高中数学精讲教案-椭圆及其性质

高中数学-圆锥曲线与方程

第1讲椭圆及其性质

考点一椭圆的标准方程

知识点

1椭圆的定义

(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．

2椭圆的焦点三角形

椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．

如图所示，设∠F1PF2＝θ.

(1)当P为短轴端点时，θ最大．

(2)S△PF

1F

2

＝

1

2|PF1||PF2|·sinθ＝b

2·

sinθ

1＋cosθ

＝b2tan

θ

2＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为

bc.

(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．

3椭圆的标准方程

椭圆的标准方程是根据椭圆的定义，通过建立适当的坐标系得出的．其形式有两种：

(1)当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)．

(2)当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为y2

a2＋

x2

b2＝1(a>b>0)．

4特殊的椭圆系方程

(1)与椭圆x2

m2＋y2

n2＝1共焦点的椭圆可设为

x2

m2＋k

＋

y2

n2＋k

＝1(k>－m2，k>－n2)．

(2)与椭圆x2

a2＋y2

b2＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆可设为

x2

a2＋

y2

b2＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或

y2

a2＋

x2

b2＝k2(k2>0，焦

点在y轴上)．

注意点 对椭圆定义的理解

当2a >|F 1F 2|时，轨迹为椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在.

入门测

1．思维辨析

(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (3)y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)的焦距相同．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．已知方程

x 25－m ＋y 2

m ＋3

＝1表示椭圆，则m 的取值范围为( ) A ．(－3,5) B ．(－3,1) C ．(1,5) D ．(－3,1)∪(1,5)

答案 D

解析 方程表示椭圆的条件为⎩⎪⎨⎪

⎧

5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，

解得m ∈(－3,1)∪(1,5)．故选D.

3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.4

5 B.35 C.25 D.15

答案 B

解析 由题意知2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，

∴e ＝3

5

或e ＝－1(舍去)．

解题法

命题法 椭圆的定义和标准方程

典例 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中

点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )

A.x 245＋y 2

36＝1 B.x 236＋y 2

27＝1 C.x 227＋y 2

18

＝1 D.x 218＋y 2

9

＝1 (2)椭圆x 24＋y 2

3＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B .当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是

________．

[解析] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22

a 2＋y 22

b 2＝1，两式作差并化简变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)

，

而y 1－y 2x 1－x 2＝0－(－1)3－1

＝1

2，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，所以a 2＝2b 2，又a 2－b 2＝c 2＝9，于是a 2＝18，b 2＝9.故选D.

(2)如图所示，设椭圆右焦点为F ′，直线x ＝m 与x 轴相交于点C .由椭圆的定义，得|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a ＝4.

而|AB |＝|AC |＋|BC |≤|AF ′|＋|BF ′|，所以当且仅当AB 过点F ′时，△ABF 的周长最大． 此时，由c ＝1，得A ⎝⎛⎭⎫1，32，B ⎝⎛⎭⎫1，－3

2，即|AB |＝3. 所以S △ABF ＝1

2|AB ||FF ′|＝3.

[答案] (1)D (2)3