高等数学第二章2.1 2.2部分
高等数学教材二目录
高等数学教材二目录第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的概念及基本性质1.3 极限的运算法则1.4 无穷小与无穷大1.5 一元函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质2.2 基本函数的导数2.3 高阶导数与隐函数求导2.4 微分的概念及其应用2.5 泰勒公式与应用第三章：函数的应用3.1 函数的单调性与极值3.2 函数的最值与最值问题3.3 简单的应用问题3.4 分类讨论与探究第四章：不定积分4.1 不定积分的概念与基本性质 4.2 基本积分公式与换元法4.3 牛顿-莱布尼茨公式与应用 4.4 微分方程的基本概念4.5 可降次的微分方程第五章：定积分与定义5.1 定积分的概念与性质5.2 积分中值定理与应用5.3 积分的换元法与分部积分 5.4 可积函数与不可积函数5.5 微元法与应用第六章：定积分的应用6.1 曲线下的面积与弧长6.2 旋转体的体积与侧面积6.3 质量、质心与转动惯量6.4 弹性势能与物体受力6.5 场景模拟与实际问题第七章：多元函数的偏导数与全微分 7.1 二元函数与偏导数7.2 偏导数的连续性与可导性7.3 二元函数的全微分与近似计算 7.4 复合函数的求导法则7.5 总微分与偏导数的几何意义第八章：多元函数的积分8.1 二重积分的概念与性质8.2 二重积分的计算方法8.3 三重积分与坐标变换8.4 曲线与曲面的面积8.5 曲线积分与曲面积分第九章：无穷级数9.1 数列及其极限9.2 级数的概念与性质9.3 正项级数的审敛法与上下界9.4 绝对收敛与条件收敛9.5 幂级数与函数展开第十章：常微分方程10.1 常微分方程的基本概念10.2 一阶线性微分方程10.3 高阶线性常微分方程10.4 非齐次线性微分方程10.5 高阶线性方程的振动与抽样总结：通过本教材的学习，读者将对高等数学的核心概念及其应用有深入的了解。
每个章节都涵盖了特定的数学内容，从函数与极限开始深入探讨到常微分方程的应用。
高等数学系列教材目录表
高等数学系列教材目录表第一章：极限与连续1.1 极限的概念1.2 极限的运算法则1.3 无穷小与无穷大1.4 一元函数的连续性第二章：函数的导数与微分2.1 导数的定义2.2 导数的基本运算法则2.3 高阶导数与高阶微分2.4 隐函数与参数方程求导第三章：一元函数的微分学应用3.1 最值与最值存在条件3.2 凹凸性与拐点3.3 曲线的渐近线3.4 微分中值定理与Taylor公式第四章：不定积分4.1 不定积分的概念4.2 基本积分表与换元法4.3 分部积分与定积分的计算4.4 函数积分的性质第五章：定积分5.1 定积分的概念5.2 定积分的计算方法5.3 反常积分5.4 定积分的应用第六章：微分方程6.1 常微分方程的基本概念6.2 可分离变量与齐次方程6.3 一阶线性微分方程6.4 高阶线性微分方程第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的极限与连续7.2 多元函数的偏导数7.3 隐函数与参数方程的偏导数7.4 多元函数的全微分第八章：重积分8.1 二重积分的概念与计算8.2 极坐标系下的二重积分8.3 三重积分的概念与计算8.4 数值积分与重积分的应用第九章：曲线曲面积分9.1 第一类曲线积分9.2 第二类曲线积分9.3 曲面积分的概念与计算9.4 应用实例解析第十章：无穷级数10.1 数项级数的概念与性质10.2 收敛级数的判定10.3 幂级数与函数展开10.4 泰勒级数与麦克劳林级数第十一章：常微分方程11.1 一阶常微分方程11.2 高阶常微分方程11.3 实际问题建模与解答11.4 系统常微分方程第十二章：向量代数与解析几何12.1 向量空间与基底12.2 向量的内积与外积12.3 线性方程组与矩阵12.4 空间曲线与曲面第十三章：多元函数微分学的应用13.1 梯度与方向导数13.2 多元函数的极值与最值条件13.3 二次型与正定性13.4 特征值与特征向量第十四章：多元积分学14.1 二重积分的计算技巧14.2 三重积分的计算技巧14.3 坐标变换与积分的几何应用14.4 曲线曲面积分的计算方法第十五章：无穷级数的应用15.1 幂级数的收敛域与函数展开15.2 Fourier级数与函数展开15.3 数学物理方程的解析解15.4 波动方程与热传导方程第十六章：曲线积分与曲面积分的应用16.1 曲线积分的物理应用16.2 曲面积分的物理应用16.3 物理场的散度与旋度16.4 应用实例解析与计算第十七章：多元函数的傅里叶级数17.1 多元函数的Fourier级数展开17.2 空间中的Fourier级数与Fourier变换17.3 矢量值函数的Fourier级数展开17.4 傅里叶级数的物理应用第十八章：向量场与格林公式18.1 向量场的数学描述18.2 向量场的积分与路径无关性18.3 格林公式的证明与应用18.4 微分形式与斯托克斯公式这是一份高等数学系列教材的目录表，涵盖了极限与连续、函数的导数与微分、微分方程、重积分、曲线曲面积分、无穷级数、向量代数与解析几何、多元函数微分学的应用等主要内容。
高等数学基础教材目录
高等数学基础教材目录目录第一章导论1.1 数学的基本概念和历史1.2 高等数学的学习方法和技巧第二章极限与连续2.1 函数的极限2.1.1 定义与性质2.1.2 无穷小量和无穷大量2.2 连续性与间断点2.2.1 连续函数的基本性质2.2.2 间断点的分类与性质第三章微分学3.1 导数的概念与性质3.1.1 导数的定义3.1.2 函数的可导性与可导函数的性质3.2 微分中值定理与导数的应用3.2.1 罗尔定理及其应用3.2.2 拉格朗日中值定理3.2.3 柯西中值定理3.3 高阶导数与导数的计算3.3.1 高阶导数的定义3.3.2 高阶导数的计算方法和性质第四章积分学4.1 不定积分与定积分4.1.1 不定积分的定义与性质4.1.2 定积分的定义与性质4.2 积分的计算方法4.2.1 基本积分公式4.2.2 换元积分法4.2.3 分部积分法4.3 定积分的几何应用4.3.1 曲线长度与曲面面积的计算 4.3.2 平面图形的面积第五章无穷级数5.1 数项级数的概念与性质5.1.1 部分和与数项级数5.1.2 数项级数的收敛与发散5.2 收敛级数的性质与判别法5.2.1 收敛级数的四则运算5.2.2 正项级数的判别法5.2.3 任意项级数的判别法5.3 幂级数与函数展开5.3.1 幂级数的定义与性质5.3.2 幂级数的收敛域与展开函数第六章函数序列与函数级数6.1 函数序列的收敛与一致收敛6.1.1 函数序列的点态收敛与一致收敛 6.1.2 一致收敛的性质6.2 函数级数的收敛与一致收敛6.2.1 函数级数的和函数6.2.2 函数级数的一致收敛性质6.3 傅里叶级数与函数逼近6.3.1 傅里叶级数的定义6.3.2 函数逼近的应用第七章多元函数微分学7.1 多元函数的极限与连续7.1.1 多元函数的极限定义7.1.2 多元函数的连续性7.2 偏导数与全微分7.2.1 偏导数的定义与性质7.2.2 全微分的定义与性质7.3 多元函数的链式法则与隐函数定理 7.3.1 多元函数的链式法则7.3.2 多元函数的隐函数定理与参数方程第八章多元函数积分学8.1 重积分的定义与性质8.1.1 二重积分的定义8.1.2 三重积分的定义8.2 重积分的计算方法8.2.1 二重积分的计算8.2.2 三重积分的计算8.3 曲线积分与曲面积分8.3.1 曲线积分的定义与性质8.3.2 曲面积分的定义与性质第九章向量代数与空间解析几何 9.1 空间直角坐标系与坐标变换 9.1.1 空间直角坐标系的表示9.1.2 坐标变换与向量的坐标表示 9.2 向量的数量积与叉积9.2.1 向量的数量积的定义与性质 9.2.2 向量的叉积的定义与性质 9.3 空间中的直线与平面9.3.1 点、直线与平面的基本性质 9.3.2 直线与平面的方程式第十章偏微分方程10.1 偏微分方程的基本概念与分类10.1.1 偏微分方程的定义和分类10.1.2 偏微分方程的解的概念10.2 二阶线性偏微分方程的基本理论10.2.1 椭圆型方程、抛物型方程和双曲型方程 10.2.2 二阶线性偏微分方程的解法10.3 常见偏微分方程的应用10.3.1 热传导方程10.3.2 波动方程10.3.3 拉普拉斯方程第十一章级数展开与特殊函数11.1 正弦级数与余弦级数11.1.1 正弦级数的展开11.1.2 余弦级数的展开11.2 幂级数的展开与特殊函数11.2.1 幂级数的收敛域11.2.2 阶乘函数与伽玛函数11.3 勒让德多项式与贝塞尔函数11.3.1 勒让德多项式的定义与性质11.3.2 贝塞尔函数的定义与性质第十二章多元函数的微分学应用12.1 最值与条件极值12.1.1 多元函数的最值问题12.1.2 多元函数的条件极值问题12.2 多元函数的极值和最值求法12.2.1 概率与极值问题12.2.2 三元函数的最值问题的求解总结附录：数学符号与术语解释参考文献注：本教材目录仅供参考，具体编排、内容和章节划分可根据实际情况进行调整和修改。
高等数学第二章导数与微分
x0
x
瞬时变化率
点导数是因变x0量 处在 的点 变化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度
根据导数定义求导，可分为如下三个步骤：
( 1 ) 求y 增 f( x 量 x ) f( x );
曲线 y = f (x)在点x0处的切线斜率
tan lim y
x0 x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0）
f x0
左右导数
设函数 y = f (x)在点x0的某一个邻域内有定义.
假设极限l i m x 0
－
y x
存在，那么称 y = f (x)在点 x0 左可 导，
且称此极限值为函数 y = f (x) 在点 x0 的左导数，
解：由导数的几何意义, 得切线斜率为
k
y
x1 2
1 x
x 1 2
1 x2
x1 2
4.
切线方程为 y24x12, 即 4 xy 4 0 .
法线方程为
y
2
1 4
x
12,
即 2 x 8 y 1 5 0 .
2.1.4 函数的可导性与连续性的关系
〔1〕假设 f (x)在 x0点可导，那么它在 x0点必连续.
记作 f(x0 ). 同样可定义右导数： f(x0 ).
f (x)在x0可导的充要条件是： f (x)在 x0 既左可导
又右可导，且 f (x0)f (x0). 即 f(x0)存在 f (x 0 )f (x 0 )存 在 .
导函数的概念
假设函数 y = f (x)在开区间I内每一点都可导，那么称
f (x)在I 内可导. 此时对xI, 有导数 f ( x ) 与之
高等数学讲义第二章
⾼等数学讲义第⼆章24 第⼆章⼀元函数微分学§2.1 导数与微分（甲）内容要点⼀、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，⾃变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量)()(00x f x x f y -?+=?。
如果极限x x f x x f x yx x ?-?+=??→?→?)()(lim lim0000存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。
如果上⾯的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
导数定义的另⼀等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则0000()()()l i mx x f x f x f x x x →-'=- 我们也引进单侧导数概念。
右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→?→-+?-'==-? 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→?→-+?-'==-? 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
程：000()()()y f x f x x x '-=-25法线⽅程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表⽰物体在时刻0t 时的瞬时速度。
3．函数的可导性与连续性之间的关系如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处⼀定连续，反之不然，即函数)(x f y =在点0x 处连续，却不⼀定在点0x 处可导。
高等数学第七版教材目录
高等数学第七版教材目录第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的概念与性质1.3 极限运算法则1.4 无穷小与无穷大1.5 极限存在准则1.6 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 导数的计算2.3 高阶导数与导数的应用2.4 微分的概念与性质2.5 微分中值定理2.6 隐函数与参数方程的求导第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理3.2 函数的单调性与曲线的凸凹性3.3 泰勒公式与函数的近似计算3.4 误差估计与导数的应用3.5 函数的图形与曲线的切线与法线第四章：积分与微分方程4.1 不定积分与定积分4.2 定积分的应用4.3 定积分的计算4.4 定积分中值定理与变限积分4.5 微积分基本定理4.6 微分方程的基本概念第五章：多元函数微分学5.1 二元函数的极限与连续性5.2 偏导数与全微分5.3 多元复合函数的求导法则5.4 隐函数与参数方程的求导5.5 多元函数的极值问题5.6 条件极值与拉格朗日乘数法第六章：重积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算6.3 二重积分的应用6.4 三重积分的概念与性质6.5 三重积分的计算6.6 三重积分的应用第七章：曲线与曲面积分7.1 曲线积分的概念与性质7.2 曲线积分的计算7.3 曲线积分的应用7.4 曲面积分的概念与性质7.5 曲面积分的计算7.6 曲面积分的应用第八章：无穷级数8.1 数项级数的收敛性与敛散性8.2 正项级数的审敛法8.3 一般级数的审敛法8.4 幂级数与幂函数8.5 傅里叶级数的概念与性质8.6 傅里叶级数的计算第九章：常微分方程9.1 微分方程的基本概念9.2 一阶微分方程的解法9.3 高阶微分方程的解法9.4 变量可分离方程与齐次方程9.5 常系数线性微分方程9.6 非齐次线性微分方程的特解第十章：数值计算方法10.1 插值多项式与拉格朗日插值10.2 牛顿插值与分段插值10.3 数值积分与复化公式10.4 数值微分与数值解微分方程10.5 常微分方程的数值解法10.6 线性方程组的数值解法通过以上目录，我们可以清楚地了解到高等数学第七版教材涵盖的知识内容。
高等数学基础教材上册目录
高等数学基础教材上册目录【高等数学基础教材上册目录】第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义与性质1.3 函数的连续性与间断点第二章：导数与微分2.1 导数的定义与求导法则2.2 函数的微分与近似计算2.3 高阶导数与高阶微分第三章：一元函数的应用3.1 函数的单调性与极值3.2 函数的图像与曲线的凸凹性3.3 驻点与拐点的判定方法第四章：多元函数及其微分学4.1 多元函数的概念与性质4.2 偏导数与全微分4.3 隐函数与参数方程的偏导数第五章：一元函数积分学5.1 不定积分与不定积分法5.2 定积分的概念与性质5.3 定积分的计算方法第六章：多元函数积分学6.1 二重积分的概念与性质6.2 三重积分的概念与性质6.3 曲线积分与曲面积分第七章：常微分方程7.1 一阶常微分方程与初值问题7.2 二阶常系数线性齐次微分方程7.3 高阶线性齐次微分方程第八章：级数与幂级数8.1 数项级数的概念与性质8.2 幂级数的收敛半径与和函数8.3 函数的泰勒展开与幂级数展开第九章：常微分方程的级数解法9.1 二阶微分方程的级数解法9.2 非齐次线性微分方程的级数解法9.3 常微分方程组的级数解法第十章：线性代数基础10.1 向量与矩阵的基本概念与运算10.2 线性方程组的解法与矩阵的初等变换10.3 矩阵的特征值与特征向量第十一章：线性方程组与矩阵的应用11.1 矩阵的相似对角化与对角化的应用11.2 线性方程组稳定性分析11.3 矩阵的二次型与正定性判定第十二章：多元函数的泛函分析12.1 标架空间与线性空间的性质12.2 置换算子与对称变换的特征值问题12.3 点集拓扑与连续映射第十三章：傅里叶级数与傅里叶变换13.1 傅里叶级数的基本概念与性质13.2 傅里叶级数的收敛与满足条件的函数展开13.3 傅里叶变换的基本概念与性质第十四章：常微分方程的变分法14.1 非定常泛函与泛函极值问题14.2 欧拉方程与最小作用量原理14.3 约束条件下的变分问题第十五章：偏微分方程的基本理论15.1 偏微分方程基本概念与分类15.2 二阶线性偏微分方程的特征方程与性质15.3 分离变量法与定解问题的解法这是《高等数学基础教材上册》的目录，让我们逐步深入了解高等数学的各个领域与概念。
新编高等数学第二章
2.1.2 收敛数列的性质
定理2.1 （极限的唯一性）收敛数列{an}的极限是唯一的. 定理2.2 （收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界.
推论2.1 有界数列未必收敛，无界数列必定发散. 例如，数列(－1)n是有界数列，但它是发散的；数列2n 是无 界数列，且它是发散的.
即 由函数f(x)在x=1处极限存在的充要条件可知，
例
【例2-4】设函数 证明
，证明：当x→0时，f(x)的极限不存在. 因为 ，所以 不存在.
2.2 函数的极限
2.2.2极限的四则运算法则 定理2.3（极限四则运算法则）设在自变量x的同一变 化过程中,极限limf（x）及limg（x）都存在,则有
第 二 章
极限与连续
2.1 数列的极限
目录
2.2 函数的极限
2.3 两个重要极限 2.4 函数的连续性 2.5 应用示例 2.6 数学实验二
2.1 数列的极限
2.1.1数列极限的定义
在中学，我们已经学过数列的概念.按一定顺序排列的 无穷多个数x1，x2，…xn，…
极限的概念是由求实际问题的精
确解答而产生的.我国古代数学 家刘徽于公元263年创立了“割
例
解 做出函数y=2x的图像（见图2-6），可以看出 故limx→∞2x不存在.
2.2 函数的极限
2.当x→x0时，函数f(x)的极限
先从图像上考察两个函数f(x)=x+2与f(x)=（x2－4）/（x－2），如图2-7所示.
微课:当x→x0时， 函数f(x)的极限
图 2-7
从图2-7中不难看出，当x无限接近于2时，f(x)=x+2无限趋近于4，f(x)=x2－4x－2也无限趋近
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看左右导数是否存在且相等.
思考与练习
1. 函数 在某点 处的导数 有什么区别与联系 ?
与导函数
区别:
是函数 ,
是数值;
联系:
注意:
？
2. 设
存在 , 则
3. 已知 4. 若
可导? 解: 由题设
由夹逼准则
则
时, 恒有
问
是否在
故在 可导, 且
解: 1) 设
则
,则
类似可求得
利用
2) 设
则
特别当
时,
小结:
三、复合函数求导法则
定理3.
在点 x 可导,
可导
复合函数
在点 在点 x 可导, 且
证: 故有
在点 u 可导, 故 （当
时
)
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 例如,
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例4. 求下列导数: 解: (1)
1.
对吗?
2. 设
其中 在
在求
时, 下列做法是否正确?
因 故
正确解法:
处连续,
3. 求下列函数的导数
解: (1) (2) 或
4. 设
求
解: 方法1 利用导数定义.
方法2 利用求导公式.
思考题 设
求
解：
2.设 解:
其中 可导, 求
(当
时)
切线 MT 的斜率
割线 M N 的斜率
瞬时速度
切线斜率
两个问题的共性:
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有:
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 变
角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 化
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
率 问
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限 题
法线方程:
例7. 问曲线 的切线与直线
哪一点有垂直切线 ? 哪一点处 平行 ? 写出其切线方程.
解:
故在原点 (0 , 0) 有垂直切线
令
得
对应
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线 平行的切线方程分别为
即
四、 函数的可导性与连续性的关系
定理1.
证: 设
在点 x 处可导, 即
存在 , 因此必有
思路:
( 构造性定义 ) 本节内容
求导
其它基本初等 函数求导公式
初等函数求导问题
一、四则运算求导法则
定理1. 的和、差、积、商 (除分母
为 0的点外) 都在点 x 可导, 且
下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 .
证: 设
,则
故结论成立. 此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
简写为
存在
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右(左) 连续.
若函数
在开区间
内可导,且
与
都存在 , 则称 在闭区间
上可导.
显然:
在闭区间 [a , b] 上可导
内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限; 2. 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 :
二、导数的定义
定义1 . 设函数
若
在点 的某邻域内有定义 ,
存在, 则称函数
在点 处可导, 并称此极限为
在点 的导数. 记作:
即
运动质点的位置函数 在 时刻的瞬时速度
曲线
在 M 点处的切线斜率
说明: 在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 不可导.
(2) (3) 说明: 类似可得
例5. 设
求
解:
思考: 若 存在 , 如何求
这两个记号含义不同 练习: 设
的导数?
例6. 设 解:
记 (反双曲正弦)
则
的反函数
四、初等函数的求导问题
1. 常数和基本初等函数的导数
2. 有限次四则运算的求导法则
( C为常数 )
3. 复合函数求导法则
说明: 最基本的公式
若
也称
在 的导数为无穷大 .
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导. 此时导数值构成的新函数称为导函数.
记作:
注意:
例1. 求函数 解:
即 例2. 求函数 解:
(C 为常数) 的导数.
说明： 对一般幂函数
例如，
( 为常数)
（以后将证明）
例3. 求函数
解:
则
的导数.
即 类似可证得
第二章 导数和微分
2.1 导数的概念
• 引例 • 导数的定义 • 导数的几何意义 • 导数可导和连续性的关系 • 单侧导数
一、 引例
1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为 而在 时刻的瞬时速度为
自由落体运动
2. 曲线的切线斜率
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
5. 设
, 问 a 取何值时,
在
都存在 , 并求出 解: 显然该函数在 x = 0 连续 .
故
时
此时
在
都存在,
思考题
1. 设 存在, 且
求
解: 因为
所以
2. 设 在
在
处连续, 且
处可导.
证：因为
存在，则有
又在
处连续, 故
所以
即
在
处可导.
存在，证明:
2.2 函数的求导法则
• 四则运算求导法则 • 反函数求导法则 • 复合函数求导法则 • 例题
(2)
证: 设
则有
推论:
故结论成立. ( C为常数 )
例1. 解:
(3)
证: 设
则有
推论:
故结论成立. ( C为常数 )
例2. 求证 证:
类似可证:
二、反函数的求导法则
定理2. y 的某邻域内单调可导,
证: 在 x 处给增量
由反函数的单调性知
且由反函数的连续性知
因此
例3. 求反三角函数及指数函数的导数.
4. 初等函数在定义区间内可导, 由定义证 , 其它公式
且导数仍为初等函数
用求导法则推出.
例7. 解:
例8. 设 解:
求 求
例9.
求
解:
关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导
例10. 设
求
解:
内容小结
求导公式及求导法则 注意: 1)
2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .
思考与练习
例4. 求函数 解:
的导数.
或
即
例5. 证明函数 证:
在 x = 0 不可导.
不存在 ,
例6. 设
存在, 求极限
是否可按下述方法作: 解: 原式
原式
三、 导数的几何意义
曲线
在点
的切线斜率为
若
曲线过
上升;
若
曲线过
下降;
若
切线与 x 轴平行, 称为驻点;
若
切线与 x 轴垂直 .
曲线在点
处的
切线方程:
其中
故
所以函数
在点 x 连续 .
注意: 函数在点 x 连续未必可导.
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导.
五、 单侧导数
定义2 . 设函数 有定义, 若极限
在点 的某个右 (左) 邻域 内
存在,则称此极限值为 在 处的右(左) 导数,记作
即 例如,
在 x = 0 处有
定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且