三线合一解题说课讲解
初中数学-暑假第2讲-三线合一-学生版
三线合一知识讲授等腰三角形的“三线合一”性质应用十分广泛，可以利用它来巧妙地证明角相等、线段相等或直线垂直等问题．1．三角形的“三线”是指三角形中的高线、中线及角平分线。
2．“三线合一”定理在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。
简记为“三线合一”。
（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）（1）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：∠BAD=∠CAD，BD=CD。
证明：∵AB=AC，AD⊥BC，AD=AD∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）∴∠BAD=∠CAD，BD=CD总结：等腰三角形中，底边的高线，既是顶角平分线也是底边中线。
（2）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，求证：AD⊥BC，BD=CD。
证明：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SAS）∴∠BDA=∠CDA，BD=CD又∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，BD=CD总结：等腰三角形中，顶角平分线，既是底边高线也是底边中线。
（3）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD=CD，求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD。
证明：∵AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SSS）∴∠BDA=∠CDA，∠BAD=∠CAD又∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD总结：等腰三角形中，底边中线，既是底边高线也是顶角平分线。
3．“三线合一”逆定理在三角形中，高线、中线、角平分线中只要两线重合，则可推出这条线也是第三条线，且这个三角形为等腰三角形。
简言之：两线合一，必等腰。
（1）如图，在△ABC中，BD=CD，AD⊥BC，求证：AB=AC，∠BAD=∠CAD。
证明：∵BD=CD，AD⊥BC，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SAS）∴AB=AC，∠BAD=∠CAD总结：在三角形中，高线和中线重合，则这条线也为角平分线，且三角形为等腰三角形。
专训2“三线合一”解题的六种技巧
专训2 “三线合一”解题的六种技巧名师点金：等腰三角形中的“顶角平分线、底边上的鬲、底边上的中线”只要知道其中 “一线"，就可以说明是其他“两线"・运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角柏等. 线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解題过程.遺支L 利用“三线合一”求角L 如图，房屋顶角ZBAC=1（K ）\过屋顶A 的立柱AD 丄BC,屋檐AB=AC ・求顶架上 的ZB, ZC, ZBAD, ZCAD 的度数.边I 空Z 利用“三线合一”求线段2. 如图，在△ABC 中，AB=AC. AD=DB ・ DE 丄AB 于点 E,若 BC=10.且△BDC 的周长为24,求AE 的长.C （第1题）DC （第2払啜｝利用"三线合一”证线段（角）相等3.已知△ABC 中，ZBAC=90。
，AB=AC, D 为 BC 的中点.（1）如图①，E, F 分别是AB, AC 上的点，且BE=AF, 理由.（2）如图②，若E, F 分別为AB. CA 的延长线上的点, 是否仍有⑴中的形状，并说明理由.沖I 空您利用“三线合一"证垂直4.如图，在△ABC 中，AC=2AB, AD 平分ZBAC, E 是AD 上一点，且EA=EC ・ 求证：EB 丄AB ・试判断△DEF 的形状，并说明 且仍有BE=AE 请判断ADEF C（第3:損烝利用"三线合一”证线段的倍数关系（构造三线法）5•如图，已知等腰宜角三角形ABC 中,AB=AC,ZBAC=90o,BF 平分ZABC,CD 丄BD 交BF 的延长线于点D ・试说明：BF=2CD ・渔I 氏®利用“三线合一"证线段的和差关系（构造三线法）6.如图，在△ABC 中，AD 丄BC 于点D.且ZABC=2ZC.试说明j CD=AB + BD ・答案L 解：因为 AB=AC, ZBAC=100^ AD 丄BC,所以ZB=ZC=40。
秋沪科版(安徽专版)八年级数学上册课件：15.3.4 活用“三线合一”巧解题 (共19张PPT)
技巧 5 利用“三线合一”证垂直
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D， O是AE上一动点(不与A重合)，且OB＝OC，试猜想 AE与BC的关系，并说明理由．
解：猜想：AE垂直平分BC，即AE⊥BC，BD＝CD. 理由如下：∵AB＝AC，OB＝OC，AO＝AO， ∴△ABO≌△ACO(SSS)，∴∠BAO＝∠CAO. ∴AE⊥BC，BD＝CD(等腰三角形三线合一)．
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梦栖皖水江畔 心驻黄山之巅 情系安徽学子 相约《点拨训练》
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技巧 6 利用“三线合一”证角的倍分关系
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D， 求证：∠DBC＝ ∠BAC.
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证明：过点A作AF⊥BC于点F.
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠CAF＝∠BAF＝ ∠BAC.
∵AF⊥BC，BD⊥AC1 ， ∴∠CAF＋∠C＝∠D2 BC＋∠C＝90°.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
证明：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱAB＝AC，∴△ABC是等腰三角形． ∵AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD. ∴∠CAD＋∠C＝90°. ∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝90°. ∴∠CBE＝∠CAD. ∴∠CBE＝∠BAD.
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技巧 8 利用“三线合一”证线段的和差关系
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C. 求证：CD＝AB＋BD.
证明：如图，以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连接 AE，则AE＝AB，所以∠AEB＝∠ABC.又因为AD⊥BC， 所以AD是BE边上的中线，即DE＝BD.又因为∠ABC＝ 2∠C，所以∠AEB＝2∠C.而∠AEB＝∠CAE＋∠C， 所以∠CAE＝∠C.所以CE＝AE＝AB， 故CD＝CE＋DE＝AB＋BD.
等腰三角形《三线合一》公开课教案(20141003)-推荐下载
课题“三线合一”解决问题授课班级二（3）授课人课型复习课教法讲练结合授课时间2014年10月3日教学目标1．准确地理解等腰三角形的底边上高、中线、顶角的平分线2． 复习巩固等腰三角形的“三线合一”并解决问题教学重点怎样利用等腰三角形的“三线合一”来解决问题教学难点如何做辅助线以达到解决问题教学过程引入：某地地震后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平？在等腰直角三角尺斜边中点拴一条ACB线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们确信房梁是水平的，他们的判断对吗？为什么？回顾： 等腰三角形三线合一性质是怎么叙述的?等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合.（1）.等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线、底边上的高线.∵△ABC 中,AB=AC,∠BAD=∠CAD ∴ ，（2）等腰三角形底边上的中线也是的顶角平分线、 底边上的高线.∵△ABC 中,AB=AC ，BD=CD∴ ，（3）.等腰三角形的底边上的高线也是顶角平分线、底边上的中线.∵△ABC 中,AB=AC, AD⊥BC∴ ，例题评析（1）如图，已知AB=BC ，D 是AC 的中点，∠A=34°，则∠DBC= 度.（2）△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 上的高DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E 、F.指出图中各对相等的线段，且说明理由. (3)如图，∠A=∠D=90°,AB=CD，AC 与BD 相交于点F ，E 是BC 的中点.求证：∠BFE=∠CFE.证明：∵∠1=∠2（对顶角相等） ∠A=∠D=90° AB=CD ∴△ABF≌△DCF（AAS ）∴BF=CF∴ △BCF 是等腰三角形 又 E 是BC 的中点 ∴EF 是∠BFC 的角平分线∴ ∠BFE=∠CFE.(三线合一)（4）已知，等边三角形ABC ，D 是AC 的中点，点E 在BC 的延长线上，且CE =CD 。
1 活用“三线合一”解题的六种技巧
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技巧 2 利用“三线合一”求线段的长
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB 于点E，若BC＝10，且△BDC的周长为24，求AE 的长．
解：∵△BDC的周长＝BD＋BC＋CD＝24，BC＝10，
∴BD＋CD＝14.
∵AD＝BD，
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/172021/9/172021/9/172021/9/179/17/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月17日星期五2021/9/172021/9/172021/9/17 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/172021/9/172021/9/179/17/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/172021/9/17September 17, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/172021/9/172021/9/172021/9/17
第1章 三角形的证明
双休作业(一) 1 活用“三线合一”解题的六种技巧
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技巧 1 利用“三线合一”求角
1．如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱 AD⊥BC，垂足为D，AB＝AC，求∠B，∠C， ∠BAD，∠CAD的度数．
解： ∵ AB ＝ AC ， ∠ BAC ＝ 100° ， AD⊥BC，
专题6 妙用三线合一巧解题（含答案）
专题6 妙用三线合一巧解题知识解读三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
三线合一的几种应用：如图2－6－1，在△ABC 中，①若AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，则AD ⊥BC ，BD ＝CD ； ②若AB ＝AC ，AD ⊥BC ，则∠BAD ＝∠CAD ，BD ＝CD ；③若AB ＝AC ，BD ＝CD ，则∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ；④若∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ，则AB ＝AC ，BD ＝CD ； ⑤若∠BAD ＝∠CAD ，BD ＝CD ，则AD ⊥BC ，AB ＝AC ； ⑥若AD ⊥AC ，BD ＝CD ，则AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD 。
即“AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ，BD ＝CD ”中已知其中两个结论，总能推出其他两个结论是成立的.等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义.可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等. 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
培优学案典例示范一、利用三线合一证明角度之间的倍分关系例1如图2－6－2，在△ABC 中，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于点D .求证：∠BAC ＝2∠DCB .【提示】欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，∠BAC 是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与∠DCB 的关系 【解答】D B CA图2-6-2【技巧点评】要证明一个角等于等腰三角形顶角的一半，常考虑构造等腰三角形三线合一的那根线.由这道题目，我们还可以得出这样一个常用的结论，等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.跟踪训练1.如图2-6-3①，点P 是BC 的中点，如图2-6-3②，点P 与点C 重合，如图2-6-3③，点P 在BC 的延DBC A 图2-6-1长线上，△ABC都是等腰三角形，BC为底边，PD⊥AB，∠A与∠BPD之间都存在一个相同的数量关系，请猜想这个数量关系，并就图③进行验证。
等腰三角形三线合一PPT课件
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
请同学们： 现在分别作出以下三个三角形BC边上的高、中线、角 平分线
A
A
A
C
BD
AD为高
D
CB
B DC
AD为中线
AD为角平分线
思考： 有没有可能在△ABC中，底边的高、中线以 及顶角的角平分 线都 是AD呢 ？
探 讨：
等腰三角形三线合一的定义：
等腰三角形底边上的高、底边上的中线、 顶角平分线相互重合（简记为“等腰三角 形三线合一”）.
EC⊥AB′, ED ⊥AB.
求证:CE=ED
A
C
D
B' E B
例2.已知：AB′=AB, BC ⊥ AB′.
求证:2∠1= ∠BAB′.
A
C
B
1
B'
例3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC, E在 AC 上，D 在BA的延长线上， AD=AE，连接 DE．求证：DE⊥BC．
D
A
E
BHale Waihona Puke C师生共同小结1、 等腰三角形三线合一
定义： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互 相重合 .
2、证明文字语言叙述命题的步骤.
（1）根据命题内容画图 （2）写出已知、求证。 （3）推理证明结论
• 课本P56，习题12.3第1、4、6题
写在最后
专题54 巧作三线合一构造全等三角形(解析版)
专题54 巧作三线合一构造全等三角形【专题说明】三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
【模型展示】①若AB=AC,,①若AB=AC, ,则,;①若AB=AC, ,;①若,则AB=AC, ;①若,,则①若, 则AB=AC,;等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义，可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等。
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或的倍分关系。
在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时需要作高或中线，这要视具体情况而定。
【精典例题】1.如图,已知房屋的顶角∠BAC =100∘，过屋顶A 的立柱AD ⊥BC ，屋椽AB =AC ，求顶架上∠B 、∠C 、∠BAD 、∠CAD 的度数。
解答： ∵△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =100∘∴∠B =∠C =21(180∘−∠BAC)=21(180∘−100∘)=40∘ ∵AB =AC ,AD ⊥BC ,∠BAC =100∘∴AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD =50.2.如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD =DB =BC ，DE ⊥AB 于点E ，若CD =4，且△BDC 的周长为24，求AE 的长。
解答：∵AD =DB =BC ，CD =4，且△BDC 的周长为24∴AD =DB =BC =10∴AC =14∵AB =AC∴AB =14∵AD =DB ，DE ⊥AB3.已知：三角形ABC中,∠A=90∘，AB=AC，D为BC的中点，如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形。
解答：证明：连接AD∵AB=AC,∠A=90∘，D为BC中点∴AD=BC2=BD=CD且AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=45∘在△BDE和△ADF中，BD=AD，∠B=∠DAF=45∘，BE=AF∴△BDE≌△ADF∴DE=DF，∠BDE=∠ADF∵∠BDE+∠ADE=90∘∴∠ADF+∠ADE=90∘即：∠EDF=90∘∴△EDF为等腰直角三角形。