集合的定义及表示
集合的含义和表示
1.1集合的含义及表示内容分析：集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集课外知识补充，康托尔-集合创始人，由于集合导致的数学危机。
（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合记作Z,（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q,（5）实数集：全体实数的集合记作R注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}，所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x∈A|满足条件}含义：在集合A中满足条件的x的集合注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}3、文氏图，也叫作韦恩图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法（三）有限集与无限集1、有限集：含有有限个元素的集合2、无限集：含有无限个元素的集合3、空集：不含任何元素的集合记作Φ女神助教刘亚楠。
集合的含义与表示
(2)在集合的书写形式上,要注意规范性. 如关于x的方程x-a=0的解集应写成{a},而不是a. (3)在没有指定集合的表示方法时,能明确表示集 合的要明确表示出来. 如所有小于20的既是奇数 又是素数的数组成的集合表示{3,5,7,11,13,17,19} 更为明确; 又如非负奇数组成的集合表示为 {x|x=2n+1,n∈N}更为恰当,这一点需要注意.
（2）小于2003的数； （3）和2003非常接近的数。 （4）我国的小河流 （5）大于３小于１１的偶数
3、元素与集合之间的关系：
集合常用大写字母A，B，C，D，……标记， 元素常用小写字母a，b，c，d，……标记。
若a是集合A的元素， 就说a属于集合A ， 记作 a∈A ； 若a不是集合A的元素， 则a不属于集合A ， 记作 aA。 例如:A={1，2，3，4，5}
问题探究：
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释 为:许多的人或物聚在一起. 在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言， 我们怎样理解数学中的“集合”？
知识探究 考察下列问题： （1）1～20以内的所有质数；
（2）绝对值小于3的整数；
（3）大兴八中高一、3班的所有男同学； （4）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点. 上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别 形成一个集合，集合中的每个对象都称为元素.上述4个集 合中的元素分别是什么？
1 2
、 | - |、 0.5 组成的集合有3个元素。 (3)1
(4)集合{1,3,5,7}与集合{3,1,7,5}表示 同一个集合。
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
2.给出下列关系 (1) 0.5 R (2) 2 R
(3) | -3 | N
集合的含义及其表示
集合的含义及其表示一、集合的相关概念元素集合一般用大括号”{}”表示集合,也常用大写的拉丁字母A、B、C…表示集合.用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素二、集合三大特性：思考：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由；(1) 大于3小于11的偶数；(2) 我国的小河流。
三、重要数集：四、元素对于集合的关系五、集合的分类有限集：无限集：空集：六、集合的表示方法1、列举法：例1 用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合。
思考题 (1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗? (2)你能用列举法表示不等式x-7<3吗?2、描述法：3、Venn图：例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合。
课堂小结集合间的基本关系观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5};② A={x| x＞1}, B={x | x2＞1};③ A={四边形}, B={多边形};④ A={x | x是两边相等的三角形},B={x| x是等腰三角形} ．一、子集的定义：一般地,对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B 的子集。
记作：读作：Venn图表示：判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×：①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( )②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} ( )③A={0}, B={x x2+2=0} ( )④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} ( )二、集合相等的定义：一般地,对于两个集合A与B, 如果集合A中的都是集合B的元素,同时集合B中的都是集合A的元素,则称集合A等于集合B,记作三、真子集对于两个集合A与B,如果A B,但存素 ,则称集合A 是集合B的真子集．记作A B四、几个结论①空集是任何集合的子集Φ A②空集是任何非空集合的真子集Φ A （A ≠ Φ）③任何一个集合是它本身的子集，即 A A④对于集合A ，B ，C ，如果 A B,且B C ，则A C例3 设A={x,x 2,xy}, B={1,x,y},且A=B ，求实数x,y 的值．例4 已知集合 与集合 满足Q P ， 求a 的取值组成的集合A 作业布置1．教材P.12 A 组 5 B 组2.2. 若A={x |－3≤x≤4}, B={x | 2m －1≤x≤m+1},当B A 时,求实数m 的取值范围．3.已知}06|{2=-+=x x x P },01|{=+=ax x Q {}{}AC B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆1.1.3 集合的基本运算（1）观察集合A,B,C元素间的关系：(1) A={4，5，6，8}B={3，5，7，8} C={3，4，5，6，7，8}(2) A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}， C={x|x是实数}一、并集一般地,由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合叫做A与B的并集,记作读作即A∪B=例1. A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A∪B.例2.设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A∪B性质1A∪A = A∪φ = A∪B B∪A二、交集观察集合A,B,C元素间的关系：A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}，C={5，8}一般地,由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集。
集合的含义与表示
称这两个集合相等
湖南省长沙市一中卫星远程学校
练习1.下列指定的对象，能构成一个集合 ( B ) 的是 ①很小的数 ②不超过 30的非负实数 ③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点 ④的近似值 ⑤高一年级优秀的学生 ⑥所有无理数 ⑦大于2的整数 ⑧正三角形全体 A. ②③④⑥⑦⑧ C. ②③⑥⑦ B. ②③⑥⑦⑧ D. ②③⑤⑥⑦⑧
解：当a＝0时，x＝－1.
当a≠0时，＝16－4×4a＝0. a＝1. 此时x＝－2. ∴a＝1时这个元素为－2. ∴a＝0时这个元素为－1.
课堂练习
1.教科书5面练习第1、2题
2.教科书11面习题1.1第1、2题
课堂小结
1.集合的定义 2.集合元素的性质 3.集合与元素的关系 4.集合的表示 5.集合的分类
解：当a＝0时，x＝－1.
例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
解：当a＝0时，x＝－1.
当a≠0时，＝16－4×4a＝0. a＝1. 此时x＝－2.
例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
2.集合的表示:
集合常用大写字母A,B,C,…表示，元素常用 小写字母a,b,c,…表示.
3.集合与元素的关系:
如果a是集合A的元素，就说a属于集 合A，记作a∈A. 如果a不是集合A的元素，就说a不属 于集合A，记作aA.
例如：A表示方程x2＝1的解. 2A，1∈A.
4.常用数集及记法:
N：自然数集(含0)
-1 3
x | 0
x | x
x 2
集合的含义及表示方法
确定性
集合中的元素具有确定性，即每个元素是否属于某个集合是明确的。对于任意一 个元素，如果它属于某个集合，则它只属于该集合；如果不属于该集合，则它与 该集合没有关系。
确定性的性质使得集合可以准确地描述事物的分类和归属问题，是数学和计算机 科学中基本的概念之一。
集合的含义及表示方法
• 集合的基本概念 • 集合的运算 • 集合的性质 • 集合的应用
01
集合的基本概念
集合的定义
01 集合是由确定的、不同的元素所组成的总体 。
02
集合中的元素具有确定性，即每一个对象是 否属于某个集合是确定的。
03
集合中的元素具有互异性，即集合中不会有 重复的元素。
04
集合中的元素具有无序性，即集合中元素的 排列顺序不影响集合本身。
数据库系统
数据库系统是计算机科学中用来存储和管理大量数据的重要工具。集合理论在数据库设计 中起着重要的作用，例如关系数据库中的表可以看作是集合的表示。
在日常生活中的应用
分类问题
在生活中，我们经常需要对事物进行分类。集合可以用来表示不同的类别，帮助我们更好地组织 和理解事物。
决策制定
在决策制定过程中，我们经常需要考虑多个因素或条件。集合可以帮助我们表示这些因素或条件 ，并分析它们之间的关系，从而做出更好的决策。
03
补集
补集是指全集中不属于某个集合的元素组成的集合。
补集的表示方法是在一个集合后面加上"′"，例如：A′。
补集运算满足反演律，即A′=(全集−A)∪(全集−B)。
03
集合的性质
无序性
集合中的元素没有固定的顺序，即元素的位置不影响集合的性质。例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,2,1}是同一个集合，因为 元素的无序性，集合A和集合B具有相同的性质。
集合的概念和表示法
处理会简单些。
3) 全集E 用一个矩形的内部表示，
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结.1 集合的概念及表示法
五、特殊集合
3、幂集
定义 由集合A的所有子集为元素所组成的集合 称为A的 幂集, 记作 (A) 或P(A) 或2 A。
注：1) 幂集的元素都是集合。 2) 任一集合的幂集 都非空。 3) 在 A 的所有子集中，A 和 又叫平凡子集。
离散数学中，只讨论界限清楚、无二义性的描述，
不清晰的对象构成的集合 属于模糊论的研究范畴。
著名理发师问题就属于模糊论的研究范畴。
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6
铃
二、集合的表示法
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法 a、全部列举法： 以任意顺序写出集合的所有元素, 元素间用逗号 隔开，并将其放在花括号内。 例如“所有小于5的正整数”这，个集合的元素为 1, 2, 3, 4, 再没有别的元素了。 如果把这个集合命名为A, 就可记为 A={1, 2, 3, 4}
证毕。
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20
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五、特殊集合
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
1、空集
注： 1)任何非空集合A，至少有两个子集：、和A。 只有一个子集 。
2)证明一个集合是空集，或证明集合的唯一性， 常采用反证方法，即假设该集合不是空集，或不唯一， 导致与已知条件的矛盾或导致唯一。
例 A={a，{a}}，B={a} B∈A，B是A的元素， BA， B的元素a 是A的元素，B是A的子集。
集合的含义和表示
集合的含义和表示知识点一：集合的含义集合的概念：一般地，我们将研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫为集合（简称集）。
元素用小写字母a,b,c表示，集合用大写字母A,B,C表示。
集合中元素的性质：确定性：即那些元素是属于这个集合的，那些元素不属于这个集合是明确的。
比如高山就不构成集合，胖人也不构成集合。
互异性：集合中的元素互不相同。
无序性：元素之间是没有顺序的，如：{0,1}={1,0}元素与集合的关系：“属于”和“不属于”（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A（“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写）集合的分类：1、有限集：含有有限个元素的集合。
2、无限集：含有无限个元素的集合。
3、空集：不含任何元素的集合。
记作Φ，如：例：1，①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数有( )A．2组B．3组C．4组D．5组2对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______．3集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是______知识点二：常用数集的记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+。
例： ①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ．②21______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ．知识点三：集合的表示方法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
集合概念和表示方法义
集合一．集合的概念：集合没有确切定义，是一个基本概念。
对其描述：某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。
符号表示为{}，表示的意思为全体。
这些对象我们称之为元素。
集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a、b、c、p、q…… 例如A={1,3,a,c,a+b}注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述.（2）集合是一个“整体.（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的例如：指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）我国的直辖市；（2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数（4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。
【典例分析】：1.下列各组对象中，不能组成集合的是（）A 所有的正六边形B《数学》必修1中的所有习题C 所有的数学容易题D 所有的有理数2.由下列对象组成的集体属于集合的是（）（1）不超过π的正整数；（2）高一数学课本中所有的难题；（3）中国的大城市（4）平方后等于自身的数；（5）某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生.A.（1）（2）（3）B.（3）（4）（5）C.（1）（4）（5）D. （1）（2）（4）二．元素的特性a、确定性（有一个确定的衡量标准）b、互异性（集合里的元素都不一样）c、无序性（没有顺序）（确定性）例题1：下列各组对象能否构成一个集合（1）著名的数学家（2）某校2006年在校的所有高个子同学（3）不超过10的非负数（4）方程240x-=在实数范围内的解（5）2的近似值的全体例题2：下列各对象不能够成集合的是（）A 某校大于50岁的教师B 某校30岁的教师C 某校的年轻教师D 某校的女教师（互异性）例题3：已知集合S 中的元素是a,b,c,其中a,b,c 为△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A. 锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例题4：若-3∈{a-3,2a-1,a 2+4},求实数a 的值，并求此时的实数集。
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一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
1.1.1 集合的含义与表示
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
一 学习目标
• 初步掌握用列举法和描述法表示集合的基本方 式和一般规则.
• 能够根据实际问题选择合适的方法来表示集合. • 能够在理解问题数学本质的基础上把数学语言
练习一下
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
五 知识强化
练习1 用列举法表示下列给定的集合： • 大于1且小于6的整数； • 方程x2-9=0的实数根； • 小于8的所有质数； 1. 一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点.
答案： • {2，3，4，5}；
• {-3，3}；
• {2，3，5，7}；
• {(1,பைடு நூலகம்)}.
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
五 知识强化
练习2 试选择适当的方法表示下列集合：
{y=x
•
二元二次方程组
的解集； y=x2
{(0,0),(1,1)}
• 二次函数y=x2-4的因变量组成的集合； {y|y≥-4} • 反比例函数y= —1x 的自变量组成的集合；{x|x≠0}
用集合所含元素的共同特征表示集合 的方法称为
描述法.
具体方法是：1在花括号内先写上表示这个集合元素 的一般符号及取值（或变化）范围，2再画一条竖线， 3在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
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四 知识创新
例1 用描述法表示不等式x-7＜3的解集.
解： { x∈R x-7＜3 }
竖线前面的这部分,
或 {x∈R x＜10}
可以称为代表元素
例2 判断下列各组集合是不是相同.
• {x∈R|x-7＜3}与{x∈N|x＜10}； • {x∈N|x-7＜3}与{x∈N*|x＜10}.
注意：在用描述法表示集合或理解描述法所表示的 集合时，一定要注意代表元素的特征.
准确的转化成自然语言. • 体会数学语言严谨性和逻辑性,要逐渐养成严密
的思维习惯.
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二 知识铺垫
简要回顾一下上节课所学内容：集合、元素与集合 的关系.
练习 判断一下元素的全体能否组成集合？ • 地球上的四大洋； • 方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根； • 小于10的正偶数； 1. 不等式x-7＜3的所有的解.
1. 不等式3 x≥4-x的解集.
{x|x≥1}
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六 知识总结
本节我们进一步学习了集合的表示方法——列举法 和描述法，在解决实际问题时我们应学会选择合适 的方法来恰当的表示集合；在利用描述法表示集合 时要特别注意竖线前面的 代表元素的选择，在分析 集合问题时也要注意实际问题中代表元素的特殊形 式，从而提高我们解决实际问题的能力.
象这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号
“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
六 知识总结
既然是“一一列举”那么能不能用列举法表示元素无 限多的集合，即无限集呢？
练习一下
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
三 知识引入
我们不能用列举法来表示不等式x-7＜3的解集，因 为这个集合的元素是列举不完的.但是我们可以用这 个集合中元素所具有的共同特征来描述.
根据集合元素的特点，可以判断出以上四例都可 以组成集合，我们除了用自然语言表示集合外还 可以用数学语言来表示集合.
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化
三 知识引入
我们可以把“地球上的四大洋”组成的集合表示为“ {太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，把“方程(x1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集合表示为{1，-2}； 把“小于10的正偶数”组成的集合表示为{2，4，6， 8}.
六 知识总结
作业:课本第13页1,2题.