怎样利用“三线合一”证明线段垂直
2022年初中数学利用等腰三角形的“三线合一”性质解题
现在如果把两开关C和D都按上，两条电路都接通，此时应该是1＋1，但小灯泡B只会发出同样的亮光，所以此时还是1．
这个过程我们用数学式子来表示，就是：
1＋1=1．
这正是逻辑代数的加法．
0和1这些数字，本来是代表数的．在逻辑代数里，我们知道0和1不只表示数，而且更代表一种情况．正因为这样，所以得出了1＋1不等于2的结果．1＋1不光只等于2或等于1．在采用二进制的计算方法中，1＋1是等于10．可见，我们习惯的数字计算法那么，在一些数学新概念中得出的结果不再是人们预料的．。
几何模型｜“三线合一”定理及其逆定理
几何模型｜“三线合一”定理及其逆定理北师版7年级数学，人教版8年级数学当中都会学到三角形，其中等腰三角形的“三线合一”性质应用十分广泛，可以利用它来巧妙地证明角相等、线段相等或直线垂直等问题．“三线合一”这个重要的性质，就是我们通过所说的“三线合一定理”和“三线合一逆定理”，“逆定理”是存在的，但是课本上没有，不能直接用，是需要证明的。
1．三角形的“三线”是指三角形中的高线、中线及角平分线。
2．“三线合一”定理的证明在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。
简记为“三线合一”。
（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）（1）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：∠BAD=∠CAD，BD=CD。
证明：∵AB=AC，AD⊥BC，AD=AD∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）∴∠BAD=∠CAD，BD=CD总结：等腰三角形中，底边的高线，既是顶角平分线也是底边中线。
（2）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，求证：AD⊥BC，BD=CD。
证明：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SAS）∴∠BDA=∠CDA，BD=CD∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，BD=CD总结：等腰三角形中，顶角平分线，既是底边高线也是底边中线。
（3）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD=CD，求证：AD⊥BC，∠BAD =∠CAD。
证明：∵AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SSS）∴∠BDA=∠CDA，∠BAD=∠CAD又∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD总结：等腰三角形中，底边中线，既是底边高线也是顶角平分线。
3．“三线合一”逆定理的证明在三角形中，高线、中线、角平分线中只要两线重合，则可推出这条线也是第三条线，且这个三角形为等腰三角形。
三线合一和垂径定理_解释说明以及概述
三线合一和垂径定理解释说明以及概述1. 引言1.1 概述本文主要讨论了数学几何中的两个重要概念：三线合一和垂径定理。
这两个概念在解决几何问题中起到了关键作用，并且具有广泛的应用价值。
通过深入理解和掌握这两个概念，我们可以提高解决实际问题的能力，并且对于进一步研究更复杂的几何问题也具有指导意义。
1.2 文章结构本文分为五个部分进行阐述。
首先是引言部分，主要介绍文章的背景、目的和结构。
第二部分详细介绍三线合一的定义、原理和应用，在此过程中会给出一些例题进行演练。
第三部分深入探讨垂径定理的理论说明和几何证明方法，并举例说明其实际应用案例。
在第四部分，我们将通过综合实例分析来展示如何运用三线合一和垂径定理来解决实际问题，同时比较两者在实例中的应用效果并进行总结与讨论。
最后，在结论与展望部分对本文所做工作进行总结，并提出存在问题以及未来研究方向建议。
1.3 目的本文旨在深入理解和探讨三线合一和垂径定理的概念，进而提高读者对于几何问题的解决能力。
通过详细阐述这两个概念的定义、原理和应用，并结合实际案例进行分析与讨论，本文希望读者能够全面理解这两个几何学中重要的定理，并且能够熟练运用于实践中。
同时，本文也致力于展示三线合一和垂径定理在实际问题中的应用价值，鼓励读者进一步探索数学几何领域并开展更多研究工作。
2. 三线合一:2.1 定义和解释:三线合一是指在平面几何中，三角形的三条特殊直线：高线、中位线和垂心连线的交点共线。
这个交点被称为三角形的重心。
高线是从三角形的一个顶点引出并与对边垂直相交的直线。
每个顶点都可作出一条高线。
中位线是连接三角形任意两个顶点中点的直线，也可以视为任意两条边上两个相邻顶点的连线。
垂心连线是从三角形的一个顶点引出并与对边所在直径相交于垂足，每个顶点都可作出一条垂心连线。
当三角形的高线、中位线和垂心连线共同相交于一个点时，即这些特殊直线经过了同一个交点，我们称之为"三线合一"。
等腰三角形“三线合一”的应用举例
例说等腰三角形的“三线合一”济宁市梁山县小路口镇初级中学 李 丽（适用于人教版初二版 10月刊）“三线合一”性质是等腰三角形所特有的重要性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合.该性质其实包括如下三方面的内容：如图1，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 上的一点.图1（1）若AD 是等腰△ABC 底边BC 上的中线，那么AD 是顶角∠BAC 的平分线，AD 是底边BC 上的高线；（2）若AD 是等腰△ABC 顶角∠BAC 的平分线，那么AD 是底边BC 上的中线，AD 是底边BC 上的高线；（3）若AD 是等腰△ABC 底边BC 上的高线，那么AD 是顶角∠BAC 的平分线，AD 是底边BC 上的中线.由此可以看出，“三线合一”性质给我们提供了证明角相等、直线垂直、线段相等的新思想和新方法.在解答一些图形有关的证明问题时，要注意灵活运用它们。
下面仅举几例和同学们共同见识一下“三线合一”的神通.一、证明角相等或倍数关系例1、已知：如图2，在ABC ∆中，AC AB =，AD BD ⊥于D ．求证：DBC BAC ∠=∠2． 【分析】作出等腰ABC ∆的顶角平分线将顶角分为相等的两部分，根据“三线合一”的性质证得DBC ∠等于其中任一部分即可．【证明】作BAC ∠的平分线AE ， 则有BAC ∠=∠=∠2121．∵AC AB =，21∠=∠，∴BC AE ⊥（三线合一）．∴︒=∠+∠902C ．又∵AD BD ⊥，C∴︒=∠+∠90C DBC ．∴DBC ∠=∠2．∴DBC BAC ∠=∠2．【点拨】添加辅助线，利用等腰三角形的“三线合一”性质，巧妙地构造了两个具有同一锐角的直角三角形，将已知条件与待证结论有机地联系在一起，从而容易获得问题的解决．二、证明线段相等例2、如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：DE ＝DF .图3【分析】：依题意，DE 和DF 分别为点D 到∠BAC 两边的距离，要证明它们相等，可先证明点D 在∠BAC 的平分线上，这只要证明AD 是∠BAC 的平分线.【证明】：连接AD .∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD 是等腰△ABC 底边BC 上的中线.∴AD 平分∠BAC . ∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴DE ＝DF .【点拨】能利用“三线合一”证明线段相等的问题，也可以用全等三角形来解决，但利用“三线合一”证明要比用全等三角形证明简便得多．因此，我们在解决这类问题时，要纠正总是依据三角形全等的思维定势，应该优先选用“三线合一”来解决．三、证明线段垂直例3、如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AD ＝AE ，求证：DE ⊥BC .B DC图4【分析】：注意到△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，那么底边上的高与BC 垂直.要证明DE ⊥BC ，应先证明DE 与这条高平行.【证明】：过A 作AF ⊥BC 于F .∵AB ＝AC ，AF ⊥BC 于F ，∴AF 是等腰三角形△ABC 底边BC 上的高线.∴AF 平分∠BAC .∴∠BAC ＝2∠BAF .∵AD ＝AE ，∴∠D ＝∠AED .∴∠BAC ＝∠D ＋∠AED ＝2∠D .∴∠BAF ＝∠D ，DE ∥AF .∴DE ⊥BC .【点拨】当题设中同时具备下列两个条件时，就可以利用“三线合一”来证明两条直线相互垂直：（1）有一个等腰三角形；（2）两条直线中有一条是这个等腰三角形的顶角的平分线或底边上的中线所在的直线．C FB。
“三线合一”证题
等腰三角形巧用“三线合一”证题“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。
本文结合实例说明其应用，供参考。
一. 直接应用“三线合一” 例1. 已知，如图1，AD 是∆ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是∆ABD 和∆ACD 的高。
求证：AD 垂直平分EFA1 2EFB D C图1分析：从本题的条件和图形特征看，欲证AD 垂直平分EF ，因为有∠=∠12，所以只要证∆AEF 为等腰三角形即可 证明： DE AB DF AC ⊥⊥， ∠=∠=12，AD AD∴≅∴=Rt AED Rt AFDAE AF ∆∆又∠=∠12∴AD 垂直平分EF例2. 如图2，∆ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高，AD 的中点为M ，CM 的延长线交AB 于点K ，求证：AB AK =3图2分析：可考虑作DE//CK 交AB 于E ，因为M 是AD 的中点，所以K 是AE 的中点，只要证E 是BK 的中点，问题可得到解决。
由于有AB AC =，AD BC ⊥，所以就想到用“三线合一”。
证明：过点D 作DE//CK 交BK 于点EAB AC AD BC =⊥， ∴=∴=BD DC BE EK ， AM MD AK KE =∴=， ∴==AK KE EB ∴=AB AK 3二. 先连线，再用“三线合一”例3. 如图3，在∆ABC 中，∠=A 90，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F 求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥C图3分析：（1）欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。
观察DE 为∆BDE 或∆PDE的一边，DF 为∆DFP 或∆DFC 的边，但它们都没有全等的可能。
由于D 为等腰直角三角形的底边BC 上的中点，于是我们想到连结AD 一试，这时容易发现∆∆AED CFD ≅或∆∆BDF ADF ≅问题得证。
立体几何证明三线共点
立体几何证明三线共点在几何学中，三线共点是一种重要的性质，指的是三角形的三条特殊线段在同一直线上。
这三条特殊线段分别是垂心线、中位线和角平分线。
下面我们将通过立体几何的证明来说明三线共点的性质。
我们先来了解一下垂心线、中位线和角平分线的定义。
垂心线是指从三角形的顶点向对边作垂线所得到的线段，中位线是指连接三角形的任意两个顶点，并且经过第三个顶点的线段，角平分线是指从三角形的一个顶点出发，将对角线平分所得到的线段。
接下来，我们考虑如何证明这三条特殊线段在同一直线上。
我们可以通过三维空间中的向量运算来证明。
设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，则垂心H的坐标为：$$H = \frac{(x1,y1,z1) + (x2,y2,z2) + (x3,y3,z3)}{3}$$因为垂心H位于垂心线上，所以我们只需要证明垂心线与中位线和角平分线的向量叉积为0即可。
中位线的向量为：$$\vec{m} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{2}$$角平分线的向量为：$$\vec{l} = \frac{2\vec{AH} + \vec{BC}}{3}$$其中，$\vec{AB}$、$\vec{AC}$、$\vec{BC}$表示三个边向量。
我们将中位线和角平分线向量分别与垂心线向量取叉积，得到：$$\vec{m} \times \vec{H} = \frac{1}{3}(\vec{AB} \times \vec{H} + \vec{AC} \times \vec{H})$$$$\vec{l} \times \vec{H} = \frac{1}{3}(2\vec{AH} \times \vec{H} + \vec{BC} \times \vec{H})$$因为$\vec{AB} \times \vec{H}$、$\vec{AC} \times \vec{H}$和$\vec{AH} \times \vec{H}$都为0，所以：$$\vec{m} \times \vec{H} = \vec{BC} \times \vec{H}$$因为向量叉积满足交换律和分配律，所以：$$\vec{BC} \times \vec{H} = \vec{H} \times \vec{BC}$$因为向量叉积满足反对称性，所以：$$\vec{H} \times \vec{BC} = -\vec{BC} \times \vec{H}$$所以：$$\vec{m} \times \vec{H} = -\vec{BC} \times \vec{H}$$即：$$\vec{m} \times \vec{H} + \vec{BC} \times \vec{H} = 0$$这说明中位线和角平分线的向量叉积与垂心线的向量叉积相等，即这三条特殊线段在同一直线上。
高中数学 三垂线定理以及应用
O
B
C
解题回顾
关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准 面)以及垂线。射影就可以由垂足、斜足来确定。 从三垂线定理的证明中得到证明a⊥b的一个程 序：一垂、二射、三证。即 第一、找平面(基准面)及平面垂线。
第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条 直线与一条斜线。
第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b 垂直。
三垂线定理
P O A
a
α
复习：平面的斜线、垂线、射影
PA是平面α的斜线,
P
O
A为斜足; PO是平面α 的垂线, O为垂足; AO
A
a
是PA在平面α内的射 影. 如果a α, a⊥AO， 思考a与PA的位置关 系如何？
α
a⊥PA
为什么呢？
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
A
a
O
A
a
直线和平 面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
对三垂线定理的说明： 1.三垂线定理描述的是斜线(PA)、射影(AO)、 直线(a)之间的垂直关系。 P 2.三垂线定理的实质 a 是平面的一条斜线和平面 内的一条直线垂直的判定 O A α 定理。其中直线a与PA可以 相交，也可以异面。 3. 三垂线定理中垂线、斜线、射影、直线都是 相对于一个平面而言，即四线一面，所以把该平面 称为基准平面。 但基准 平面不一定是水平的。
A A1 D1 B1 C1
D
B
C
三垂线定理
“三线合一”的性质在等腰三角形中的八种应用
∴∠ABE＝∠AFE＝90°，即EB⊥AB.
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应用
6ห้องสมุดไป่ตู้
利用“三线合一”证明角的倍分关系
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.
求证∠DBC＝
1 ∠BAC. 2
证明：过点A作AF⊥BC于点F.
∵AB＝AC，AF⊥BC，
1 ∠BAC. 2
∴∠CAF＝∠BAF＝
证明：如图，延长BA，CD交于点E.
∵BF平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD.
∵CD⊥BD，
∴∠BDC＝∠BDE＝90°.
又∵BD＝BD，
∴△BDC≌△BDE(ASA)．
∴CD＝ED，即CE＝2CD.
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC， ∴∠ABF＝∠DCF. 又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°， ∴△ABF≌△ACE(ASA)． ∴BF＝CE.∴BF＝2CD.
返回
应用
2
利用“三线合一”求线段长度
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝ DB，DE⊥AB于点E.若BC＝12，且
△BDC的周长为36，求AE的长．
解：∵△BDC的周长＝BD＋BC＋CD＝36，BC＝12，
∴BD＋DC＝24.
∵AD＝BD，
∴AD＋DC＝24，即AC＝24.
∵AB＝AC，∴AB＝24.
第13章 轴对称
双休作业(六)
2
“三线合一”的性质在等腰三角形中
的八种应用
1
2
3
4
5
6
7
8
应用
1
利用“三线合一”求角
1．如图，已知屋架的顶角∠BAC＝100°， 立柱AD垂直于横梁BC，斜梁AB＝AC.
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怎样利用“三线合一”证明线段垂直
1．如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，AB DE BC AD ⊥⊥，于E ，AC DF ⊥于F ．求证：EF AD ⊥．
2.已知：如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，BD=CD ．求证：BC AD ⊥．
3．已知：如图所示，AB=AE ，F ED BC E B ，，=∠=∠是CD 的中点．求证：CD AF ⊥．
4．如图所示，已知：ABC ∆是直角三角形，︒=∠90ABC ，ABD ∆和BCE ∆是等边三角形，连结CD 、CE ．求证：CE BD ⊥．
A E F D
B
C
A
B
D
A
B
E
C D
A
B
C
E
D
5．如图所示，已知AB=AD ，BC=DC ，求证：BD AC ⊥．
6．已知：如图所示，AB=AC ，AC BE ⊥于E ，AB CF ⊥于F ，BE 、CF 相交于点O ，延长AO 交BC 于D ．求证：BC AD ⊥．
7．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分DAB ∠，AC 平分DCB ∠，求证：BD AC ⊥．
8．已知：如图所示，AB=AC ，BCD BAD ∠=∠．求证：BD AC ⊥．
A D
C
A
F
E
O
C
B
A
B
D
C
A
B
C
D
8．如图所示，已知在ABC ∆中，AB CG AC BF ⊥⊥，，F 、G 是垂足，D 、E 分别是BC 、FG 的中点，求证：FG DE ⊥．
A E
G
F
D
B。