克拉默法则
第4讲_克拉默法则
第4讲_克拉默法则克拉默法则，又称克拉默法则(Cramer's Rule)，是线性代数中一种求解线性方程组的方法。
它是基于行列式的性质推导而来的，可以通过求解方程组的系数矩阵的行列式和一系列的余子式来求解方程组的解。
设线性方程组为：a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3对应的系数矩阵为：A=，a1b1c1a2b2ca3b3c假设A的行列式，A，≠0，即A可逆。
克拉默法则的步骤如下：1.求出系数矩阵A的行列式，A。
2.将线性方程组中的常数项d替换成对应的常量向量i，并构成矩阵Ai，其中Ai的第i列替换为常量向量。
3.求出Ai的行列式，Ai。
4.解方程组的解向量为：x=，Ai，/，Ay=，Ai，/，Az=，Ai，/，A克拉默法则的优点是求解方便，特别适用于方程组的规模较小的情况。
然而，它的缺点是计算量较大，需要求系数矩阵和每个常量向量的行列式，不适用于大规模的方程组求解。
以下是一个数值例子来说明克拉默法则的应用：假设有方程组：2x+y-z=14x-6y=-2-2x+7y+2z=3我们可以转换为系数矩阵和常数向量的形式：A=，21-14-6-27d=，1-首先，计算系数矩阵A的行列式，A。
A，=2(-6)(2)+1(0)(-2)+(-1)(4)(7)=-12+0-28=-40然后，分别计算对应常量向量的行列式。
A1，=1(-6)(2)+1(0)(-2)+(-1)(-2)(7)=12+0+14=26A2，=2(0)(2)+1(4)(-2)+(-1)(-2)(7)=0-8+14=6A3，=2(-6)(-2)+1(4)(7)+(-1)(-2)(0)=24+28+0=52最后，根据克拉默法则的公式，我们可以得出解向量：x=，A1，/，A，=26/-40=-0.65y=，A2，/，A，=6/-40=-0.15z=，A3，/，A，=52/-40=-1.3因此，方程组的解为x=-0.65，y=-0.15，z=-1.3总结来说，克拉默法则是一种通过求解行列式的方法来求解线性方程组的解的方法。
克拉默(Cramer)法则
§7 克拉默(Cramer)法则现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.定理4 如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,, (1) 的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211(2) 的行列式0||≠=A d那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为dd x d dx d d x n n ===,,,2211 , (3) 其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21 所成的矩阵的行列式，即.,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a d nnj n nj n n n j j n j j j==+-+-+- (4)定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1. 把),,,(21dd d d d d n 代入方程组，验证它确是解. 2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 定理4通常称为克拉默法则. 例1 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+.0674,522,963,85243214324214321x x x x x x x x x x x x x x应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论.常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为)0,,0,0( 就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理5 如果齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (10) 的系数矩阵的行列式0||≠A ，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有0||=A .例2 求λ在什么条件下，方程组⎩⎨⎧=+=+0,02121x x x x λλ 有非零解.克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 级行列式，这个计算量是很大的.。
carmer法则
carmer法则
克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，也称作克拉默法则。
这个法则是由瑞士数学家克莱姆（Gabriel Cramer）在他的《线性代数分析导言》中于1750年发表的。
不过值得注意的是，尽管克莱姆是首位发表这个法则的数学家，但莱布尼兹和马克劳林等数学家在此之前也已经知晓这个法则。
克莱姆法则的核心内容是：对于一个有n个方程和n个未知数的线性方程组，如果其系数行列式不等于零，那么方程组有唯一解，且每一个未知数的解可以由对应的行列式求得。
具体来说，每一个未知数的解等于常数项替换该未知数系数后所得到的行列式与原系数行列式之商。
然而，克莱姆法则并不总是计算线性方程组最有效的方法。
实际上，当方程组的规模（即未知数的数量）增加时，使用克莱姆法则进行计算会变得非常低效。
因为计算每一个未知数的解都需要计算n个n阶行列式，而计算一个n阶行列式的时间复杂度是O(n!)，这使得克莱姆法则对于大规模线性方程组的求解并不实用。
此外，克莱姆法则还存在数值稳定性的问题。
即使对于规模较小的线性方程组，由于计算过程中涉及大量的乘法和除法运算，可能会导致数值误差的累积，从而影响解的精度。
总的来说，克莱姆法则虽然在线性代数中具有重要的理论意义，但在实际应用中，我们通常会选择更高效、更稳定的算法来求解线性方程组。
第七节克拉默法则
第七节克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的运算法则，可以用来解决线性方程组的问题。
它是由17世纪的数学家克拉默提出的，可以用来求解n元线性方程组的解。
设有n个未知数和n个线性方程，可以表示成如下形式的方程组：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn其中a11, a12, ..., ann是系数矩阵，x1, x2, ..., xn是未知数向量，b1, b2, ..., bn是常数向量。
使用克拉默法则求解线性方程组的步骤如下：1.计算系数矩阵的行列式D：D = ，a11, a12, ..., ann2.用常数向量替换系数矩阵的第i列，得到新的n阶矩阵Di：Di = ，a1, a2, ..., ai-1, bi, ai+1, ..., an3.计算新矩阵的行列式Di：Di = ，a1, a2, ..., ai-1, bi, ai+1, ..., an4. 通过D和Di的比值得到未知数xi的值：xi = Di / D使用克拉默法则求解线性方程组的优点是计算简单明了，但是也存在一些缺点。
首先，使用克拉默法则需要对每个未知数分别求解，计算复杂度较高，尤其当未知数的个数较多时，计算量会很大。
其次，克拉默法则只适用于方程组的系数矩阵的行列式不为0的情况，即只有在系数矩阵满秩时才能使用克拉默法则求解。
克拉默法则的一个典型应用是求解二元线性方程组。
设有二元线性方程组：a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2根据克拉默法则，先计算系数矩阵的行列式D：D=，a11,a12a21,a2再计算常数向量替换第1列和第2列分别得到的行列式D1和D2：D1=，b1,a12b2,a2D2=，a11,b1a21,b最后，根据克拉默法则的公式得到未知数x1和x2的值：x1=D1/Dx2=D2/D克拉默法则的应用并不局限于二元线性方程组，同样适用于多元线性方程组。
【精品】克拉默法则
【精品】克拉默法则
克拉默法则又称为“不抱怨法则”，它是由美国教育家、心理学家和职业咨询师哈罗德·克拉默（Harold Kramar）于1960年提出的一种心理学理论，用来让人们在处理情绪上更加有效率和实用。
根据克拉默法则，人们应该消除不必要的情绪，避免无谓的负面情绪，把注意力集中在解决问题上。
如果一个人把自己的思想集中在解决问题上，而不是抱怨困难，他将更有效率地完成自己的工作。
克拉默法则的基本思想是，有助于提高创造力、解决问题的方法，是消除不必要的情绪、注重客观的面对困难，但是千万不能把情绪藏在心底，否则会损害自己的心理健康。
因此，如果发生挫折、痛苦或抗争时，一定要将情感表达出来，只要不误用，就不会被把自己反馈圈闭，避免无谓的担心发泄。
克拉默法则还表明，要把自己的能量集中在自己的目标上，不要把注意力分散在大量的负面情绪和抱怨上，因为这样只会消耗自己的时间和精力，而不会出现任何收获。
总之，克拉默法则强调了重要性，当人们遇到任何问题或困难时，都应该摆脱无谓的抱怨和负面情绪，而应该专注于如何解决这些问题和困难，避免被情绪消耗而无法取得最佳收获。
克拉默法则
142
线性代数讲稿
⎧λx1 + x 2 + x3 = 0 ⎪ ⎨ x1 + λx 2 + x3 = 0 ⎪ x + x + λx = 0 2 3 ⎩ 1
有非零解． 解：按题意要求方程组的系数行列式为零，即
λ 1 1 0 = 1 λ 1 ====== (λ + 2) 1 λ 1 再c1 ÷( λ + 2 ) 1 1 λ 1 1 λ === (λ + 2) 1 λ − 1 0 = (λ + 2)(λ − 1) 2 , j = 2,3 1 0 λ −1
线性代数讲稿
§1.4
一.基本概念
克拉默（Cramer）法则
关于 n 个待求量 xi 的 n 个线性方程联立而成的线性方程组：
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪a x + a x + L + a x = b ⎪ 21 2 22 2 2n n 2 ⎨ M M ⎪ ⎪ ⎩ a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
xj = Dj D
( j = 1,2, L , n)
（2）
其中 Dj 是把 D 中的第 j 列换成（1）中右端的 b1,b2,…,bn 所构成的 n 阶行列式，
即
Dj =
a11 L a1 j −1 a 21 L a 2 j −1
b1 b2
a1 j +1 L a1n a 2 j +1 L a 2 n M a n j +1 M M L an n
c j −c1 c1 + ( c2 + c3 )
克拉默法则
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6
例 解线性方程组
2x1 x2 5x3 x4 8,
x1 3x2 2x2
6x4 9, x3 2x4 5,
x1 4x2 7x3 6x4 0.
解 2 1 5 1 1 3 0 6
D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2 r2 r4 r2
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
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13
三、小结
1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数； (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解 和已知的系数以及常数项之间的关系．
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14
1 1 1
如果齐次方程组有非零解，则必有 D . 0
所以 0、 时2、 齐3次方程组有非零解.
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12
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则 解方程组？为什么？此时方程组的解为何？
答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法 则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.
我们关心的问题是齐次线性方程组除零解以外是否存齐次线性方程组的相关定理定理5如果齐次线性方程组的系数行列式定理5如果齐次线性方程组有非零解则它的系数行列式必这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件
§7 克拉默法则
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1
二元线性方程组
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
设 a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1 a22x2 a2nxn b2
(1)
an1x1 an2x2 annxn bn
线性代数课件1-7克拉默法则
克拉默法则也可以用来判断线性方程 组的解的情况，通过计算系数行列式 和常数项的乘积，可以判断方程组是 否有唯一解、无解或无穷多解。
VS
如果系数行列式不为零，则方程组有 唯一解；如果系数行列式为零但常数 项的乘积不为零，则方程组无解；如 果系数行列式为零且常数项的乘积为 零，则方程组有无穷多解。
解决实际问题的应用
克拉默法则可以用来解线性方程组，通过将方程组转化为行列式形式，然后利用行列式的性质进行求 解。
具体步骤包括将方程组整理成标准形式，计算系数行列式和常数项的乘积，然后求解每个未知数的值。
需要注意的是，克拉默法则只适用于线性方程组有唯一解的情况，对于无解或无穷多解的情况不适用。
判断线性方程组的解的情况
克拉默法则可以作为迭代解法的一种基础算法， 用于计算迭代过程中的系数矩阵和常数矩阵。
3
求解步骤
在迭代解法中，需要设定合适的迭代初值，然后 通过迭代公式不断逼近方程的解，直到达到预设 的精度要求。
05
克拉默法则的注意事项与 限制
系数矩阵的行列式必须不为零
克拉默法则要求系数矩阵的行列式不为零，否则该法则无法应用。这是因为行列式为零意味着矩阵是奇异的，此时线性方程 组可能无解或有无穷多解，克拉默法则不再适用。
线性代数课件1-7克 拉默法则
目录
• 克拉默法则概述 • 克拉默法则的推导过程 • 克拉默法则的应用实例 • 克拉默法则的扩展与推广 • 克拉默法则的注意事项与限制
01
克拉默法则概述
克拉默法则的定义
克拉默法则定义
克拉默法则是指对于线性方程组，如果系数行列式不为0，则方 程组有唯一解，且其解可以通过系数行列式与常数列的转置矩 阵的行列式之商来求解。
克拉默法则给出了线性方程组解的表达式，该表达式基于 系数矩阵的行列式值和代数余子式。通过计算这些值，可 以得到线性方程组的解。
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例 1.1.1 计算行列式
3 1 1 D 2 4 0
1 5 7
解 利用三阶行列式的展开式（1.1.5），得
当线性方程组(1.3.1)的常数项b1,b2,..., bn 全为零时，即
a11x1 a12 x2 ... a1n xn 0,
a21x1 a22 x2 ... a2n xn 0,
(5 )(2 )(8 ) 0 ， 解得
5或 2或 8.
主观题 10分
已知齐次线性方程组
x1 kx2 x3 0, kx1 x2 x3 0, 2x1 x2 x3 0. (1)k为何值时，该齐次方程组只有零解？ (2)k为何值时，该齐次方程组有非零解？
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a11 a12 ... a1n
a21
a22
...
a2n
0,
an1 an2 ... ann
那么，线性方程组(1.3.1)一定有唯一解，其解为
x1
1 Βιβλιοθήκη , x22 ,...,xn
n
,
(1.3.2)
x1
1
,
x2
2
,...,xn
n
,
(1.3.2)
其中， j ( j 1,2,..., n) 是把系数行列式 中第 j 列的元素 a1j , a2 j ,..., anj 换成方程
0 1 3 2
1 1 0 1
1 10 1 2
82, 1
82 1 1
1 0 3 2
3 1 0 1
2 4 10 2
246, 1
1 8 1 1
1 1 0 2
3 1 1 1
3 4
1 10
164, 1
1 2 8 1
1 1 3 0
31 01
4 4
410, 1 2 10
1 2 1 8
所以，此方程组的解是
例 1.3.2 如果齐次线性方程组
(25x1 ()6x12)xx22
2x3
0 0
2x1
(4 )x3 0
有非零解，求 值. 解 方程组的系数行列式为
(1.3.8)
5 2 2 2 6 0 (5 )(2 )(8 ).
2 0 4
由定理 1.3.2 可知，若齐次方程组(1.3.8)有非零解， 则它的系数行列式 0，即
作答
2. 运用克拉默法则讨论 齐次线性方程组的解
克拉默法则为我们提供了一种新的求解 n 元线性方 程组的方法，可是计算过程中要求n 1个行列式的值， 计算的繁琐程度随未知量的个数的增多而增加，因此， 后面还会对方程组的求解方法做进一步的探讨. 那么 克拉默法则还有什么作用呢？下面看利用克拉默法则 是怎样讨论齐次线性方程组的解的.
.
目录
1.克拉默法则 2.运用克拉默法则讨论齐次线性方程组的解
1. 克拉默法则
在第一节中曾用二、三阶行列式讨论过 二元和三元一次线性方程组的解，设想能不 能用 n 阶行列式来求解 n 个方程构成的 n 元 一次线性方程组呢？如果能，解的表达式是 不是与前面所述类似呢？现在来分析这些 问题.
1. 克拉默法则
例 1.3.1 解线性方程组
x1 x2 3x3 2x4 0,
34xx11
x2 x2
2x3
x4 x4
1, 10,
x1 2x2 x3 x4 8.
解 方程组有 4 个方程和 4 个未知量，系数行列式为
1 1 3 2
3 1 0 1
82 0.
4 1 2 1
1 2 1 1
根据克拉默法则，此线性方程组有唯一解. 又因为
(1.3.3)
注意，用克拉默法则求解含有 n 个方程、n 个未知 量的线性方程组，有两个条件必须要满足：
1. 方程组中方程的个数与未知量的个数相等； 2. 方程组的系数行列式不等于零，即 0.
当一个线性方程组满足上述两个条件时，我们得 到结论：此方程组的解存在；此方程组的解唯一；此 方程组的解是(1.3.2)式.
x1
1
1, x2
2
3, x2
3
2, x2
4
5.
主观题 10分
用克拉默法则解方程组：
2x1 2x2 x3 x4 4, 4x1 3x2 x3 2x4 6, 8x1 5x2 3x3 4x4 12, 3x1 3x2 2x3 2x4 6.
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设含有 n 个方程、n 个未知数 x1, x2 ,..., xn
的线性方程组为
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1,
a21x1 a22 x2 ... a2n xn b2 ,
......
an1x1 an2 x2 ... ann xn bn.
(1.3.1)
定理 1.3.1(克拉默法则) 如果线性方程组(1.3.1)的系数行列 式为
(1.3.7)的唯一解是
x j 0 ( j 1,2,..., n).
全部由零组成的解叫做零解.
于是我们得到一个结论： 推论 1.3.1 如果齐次线性方程组(1.3.7)的系数行 列式 0，则它只有唯一零解. 另外，当齐次线性方程组有非零解时，必定有它的 系数行列式 0. 这是齐次线性方程组有非零解的必 要条件. 由此我们得到结论： 定理 1.3.2 如果齐次线性方程组(1.3.7)有非零解， 则它的系数行列式 0 . 关于齐次线性方程组何时有非零解，即齐次线性方 程组有非零解的充分条件，非零解如何去求，将会在 第 3 章中详细讨论.
......
an1x1 an2 x2 ... ann xn 0.
(1.3.7)
线性方程组(1.3.7)称为齐次线性方程组.
对于齐次线性方程组(1.3.7)，由于行列式 j 中第 j 列的元素都是零，所以 j 0( j 1,2,..., n) .当线性方程组 (1.3.7)的系数行列式 0 时，根据克拉默法则，
组右端的常数列b1,b2,..., bn ，而其余各列不变所得到的 n 阶行列式，即
a11 ... a1, j1 b1
j
a21
... a2, j1
b2
an1 ... an, j1 bn
a1, j1
a2, j1
... a1n
... a2n
an, j1 ... ann
( j 1,2,...,n).
作答
习题1-3 1. 2. 3.
作业