克拉默法则教案
克拉默法则
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7
7 5 13 2 1 2 c1 2c2
7 7 1 2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0 270
7 7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6 81
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 = 108
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8
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6 27
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0 27
x1
D1 D
81 27
3,
x2
D2 1084, D 27
x3
D3 D
271, 27
x4
D4 D
27 27
1.
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非零解的必要条件. 2. 在第三章还将证明这个条件也是充分的. 即： 齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零
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11
练习题：问 取何值时，齐次方程组
12x1x312xx2 24xx33
0, 0,
x1 x2 1 x3 0,
有非零解？
1 2 4 解 D 2 3 1 (2)(3)
我们关心的问题是齐次线性方程组除零解以外是否存11齐次线性方程组的相关定理定理5如果齐次线性方程组的系数行列式定理5如果齐次线性方程组有非零解则它的系数行列式必这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件
§7 克拉默法则
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1
二元线性方程组
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
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6
例 解线性方程组
第4讲_克拉默法则
第4讲_克拉默法则克拉默法则，又称克拉默法则(Cramer's Rule)，是线性代数中一种求解线性方程组的方法。
它是基于行列式的性质推导而来的，可以通过求解方程组的系数矩阵的行列式和一系列的余子式来求解方程组的解。
设线性方程组为：a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3对应的系数矩阵为：A=，a1b1c1a2b2ca3b3c假设A的行列式，A，≠0，即A可逆。
克拉默法则的步骤如下：1.求出系数矩阵A的行列式，A。
2.将线性方程组中的常数项d替换成对应的常量向量i，并构成矩阵Ai，其中Ai的第i列替换为常量向量。
3.求出Ai的行列式，Ai。
4.解方程组的解向量为：x=，Ai，/，Ay=，Ai，/，Az=，Ai，/，A克拉默法则的优点是求解方便，特别适用于方程组的规模较小的情况。
然而，它的缺点是计算量较大，需要求系数矩阵和每个常量向量的行列式，不适用于大规模的方程组求解。
以下是一个数值例子来说明克拉默法则的应用：假设有方程组：2x+y-z=14x-6y=-2-2x+7y+2z=3我们可以转换为系数矩阵和常数向量的形式：A=，21-14-6-27d=，1-首先，计算系数矩阵A的行列式，A。
A，=2(-6)(2)+1(0)(-2)+(-1)(4)(7)=-12+0-28=-40然后，分别计算对应常量向量的行列式。
A1，=1(-6)(2)+1(0)(-2)+(-1)(-2)(7)=12+0+14=26A2，=2(0)(2)+1(4)(-2)+(-1)(-2)(7)=0-8+14=6A3，=2(-6)(-2)+1(4)(7)+(-1)(-2)(0)=24+28+0=52最后，根据克拉默法则的公式，我们可以得出解向量：x=，A1，/，A，=26/-40=-0.65y=，A2，/，A，=6/-40=-0.15z=，A3，/，A，=52/-40=-1.3因此，方程组的解为x=-0.65，y=-0.15，z=-1.3总结来说，克拉默法则是一种通过求解行列式的方法来求解线性方程组的解的方法。
克拉默(Cramer)法则
§7 克拉默(Cramer)法则现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.定理4 如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,, (1) 的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211(2) 的行列式0||≠=A d那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为dd x d dx d d x n n ===,,,2211 , (3) 其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21 所成的矩阵的行列式，即.,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a d nnj n nj n n n j j n j j j==+-+-+- (4)定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1. 把),,,(21dd d d d d n 代入方程组，验证它确是解. 2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 定理4通常称为克拉默法则. 例1 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+.0674,522,963,85243214324214321x x x x x x x x x x x x x x应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论.常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为)0,,0,0( 就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理5 如果齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (10) 的系数矩阵的行列式0||≠A ，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有0||=A .例2 求λ在什么条件下，方程组⎩⎨⎧=+=+0,02121x x x x λλ 有非零解.克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 级行列式，这个计算量是很大的.。
§7 克拉默法则
D1 x= = 1, D
D3 D2 = 1. y= = 2, z= D D三、重要定理
定理1 如果线性方程组(1)的系数行列式 D ≠ 0, 则(1)一定有解,且解是唯一的. 定理2 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.
四、齐次线性方程组的相关定理
齐次线性方程组
解
0 1 2 − 1 1 c1 − 2c3 0 13 − 3 − 5 D= 3 2 −5 c2 + c3 5 1 −2 1 3 −2
=
13 − 3 5 1
= 28 ≠ 0
2 0 1 0 −1 1 D1 = 1 2 − 5 = 13 , D2 = 3 1 − 5 = 47 , 1 4 −2 4 3 −2 2 −1 0 D3 = 3 2 1 = 21 , 1 3 4
(1)
a11 a12 a1 n 记其系数行列式为 D = a 21 a 22 a 2 n a n1 a n 2 a nn
当系数行列式 D≠0 时 , 线性方程组 (1) 有解，并 且解是唯一的，解可以表为
D1 D2 D3 Dn x1 = , x2 = , x3 = , , x n = . D D D D
若一组不全为0的数是 (2) 的解，称为齐次线性 方程组的非零解.
齐次线性方程组的相关定理 定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D ≠ 0, 则齐次线性方程组(2)只有零解.
定理4 如果齐次线性方程组(2)有非零解,则它 的系数行列式必为零.
例3 问 λ 取何值时，齐次方程组
(1 − λ ) x1 − 2 x2 + 4 x3 = 0, 2 x1 + (3 − λ ) x2 + x3 = 0, x + x + (1 − λ ) x = 0, 1 2 3
高等代数2.7 克拉默(Cramer)法则
an1 x1
a12 x2 a22 x2 an2 x2
a1n xn a2n xn ann xn
b1 b2 bn
(1)
若常数项 b1,b2 ,,bn 不全为零，则称（1）为
非齐次线性方程组．
简记为
n
aij x j bi ,
j1
i 1,2,,n.
j1
二、克拉默法则
如果线性方程组（1）的系数矩阵
a11 a12 a1n
A
a21 an1
a22 an2
a2n ann
的行列式 D | A | 0 ，则方程组(１)有唯一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,,
xn
Dn D
其中 Dj ( j 1,2,, n) 是把行列式 D 中第 j 列 的元素用方程组（1）的常数项 b1,b2 ,,bn 代换 所得的一个 n 阶行列式，即
若常数项 b1 b2 bn 0, 即
a11 x1 a21 x1 an1 x1
a12 x2 a22 x2 an2 x2
a1n xn a2n xn ann xn
0 0
0
(2)
则称（2）为齐次线性方程组．
n
简记为
aij x j 0, i 1, 2,, n.
4 5
142 0
3 1 2 11
5111
D1
2 2
2 3
1 1
克拉默法则(修改稿)
B1 B2 B3 B4 xij≥0
A1 x11 A2 x21 A3 x31 3
x12 x22 x32 6
x13 x23 x33 5
x14 7 x24 4 x34 9 6
minZ=3x11+11x12+3x13+10x14+x21+9x22+2x23+8x24 +7x31+4x32+10x33+5x34
D3=
3 1 0 0 0
3
2 3 1 0 0
2
1 0 0 0 1
0
0 0 2 3 1 0 2 3 1
0 0 0 =33 2 3 0 0 0 1
3 1 D4= 0 0 0
0 1
=32
=-33
1 D5= 0 0 0
3 1 0 0
2 3 1 0
D1 47 D2 39 13 x1 x2 D 63 D 63 21 D 32 D 33 11 x4 4 x5 5 D 63 21 D 63
则称线性方程组为
将线性方程组 系数组成的行 列式记为D，即
x1-2x2+2x3=1
a11 D a21 an1
a12 a1n
齐次线性方程组 (方程 组2）
a22 a2 n an 2 ann
？1、系数行列式D的元素位置如何确定?
2、如果方程组中某个方程比别的方程少了未知数 的系数，那么对应的系数是多少?（例1）
0X1+ x2+3x3 +2x4+0x5=0
0X1+0x2+ x3 + 3x4+2x5=0 0X1+0x2+ 0x3 + x4+3x5=1 -7 -6 0 1 3 2 0 0
(完整版)克拉默法则教案
克拉默法则教学目标1.线性方程的相关概念2.克拉默法则 教学重点克拉默法则及其应用 教学难点克拉默法则的证明 教学方法讲授法 教学过程一、导入前面我们学习了行列式的计算方法，我们也知道，二、三元线性方程组可以用二、三阶行列式求解。
在此基础上我们要研究用n 阶行列式来解含n 个未知量n 个方程的线性方程组。
二、新课n 个未知量n 个方程的线性方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+++=+++12211222212111212111nn nn n n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a利用方程组（1）的系数构成一个n 阶行列式nnn n nna a a a a a a a a D212222111211=称为方程组(1)的系数行列式。
定理（克拉默法则） 若含有n 个未知量n 个方程的线性方程组(1)的系数行列式D 不等于零，则方程组(1)有且仅有一个解，且解为：()2.,,,2211DD x D Dx D D x n n =⋯==其中j D ),,2,1(n j =是把行列式D 的第j 列的元素换成以方程组(1)的常数项n b b b ,,,21 而得的n 阶行列式。
说明：定理中包含三个结论（1）方程组有解 （2）解是唯一的 （3）解由公式(2)给出这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1.把DD D D D D n ,,,21⋯代入方程组，验证它确是解 2.假如方程组有解，证明它的解必由公式(2)给出。
证明：（一）证明(2)是(1)的解，即i n in i i b DD a D Da D D a =+++ 2211),,2,1(n i = 或02211=----n in i i i D a D a D a D b ).,,2,1(n i = 为此，将系数行列式D 添加一行一列，得1+n 阶行列式 nnn n nn nini i i a a a b a a a b a a a b a a a b D 21222212112111210= ),,2,1(n i =. 把0D 按第一行展开，得nn n in i i i i D a D a D a D a D b D 11132413213121211110)1()1()1()1()1()1()1()1(-++++++--++--+--+-+-=.2211n in i i i D a D a D a D b ----=在0D 中有两行元素完全相同，所以.00=D 因此02211=----n in i i i D a D a D a D b ).,,2,1(n i =即(2)是(1)的解。
4.克拉默法则
a12 a22 an2
a1n a2n ann
三、重要定理
定理1 若线性方程组(1) 的系数行列式D≠0, 则(1)一定有解,且解是唯一的 . 定理2 若线性方程组 (1) 无解或解不唯一， 则它的系数行列式必为零. 定理3 若齐次线性方程组(2) 的系数行列式 D≠0， 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理4 若齐次线性方程组（2）有非零解， 则它的系数行列式必为零.
b1 A1 j b2 A2 j bn Anj
证
用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj 依次乘方程组 1的n个方程 , 得
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n A1 j b1 A1 j a x a x a x A b A 21 1 22 2 2n n 2j 2 2j a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n Anj bn Anj
于是
Dx j D j j 1,2,, n.
*
当 D 0 时,方程组
*有唯一的一个解
Dn D1 D2 x1 , x2 , , xn . D D D 由于方程组 (*) 与方程组(1)等价, 故 Dn D1 D2 x1 , x2 , , xn . D D D
再把 n 个方程依次相加，得
n n n x1 x2 xn a A a A a A k 1 kj k 2 kj kn kj k 1 k 1 k 1
bk Akj ,
k 1
思考 n个方程n个未知数的线性方程组的求解问题
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克拉默法则
教学目标
1.线性方程的相关概念
2.克拉默法则 教学重点
克拉默法则及其应用 教学难点
克拉默法则的证明 教学方法
讲授法 教学过程
一、导入
前面我们学习了行列式的计算方法，我们也知道，二、三元线性方程组可以用二、三阶行列式求解。
在此基础上我们要研究用n 阶行列式来解含n 个未知量n 个方程的线性方程组。
二、新课
n 个未知量n 个方程的线性方程组
()⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧=+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+++=+++12211222212111212111n n nn n n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a
利用方程组（1）的系数构成一个n 阶行列式
nn
n n n n a a a a a a a a a D
2
1
2222111211
=
称为方程组(1)的系数行列式。
定理（克拉默法则） 若含有n 个未知量n 个方程的线性方程组(1)的系数行列式D 不等于零，则方程组(1)有且仅有一个解，且解为：
()2.
,,,2211D D x D
D x D D x n n =
⋯=
=
其中j D ),,2,1(n j =是把行列式D 的第j 列的元素换成以方程组(1)的常数项
n b b b ,,,21 而得的n 阶行列式。
说明：定理中包含三个结论
（1）方程组有解 （2）解是唯一的 （3）解由公式(2)给出
这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：
1.把
D
D D D D D n ,,,2
1⋯代入方程组，验证它确是解 2.假如方程组有解，证明它的解必由公式(2)给出。
证明：
（一）证明(2)是(1)的解，即
i n in
i i b D
D a D
D a D D a =+++ 22
11
),,2,1(n i =
或02211=----n in i i i D a D a D a D b ).,,2,1(n i = 为此，将系数行列式D 添加一行一列，得1+n 阶行列式
nn
n n n
n n
in i i i a a a b a a a b a a a b a a a b D
2
1
222212
112111
210= ),,2,1(n i =. 把0D 按第一行展开，得
n
n n in i i i i D a D a D a D a D b D 1
1
13
2
4
13213
1212
111
10)
1()
1()1()
1()1()
1()
1()
1(-++++++--++--+--+-+-=
.2211n in i i i D a D a D a D b ----=
在0D 中有两行元素完全相同，所以.00=D 因此
2211=----n in i i i D a D a D a D b ).,,2,1(n i =
即(2)是(1)的解。
（二）证(2)是(1)的唯一解.
设i i c x =),,2,1(n i =是(1)的一个解，即
i n in i i b c a c a c a =+++ 2211
).,,2,1(n i =
因为
nn
j
nj n n j
j n j j j a c a a a c a a a c a a D c
122211111
=
)
列(111
2221212111111111j a c a c a c a a a c a c a c a a a c a c a c a a nn
n
nn j nj n n n n
n j j n n n j j
++++++++++++=
）
（列).
,,2,1(.
1
22211111j n j D a b a a b a a b a j nn
n
n n n
===
∴).,,2,1(n j D
D c j j ==
即(2)是(1)的唯一解。
注意：克拉默法则所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组，至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论。
例：解线性方程组
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧*=+-+-=+-=--=+-+)(0674522963852432143242
14321x x x x x x x x x x x x x x
解：方程组)(*的系数行列式
.0276
7
4
1
212060311512≠=-----=
D
由克拉默法则知方程组)(*有唯一解。
又因为
,816
74
0212560391518
1=------=
D ,10867012150609115822-=-----=
D
,276
41
2520693118123-=---=
D .2707
4
1
5120903185124=-----=D 所以方程组)(*的解是：
31=x ，42-=x ，13-=x ，.14=x
三、小结
在第一章第四节给出的二元与三元线性方程组的求解公式就是克拉默
法则的特例。
克拉默法则的重要意义是在于它给出了线性方程组有解的一个充分条件，并且给出了解的表达式。
不过这个求解公式的理论价值大于实用价值，因为克拉默法则进行计算是不方便的，按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 阶行列式，这个计算量很大。
在下一章我们将学习线性方程组的另一种求解方法——消去法。
四、作业
P138—习题1（1）（4）.。