克拉默法则
第4讲_克拉默法则
第4讲_克拉默法则克拉默法则，又称克拉默法则(Cramer's Rule)，是线性代数中一种求解线性方程组的方法。
它是基于行列式的性质推导而来的，可以通过求解方程组的系数矩阵的行列式和一系列的余子式来求解方程组的解。
设线性方程组为：a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3对应的系数矩阵为：A=，a1b1c1a2b2ca3b3c假设A的行列式，A，≠0，即A可逆。
克拉默法则的步骤如下：1.求出系数矩阵A的行列式，A。
2.将线性方程组中的常数项d替换成对应的常量向量i，并构成矩阵Ai，其中Ai的第i列替换为常量向量。
3.求出Ai的行列式，Ai。
4.解方程组的解向量为：x=，Ai，/，Ay=，Ai，/，Az=，Ai，/，A克拉默法则的优点是求解方便，特别适用于方程组的规模较小的情况。
然而，它的缺点是计算量较大，需要求系数矩阵和每个常量向量的行列式，不适用于大规模的方程组求解。
以下是一个数值例子来说明克拉默法则的应用：假设有方程组：2x+y-z=14x-6y=-2-2x+7y+2z=3我们可以转换为系数矩阵和常数向量的形式：A=，21-14-6-27d=，1-首先，计算系数矩阵A的行列式，A。
A，=2(-6)(2)+1(0)(-2)+(-1)(4)(7)=-12+0-28=-40然后，分别计算对应常量向量的行列式。
A1，=1(-6)(2)+1(0)(-2)+(-1)(-2)(7)=12+0+14=26A2，=2(0)(2)+1(4)(-2)+(-1)(-2)(7)=0-8+14=6A3，=2(-6)(-2)+1(4)(7)+(-1)(-2)(0)=24+28+0=52最后，根据克拉默法则的公式，我们可以得出解向量：x=，A1，/，A，=26/-40=-0.65y=，A2，/，A，=6/-40=-0.15z=，A3，/，A，=52/-40=-1.3因此，方程组的解为x=-0.65，y=-0.15，z=-1.3总结来说，克拉默法则是一种通过求解行列式的方法来求解线性方程组的解的方法。
克拉默法则
例 1.1.1 计算行列式
3 1 1 D 2 4 0
1 5 7
解 利用三阶行列式的展开式（1.1.5），得
当线性方程组(1.3.1)的常数项b1,b2,..., bn 全为零时，即
a11x1 a12 x2 ... a1n xn 0,
a21x1 a22 x2 ... a2n xn 0,
(5 )(2 )(8 ) 0 ， 解得
5或 2或 8.
主观题 10分
已知齐次线性方程组
x1 kx2 x3 0, kx1 x2 x3 0, 2x1 x2 x3 0. (1)k为何值时，该齐次方程组只有零解？ (2)k为何值时，该齐次方程组有非零解？
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
a11 a12 ... a1n
a21
a22
...
a2n
0,
an1 an2 ... ann
那么，线性方程组(1.3.1)一定有唯一解，其解为
x1
1 Βιβλιοθήκη , x22 ,...,xn
n
,
(1.3.2)
x1
1
,
x2
2
,...,xn
n
,
(1.3.2)
其中， j ( j 1,2,..., n) 是把系数行列式 中第 j 列的元素 a1j , a2 j ,..., anj 换成方程
0 1 3 2
1 1 0 1
1 10 1 2
82, 1
82 1 1
1 0 3 2
3 1 0 1
2 4 10 2
246, 1
1 8 1 1
1 1 0 2
3 1 1 1
3 4
1 10
164, 1
克拉默(Cramer)法则
§7 克拉默(Cramer)法则现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.定理4 如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,, (1) 的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211(2) 的行列式0||≠=A d那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为dd x d dx d d x n n ===,,,2211 , (3) 其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21 所成的矩阵的行列式，即.,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a d nnj n nj n n n j j n j j j==+-+-+- (4)定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1. 把),,,(21dd d d d d n 代入方程组，验证它确是解. 2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 定理4通常称为克拉默法则. 例1 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+.0674,522,963,85243214324214321x x x x x x x x x x x x x x应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论.常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为)0,,0,0( 就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理5 如果齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (10) 的系数矩阵的行列式0||≠A ，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有0||=A .例2 求λ在什么条件下，方程组⎩⎨⎧=+=+0,02121x x x x λλ 有非零解.克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 级行列式，这个计算量是很大的.。
carmer法则
carmer法则
克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，也称作克拉默法则。
这个法则是由瑞士数学家克莱姆（Gabriel Cramer）在他的《线性代数分析导言》中于1750年发表的。
不过值得注意的是，尽管克莱姆是首位发表这个法则的数学家，但莱布尼兹和马克劳林等数学家在此之前也已经知晓这个法则。
克莱姆法则的核心内容是：对于一个有n个方程和n个未知数的线性方程组，如果其系数行列式不等于零，那么方程组有唯一解，且每一个未知数的解可以由对应的行列式求得。
具体来说，每一个未知数的解等于常数项替换该未知数系数后所得到的行列式与原系数行列式之商。
然而，克莱姆法则并不总是计算线性方程组最有效的方法。
实际上，当方程组的规模（即未知数的数量）增加时，使用克莱姆法则进行计算会变得非常低效。
因为计算每一个未知数的解都需要计算n个n阶行列式，而计算一个n阶行列式的时间复杂度是O(n!)，这使得克莱姆法则对于大规模线性方程组的求解并不实用。
此外，克莱姆法则还存在数值稳定性的问题。
即使对于规模较小的线性方程组，由于计算过程中涉及大量的乘法和除法运算，可能会导致数值误差的累积，从而影响解的精度。
总的来说，克莱姆法则虽然在线性代数中具有重要的理论意义，但在实际应用中，我们通常会选择更高效、更稳定的算法来求解线性方程组。
第七节克拉默法则
第七节克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的运算法则，可以用来解决线性方程组的问题。
它是由17世纪的数学家克拉默提出的，可以用来求解n元线性方程组的解。
设有n个未知数和n个线性方程，可以表示成如下形式的方程组：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn其中a11, a12, ..., ann是系数矩阵，x1, x2, ..., xn是未知数向量，b1, b2, ..., bn是常数向量。
使用克拉默法则求解线性方程组的步骤如下：1.计算系数矩阵的行列式D：D = ，a11, a12, ..., ann2.用常数向量替换系数矩阵的第i列，得到新的n阶矩阵Di：Di = ，a1, a2, ..., ai-1, bi, ai+1, ..., an3.计算新矩阵的行列式Di：Di = ，a1, a2, ..., ai-1, bi, ai+1, ..., an4. 通过D和Di的比值得到未知数xi的值：xi = Di / D使用克拉默法则求解线性方程组的优点是计算简单明了，但是也存在一些缺点。
首先，使用克拉默法则需要对每个未知数分别求解，计算复杂度较高，尤其当未知数的个数较多时，计算量会很大。
其次，克拉默法则只适用于方程组的系数矩阵的行列式不为0的情况，即只有在系数矩阵满秩时才能使用克拉默法则求解。
克拉默法则的一个典型应用是求解二元线性方程组。
设有二元线性方程组：a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2根据克拉默法则，先计算系数矩阵的行列式D：D=，a11,a12a21,a2再计算常数向量替换第1列和第2列分别得到的行列式D1和D2：D1=，b1,a12b2,a2D2=，a11,b1a21,b最后，根据克拉默法则的公式得到未知数x1和x2的值：x1=D1/Dx2=D2/D克拉默法则的应用并不局限于二元线性方程组，同样适用于多元线性方程组。
克拉默法则非齐次等于0
克拉默法则非齐次等于0
摘要：
一、克拉默法则简介
二、非齐次克拉默法则的推导过程
三、克拉默法则非齐次等于0在实际问题中的应用
四、总结
正文：
克拉默法则，又称拉格朗日插值法，是一种求解线性方程组的方法。
它是由18世纪的瑞士数学家欧拉首次提出的，后经拉格朗日、克拉默等人发展，成为一种重要的线性插值法。
非齐次克拉默法则是在克拉默法则的基础上，对非齐次线性方程组进行求解的方法。
其推导过程如下：
假设线性方程组的系数矩阵为A，右端向量为b，我们需要求解的线性方程组为：Ax = b。
首先，我们找到一个向量序列{x_0, x_1, ..., x_n}，满足A(x_0 + x_1 + ...+ x_n) = b。
然后，我们可以通过克拉默法则求解这个非齐次线性方程组。
设x_0为原方程组的解，那么对于任意的i（0 ≤ i ≤ n），有：
x_i = (b - Ax_0 - Ax_1 - ...- Ax_{i-1}) / A。
当i = n时，我们可以得到：
x_n = (b - A(x_0 + x_1 + ...+ x_{n-1})) / A。
因此，非齐次克拉默法则的解为：x_n = (b - A(x_0 + x_1 + ...+ x_{n-1})) / A。
克拉默法则非齐次等于0在实际问题中的应用广泛。
例如，在计算机图形学中，可以用于计算平面上任意一点的颜色值；在信号处理中，可以用于滤波器的设计；在机器学习中，可以用于求解目标函数的最小值。
总之，克拉默法则非齐次等于0是一种求解非齐次线性方程组的方法，它在实际问题中有着广泛的应用。
【精品】克拉默法则
【精品】克拉默法则
克拉默法则又称为“不抱怨法则”，它是由美国教育家、心理学家和职业咨询师哈罗德·克拉默（Harold Kramar）于1960年提出的一种心理学理论，用来让人们在处理情绪上更加有效率和实用。
根据克拉默法则，人们应该消除不必要的情绪，避免无谓的负面情绪，把注意力集中在解决问题上。
如果一个人把自己的思想集中在解决问题上，而不是抱怨困难，他将更有效率地完成自己的工作。
克拉默法则的基本思想是，有助于提高创造力、解决问题的方法，是消除不必要的情绪、注重客观的面对困难，但是千万不能把情绪藏在心底，否则会损害自己的心理健康。
因此，如果发生挫折、痛苦或抗争时，一定要将情感表达出来，只要不误用，就不会被把自己反馈圈闭，避免无谓的担心发泄。
克拉默法则还表明，要把自己的能量集中在自己的目标上，不要把注意力分散在大量的负面情绪和抱怨上，因为这样只会消耗自己的时间和精力，而不会出现任何收获。
总之，克拉默法则强调了重要性，当人们遇到任何问题或困难时，都应该摆脱无谓的抱怨和负面情绪，而应该专注于如何解决这些问题和困难，避免被情绪消耗而无法取得最佳收获。
克拉默法则
142
线性代数讲稿
⎧λx1 + x 2 + x3 = 0 ⎪ ⎨ x1 + λx 2 + x3 = 0 ⎪ x + x + λx = 0 2 3 ⎩ 1
有非零解． 解：按题意要求方程组的系数行列式为零，即
λ 1 1 0 = 1 λ 1 ====== (λ + 2) 1 λ 1 再c1 ÷( λ + 2 ) 1 1 λ 1 1 λ === (λ + 2) 1 λ − 1 0 = (λ + 2)(λ − 1) 2 , j = 2,3 1 0 λ −1
线性代数讲稿
§1.4
一.基本概念
克拉默（Cramer）法则
关于 n 个待求量 xi 的 n 个线性方程联立而成的线性方程组：
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪a x + a x + L + a x = b ⎪ 21 2 22 2 2n n 2 ⎨ M M ⎪ ⎪ ⎩ a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
xj = Dj D
( j = 1,2, L , n)
（2）
其中 Dj 是把 D 中的第 j 列换成（1）中右端的 b1,b2,…,bn 所构成的 n 阶行列式，
即
Dj =
a11 L a1 j −1 a 21 L a 2 j −1
b1 b2
a1 j +1 L a1n a 2 j +1 L a 2 n M a n j +1 M M L an n
c j −c1 c1 + ( c2 + c3 )
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x3
D D3 22771,x4
D4 271. D 27
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Ex.7 解方程组
x1 2 x2 x3 3 x4 2,
2 x1 x2 3 x3 2 x4 7,
3 x2 x3 x4 6,
x1 x2 x3 4 x4 4,
解 系数行列式
1 2 1 3
2 1 3 2
个数）有非零解： 系数行列式是否不等于零；
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1 3 D
0
6 r1 2r2 1 3
0
6
0 2 1 2 r4 r2 0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
7 5 13 2 1 2
7 7 12
3 5 3 c1 2c2 0 1 0 c3 2c2 7 7 2
3 3
270,
7 2
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8 1 5 1
9 3 0 6
bn an1 an,j1 an,j1 ann ( 1)j2( 1)j 1D jD j,
所0 以 b i D a i 1 D 1 有 a iD n n ,
即 a i1D D 1 a i2D D 2 a in D D n b i,(i 1 ,2 , ,n ).
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例12 解线性方程组
由于方程组(10) 是由方程组(8) 经乘数与相加两
种运算而得，故(8) 的解一定是(10) 的解，
今(10) 仅有一个解 (9) ，故(8) 如果有解的话，就
只可能是解(9) 。
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下面验证解(9) 是方程组(8) 的解。 也就是要证明
a i1D D 1 a i2D D 2 a in D D n b i,(i 1 ,2 , ,n ).
a11x1a12x2a1nxn b1,
a21x 1a 22x2a 2nxn b,2,
(8)
an1x1an2x2annxn bn,
的解能否用行列式表示？ 回答是肯定的，即有
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克拉默法则
如果线性方程组(8)的系数行列式不等于零，即
a11 a1n D 0,
an1 ann
那么方程(4) 有唯一解
定理5ˊ 如果齐次线性方程组(11)有非零解，则 它的系数行列式必为零。
系数行列式D = 0 是齐次线性方程组有非零解 的充分必要条件。
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例13 问 λ取何值时，齐次方程
(5)x2y2z0,
2x(6)y0,
2x(4)z0
有非零解？
(12)
解 由定理5ˊ可知，若齐次线性方程组 (12) 有 非零解，则(12) 的系数行列式D = 0。
x 1D D 1,x 2D D 2, ,x nD D n,
(9 )
其中 Dj ( j = 1,2,…,n ) 是把系数行列式中第 j 列的 元素用方程右端的自由项代替后所得到的 n 阶行 列式，即
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a11 a1,j1 b1 a1,j1 a1n
Dj .
an1 an,j1 b n an,j1 ann
§7 克拉默法则
★克拉默法则 ★利用克拉默法则解方程组 ★齐次线性方程组有非零解的
充分必要条件
本节主要介绍n元一次线性方程组的克拉 默法则解法，齐次或非齐次线性方程组中系 数行列式与解之间的关系
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我们知道，二、三元线性方程组的解可以用
行列式表示，那么含有 n 个未知数 x1 , x2 , … , xn 的 n 个线性方程 的方程组
(11)
x1 = x2 = … = xn = 0 一定是它的解。称为齐次方程组 (11) 的零解。
如果一组不全为零的数是(11)的解，则叫做齐次
方程组的非零解。
方程组(11) 一定有零解，但不一定有非零解。
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定理5 如果齐次线性方程组(11) 的系数行列 式D ≠ 0，则齐次线性方程组(11)只有零解。
39, 6
1 1 4 4
1 1 1 4
于是得
x1
D D1 33991,x2
D2 1173, D 39
x3
D3 7 D 3
8 92,x4
D4 391, D 39
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定理4 如果线性方程组(8) 的系数行列式D ≠ 0 ， 则(8) 一定有解，且解是唯一的。
定理4ˊ如果线性方程组(8) 无解，或有两个以上 的解，则它的系数行列式必为 0 。
证 用 D 中第 j 列元素代数余子式A1j , A2j , … , Anj 依次乘方程组(8) 的 n 个方程，再把它们相加，得
n
n
n
ak1Akjx1 akA j kjxj aknAknxn
k1
k1
k1
n
k1bkAkj,
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n ak1Akjx1 n akA j kjxj n aknAknxn
Ex.8 问, 取何值时，齐次线性方程组
有非零解？
x1 x2 x3 0,
x1
x2
x3
0,
x1
2x2
x3
0,
解 由系数行列式
11
D 1 1 2 1 1 2
1 2 1 (2)0 得 0或 2.
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第一章小结
本章从解二元一次线性方程组入手，引入
了二、三阶行列式的概念，并给出了对角线法
D1 5
2
1
81, 2
0 4 7 6
2 8 5 1
1 9 0 6
D2 0 5 1
108, 2
1 0 7 6
21 8 1
2 1 5 8
1 D3 0
3 2
9 5
6 27,
2
1 D4 0
3 2
0 1
9 27,
5
14 0 6
1 4 7 0
于是得
x1
D D1 28713,x2
D2 1084, D 27
为此考虑两行相同的 n + Nhomakorabea1 阶行列式
bi ai1 ain b1 a11 a1n (i 1,2, ,n),
bn an1 ann
它的值等于 0 ，
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把它按第一行展开，由于第 1 行中 aij 的代数余子式 为
b1 a11 a1,j1 a1,j1 a1n (1)1j1
D
39 0,
0 3 1 1
1 1 1 4
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2 2 1 3
7 1 3 2
D1 6
39, 3 1 1
4 1 1 4
1 2 1 3
2 7 3 2
D2 0
6
1
117, 1
1 4 1 4
12 2 3
1 2 1 2
2 1 7 2
2 1 3 7
D3 0 3 6
78, 1
D4 0
3
1
线性方程组(8) 右端的自由项 b1 , b2 , … , bn 不全 为 0 时，线性方程组称为非齐次方程组，
当 b1, b2 , … , bn 全为 0 时，线性方程组称为齐 次方程组。
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对于齐次线性方程组
a11x1a12x2 a1nxn 0, a2 1x1 a2 2x2 a2n xn,0, an1x1an2x2 annxn 0,
k1
k1
k1
n
bkAkj,
k1
根据代数余子式的重要性质可知，上式中 xj 的系数 等于D，而其余 xi ( i ≠ j ) 的系数均为零;
又等式右端即是 Dj ，
于是
D xj = Dj , ( j = 1 , 2 , … , n ).
(10)
当D ≠ 0 时，方程组(10)有唯一的一个解 ( 9 ) 。
论了非齐次线性方程组的系数行列式与解的唯
一性之间的关系以及齐次线性方程组非零解与
系数行列式之间的关系。
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第一章主要方法
一）四阶行列式的计算： 1）利用行列式性质化为目标行列式计算； 2）行列式按行（列）展开法则；
n 二） 阶行列式的计算：
1）推递法：找出n阶行列式的关系式；
2）数学归纳法（已知等式） 三）判断齐次线性方程组（方程个数等于未知量
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.
解 系数行列式 2 1 5 1 1 3 0 6
D 0 2 1 2 1 4 7 6
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2 1 5 1
0 7 5 13
则的行列式求解方法，以此进一步扩展到n阶
行列式的定义。为了求解一般的n阶行列式，
我们研究了行列式的性质以及行列式按行（列）
展开。通过这些性质，可以将一个n阶行列式
转化成等价的对角行列式或上下三角形行列式，
或者通过展开，将高阶的行列式转化成低阶的
行列式，从而更易求解。最后，我们给出了求
解n元一次线性方程组的克拉默法则，并且讨
而它的系数行列式是：
5 2 2
D 2 6 0
2 0 4
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5 2 2 D 2 6 0
2 0 4
(5)(6)(4) (4)4(6)
(5 )2 ( )8 ( ),
由D = 0 ，得 λ= 2、λ= 5 或λ= 8 。 不难验证，当 λ= 2、5 或 8 时，方程组(12)确有 非零解。
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