认识特征再到探索并掌握周长、面积公式。
这样从直观辩认到探索特征符合儿童的认知规律。
我们在教学中一定要把握好每个学段的目标，到位而不越位。
四是从直观图形到曲边图形。
在这个过程中，“化曲为直”的思想将初步渗透。
五是从静态到动态。
第一阶段主要侧重于静态，第二阶段则侧重于动态认识。
还是以长方形为例。
例如认识它的轴对称性，知道绕长或宽旋转一周形成圆柱等等，这些都是进一步丰富对长方形的认识。
２、教学中注意问题纵观整个“图形的认识”这部分，我们的教学中哪些问题是薄弱环节，需要引起我们的重视呢？一是设计丰富的素材促进学生进行平面和立体的转化。
核心素养统领的数学教育——《义务教育数学课程标准（2022年版）》修订的理念与要点
近期，教育部颁布了义务教育课程方案与课程标准。
下面主要谈一下《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称2022年版课标）修订的理念与要点，和大家一起讨论如何在教学实践中落实。
（一）课标修订的背景。
课程改革是21世纪开始的基础教育改革的核心，主要体现在课标的制定和落实上。
2001年颁布了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称2001年版课标），同时出版相应的教材。
2005年出现了一些争议，教育部启动数学课标的修订工作，要求我主持修订工作。
经过几年的研磨，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称2011年版课标）颁布实施，主要变化体现在三个方面。
一是课程目标从“双基”拓展到“四基”，即在传统的基础知识、基本技能的基础上增加了基本思想、基本活动经验，使得过去只重视结果的教育转向既重视结果也重视过程的教育；与此同时，把“两能”拓展为“四能”，即在分析问题、解决问题能力的基础上增加了发现问题、提出问题的能力，以适应培养创新型人才的需要。
这样的课程目标的实现，需要学生经历亲身参与的数学教学活动，在思考的过程中学会思考，在做事的过程中学会做事，这就是经验的积累。
二是课程内容的调整。
2001年版课标中没有“几何”的概念，2011年版课标中把“空间与图形”修改为“图形与几何”，并且确定若干个几何基本事实，使得几何证明成为可能。
可是，当课标颁布以后，有些数学教研员问我：“是不是只有几何中才有证明，代数中没有证明？”我听了之后非常吃惊，因为现代数学的证明主要是代数中的证明。
后来我想明白了，他们之所以提出这个问题，是因为2011年版课标中没有明确给出代数的基本事实。
为此，2022年版课标中增加了两个代数的基本事实，我在后面再详细谈这个问题。
三是把传统的数学三大能力，即运算能力、推理能力和空间想象能力，拓展为十个核心词，包括数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。
数学课程标准核心词的演变与解读
二、核心词的“演变”“历史使人明智”
1.最初形态
小学算术(清末)：熟习日用计算 (两个核心词)
100多年过去了，难道还要回归油盐柴米的计算？ 另一方面，小学数学知识都有广泛的实用价值吗？ 例如：量角，实乃“屠龙之技” …… 生活应用只需比较角的大小,无需测量。
A
┌C
o
B
C B
A
二、核心词的“演变”“历史使人明智”
如果只买一种…… 现在想买三种……
二、核心词的“演变”“返璞归真”
5.第一层次核心素养的培养
模型思想举例：
常见数量关系的概括……
买5支铅笔怎样买合算？
单价×数量＝总价 15÷5，比较单价
1支 1盒(5支)
4元
15元
买1、2、3、4支呢？
4×5， 比较总价
买6、7、8、9支呢？
还可以怎样拓展？
支数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
你想一个整数，把它乘2加7，再把结果乘3减21。告 诉我计算结果，我立即能判断出你想的整数是多少？
设：所想的数为x，则 （2x＋7)×3－21
＝6x＋21－21
＝6x
不引进符号与字母，就没有今天的数学！
如： ax2 bx c 0
b b2 4ac x
2a
Hale Waihona Puke 五、空间观念原来的描述（侧重“界定”，“是什么”）：
符号了”
——列科尔德
诸如此类，举不胜举。
可见：数学符号如同“象形文字”，
简洁、生动、形象、传神。
符号本身就具有促进理解，帮助记忆的教学功能。
任何教学艺术、任何语言描绘，都相形见绌！
四、符号意识
对于小学数学来说： 首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！ 其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。 “优势”在于简洁吗？
核心素养视域下的小学数学几何直观
教学实践JIAOXUE SHIJIAN核心素养视域下的小学数学几何直观教学探究王永“直观是全部认识的基础。
”尤其对于小学生来说，他们必须经历由直观到抽象的过程，才能更好地理解概念、思考问题、发展思维。
可见，在小学数学教学中，几何直观教学有着不容忽视的重要价值和不可替代的重要作用。
那么，在新时期的小学数学教学中，教师如何挖掘几何直观教学的价值，发挥几何直观教学的作用，推进教学的创新，提升学生的素养呢？结合笔者个人学习成果与实践经验，针对核心素养培养视域下的小学几何直观教学展开研究与探索，以期通过本文的论述，帮助学生在借助实物和图形“化实为虚”“化数为形”“化隐为显”“化繁为简”的过程中，锻炼其数学思维，发展其核心素养。
一、“化实为虚”，唤醒数学意识小学生学习数学的时间较短，应用数学的机会也较少，导致他们缺乏数学意识，只从问题本身思考问题，而不习惯“举一反三”，从数学视角来思考问题。
这不仅影响了学生学习效率的提升，也阻碍了学生核心素养的形成。
针对这种情况，教师就可借助几何直观教学，采用“化虚为实”的方法，利用实物或图形，帮助学生完成由具体问题到抽象问题，再到具体问题的过渡，唤醒学生的数学意识，为其核心素养的形成与发展奠定基础。
例如，在苏教版数学一年级上册《认识10以内的数——比大小》的教学中，教师就采取“化实为虚”的方法，设计教学流程。
首先，以实作画。
在教学的初始环节，由于学生对数字大小的概念还掌握不清楚，因此，教师引导学生通过画图，比较香蕉、苹果、橙子等水果的多少。
在这一过程中，学生通过画图，逐渐在头脑中建立“大小”“多少”的概念，从而初步唤醒数学意识。
其次，以虚作画。
在教学的第二环节，教师将比较的对象由香蕉、苹果、橙子等简单易画的事物，变成山羊、麋鹿、金丝猴等难以作画的事物。
此时，学生发现，他们要想完成两组动物数量的比较，需要在画图上浪费很长的时间。
于是，教师引导学生：“能不能用简易的图形代替真实的图形呢？”学生在教师的启发下，分别用三角形、圆形和正方形，代替山羊、麋鹿和金丝猴的图形，顺利完成了数字大小的比较。
落实课堂核心素养，培养学生几何直观性
落实课堂核心素养，培养学生几何直观性摘要:《义务教育数学课程标准（2011版）》实施以来，如何在课堂教学中培养学生的核心素养成为初中数学教师重点关注的问题之一。
几何直观是《课程标准》新提出的核心素养，主要是指“利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
”本文结合教学实践从四个方面阐述了如何在课堂上培养学生的几何直观性。
关键词：核心素养、几何直观、图形化、数形结合正文:数学是一门比较抽象的学科，数学符号、公式、定理等数学内容以及数学研究的问题都具有很强的抽象性，借助几何直观可以将抽象的问题变得具体，复杂的问题变得简单。
基于数学素养为发展导向的课堂教学，应引导学生充分运用几何直观性去理解问题、分析问题。
几何直观不局限于“图形与几何”，在“数与代数”、“方程与代数”、“函数与分析”、“数据整理与概率统计中”均发挥着重要的作用。
教师若能把几何直观运用的越充分，学生的直观表达就越清晰，领悟能力就越强，分析问题和解决问题能力也越强。
在教学中，可以引导学生养成画图的好习惯；鼓励学生积极参与动手“做数学”；用数形结合的方法研究数学；借助基本图形、信息技术等方法培养学生的几何直观性。
1.动笔画一画，数量关系“图形化”对于初中学生来说，由于他们的年龄特点和认知规律，对抽象的数量关系理解起来有一定困难，因此教学时可以引导学生能画图时尽量画，鼓励学生用图形表达问题，养成画图的习惯。
例如我们在学习分数的应用时，就可以运画线段图或表格来梳理等量关系。
例：暑假期间，小杰帮助妈妈做家务得到了一笔零用钱。
开学时，他买学习用品花了总零用钱的，买课外读物花了剩余零用钱的，剩下的零用钱全部捐给灾区的小朋友，如果小杰向灾区捐了90元，那么他的零用钱一共多少元？分析题意我们画出如下线段图，线段AB表示全部零用钱，AC表示购买学习用品的部分，CD是购买课外读物部分，线段BD是整体的，就是最后剩下的零用钱90元。
10个核心概念的解
1、符号意识包含的内容
主要是指能够理解并且运用符号表示数、 数量关系和变化规律。 由简单到复杂，有具体到抽象。 （数符号—运算符号—字母表示数—字母表 示数量关系—符号关系式表示数学变化规 律）
数学符号的表达是多样化的，关系式、 表格、图像等，都是表达数量关系和 变化规律的符号工具。
在下列横线上填上合适的数字、字母或图形，并 说明理由。 1， 1， 2； 1， 1， 2； ， ， ； A， A， B； A， A， B； ， ， ； □ ，□ ，□□ ；□ ，□ ，□□ ； ， ， ； 对于有规律性的事物，无论是用数字还是字母 或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不 同。
“会根据给出的有正比例关系的数据在方格 纸上画图，并会根据其中一个量的值估计 另一个量的值。 ”
※彩带每米售价3.2元，购买2米，3米，……， 10米彩带分别需要多少钱？在方格纸上把 与数对（长度，价钱）相对应的点描出， 并且回答下列问题： （1）所描的点是否在一条直线上？ （2）估计一下，买1.5米的彩带大约要花多 少元？ （3）小刚买的彩带长度是小红的3倍，他所 花的钱是小红的几倍？
依据语言的描述画出图形等。（第
三学段）
课程内容
第一学段
图形的运动 1. 结合实例，感受平移、旋转、轴对 称现象
在下列现象中，哪些是平移现象？哪些是旋 转现象? （1）汽车方向盘的转动； （2）火车车厢的 直线运动； （3）电梯的上下移动； （4）钟摆的运动。
※
2. 能辨认简单图形平移后的图形
３小时
357千米
79千米
?千米
这是苏教版小学数学教材 四年级下册第93页第5题。
解：（600-64 5） 70 =280 70 =4（天）
数学课程标准里的“十个核心词”解读
八、模思想
模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界 联系的基本途径。 建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情 境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、 函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结 果并讨论结果的意义。 这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提 高学习数学的兴趣和应用意识。 单价×数量＝总价 本金×利率＝利息
y:x＝k(一定)； xy＝k(一定)
九、应用意识
应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数 学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现 实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着 大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数 学问题，用数学的方法予以解决。 利用“左右的相对性”，解释 “上下楼梯靠右走”的合理性。
一、数感
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果 估计等方面的感悟。 建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解 或表述具体情境中的数量关系。 已有研究认为数感是“直觉”、“敏感”、“能 力” …… 其实，如同球员的球感，歌手的乐感类似…… 简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉和理解。 教学数数、数的基数意义与序数意义、数序与数的 大小比较……都有助于形成数感。 看不到新概念背后的实在之物，就容易……
1 1 1 1 1 1－ 案例2： 16 2 4 8 16
1 2
11
8
1 4
1 16
五、数据分析观念
数据分析观念包括： 了解现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集 数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息； 了解统计过程 了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根 据问题的背景选择合适的方法； 了解按需选择 通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每 次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据 就可能从中发现规律。 体验随机性 数据分析是统计的核心。
对核心素养的理解与目标确立实践—
———基于对《义务教务数学课程标准（2022年版）》的解读文|何月丰新修订的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《2022版新课标》）与之前两个版本的课程标准相比，有诸多变化，其中最为引人关注的，也是最大的变化，便是正式将义务教育段的数学核心素养（以下简称“核心素养”）写进课程标准之中。
在《2022版新课标》的“课程性质”“课程理念”“课程目标”三个部分中，“核心素养”一词共出现了21次之多，可谓《2022版新课标》的标志性修订。
据了解，在“中国学生发展核心素养”提出的这么多年中，一线教师对其的熟悉度并不是很高。
造成广大教师对其不熟悉的最大原因，便是其给人一种“很难理解”的感觉，如最初提出时的“一体三面六核十八条指标”，对于一线教师来讲是比较抽象的。
记得我当时想要读懂“中国学生发展核心素养”，查阅了大量资料，结果发现很多专家的说法也不一致，甚至有种越读越模糊的感觉。
可以想见，倘若理解都有困难，实践就更难了。
但是，在学习了《2022版新课标》对核心素养内涵的解读，特别是学习了“课程内容”之后，我发现核心素养其实并非我们想象的那样“很难理解”，我甚至发现，关于核心素养的教学实践其实就经常性地发生在我们平时的课堂之中。
这一次对核心素养的理解，源于以下三方面的读后感受：首先，核心素养给人感觉很亲切。
《2022版新课标》在“课程目标”中对核心素养内涵的解读，明确指出小学阶段核心素养的表现为：数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识、创新意识。
当我看到核心素养原来是这样的表现时，一种亲切感顿时扑面而来。
因为这些词中除了“量感”之外都不是因这次的核心素养而“诞生”，而是早就存在于课程标准之中。
例如其中的数感、符号意识、空间观念、数据意识、应用意识、推理能力，在2001年版和2011年版的课程标准中都有提及，只不过那时称为“关键词”或“核心内容”。
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跨越断层，走出误区：《数学课程标准》核心词的实践解读之四上海市静安区教育学院曹培英一、怎样理解几何直观近年来，几何直观成了数学教育的热议话题之一，学者、教师纷纷撰文阐述，其中不乏深入的学理分析与经验总结。
然而，不少教师反映，阅读之后总体感觉相关概念难以辨析，有些文章“越看越玄”。
那么，基于小学数学教学的实际，我们应该如何解读几何直观这一核心词？有必要从直观的本意说起。
1.直观与几何直观的本意所谓直观，字面意义是“直接的观察”，通常指“通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识”，即人们在实践中对客观事物的直接的、生动的、具体的反映。
我们常常赋予直观可视的意思，但“直接接触”并不仅指视觉，各种感官及其协同活动都能获得直接的感性认识。
例如，年幼儿童坐翘翘板，他们能够发现，如果坐在对面的小朋友比自己重，那么他离中间近一点，而自己离中间远一点，能使翘翘板平衡。
这实际上是通过动作在直观水平上获得了杠杆原理的感性认识。
又如，教师讲述猴王给小猴分桃的故事，通过语言，也能使学生初步感知商不变性质。
在教育心理学中，直观是相对于抽象、概括而言的。
一般认为：在实际教学中，就直观的对象来分，可以把直观分为实物直观、模象直观和语言直观三种。
三种直观都是直观教学的常规手段，上面“坐翘翘板”的实例，属于实物直观，“讲故事”是语言直观，平时大量使用的各种直观图形则为模象直观。
根据直观的本意，所谓几何直观，无非是指特殊的、数学的直观，即指借助于几何图形（空间形式）而获得的感性认识。
虽说这里的感性认识过程离不开知识、经验的介入，但毕竟感知是其主要的心理活动。
如果将几何直观诠释为只是“感性认识”，则一切都十分平常。
因为小学数学历来重视通过直观教学，使学生获得感性认识，其有效性的理论解释也早就为大家所熟知。
2.几何直观的引伸意义当下有关几何直观的论文，大多引用了一些哲学、数学、心理学视角的论述。
如：西方哲学家通常认为，“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识。
”数学家克莱因指出，“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学的直观就是对概念、证明的直接把握。
”1数学家希尔伯特在他的名著《直观几何》一书的序言中写道：“在数学中，象在任何科学研究中那样，有两种倾向。
一种是抽象的倾向，即从所研究的错综复杂的材料中提炼出其内在的逻辑关系，并根据这些关系把这些材料作系统的有1M克莱因．古今数学思想（第四册）［M］．上海：上海科技出版社，1979：99．条理的处理。
另一种是直观的倾向，即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的的意义，也可以说领会它们的生动的形象”。
2数学和数学教育家弗莱登塔尔认为，“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。
”3我国数学家徐利治教授认为，“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。
”4心理学家认为，“直观是从感觉到的具体对象背后，发现抽象的能力”。
这些论述的共同点在于：直观、数学直观、几何直观，都不再停留在感性认识阶段，而是高阶思维、创新思维的结果，可以说是理性认识的升华，是认识的返璞归真。
3.几何直观的两种层次为了研究、叙述的方便，更为了切合教学的实际，不妨对几何直观的层次或者说水平，加以区分：将处于感性认识阶段的、较低层次的几何直观，称之为“直观感知”，即观察认识了直观载体的外在现象或表面意义；将更高层次的几何直观，概括为“直观洞察”，即观察发现了直观载体的深层意义或内在本质。
作出这一区分有多方面的理论依据，其中最基本的依据是，直观对于数学具有双重意义。
一方面，直观是数学抽象的基础与数学认知的有力支撑；另一方面，直观又是数学抽象的重要内涵与数学认识的深化。
无须违言，直观洞察层次的几何直观，在以往的小学数学教学中，较少得到关注，似乎难以举出确切的例证，这也是教师感觉费解、捉摸不透的原因之一。
下面将不断提供教学案例，说明直观洞察并非只是数学家的专利，小学生也能在他们的认知水平上涌现许多令人赞叹的直观洞察。
还必须指出，两种层次的几何直观之间并不存在截然划分的界线，它们之间常常具有连续性、渐进性，也就是说，存在许多介于两种层次之间的几何直观。
有时，从直观感知到直观洞察，也会呈现跳跃性，即所谓的“豁然开朗”。
4.数学课程标准的陈述《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
”这段话只有三句，第一句将几何直观的两种主要表现作了非常精炼的概括，后两句进一步阐述几何直观的优势，或者说它的作用（功能）。
与其他核心词类似，回避了几何直观的明确界定，同时又是针对义务教育三个学段的共性统一加以阐述。
基于上述几何直观的层次区分，可以认为三句话其实都涵盖了两种层次的几何直观。
例如，“直观地理解数学”既包括“直观感知”水平的初步理解，也包括“直观洞察”水平的本质理解，当然也包括介于两种层次之间的相对深入的直观理解。
2D希尔伯特，S康福森著，王联芳译．直观几何［M］．北京：人民教育出版社，1959：6．3弗莱登塔尔著，陈昌平等译．作为教育任务的数学［M］．上海：上海教育出版社，1995：43．4徐利治．谈谈我的一些数学治学经验[J]．数学通报，2000(5)显而易见，其他两句话也能如此解读。
5. 两种层次的几何直观的实例立足教与学的实际，小学阶段的几何直观，以直观感知层次为主，逐步向相对深入的直观理解水平发展，同时兼有少量直观洞察层次的表现。
直观感知层次的实例如：[案例1] 为了帮助低年级学生直观感知乘法交换律，理解一句乘法口诀可以算两道乘法题，常常采用如下图示(图1)。
○○○○→横着看，3个4，○○○○↓竖着看，4个3，○○○○所以：4×3＝3×4。
图1为了增添趣味性，也可以把圆形换成“小精灵”，如图2。
类似的教学实例很多。
[案例2] 让每一小精灵手拿2只气球，计算一共有多少只气球，就成了一个有利于直观感知乘法结合律的插图，如图3。
每行有2×4只气球，3行有2×4×3只气球，一共有4×3个精灵，一共有2×(4×3)只气球,所以：2×4×3＝2×(4×3)。
[案例3]再增加2行小精灵,计算两组精灵一共有多少个，就是一个可以导出乘法分配律的直观图，如图4。
低年级小学生都能观察感知：3个4加2个4等于5个4。
这样的直观解释不仅具体揭示了乘法与加法之间的联系，而且将这一联系归结为乘法运算的原始意义，因而在后续的数学学习与数学应用中，具有相当广泛的学习迁移价值。
低年级小学生能够发现这些图示所揭示的数学事实，但还没有要求他们用语言或字母概括一般的规律，所以说这时的认知还处在直观感知水平。
仔细回溯以往的教学，也能找出一些直观洞察层次或接近该层次的实例。
[案例4] 为了帮助高年级学生直观洞察两数之积一定时，两数之间的反比例关系，常常给出实例，如“面积12平方米的长方形，长a、宽b的米数取整数时”：a (米) 1 2 3 4 6 12b (米) 12 6 4 3 2 1b (米)1211109876543 2 1···y＝x···图2图4图3借助长方形面积一定这个几何模型，学生可以相当直观地悟出，积一定时，两个因数的反比例关系，原来是这么回事：当长方形面积固定不变时，宽随着长的变化而变化，长越大，宽就越小，反之亦然。
尽管对于反比例函数xk y 来说，这个几何模型具有较大的局限性，但用来解释k ＞0时第一象限的变化规律，还是不错的。
同类实例又如：[案例5] （1）两个数的和是8，这两个数的积最大是多少？学生能够通过不断尝试，发现两数之积的最大值是4×4，但无法作出解释。
（2）周长都是16厘米的长方形，长、宽各取多少时，面积最大。
让学生利用方格纸画图，他们同样能发现，长、宽之和8厘米，长、宽相等时面积最大，如图6。
面对自己的“作品”，有些学生会若有所悟：长每缩短1厘米，宽则增加1厘米，周长不变，而围成的长方形，面积在增大。
于是，找到了两数之和为定值，两数时相等时积最大的一种几何解释。
个别学生在画图过程中还特意涂出面积“慢慢长大”的部分（如图7），并且发现“长大”部分越来越小，即“长速”在变慢。
后两例对于小学生来说，称得上接近直观洞察层次的几何直观。
至于处在两种层次之间的非典型案例，就不再例举了。
二、相关术语的辨析老师们之所以阅读理论文章感觉“越看越玄”，另一个主要原因是存在许多与几何直观既有联系，又有区别的相关术语。
这里试作简要辨析。
1. 几何直观与空间观念在几何学习中，粗略地说：“直观感知”是建立空间观念的基础；“直观洞察”是空间观念的发展与升华。
由此可以认为，两者互为因果，相辅相成。
同样，在数学其他内容领域的学习中，几何直观与空间观念也在相互作用。
例如，学习“相遇问题”，几何直观与空间观念都是不可或缺的。
教师可以通过指导学生画线段图（如：用箭头表示运动方向，用线段表示所行路程，让两条运动路线“各行其道”等），帮助他们形成两个物体相向运动的表象（如图7）：这时，几何直观成了建立空间观念的有效手段，线段图使学生的视觉-空间表征（图式表征）得以显性化。
研究认为，在许多数学问题中，基于空间视觉能力的图式表征能够加强解题者对问题的理解，对成功解决问题提供帮助。
进一步，让学生凭借空间观念，自己画线段图表示较复杂的问题，如：[案例6] 甲、乙两人由两地相向而行，甲先行2分钟后乙才出发，又经过图6甲、乙同时相向而行至相遇图8图73分钟，两人第一次相距100米。
已知甲每分钟行70米，乙每分钟行80米，求两地间的路程。
这时，相向运动的空间观念成了构造几何直观的基础，观察线段图呈现的几何直观，也就容易理解问题的数量关系。
有学生质疑，为什么是“第一次相距100米，难道还有第二次相距吗？”教师因势利导，把上题的第三个条件改为“两人第二次相距100米”，其他都不变，让学生小组讨论，多数小组完成了线段图的修改，并搞清了数量关系的变化。
显然，在整个过程中，几何直观与空间观念都得到了发展。
正因为如此，数学课程标准实验稿，将几何直观的表现归入空间观念，不无道理。
2. 几何直观与数形结合从内涵看，数形结合看重数学两类研究对象之间的联系，几何直观侧重数学研究对象的几何意义。