三线合一解题
利用三线合一解题
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合.
1.等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线、底边上的高线.
∵ △ABC中,AB=AC,-∠---B--A---D--=---∠--C---A--D-
A
∴
AD⊥BC
BD=CD
------------- ----------------
只要证DB=DE即可
4
练习：如图3，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC
Байду номын сангаас
交AC于D.
1
A
求证：∠DBC＝ ∠BAC.
2
D
B
C
5
当题目中出现等腰三角形和“三线” 之一时，直接得到其余两线的性质， 但表达要规范；
6
三线合一基本图形
7
∴
∠BAD=∠CAD BD=CD
------------- ----------------
1
三线合一的简单应用 （1）如图，已知AB=BC，D是AC的中点，
∠A=34°，则∠DBC= 56 度.
2
(3)如图，∠A=∠D=90°,AB=CD，AC与 BD相交于点F，E是BC的中点. 求证：∠BFE=∠CFE.
证明：∵∠1=∠2 （对顶角相等） ∠A=∠D=90° AB=CD
∴△ABF≌△DCF （AAS） ∴BF=CF ∴ △BCF是等腰三角形. 又 E是BC的中点， ∴EF是∠BFC的角平分线.
∴ ∠BFE=∠CFE. ( 三线合一 )
3
（4）已知，等边三角形ABC，D是AC的中 点，点E在BC的延长线上，且CE =CD。若 DM⊥BC，垂足为M，那么M是BE的中点， 请说明理由。
专训2 “三线合一”解题的六种技巧
解：如图，延长BA，CD交于点E.
∵BF平分∠ABC， CD⊥BD，BD＝BD， ∴△BDC≌△BDE. ∴BC＝BE. 又∵BD⊥CE，∴CE＝2CD.
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，
∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF＝∠DCF.
又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°， ∴△ABF≌△ACE(ASA)． ∴BF＝CE. 故BF＝2CD.
技巧
6
利用“三线合一”证线段的和差关系 (构造三线法)
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且 ∠ABC＝2∠C.试说明：CD＝AB＋BD.
解：如图，以点A为圆心，
AB长为半径画弧交CD于点E，连接AE， 则AE＝AB， 所以∠AEB＝∠ABC. 又因为AD⊥BC， 所以AD是BE边上的中线，
AF，试判断△DEF的形状，并说明理由．
(2)如图②，若E，F分别为AB，CA的延长线上的 点，且仍有BE＝AF.请判断△DEF是否仍有(1) 中的形状，并说明理由．
解：(1)△DEF为等腰直角三角形．理由：连接
AD，易证△BDE≌△ADF，
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF， 又∵∠BAC＝90°，AB＝AC， D为BC的中点， ∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.
BC＝10，所以BD＋CD＝14.
∵AD＝BD， ∴AC＝AD＋CD＝BD＋CD＝14. 又∵AB＝AC＝14. AD＝DB，DE⊥AB，
1 ∴AE＝EB＝ AC＝7. 2
技巧
3
利用“三线合一”证线段(角)相等
3．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， D为BC的中点． (1)如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝
1 ∵AE＝EC，∴AF＝ AC. 2 1 又∵AB＝ AC， 2
专题训练三 活用“三线合一”巧解题
∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF
类型二 利用“三线合一”证明角相等
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中
点E.求证：∠CBE＝∠BAD.
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAD，又∵BE⊥AC，
∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°， ∴∠CBE＝∠CAD.∴∠CBE＝∠BAD.
6 ． 如图 ， 在△ ABC 中 ， AC ＝ 2AB ， AD 平分∠ BAC 交
上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB.
证明：过点 E 作 EF⊥AC 于点 F，∵EA＝EC，∴AF＝
∵AC＝2AB，∴AF＝AB，∵AD 平分∠BAC 交 BC 于
AB＝A ∴∠BAD＝∠CAD，在△BAE 和△FAE 中，∠BAD AE＝A
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4．如图，在△ABC 中，AB＝AC，CE⊥AE 于点 E 点 E 在△ABC 外，求证：∠ACE＝∠B.
证明：过 A 作 AF⊥BC 于点 F，∵AB＝AC， 1 ∴BF＝CF，∵CE＝2BC，∴BF＝CE， ∵CE⊥AE，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，
AB＝AC， 在 Rt△ABF 和 Rt△ACE 中 BF＝CE，
2．如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点
AB，AC上的点，且满足EA＝CF.求证：DE＝DF.
证明：连接 AD，∵△ABC 为等腰直角三角形，
D 为 BC 中点，∴AD＝DC，AD 平分∠BAC，∠C＝
EA ∴∠EAD＝∠C＝45°，在△ADE 和△CDF 中，∠E AD
∴Rt△ABF≌Rt△ACE(HL)，∴∠ACE＝∠B
类型三 利用“三线合一”证垂直
沪科版八上数学第15章：活用“三线合一”巧解题
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技能 5 利用“三线合一”证垂直
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D， O是AE上一动点(不与A重合)，且OB＝OC，试猜想 AE与BC的关系，并说明理由．
解：
猜想：AE垂直平分BC，即AE⊥BC，BD＝CD. 理由如下：∵AB＝AC，OB＝OC，AO＝AO， ∴△ABO≌△ACO(SSS)，∴∠BAO＝∠CAO. ∴AE⊥BC，BD＝CD(等腰三角形三线合一)．
∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝90°.
∴∠CBE＝∠CAD. ∴∠CBE＝∠BAD.
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技能 4 利用“三线合一”求线段相等
4．已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中 点，如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝ AF.求证：DE＝DF.
证 明：
连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.
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技能 2 利用“三线合一”求线段长度
2．如图，在△ABC中，AB＝AC， AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC ＝15，且△BDC的周长为39，求 AE的长．
解：
∵△BDC的周长＝BD＋BC＋CD＝39，BC＝15，
∴BD＋DC＝24.
∵AD＝BD，
∴AB＝AC＝AD＋DC＝24.
又∵AD＝DB，DE⊥AB，
技能 7 利用“三线合一”证线段的倍分关系
7．(马鞍山11中期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD和 BE是高，它们相交于点H，且AE＝BE.AH与2BD相等 吗？请说明理由．
解：相等．理由：因为AD和BE是高，所以∠AEH＝ ∠BEC＝90°，∠ADC＝90°，所以∠C＋∠EAH＝ 90°，∠C＋∠EBC＝90°，所以∠EAH＝∠EBC.又 因为AE＝BE，所以△AHE≌△BCE，所以AH＝BC ，由等腰三角形的“三线合一”性质得BC＝2BD， 所以AH＝2BD.
典中点全等三角形专训6 三线合一解题的六种技巧
典中点全等三角形专训6 三线合一解题的六种技巧
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等腰三角形中的“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”,就可以说明这“一线”也是其他“两线”。
运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系,可减少证全等的次数,简化解题过程。
技巧1：利用“三线合一”求角
1.如图,房屋顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱AD⊥BC,屋檐AB=AC.求顶架上的∠B,∠C,∠BAD,∠CAD的度数。
技巧2：利用“三线合一”求线段
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD=DB,DE⊥AB于点E,若BC=10,且△BDC的周长为24,求AE的长。
技巧3：利用“三线合一”证线段(角)相等
3.已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点。
(1)如图①,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF，试判断△DEF的形状,并说明理由。
(2)如图②,若E,F分别为AB,CA的延长线上的点,且仍有BE=AF.请判断△DEF是否仍有(1)中的形状,并说明理由。
技巧4：利用“三线合一”证垂直
4.如图,在△ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC,E是AD上一点,且EA=EC.求证:EB⊥AB。
技巧5：利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)
5.如图,已知等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BF交BF的延长线于点D.试说明:BF=2CD
技巧6：利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)
6.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,且∠ABC=2∠C，试说明:CD=AB+BD。
利用等腰三角形的“三线合一”性质解题
证明 以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连结AE，则AE＝AB，即∠AEB＝∠ABC.
因为AD⊥BC，所以AD是BE的中线，即DE＝BD.
又因为∠ABC＝2∠C，所以∠AEB3;∠C，所以∠CAE＝∠C，即CE＝AE＝AB，
故CD＝AB+BD.
分析 由于DE⊥AB，DF⊥AC，所以要证明DE＝DF，只要证明点D是∠BAC的平分线上的点，于是连结AD，而由AB＝AC，BD＝CD即可证明AD是∠BAC的平分线.
证明 连结AD.因为AB＝AC，BD＝CD，所以AD是等腰三角形底边BC上的中线，即AD又是顶角的平分线.
又因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE＝DF.
证明 延长线BA、CD交于点E.因为BF平分∠ABC，CD⊥BD，所以可得BC＝BE，DE＝DC，
又因为∠BAC＝90°，∠AFB＝∠DFC，所以可得∠ABF＝∠DCF，
又AB＝AC，∠BAF＝∠CAE，所以△ABF≌△ACE（SAS），即BF＝CE，
故BF＝2CD.
五、证明一个角是直角
例5如图5，△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求证：∠A＝90°.
利用等腰三角形的“三线合一”性质解题
我们知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，被称做为“三线合一”.等腰三角形的“三线合一”性质在几何解题中有着广泛地运用，现举例说明.
一、证明线段相等
例1如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE＝DF.
解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线与构造等腰三角形的解题技巧(6类热点题型讲练)解析
第05讲解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线与构造等腰三角形的解题技巧(6类热点题型讲练)目录【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 (1)【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】 (6)【考点三利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 (12)【考点四过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 (15)【考点五巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 (24)【考点六利用倍角关系构造新等腰三角形】 (28)【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 的中点，DE AC ⊥于E ．(1)求EDC ∠的度数；(2)若2AE =，求CE 的长．【答案】(1)60︒(2)6【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”，含30︒角的直角三角形的性质等知识，（1）连接AD ，根据等腰三角形的“三线合一”即可作答；（2）根据含30︒角的直角三角形的性质即可作答．【详解】（1）连接AD ，∵AB AC =，120BAC ∠=︒，∴AD BC ⊥，AD 平分BAC ∠，∴1602∠=∠=︒DAC BAC ，ADC ∠1．（2023上·北京·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作EF BC ∥，且AE AF =．求证：(1)DE DF =；(2)BG CH =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AD ，利用等腰三角形“三线合一"的性质得AD BC ⊥，再利用平行线的性质得90DAF ADB ∠=∠=︒，从而说明AD 垂直平分EF ，则有DE DF =；（2）利用等角的余角相等EDB FDC ∠=∠，再利用ASA 证明BDG CDH ≌，从而证明结论．【详解】（1）证明：连接AD ，ABAC =，点D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，EF BC ∥，∴90DAF ADB ∠=∠=︒，∴AD EF ⊥，AE AF =，∴AD 垂直平分EF ，∴DE DF =；（2）,,DE DF DA EF =⊥ ,EAD FAD ∴∠=∠,ADB ADC ∠=∠ ,EDB FDC ∴∠=∠,AB AC =,B C ∴∠=∠在BDG 和CDH △中，,B C BD CD BDG CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA),BDG CDH ∴△≌△.BG CH ∴=【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一"的性质是解题的关键．2．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，D 为线段CE 的中点，且BE AC =．(1)求证：AD BC ⊥．(2)若90BAC ∠=︒，2DC =，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接AE ，根据线段垂直平分线的性质得到BE AE =，证明AE AC =，根据等腰三角形的三线合一证明结论；（2）证明AEC △为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：连接AE ，EF 是AB 的垂直平分线，BE AE ∴=，BE AC = ，AE AC ∴=，AEC ∴ 是等腰三角形，D 为线段CE 的中点，AD BC ∴⊥；（2）解：BE AE = ，EAB B ∴∠=∠，2AEC EAB B B ∴∠=∠+∠=∠，AE AC = ，AEC C ∴∠=∠，2C B ∴∠=∠，90BAC ∠=︒ ，60C ∴∠=︒，AEC ∴ 为等边三角形，2DC ED ==，24AE EC BE DC ∴====，426BD BE ED ∴=+=+=．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．3．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别在直线AB AC 、上运动，且始终保持AE CF =．(1)如图①，若点E F 、分别在线段AB AC 、上，DE 与DF 相等且DE 与DF 垂直吗？请说明理由；(2)如图②，若点E F 、分别在线段AB CA 、的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．【答案】(1)DE DF =且DE DF ⊥，见解析(2)成立，见解析【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==，再证明AED CFD SAS ≌（），利用全等三角形的性质即可求解；（2）利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==，再证明AED CFD SAS ≌（），利用全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）DE DF =且DE DF ⊥，理由是：如图①，连接AD ，∵90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 中点，∴45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒，∴AD BD DC ==，在AED △和CFD △中，AE CF EAD DAC AD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AED CFD SAS ≌（），∴DE DF =，ADE CDF ∠=∠，又∵90CDF ADF ∠+∠=︒，∴90ADE ADF ∠+∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∴DE DF ⊥．（2）若点E F 、分别在线段AB ，CA 的延长线上，（1）中的结论依然成立，如图②，连接AD ，理由如下：∵AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为BC 的中点，∴45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒，∴AD BD DC ==，在AED △和CFD △中，AE CF EAD DAC AD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AED CFD SAS ≌（）；∴DE DF ADE CDF =∠=∠，，又∵90CDF ADF ∠-∠=︒，∴90ADE ADF ∠-∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∴DE DF ⊥．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线构造全等三角形．【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知60AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，12OP =，点M N 、在边OB 上，PM PN =，若5OM =，求MN 的长．【答案】2【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角形的性质可得CM 练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中PM PN = ，PC ⊥CM CN ∴=，在OPC 中，PCO ∠162OC OP ∴==，5OM = ，1．（2023上·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）在ABC 中，点,D E 是边BC 上的两点．(1)如图1，若AB AC =，AD AE =．求证：BD CE =；(2)如图2，若90BAC ∠=︒，BA BD =，设B x ∠=︒，CAD y ∠=︒．（2）①猜想：2x y =，理由是：∵BA BD =，B x ∠=︒，∴(11802BAD BDA ∠=∠=︒-∠∵90BAC ∠=︒，CAD y ∠=︒，∴90BAD CAD ∠+∠=︒，即90整理得：2x y =；(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ．①用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE ，CD ，DE 之间的数量关系，并证明．则90AMC ADC ∠∠=︒=∵AB AC =，∴1122CM BM BC ===在ACD 与ACM △中，∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠，∵ACB ACB '∠=∠，∴B ACB ACD '∠=∠=∠【考点三利用平行线+角平分线构造等腰三角形】例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，DE CB ∥，F 是BD 的中点．(1)求证：BDE 是等腰三角形(2)若50ABC ∠=︒，求DEF ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)65︒【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．（1）由角平分线的定义得EBD CBD ∠=∠，由DE CB ∥得EDB CBD ∠=∠即可求证；（2）先求出EDB ∠，根据“三线合一”得EF BD ⊥，即可求解．【详解】（1）证明：∵BD 平分ABC ∠，∴EBD CBD ∠=∠，∵DE CB ∥，是等腰三角形；(1)如图1，求证：CDE∠交AC于E，(2)如图2，若DE平分ADC的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键．∠=∠（1）根据角平分线的定义得出BCD(1)当53BE CF ==，，则EF =___________；(2)当BE CF >时，若CO 是ACB ∠的外角平分线，如图2，它仍然和∠作EF BC ∥，交AB 于E ，交AC 于F ，试判断EF BE ，，CF 之间的关系，并说明理由．【答案】(1)8(2)EF BE CF =-，见解析∴∠EOB =∠OBC ,∠FOC =∠OCB ，∵ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点O ，∴∠EBO =∠OBC ,∠FCO =∠BCO ，∴∠EBO =∠EOB ,∠FCO =∠FOC ，∴53BE OE OF CF ====，，∴8EF EO FO =+=，故答案为：8；（2）EF BE CF =-，理由如下：∵BO 平分ABC ∠，∴ABO OBC ∠=∠，∵EO BC ∥，∴EOB OBC ∠=∠，∴ABO EOB ∠=∠，∴BE EO =，同理可得FO CF =，∴EF EO FO BE CF =-=-．【考点四过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，ABC 是等边三角形，点D 在AC 上，点E 在BC 的延长线上，且BD DE =．(1)若点D 是AC 的中点，如图1，则线段AD 与CE 的数量关系是__________；(2)若点D 不是AC 的中点，如图2，试判断AD 与CE 的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点D 作DF BC ∥，交AB 于点F )(3)若点D 在线段AC 的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．【答案】(1)AD CE =，理由见解析(2)AD CE =，理由见解析(3)成立，理由见解析【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定．（1）求出E CDE ∠=∠，推出CD CE =，根据等腰三角形性质求出AD DC =，即可得出答案；（2）过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，证明BFD DCE ≌，推出DF CE =，证ADF △是等边三角形，推出AD DF =，即可得出答案；（3）过点D 作DP BC ∥，交AB 的延长线于点P ，证明BPD DCE ≌，得到PD CE =，即可得到AD CE =．【详解】（1）解：AD CE =，理由如下：ABC 是等边三角形，60,ABC ACB AB AC BC ∴∠=∠=== ．∵点D 为AC 中点，30,DBC AD DC ∴∠== ，BD DE = ，30E DBC ∴∠=∠= ，ACB E CDE ∠=∠+∠ ，30CDE E ∴∠=∠= ，CD CE ∴=，又AD DC = ，AD CE ∴=．故答案为：AD CE =；（2）解：AD CE =，理由如下：如图，过点D 作DF BC ∥，交AB 于点F ，则60ADF ACB ∠=∠= ，60A ∠= ，AFD ∴ 是等边三角形，,60AD DF AF AFD ∴==∠= ，18060120BFD DCE ∴∠=∠=-= ，D F B C ∥ ，FDB DBE E ∴∠=∠=∠，在BFD △和DCE △中，FDB E BFD DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BFD DCE ∴ ≌()AAS ，DF CE ∴=，又AD DF = ，AD CE ∴=；（3）解：结论仍成立，理由如下：如图，过点D 作DP BC ∥，交AB 的延长线于点P ，则60,60ABC APD ACB ADP ∠=∠=∠=∠= ，60A ∠= ，APD ∴ 是等边三角形，AP PD AD ∴==，ACB DCE ∠=∠ ，DCE ACB P ∴∠=∠=∠，DP BC ∥ ，PDB CBD ∴∠=∠，DB DE = ，DBC DEC ∴∠=∠，PDB DEC ∴∠=∠，在BPD △和DCE △中，PDB CED P DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BPD DCE ∴ ≌()AAS ，PD CE ∴=，又AD PD = ，AD CE ∴=．【变式训练】(1)如图1，当点E 运动到线段AB 的中点，点D 在线段(2)如图2，当点E 在线段AB 上运动，点D 在线段说明理由．【答案】(1)12∵EF BC ∥，∴60AFE ACB ∠=∠=︒120,EFC AFE ∴∠=︒∠EF EA∴=∵60ABC ∠=︒，(1)【感知】如图1，当点E为AB的中点时，则线段(2)【类比】如图2，当点E为AB边上任意一点时，∥，交AC于点F．示如下：过点E作EF BC(3)【拓展】在等边三角形ABC中，点E在直线（2）AE DB =，理由如下：过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ，则AEF ABC AFE ACB ∠=∠∠=∠，，FEC ECD ∠=∠，∵ABC 是等边三角形，∴60AB AC A ABC ACB =∠=∠=∠=︒，，∴60120AEF AFE A DBE ∠=∠=∠=︒∠=︒，，∴AEF △为等边三角形，120EFC ∠=︒，∴AE EF =，∵ED EC =，∴D ECD ∠=∠，∴D FEC ∠=∠，在DBE 和EFC 中，DBE EFC D FEC ED EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS DBE EFC ≌，∴DB EF =，∴AE DB =；（3）过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ，如图3所示：同（2）得：AEF △是等边三角形，()AAS DBE EFC ≌，∴33AE EF DB EF ====，，∵2BC =，∴235CD BC DB =+=+=．故答案为：5．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．(1)求证:2AP AQ AB +=(2)求证:PD DQ =；(3)如图，过点P 作PE ⊥出这个长度；如果变化，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)ED 为定值5，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键．（1）利用P 、Q 的移动速度相同，得到CQ PB ∴=，AB AC = ，2AP AQ AB PB AC CQ AB ∴+=-++=；（2）如图，过点P 作PF AC ∥，交BC 于点F ，PF AC ∥，,PFB ACB DPF DQC ∴∠=∠∠=∠，AB AC = ，B ACB ∴∠=∠，B PFB ∴∠=∠，BP PF ∴=，由（1）得BP CQ =，PF CQ ∴=，在PFD 与QCD 中，PDF QDC DPF DQC PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS PFD QCD ∴ ≌，PD DQ ∴=；（3）解：ED 为定值5，理由如下：如图，过点P 作PF AC ∥，交BC 于点F ，由（2）得：PB PF =，【考点五巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，E 是BC 的中点，过点E 作FG AD ⊥交AD 的延长线于H ，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ．求证：(1)AF AG =；(2)BF CG =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据ASA 证明AHF AHG ≌ ，即可得出AF AG =；（2）过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，由AHF AHG ≌ 可得AFH G ∠=∠，根据平行线的性质得出CMG AFH ∠=∠，可得CMG G ∠=∠，进而得出CM CG =，再根据据ASA 证明BEF CEM ≌ ，得出BF CM =，等量代换即可得到BF CG =．【详解】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠，∴FAH GAH ∠=∠，∵FG AH ⊥，∴90AHF AHG ∠=∠=︒，在AHF △和AHG 中，FAH GAH AH AH AHF AHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AHF AHG ≌ ，∴AF AG =；（2）证明：过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，∵AHF AHG ≌ ，∴AFH G ∠=∠，∵CM AB ∥，∴CMG AFH ∠=∠，∴CMG G ∠=∠，∴CM CG =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∵CM AB ∥，∴B ECM ∠=∠，在BEF △和CEM 中，B ECM BE CE BEF CEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA BEF CEM ≌ ，∴BF CM =，∴BF CG =．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】1.如图：(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP 平分MON ∠．点A 为OM 上一点，过点AC OP ⊥，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，可根据证明AOC BOC ≌△△，则AO 点C 为AB 的中点）．(2)【类比解答】如图2，在ABC 中，CD 平分ACB ∠，AE CD ⊥于E ，若63EAC ∠=︒，37B ∠=︒，通过上述构造全等的办法，可求得DAE ∠=．(3)【拓展延伸】如图3，ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，垂足E 在CD 究BE 和CD 的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取ACB ∠的角平分线CD ；②过点A 作AD 13BC =，10AC =，ABC 面积为20，则划出的ACD 的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)ASA(2)26︒(3)12BE CD =，证明见解析100【考点六利用倍角关系构造新等腰三角形】例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在ABC 中，交BC 于点D ，AD 平分BAC ∠，且2B C ∠=∠．(1)为了证明结论“AB BD AC +=”，小亮在AC 上截取AE ，使得AE AB =，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；(2)如图2，在四边形ABCD 中，已知58BAD ∠=︒，109D ∠=︒，42ACD ∠=︒，80ACB ∠=︒，10AD =，CE AB ⊥3EB =，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)16【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）在AC 上截取AE ，使得AE AB =，连接DE ，根据角平分线的定义可得BAD DAC ∠=∠，再利用SAS 证明ABD AED ≌，从而可得B AED ∠=∠，BD DE =，进而可得2AED C ∠=∠，然后利用三角形的外角性质可得AED C EDC ∠=∠+∠，从而可得C EDC ∠=∠，进而可得DE CE =，再根据等量代换可得BD EC =，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）在AE 上截取AF AD =，连接CD ，先利用三角形内角和定理可得29DAC ∠=︒，从而可得29DAC FAC ∠=∠=︒，再利用SAS 证明DAC FAC ≌，从而可得109AFC D ∠=∠=︒，进而可得71CFE ∠=︒，然后利用三角形内角和定理可得71B CFE ∠=∠=︒，从而可得CF BC =，再利用等腰三角形的三线合一性质可得26BF BE ==，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】（1）解：证明：在AC 上截取AE ，使得AE AB =，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD DAC ∠=∠，∵AD AD =，∴()SAS ABD AED ≌，∴B AED ∠=∠，BD DE =，∵2B C ∠=∠，∴2AED C ∠=∠，∵AED ∠是DEC 的一个外角，∴AED C EDC ∠=∠+∠，∴C EDC ∠=∠，∴DE CE =，∴BD EC =，∵AE EC AC +=，∴AB BD AC +=；（2）在AE 上截取AF AD =，连接CF ，∵109D ∠=︒，42ACD ∠=︒，∴18029DAC D ACD ∠=︒-∠-∠=︒，∵58BAD ∠=︒，∴29FAC BAD DAC ∠=∠-∠=︒，∴29DAC FAC ∠=∠=︒，∵AC AC =，∴()SAS DAC FAC ≌，∴109AFC D ∠=∠=︒，∴18071CFE AFC ∠=︒-∠=︒，∵80ACB ∠=︒，29FAC ∠=︒，∴18071B ACB FAC ∠=︒-∠-∠=︒，∴B CFE ∠=∠，∴CF BC =，∵CE AB ⊥，∴26BF BE ==，∴10616AB AF BF =+=+=，∴AB 的长为16．【变式训练】1．在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 在边BC 上，AB AD =，点E 在线段BD 上，3BAE EAD ∠=∠．(1)如图1，若点D 与点C 重合，则AEB ∠=______︒；(2)如图2，若点D 与点C 不重合，试说明C ∠与EAD ∠的数量关系；(3)在（1）的情况下，试判断BE ，CD 与AC 的数量关系，并说明你的理由．【答案】(1)67.5(2)2C EAD∠=∠(3)BE CD AC +=，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到45D ∠=︒，根据题意求出EAD ∠，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据直角三角形的两锐角互余得到90B C ∠=︒-∠，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到2BAD C ∠=∠，进而证明结论；（3）在BD 上截取BF DE =，连接AF ，证明ABF △≌ADE V ，根据求等三角形的性质得到BAF DAE ∠=∠，根据三角形的外角性质得到CAF CFA ∠=∠，得到AC CF =，进而得出结论．【详解】（1）解：在Rt BAD 中，90BAD ∠=︒，AB AD =，则45D ∠=︒，90BAD ∠=︒Q ，3BAE EAD ∠=∠，22.5EAD ∴∠=︒，67.5AEB EAD D ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：67.5；（2）解：2C EAD ∠=∠，理由如下：90BAC ∠=︒ ，90B C ∴∠=︒-∠，AB AD = ，则BE BF EF DE EF DF =+=+=，BE CD DF CD CF ∴+=+=，在ABF △和ADE V 中，AB AD B ADE BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ADE △(1)写出图1中与BAC ∠相等的角，BAC ∠=______(2)如图1，若GFC FGE ∠=∠，在图中找出与AG (3)如图2，若2,3HC CE ==，求BC 的长度．【答案】(1)AGF∠(2)AG CE =，证明见解析(3)72MGN AGF BAC∠=∠=∠，∠=∠，则N BAC∴∠=∠，N MGNMG MN∴=，∠=∠=∠+∠FGE BEG BEG2∴∠=∠，BEG GME∴=，MG GE，=AC GE∴=，MN AC。
专题6 妙用三线合一巧解题（含答案）
专题6 妙用三线合一巧解题知识解读三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
三线合一的几种应用：如图2－6－1，在△ABC 中，①若AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，则AD ⊥BC ，BD ＝CD ； ②若AB ＝AC ，AD ⊥BC ，则∠BAD ＝∠CAD ，BD ＝CD ；③若AB ＝AC ，BD ＝CD ，则∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ；④若∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ，则AB ＝AC ，BD ＝CD ； ⑤若∠BAD ＝∠CAD ，BD ＝CD ，则AD ⊥BC ，AB ＝AC ； ⑥若AD ⊥AC ，BD ＝CD ，则AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD 。
即“AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ，BD ＝CD ”中已知其中两个结论，总能推出其他两个结论是成立的.等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义.可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等. 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
培优学案典例示范一、利用三线合一证明角度之间的倍分关系例1如图2－6－2，在△ABC 中，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于点D .求证：∠BAC ＝2∠DCB .【提示】欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，∠BAC 是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与∠DCB 的关系 【解答】D B CA图2-6-2【技巧点评】要证明一个角等于等腰三角形顶角的一半，常考虑构造等腰三角形三线合一的那根线.由这道题目，我们还可以得出这样一个常用的结论，等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.跟踪训练1.如图2-6-3①，点P 是BC 的中点，如图2-6-3②，点P 与点C 重合，如图2-6-3③，点P 在BC 的延DBC A 图2-6-1长线上，△ABC都是等腰三角形，BC为底边，PD⊥AB，∠A与∠BPD之间都存在一个相同的数量关系，请猜想这个数量关系，并就图③进行验证。
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C
-
添加辅助线思路
图中AP这条线段的引出可以看成是： 1 ．过A点作BC 的平行线． 2 ．过A点作DE的垂线．
D AP
3 ．作∠DAC的角平分线．
E
4 ．作DE边的中线．
B
C
-
（4）已知，等边三角形ABC，D是AC的中 点，点E在BC的延长线上，且CE =CD。若 DM⊥BC，垂足为M，那么M是BE的中点， 请说明理由。
等腰三角
（三线合一）
-
A
复习回顾:
等腰三角形有哪些性质?
BD
C
1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在
的直线是它的对称轴。
2.等腰三角形的两个底角相等
(简称“等边对等角”）
-
三线合一基本图形
-
等腰三角形三线合一性质
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合.
1.等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线、底边上的高线.
证明：∵∠1=∠2 （对顶角相等） ∠A=∠D=90° AB=CD
∴△ABF≌△DCF （AAS） ∴BF=CF ∴ △BCF是等腰三角形. 又 E是BC的中点， ∴EF是∠BFC的角平分线.
∴ ∠BFE=∠CFE. ( 三线合一 )
-
例1.已知AB′=AB，E为BB′的中点，
EC⊥AB′, ED ⊥AB.
∵ △ABC中,AB=AC,∠--B---A--D---=---∠--C--A---D--
A
∴
AD⊥BC
BD=CD
------------- ----------------
2.等腰三角形底边上的中线也是的顶角平分线、 底边
上的高线.
∵ △ABC中,AB=AC,----B--D---=--C---D--------
B
D
C
∴
∠BAD=∠CA
AD⊥BC
D------------- ----------------
3.等腰三角形的底边上的高线也是顶角平分线、底边上的中线.
∵ △ABC中,AB=AC,----A--D---⊥---B---C-------
∴
∠BAD=∠CAD - BD=CD
------------- ----------------
求证：∠2=∠1+∠B
A
E3 B
2
D
1
C
-
1、当题目中出现等腰三角形和“三线”
之一时，直接得到其余两线的性质，
但表达要规范； 2、当题目中没有出现等腰三角形时， 要善于发现“补形”的条件：是否能 产生“两线合一”的情境？
3、应用“三线合一基本图形”是一个重 要 的解题策略，为我们解决问题又提 供了一种手段。
-
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
D
C
求证:
-
例：如图，在等腰△ABC中，∠C=90°，
如果点B到∠A的平分线AD的距离为5cm, 求AD的长。
B
E 10cm D
A
F C
-
练习：已知：如图，在△ABC中，AD平分 ∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。
?
-
三线合一的简单应用 （1）如图，已知AB=BC，D是AC的中点，
∠A=34°，则∠DBC= 56 度.
（2）△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.指出 图中各对相等的线段，且说明理由.
-
(3)如图，∠A=∠D=90°,AB=CD，AC与 BD相交于点F，E是BC的中点. 求证：∠BFE=∠CFE.
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这节课你有那些收获?
-
只要证DB=DE即可
-
练习：如图3，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交
AC于D.
1
A
求证：∠DBC＝ 2 ∠BAC.
D
B
C
-
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
DC
求证: E
证明:延长△ABC的中线AD至E点,使DE=AD,连接CE.
在△ABC中,对于以下四个条
①件AB=AC或（∠B=∠ C）
② ∠BAD=∠CAD
A
③ AD⊥BC
④ BD=CD
我们已经知道了 ① ②
①③ ①④
③
④
②B
D
C
思考： ② ③
①
②④
①
③④
①
-
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
D
C
求证:
求证:CE=ED
A
C
D
B'
E
B
-
例3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC, E在 AC上，D 在BA的延长线上，
AD=AE，连接DE．求证：DE⊥BC．
D
A
B
-
E C
添加辅助线思路
图中AR这条线段的引出可以看成是： 1 ．过A点作DE的平行线． 2 ．过A点作BC的垂线． 3 ． ∠BAC的角平分线． 4 ． BC边的中线．