克拉默法则
第4讲_克拉默法则
第4讲_克拉默法则克拉默法则，又称克拉默法则(Cramer's Rule)，是线性代数中一种求解线性方程组的方法。
它是基于行列式的性质推导而来的，可以通过求解方程组的系数矩阵的行列式和一系列的余子式来求解方程组的解。
设线性方程组为：a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3对应的系数矩阵为：A=，a1b1c1a2b2ca3b3c假设A的行列式，A，≠0，即A可逆。
克拉默法则的步骤如下：1.求出系数矩阵A的行列式，A。
2.将线性方程组中的常数项d替换成对应的常量向量i，并构成矩阵Ai，其中Ai的第i列替换为常量向量。
3.求出Ai的行列式，Ai。
4.解方程组的解向量为：x=，Ai，/，Ay=，Ai，/，Az=，Ai，/，A克拉默法则的优点是求解方便，特别适用于方程组的规模较小的情况。
然而，它的缺点是计算量较大，需要求系数矩阵和每个常量向量的行列式，不适用于大规模的方程组求解。
以下是一个数值例子来说明克拉默法则的应用：假设有方程组：2x+y-z=14x-6y=-2-2x+7y+2z=3我们可以转换为系数矩阵和常数向量的形式：A=，21-14-6-27d=，1-首先，计算系数矩阵A的行列式，A。
A，=2(-6)(2)+1(0)(-2)+(-1)(4)(7)=-12+0-28=-40然后，分别计算对应常量向量的行列式。
A1，=1(-6)(2)+1(0)(-2)+(-1)(-2)(7)=12+0+14=26A2，=2(0)(2)+1(4)(-2)+(-1)(-2)(7)=0-8+14=6A3，=2(-6)(-2)+1(4)(7)+(-1)(-2)(0)=24+28+0=52最后，根据克拉默法则的公式，我们可以得出解向量：x=，A1，/，A，=26/-40=-0.65y=，A2，/，A，=6/-40=-0.15z=，A3，/，A，=52/-40=-1.3因此，方程组的解为x=-0.65，y=-0.15，z=-1.3总结来说，克拉默法则是一种通过求解行列式的方法来求解线性方程组的解的方法。
克拉默(Cramer)法则
§7 克拉默(Cramer)法则现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.定理4 如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,, (1) 的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211(2) 的行列式0||≠=A d那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为dd x d dx d d x n n ===,,,2211 , (3) 其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21 所成的矩阵的行列式，即.,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a d nnj n nj n n n j j n j j j==+-+-+- (4)定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1. 把),,,(21dd d d d d n 代入方程组，验证它确是解. 2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 定理4通常称为克拉默法则. 例1 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+.0674,522,963,85243214324214321x x x x x x x x x x x x x x应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论.常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为)0,,0,0( 就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理5 如果齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (10) 的系数矩阵的行列式0||≠A ，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有0||=A .例2 求λ在什么条件下，方程组⎩⎨⎧=+=+0,02121x x x x λλ 有非零解.克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 级行列式，这个计算量是很大的.。
carmer法则
carmer法则
克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，也称作克拉默法则。
这个法则是由瑞士数学家克莱姆（Gabriel Cramer）在他的《线性代数分析导言》中于1750年发表的。
不过值得注意的是，尽管克莱姆是首位发表这个法则的数学家，但莱布尼兹和马克劳林等数学家在此之前也已经知晓这个法则。
克莱姆法则的核心内容是：对于一个有n个方程和n个未知数的线性方程组，如果其系数行列式不等于零，那么方程组有唯一解，且每一个未知数的解可以由对应的行列式求得。
具体来说，每一个未知数的解等于常数项替换该未知数系数后所得到的行列式与原系数行列式之商。
然而，克莱姆法则并不总是计算线性方程组最有效的方法。
实际上，当方程组的规模（即未知数的数量）增加时，使用克莱姆法则进行计算会变得非常低效。
因为计算每一个未知数的解都需要计算n个n阶行列式，而计算一个n阶行列式的时间复杂度是O(n!)，这使得克莱姆法则对于大规模线性方程组的求解并不实用。
此外，克莱姆法则还存在数值稳定性的问题。
即使对于规模较小的线性方程组，由于计算过程中涉及大量的乘法和除法运算，可能会导致数值误差的累积，从而影响解的精度。
总的来说，克莱姆法则虽然在线性代数中具有重要的理论意义，但在实际应用中，我们通常会选择更高效、更稳定的算法来求解线性方程组。
第七节克拉默法则
第七节克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的运算法则，可以用来解决线性方程组的问题。
它是由17世纪的数学家克拉默提出的，可以用来求解n元线性方程组的解。
设有n个未知数和n个线性方程，可以表示成如下形式的方程组：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn其中a11, a12, ..., ann是系数矩阵，x1, x2, ..., xn是未知数向量，b1, b2, ..., bn是常数向量。
使用克拉默法则求解线性方程组的步骤如下：1.计算系数矩阵的行列式D：D = ，a11, a12, ..., ann2.用常数向量替换系数矩阵的第i列，得到新的n阶矩阵Di：Di = ，a1, a2, ..., ai-1, bi, ai+1, ..., an3.计算新矩阵的行列式Di：Di = ，a1, a2, ..., ai-1, bi, ai+1, ..., an4. 通过D和Di的比值得到未知数xi的值：xi = Di / D使用克拉默法则求解线性方程组的优点是计算简单明了，但是也存在一些缺点。
首先，使用克拉默法则需要对每个未知数分别求解，计算复杂度较高，尤其当未知数的个数较多时，计算量会很大。
其次，克拉默法则只适用于方程组的系数矩阵的行列式不为0的情况，即只有在系数矩阵满秩时才能使用克拉默法则求解。
克拉默法则的一个典型应用是求解二元线性方程组。
设有二元线性方程组：a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2根据克拉默法则，先计算系数矩阵的行列式D：D=，a11,a12a21,a2再计算常数向量替换第1列和第2列分别得到的行列式D1和D2：D1=，b1,a12b2,a2D2=，a11,b1a21,b最后，根据克拉默法则的公式得到未知数x1和x2的值：x1=D1/Dx2=D2/D克拉默法则的应用并不局限于二元线性方程组，同样适用于多元线性方程组。
【精品】克拉默法则
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克拉默法则又称为“不抱怨法则”，它是由美国教育家、心理学家和职业咨询师哈罗德·克拉默（Harold Kramar）于1960年提出的一种心理学理论，用来让人们在处理情绪上更加有效率和实用。
根据克拉默法则，人们应该消除不必要的情绪，避免无谓的负面情绪，把注意力集中在解决问题上。
如果一个人把自己的思想集中在解决问题上，而不是抱怨困难，他将更有效率地完成自己的工作。
克拉默法则的基本思想是，有助于提高创造力、解决问题的方法，是消除不必要的情绪、注重客观的面对困难，但是千万不能把情绪藏在心底，否则会损害自己的心理健康。
因此，如果发生挫折、痛苦或抗争时，一定要将情感表达出来，只要不误用，就不会被把自己反馈圈闭，避免无谓的担心发泄。
克拉默法则还表明，要把自己的能量集中在自己的目标上，不要把注意力分散在大量的负面情绪和抱怨上，因为这样只会消耗自己的时间和精力，而不会出现任何收获。
总之，克拉默法则强调了重要性，当人们遇到任何问题或困难时，都应该摆脱无谓的抱怨和负面情绪，而应该专注于如何解决这些问题和困难，避免被情绪消耗而无法取得最佳收获。
克拉默法则
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线性代数讲稿
⎧λx1 + x 2 + x3 = 0 ⎪ ⎨ x1 + λx 2 + x3 = 0 ⎪ x + x + λx = 0 2 3 ⎩ 1
有非零解． 解：按题意要求方程组的系数行列式为零，即
λ 1 1 0 = 1 λ 1 ====== (λ + 2) 1 λ 1 再c1 ÷( λ + 2 ) 1 1 λ 1 1 λ === (λ + 2) 1 λ − 1 0 = (λ + 2)(λ − 1) 2 , j = 2,3 1 0 λ −1
线性代数讲稿
§1.4
一.基本概念
克拉默（Cramer）法则
关于 n 个待求量 xi 的 n 个线性方程联立而成的线性方程组：
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪a x + a x + L + a x = b ⎪ 21 2 22 2 2n n 2 ⎨ M M ⎪ ⎪ ⎩ a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
xj = Dj D
( j = 1,2, L , n)
（2）
其中 Dj 是把 D 中的第 j 列换成（1）中右端的 b1,b2,…,bn 所构成的 n 阶行列式，
即
Dj =
a11 L a1 j −1 a 21 L a 2 j −1
b1 b2
a1 j +1 L a1n a 2 j +1 L a 2 n M a n j +1 M M L an n
c j −c1 c1 + ( c2 + c3 )
克拉默法则
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6
例 解线性方程组
2x1 x2 5x3 x4 8,
x1 3x2 2x2
6x4 9, x3 2x4 5,
x1 4x2 7x3 6x4 0.
解 2 1 5 1 1 3 0 6
D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2 r2 r4 r2
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
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13
三、小结
1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数； (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解 和已知的系数以及常数项之间的关系．
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14
1 1 1
如果齐次方程组有非零解，则必有 D . 0
所以 0、 时2、 齐3次方程组有非零解.
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12
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则 解方程组？为什么？此时方程组的解为何？
答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法 则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.
我们关心的问题是齐次线性方程组除零解以外是否存齐次线性方程组的相关定理定理5如果齐次线性方程组的系数行列式定理5如果齐次线性方程组有非零解则它的系数行列式必这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件
§7 克拉默法则
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1
二元线性方程组
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
设 a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1 a22x2 a2nxn b2
(1)
an1x1 an2x2 annxn bn
克拉默法则
4 1
1
1 3 3 41 21 3
1 3 21 2 3
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0, 2 或 3时齐次方程组有非零解.
4.小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x3
D3 D
27 27
1,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
齐次线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2
a2n xn 0
2
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
易知， x1 x2 xn 0 一定是(2)的解，
an1 x1 an2 x2 ann xn Anj bn Anj
再把 n 方程依次相加，得
n k 1
ak1 Akj
x1
n
k
1
akj
Akj
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克拉默法则
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
若令
D b1 b2 a12 a22
a11 a21
a12 a22 D2
(方程组的系数行列式)
D1
a11 a21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
b1a22 a12b2 D1 x1 a11a22 a12a21 D a11b2 b1a21 D2 x2 a11a22 a12a21 D
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn a11 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann 0 (1) 1
4 1 ( 2)( 3) 1
D
2 1
如果齐次方程组有非零解，则必有 D 0 .
2 3 时齐次方程组有非零解. 所以 0、、
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则 解方程组？为什么？此时方程组的解为何？
答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法 则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.
r1 2r2
r4 r2
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
7 5 13 c1 2c2 2 1 2 7 7 12 c3 2c2
3 5
3
0 1 0 27 0 7 7 2
2 D2 1 1 8 9 0 5 0 7 1 6 2 6
8 D1 9 5 0 81
1 3 2 4
5 0 1 7
1 6 2 6
0 5 1
= 108
2 D3 0 1 27
1 2 4
8 9 5 0
1 6 2 6 D4
2 0 1 27
1 2 4
5 0 7
8 9 0
1 3
1 3
1 5
D1 81 x1 3, D 27
a11 Dj a n1
a1, j 1 a n , j 1
b1 bn
a1, j 1 an , j 1
a1n ann
定理中包含着三个结论：
•方程组有解；（解的存在性） •解是唯一的；（解的唯一性）
•解可以由公式(2)给出.
这三个结论是有联系的. 应该注意，该定理所讨论的只是系 数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形， 将在第三章的一般情形中一并讨论.
非零解的必要条件.
2. 在第三章还将证明这个条件也是充分的. 即： 齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零
练习题：问 取何值时，齐次方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3
常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则 称为非齐次线性方程组. 齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,…, 0)就是一个 解，称为零解. 因此，齐次线性方程组一定有零解，但 不一定有非零解. 我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存 在着非零解.
齐次线性方程组的相关定理
定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0 ，则齐次 线性方程组只有零解，没有非零解. 定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必 为零. 备注 1. 这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有
三、小结
1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数； (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解 和已知的系数以及常数项之间的关系．
例
解线性方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3x 6 x4 9, 1 2 2 x2 x3 2 x4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.
解
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
D3 27 x3 1, D 27
D2 108 x2 4, D 27
D4 27 x4 1. D 27
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 线性方程组 an1 x1 an 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn
的系数行列式不等于零，即 D
a21 a n1
那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成
D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
Dn , xn . D
(2)
其中D j是把系数行列式 D中第 j 列的元素用方程组右端的 常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
关于克拉默法则的等价命题
设
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn (1)
定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则 该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 . 定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的 系数行列式必为零.