6.第六讲.贝利相位

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2011-6-24
一 、 贝利相位的引入 的函数 ˆ ˆ H = H R1 ( t ) , R2 ( t ) ,L, RD ( t ) r 而 R 随时间作周期性变化 Ri ( t + T ) = Ri ( t ) r r 例如周期变化的磁场的矢势 A ( t ) 可作为 R ( t ) r R ( t ) 的周期变化在参量空间定义了一条闭合曲线 C 若假定周期 T 足够大，以致哈密顿算符随时间的 足够大， 变化很缓慢(此称为绝热变化过程 此称为绝热变化过程) 变化很缓慢 此称为绝热变化过程 ，致使系统在每 一瞬间都是准静止的， t 一瞬间都是准静止的，于是对于某一瞬时 ，瞬时定 态薛定谔方程成立
r r r r r Bm R = −∇R × Am R
( )
( )
（21） ）
r r r r r r r r r Bm = Im∇R × m R ∇R m R = Im∇R × m R ∇Rm R r r r r = Im ∇Rm R × ∇Rm R 2011-6-24
称为参数空间“磁场强度” 称为参数空间“磁场强度” 是参数空间“ 式（20）表明，贝利相位γ m ( t ) 是参数空间“磁 ）表明， 场强度”的磁通量的负值。 场强度”的磁通量的负值。与演化路径的几何结构 有关 因此，贝利相位又称为几何相位 几何相位。 因此，贝利相位又称为几何相位。 参数空间“ 磁场强度” 三 . 参数空间 “ 磁场强度 ” 的计 r r r r r 算 r r r r Q Bm R =−∇R ×Am R =−i∇R × m R( t) ∇R m R( t) 为实数 r r r ∴ m R( t ) ∇R m R( t ) 为纯虚数
m( R ( t ) )
∂ m( R ( t′) ) dt′ ∂ t′
iγm( t )
（15） ） （16） ）
于是，绝热近似下，方程（ ）的解（ ） 于是，绝热近似下，方程（7）的解（8）可写为
ψ (t ) = e
iαm ( t ) i γ m ( t )
e
（17） ）
称为贝利相位 是实的。 贝利相位， 由（15）式所给出的γm ( t ) 称为贝利相位，是实的。 ） 二、贝利相位的意义 iγ m ( t ) ψ 15）初看之下， 是绝对相因子， 式﹙15）初看之下， e 是绝对相因子， 不是可 ψ ψ 中消去了 eiγ m ( t ) 。但是，1984 观测量， 但是， 观测量，可观测量 年贝利指出， 15） 年贝利指出，当（15）式积分路径是 R ( t ) 参数空间的 闭合回路时， 具有物理意义。 2011-6-24 闭合回路时，可观察到 γm ( t) 的效果 ，具有物理意义。
C
( )
(
)
(
)
（19） ）
于是， 于是，贝利相位可写成
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r r r r r r γ m ( C) = ∫ Am R ⋅ dR ( t ) = ∫∫ dS ⋅∇× Am R C r S r r r = −∫∫ dS ⋅ Bm R = −Φm （20） ）
( )
r S
( )
( )
8
其中
& ih∑an ( t )e
n
（8）式代入（7）式得 ）式代入（ ）
iαn ( t )
n
n
& n( R( t ) ) − h∑an ( t )αn ( t ) e
n
iαn ( t )
n ( R( t ) )
+ih∑an ( t )e
n
iαn ( t )
由（4）式 ）
∂ iαn ( t ) n( R( t ) ) = ∑an ( t )e En ( R( t ) ) n( R( t ) ) ∂t n 1 & αn ( t ) = − En ( R ( t ) )
( )
( )( ( )
) ()
（25） ）
11
r Ex.自旋 1 2 的粒子在外磁场 R = X ( t ) , Y ( t ) , Z ( t ) 中运 自旋
试研究其Berry相位。 相位。 动，设粒子荷电为 q ，试研究其 相位
r q r qhr r 解：粒子磁矩为 M s = S = σ = µσ m m2
t ∂ am ( t ) =am ( 0) exp−∫ m( R( t′) ) m( R( t′) ) dt′ （12） ） 0 ∂t′ 其中初始条件 a m( 0) = 1 式（2）对时间求导 ）
积分得到
& & ） m( R ( t ) ) m( R ( t ) ) + m( R ( t ) ) m( R ( t ) ) = 0 （13）
( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )
(
(
( ) ( )
( )
( ))
m
R
R m
R
s 用 n R
左乘上式 ( n ≠ m ) ( ) ( ) r r ˆ r r ˆ n R ∇R H m( R) + n R H∇R m( R) r r r r r = ( ∇R Em ( R) ) n R m R + Em ( R) n R ∇R m( R)
即 2011-6-24
& Re m ( R ( t ) ) m ( R ( t ) )见（ ）式指数中被积函数为纯虚数， 可见（12）式指数中被积函数为纯虚数，若记
γ m ( t ) = i ∫ m ( R ( t ′) )
t 0
则（12）式可写成 ）
am ( t ) =e
瞬时本征态 ψn ( R( t ) ) = e 其中
iα n ( t)
（2） ） （3） ） （4） ）
n( R( t ) )
r 1 t αn ( t ) = − ∫ En R ( t ′) dt ′ h 0
(
)
称为动力学相位 称为动力学相位 绝热条件下， 绝热条件下，瞬时本征波函数的含时薛定谔方程 ∂ ih n( R( t ) ) = En ( R( t ) ) n( R( t ) ) （5） ） ∂t 左乘上式，并利用（ ） 用 m ( R ( t ) ) 左乘上式，并利用（2）式，则有 r ∂ ih m( R( t ) ) n( R( t ) ) = En R( t ) δmn （6） ） 2011-6-24 ∂t
Ch.7 Spin and undistinguished similar particles
第四讲
贝 利 相 位 Berry Phase
物理专业2008级 级 物理专业
2011-4-25
2011-6-24 1
引 言
如果有人问， Dirac说： “如果有人问，量子力学的主要特 征是什么？现在我倾向于说， 征是什么？现在我倾向于说，量子力学的主要特征 并不是不对易代数，而是概率幅的存在。 概率幅的存在 并不是不对易代数，而是概率幅的存在。后者是全 部原子过程的基础。概率幅是与实验相联系的， 部原子过程的基础。概率幅是与实验相联系的，但 这只是问题的一部分。 这只是问题的一部分。概率幅的模方是我们能观测 的某种量，即实验者所观测到的概率。但除此以外， 的某种量，即实验者所观测到的概率。但除此以外， 还有相位， 的数，它的变化不影响模方。 还有相位，它是模为1的数，它的变化不影响模方。 但这个相位是极其重要的， 相位是极其重要的 但这个相位是极其重要的，因为它是所有干涉现象 的根源，其物理意义是极其隐晦难解的。 的根源，其物理意义是极其隐晦难解的。” 年贝利从理论上指出了一种新的相位， 1984年贝利从理论上指出了一种新的相位，即 贝利相位，随后得到了实验的证实。 贝利相位，随后得到了实验的证实。
h
n
5
iα t iα t & & an ( t )e n ( ) n( R( t ) ) + ∑an ( t )e n ( ) n( R( t ) ) = 0 （9） ） ∑ 2011-6-24 n
m ( R ( t ) ) 左乘上式，可得 左乘上式， i(αn ( t ) −αm ( t ) )
( µ = qh
2m )
r r r ˆ 哈密顿量 H R ( t ) = −µσ ⋅ R ( t ) r ˆ 即 H R( t ) =−µ σx X +σy Y +σz Z
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0 1 0 −i 1 0 =−µ X ( t ) + Y ( t ) + Z (t) i 0 0 −1 1 0 X ( t ) −iY ( t ) Z (t) =−µ （2） ） X ( t ) +iY ( t ) −Z ( t ) ˆ 能量算符的本征方程 H χ ( t ) = E χ ( t )
()
( )
()
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
9
( )
R
r r r r r r r Bm = Im ∑ ∇Rm R n R × n R ∇Rm R n≠m r r r r 两反平行矢 rm R m R × m R ∇ rm R + ∇R R 量叉积为零 r r r r r r = Im ∑ ∇Rm R n R × n R ∇Rm R （22） ） n≠m ˆ 由瞬时定态薛定谔方程H m( R) = Em ( R) m( R) 取梯度 ˆ ˆ ∇r H m( R) + H∇r m( R) = ( ∇r E ( R) ) m( R) + E ( R) ∇r m( R)
r ˆ 设量子体系的哈密顿算符 H 是一组参量 R ( R1, R2 ,L, RD )
(
)
r ˆ H R( t) n( R( t) ) = En ( R( t) ) n( R( t) )