(完整版)克拉默法则教案
克拉默(Cramer)法则
§7 克拉默(Cramer)法则现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.定理4 如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,, (1) 的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211(2) 的行列式0||≠=A d那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为dd x d dx d d x n n ===,,,2211 , (3) 其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21 所成的矩阵的行列式，即.,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a d nnj n nj n n n j j n j j j==+-+-+- (4)定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1. 把),,,(21dd d d d d n 代入方程组，验证它确是解. 2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 定理4通常称为克拉默法则. 例1 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+.0674,522,963,85243214324214321x x x x x x x x x x x x x x应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论.常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为)0,,0,0( 就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理5 如果齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (10) 的系数矩阵的行列式0||≠A ，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有0||=A .例2 求λ在什么条件下，方程组⎩⎨⎧=+=+0,02121x x x x λλ 有非零解.克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 级行列式，这个计算量是很大的.。
§7 克拉默法则
D1 x= = 1, D
D3 D2 = 1. y= = 2, z= D D三、重要定理
定理1 如果线性方程组(1)的系数行列式 D ≠ 0, 则(1)一定有解,且解是唯一的. 定理2 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.
四、齐次线性方程组的相关定理
齐次线性方程组
解
0 1 2 − 1 1 c1 − 2c3 0 13 − 3 − 5 D= 3 2 −5 c2 + c3 5 1 −2 1 3 −2
=
13 − 3 5 1
= 28 ≠ 0
2 0 1 0 −1 1 D1 = 1 2 − 5 = 13 , D2 = 3 1 − 5 = 47 , 1 4 −2 4 3 −2 2 −1 0 D3 = 3 2 1 = 21 , 1 3 4
(1)
a11 a12 a1 n 记其系数行列式为 D = a 21 a 22 a 2 n a n1 a n 2 a nn
当系数行列式 D≠0 时 , 线性方程组 (1) 有解，并 且解是唯一的，解可以表为
D1 D2 D3 Dn x1 = , x2 = , x3 = , , x n = . D D D D
若一组不全为0的数是 (2) 的解，称为齐次线性 方程组的非零解.
齐次线性方程组的相关定理 定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D ≠ 0, 则齐次线性方程组(2)只有零解.
定理4 如果齐次线性方程组(2)有非零解,则它 的系数行列式必为零.
例3 问 λ 取何值时，齐次方程组
(1 − λ ) x1 − 2 x2 + 4 x3 = 0, 2 x1 + (3 − λ ) x2 + x3 = 0, x + x + (1 − λ ) x = 0, 1 2 3
高等代数2.7 克拉默(Cramer)法则
an1 x1
a12 x2 a22 x2 an2 x2
a1n xn a2n xn ann xn
b1 b2 bn
(1)
若常数项 b1,b2 ,,bn 不全为零，则称（1）为
非齐次线性方程组．
简记为
n
aij x j bi ,
j1
i 1,2,,n.
j1
二、克拉默法则
如果线性方程组（1）的系数矩阵
a11 a12 a1n
A
a21 an1
a22 an2
a2n ann
的行列式 D | A | 0 ，则方程组(１)有唯一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,,
xn
Dn D
其中 Dj ( j 1,2,, n) 是把行列式 D 中第 j 列 的元素用方程组（1）的常数项 b1,b2 ,,bn 代换 所得的一个 n 阶行列式，即
若常数项 b1 b2 bn 0, 即
a11 x1 a21 x1 an1 x1
a12 x2 a22 x2 an2 x2
a1n xn a2n xn ann xn
0 0
0
(2)
则称（2）为齐次线性方程组．
n
简记为
aij x j 0, i 1, 2,, n.
4 5
142 0
3 1 2 11
5111
D1
2 2
2 3
1 1
克拉默法则(修改稿)
B1 B2 B3 B4 xij≥0
A1 x11 A2 x21 A3 x31 3
x12 x22 x32 6
x13 x23 x33 5
x14 7 x24 4 x34 9 6
minZ=3x11+11x12+3x13+10x14+x21+9x22+2x23+8x24 +7x31+4x32+10x33+5x34
D3=
3 1 0 0 0
3
2 3 1 0 0
2
1 0 0 0 1
0
0 0 2 3 1 0 2 3 1
0 0 0 =33 2 3 0 0 0 1
3 1 D4= 0 0 0
0 1
=32
=-33
1 D5= 0 0 0
3 1 0 0
2 3 1 0
D1 47 D2 39 13 x1 x2 D 63 D 63 21 D 32 D 33 11 x4 4 x5 5 D 63 21 D 63
则称线性方程组为
将线性方程组 系数组成的行 列式记为D，即
x1-2x2+2x3=1
a11 D a21 an1
a12 a1n
齐次线性方程组 (方程 组2）
a22 a2 n an 2 ann
？1、系数行列式D的元素位置如何确定?
2、如果方程组中某个方程比别的方程少了未知数 的系数，那么对应的系数是多少?（例1）
0X1+ x2+3x3 +2x4+0x5=0
0X1+0x2+ x3 + 3x4+2x5=0 0X1+0x2+ 0x3 + x4+3x5=1 -7 -6 0 1 3 2 0 0
(完整版)克拉默法则教案
克拉默法则教学目标1.线性方程的相关概念2.克拉默法则 教学重点克拉默法则及其应用 教学难点克拉默法则的证明 教学方法讲授法 教学过程一、导入前面我们学习了行列式的计算方法，我们也知道，二、三元线性方程组可以用二、三阶行列式求解。
在此基础上我们要研究用n 阶行列式来解含n 个未知量n 个方程的线性方程组。
二、新课n 个未知量n 个方程的线性方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+++=+++12211222212111212111nn nn n n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a利用方程组（1）的系数构成一个n 阶行列式nnn n nna a a a a a a a a D212222111211=称为方程组(1)的系数行列式。
定理（克拉默法则） 若含有n 个未知量n 个方程的线性方程组(1)的系数行列式D 不等于零，则方程组(1)有且仅有一个解，且解为：()2.,,,2211DD x D Dx D D x n n =⋯==其中j D ),,2,1(n j =是把行列式D 的第j 列的元素换成以方程组(1)的常数项n b b b ,,,21 而得的n 阶行列式。
说明：定理中包含三个结论（1）方程组有解 （2）解是唯一的 （3）解由公式(2)给出这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1.把DD D D D D n ,,,21⋯代入方程组，验证它确是解 2.假如方程组有解，证明它的解必由公式(2)给出。
证明：（一）证明(2)是(1)的解，即i n in i i b DD a D Da D D a =+++ 2211),,2,1(n i = 或02211=----n in i i i D a D a D a D b ).,,2,1(n i = 为此，将系数行列式D 添加一行一列，得1+n 阶行列式 nnn n nn nini i i a a a b a a a b a a a b a a a b D 21222212112111210= ),,2,1(n i =. 把0D 按第一行展开，得nn n in i i i i D a D a D a D a D b D 11132413213121211110)1()1()1()1()1()1()1()1(-++++++--++--+--+-+-=.2211n in i i i D a D a D a D b ----=在0D 中有两行元素完全相同，所以.00=D 因此02211=----n in i i i D a D a D a D b ).,,2,1(n i =即(2)是(1)的解。
克拉默法则
7 − 5 13 = − 2 −1 2 7 − 7 12
−3 −5 3 c1 + 2c2 − 0 −1 0 c3 + 2c2 −7 −7 −2
−3 3 = = 27 ≠ 0, 7 −2
上页 下页 返回
8 1 −5 1 9 −3 0 −6 D1 = = 81, − 5 2 −1 2 0 4 −7 6
= (−1)
j +2
(−1)
j −1
Dj = −Dj ,
所以有
即
0 = bi D − ai1 D1 −L− ainDn ,
Dn D1 D2 ai1 + ai 2 + L+ ain = bi , (i = 1,2,L, n). D D D
上页 下页 返回
例12
解线性方程组
1 + x2 − 5x3 + x4 = 8, x − 3x − 6x = 9, 1 2 4 2x2 − x3 + 2x4 = −5, x1 + 4x2 − 7 x3 + 6x4 = 0.
上页
下页
返回
对于齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L+ a1n xn = 0, a x + a x + L+ a x = 0, 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLL, an1 x1 + an2 x2 + L+ ann xn = 0,
(11)
x1 = x2 = … = xn = 0 一定是它的解。称为齐次方程组 一定是它的解。 (11) 的零解。 零解。 如果一组不全为零的数是(11)的解，则叫做齐次 的解， 如果一组不全为零的数是 的解 方程组的非零解。 方程组的非零解。 方程组(11) 一定有零解，但不一定有非零解。 一定有零解，但不一定有非零解。 方程组
4.克拉默法则
a12 a22 an2
a1n a2n ann
三、重要定理
定理1 若线性方程组(1) 的系数行列式D≠0, 则(1)一定有解,且解是唯一的 . 定理2 若线性方程组 (1) 无解或解不唯一， 则它的系数行列式必为零. 定理3 若齐次线性方程组(2) 的系数行列式 D≠0， 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理4 若齐次线性方程组（2）有非零解， 则它的系数行列式必为零.
b1 A1 j b2 A2 j bn Anj
证
用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj 依次乘方程组 1的n个方程 , 得
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n A1 j b1 A1 j a x a x a x A b A 21 1 22 2 2n n 2j 2 2j a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n Anj bn Anj
于是
Dx j D j j 1,2,, n.
*
当 D 0 时,方程组
*有唯一的一个解
Dn D1 D2 x1 , x2 , , xn . D D D 由于方程组 (*) 与方程组(1)等价, 故 Dn D1 D2 x1 , x2 , , xn . D D D
再把 n 个方程依次相加，得
n n n x1 x2 xn a A a A a A k 1 kj k 2 kj kn kj k 1 k 1 k 1
bk Akj ,
k 1
思考 n个方程n个未知数的线性方程组的求解问题
1.4 克莱姆法则
11
11
0 0 1
(1 )2 ( 2)
当 D 0 时，即 1 或 2 时，
此方程组有非零解。
13
例5 试问当λ为何值时，齐次线性方程组
( 3)x1 x2 0 4x1 ( 1)x2 0 4x1 8x2 ( 2)x3 0
r2 r3 0 5 0 6 5 0 6
r3 r4
0 1 2 11 0 3 22
r4 2r1
0 3 3 11
73
x1
73 139
27
3、用克莱姆法则求解方程组
x1 x2 x3 x4 5 解
15 1 1
x1 2x2 x3 x4 2x1 3x2 x3 5
cay
abz
3abc
解 111 1 1
D a b c 0 ba
bc ca ab 0 c(a b)
1 ca b(a c)
1 (a b)(c a)
1 (a b)(b c)(c a)
c b
21
2、用克莱姆法则求解方程组
111
x yz abc
a11
x2
a21 a11
a21
b1 b2 D2 a12 D a22 D 0
这样求解二元一次方程组归结为求三个二阶行列式
的值。同样用此方法可解n元一次方程组。
3
定理1（克莱姆法则） 见教材P37
当含有 n 个方程，n 个未知数的线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
1 5 1 3 1 6 0 2
解.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
克拉默法则
教学目标
1.线性方程的相关概念
2.克拉默法则 教学重点
克拉默法则及其应用 教学难点
克拉默法则的证明 教学方法
讲授法 教学过程
一、导入
前面我们学习了行列式的计算方法，我们也知道，二、三元线性方程组可以用二、三阶行列式求解。
在此基础上我们要研究用n 阶行列式来解含n 个未知量n 个方程的线性方程组。
二、新课
n 个未知量n 个方程的线性方程组
()⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+++=+++12211222212111212111n
n nn n n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a
利用方程组（1）的系数构成一个n 阶行列式
nn
n n n
n
a a a a a a a a a D
21
22221112
11
=
称为方程组(1)的系数行列式。
定理（克拉默法则） 若含有n 个未知量n 个方程的线性方程组(1)的系数行列式D 不等于零，则方程组(1)有且仅有一个解，且解为：
()2.,,,2211D
D x D D
x D D x n n =⋯==
其中j D ),,2,1(n j =是把行列式D 的第j 列的元素换成以方程组(1)的常数项
n b b b ,,,21 而得的n 阶行列式。
说明：定理中包含三个结论
（1）方程组有解 （2）解是唯一的 （3）解由公式(2)给出
这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：
1.把
D
D D D D D n ,,,2
1⋯代入方程组，验证它确是解 2.假如方程组有解，证明它的解必由公式(2)给出。
证明：
（一）证明(2)是(1)的解，即
i n in i i b D
D a D D
a D D a =+++ 2211
),,2,1(n i = 或02211=----n in i i i D a D a D a D b ).,,2,1(n i = 为此，将系数行列式D 添加一行一列，得1+n 阶行列式 nn
n n n
n n
in
i i i a a a b a a a b a a a b a a a b D 21222212
112111
210= ),,2,1(n i =. 把0D 按第一行展开，得
n
n n in i i i i D a D a D a D a D b D 1
1
132413213121211110)
1()
1()1()1()1()1()1()1(-++++++--++--+--+-+-=
.2211n in i i i D a D a D a D b ----=
在0D 中有两行元素完全相同，所以.00=D 因此
02211=----n in i i i D a D a D a D b ).,,2,1(n i =
即(2)是(1)的解。
（二）证(2)是(1)的唯一解.
设i i c x =),,2,1(n i =是(1)的一个解，即
i n in i i b c a c a c a =+++ 2211 ).,,2,1(n i =
因为
nn
j
nj n n
j j n j
j j a c a a a c a a a c a a D c 122211111=
)
列(1112221212111111111j a c a c a c a a a c a c a c a a a c a c a c a a nn
n
nn j nj n n n n n j j n n n j j
++++++++++++=
）
（列).
,,2,1(.
1
2221
1111j n j D a b a a b a a b a j nn
n n n
n ===
∴).,,2,1(n j D
D c j j ==
即(2)是(1)的唯一解。
注意：克拉默法则所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组，至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论。
例：解线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧*=+-+-=+-=--=+-+)(0
67452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x
解：方程组)(*的系数行列式
.0276
7
4
1
2120603
11512≠=-----=
D
由克拉默法则知方程组)(*有唯一解。
又因为
,816
74
02125603915181=------=
D ,1086701215
0609115822-=-----=
D
,276
41
2520693118123-=---=
D .2707
4
1
5
120903
185124=-----=D 所以方程组)(*的解是：
31=x ，42-=x ，13-=x ，.14=x
三、小结
在第一章第四节给出的二元与三元线性方程组的求解公式就是克拉默法则的特例。
克拉默法则的重要意义是在于它给出了线性方程组有解的一个充分条件，并且给出了解的表达式。
不过这个求解公式的理论价值大于实用价值，因为克拉默法则进行计算是不方便的，按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 阶行列式，这个计算量很大。
在下一章我们将学习线性方程组的另一种求解方法——消去法。
四、作业
P138—习题1（1）（4）.。