量子力学-量子散射的近似方法 Ⅱ. 玻恩近似;Rutherford散射 Ⅲ. 有心势中的分波法和相移
原子物理学中的量子力学和波恩近似
原子物理学中的量子力学和波恩近似量子力学是现代物理学中的重要分支，它描述了微观世界的行为规律。
在量子力学中，波恩近似是一种常用的近似方法，用于解决含有相互作用的多体问题。
本文将介绍量子力学的基本原理，并详细探讨波恩近似的应用。
量子力学是由一系列数学公式和原理构建而成的，它提供了一种描述微观粒子行为的框架。
其中最基本的原理是波粒二象性，即粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。
这种二象性在实验中得到了充分的验证，例如双缝干涉实验中的光子干涉和电子干涉。
在量子力学中，波函数是描述粒子状态的数学函数。
波函数的平方表示了找到粒子在某个位置或状态上的概率。
根据薛定谔方程，波函数的演化可以通过时间演化算符进行描述。
这些数学工具使得我们可以计算出粒子在不同条件下的行为。
然而，当涉及到含有相互作用的多体问题时，精确求解波函数变得非常困难。
这时，波恩近似就成为了一种有效的方法。
波恩近似是一种近似处理相互作用问题的方法，它将相互作用视为微扰，并通过级数展开来近似求解波函数。
波恩近似的核心思想是将系统分解为一个已知的非相互作用系统和一个微扰项。
对于已知的非相互作用系统，我们可以求解出其精确的波函数。
而微扰项可以看作是相互作用的影响，通过级数展开的方法，我们可以逐步考虑这些微扰项，从而得到近似的波函数。
波恩近似的应用范围非常广泛。
例如，在原子物理学中，我们可以将原子看作是一个核心和一些电子组成的系统。
在波恩近似下，我们可以将核心视为非相互作用的系统，而电子之间的相互作用则被视为微扰项。
通过波恩近似，我们可以解决包括电子-电子相互作用在内的多电子原子的问题。
除了原子物理学，波恩近似还被广泛应用于凝聚态物理学中的电子系统和声子系统等。
在这些系统中，相互作用的微扰项可能包括电子-电子相互作用、电子-声子相互作用等。
通过波恩近似，我们可以近似求解这些系统的波函数和能级结构。
尽管波恩近似在解决含有相互作用的多体问题中非常有用，但它也有其局限性。
05_量子散射
3 3 3 ∫∫∫ d k '
e i k '⋅ ( x − x ') k 2 − k '2
r r ik ' x − x ' cosθ
r
r r
=∑
n
r r x ϕn ϕn x' E − En
2π 1 e 2m ⎛ 1 ⎞ ∞ 2 ⎜ ⎟ k ' dk '∫0 dφ ∫−1 d (cos θ ) 2 k − k '2 h 2 ⎝ 2π ⎠ ∫0 r r ∞ k ' dk ' ik ' x − x ' 2m 1 e = 2 r r h 4π 2i x − x ' ∫−∞ k 2 − k '2
r hk r 2 J (θ , ϕ ) d Ω = j s ⋅ d S = f (θ , ϕ ) d Ω m
r hk j0 = m
求解正能量径向定态薛定谔方程：
σ (θ , ϕ ) = f (θ , ϕ )
σ t = ∫ f (θ , ϕ ) dΩ
2
可得微分散射截面为： 散射总截面为：
2
−
h2 2m
ik x − x ' r ˆ r r r r 2m e x ψ + = x k − 2 ∫∫∫ d 3 x' r r x ' V x x − x' h r r
两式经比较后，可得散射振幅为：
f (θ , φ ) = − m e − ik '⋅ x ' r ˆ + x' V ψ (2π ) 3 ∫∫∫ d 3 x' 2πh 2 (2π ) 3 / 2 r m ˆ =− (2π ) 3 k ' V ψ + 2πh 2
玻恩-奥本海默近似公式
玻恩-奥本海默近似公式玻恩-奥本海默近似公式是量子力学中用于描述散射过程的一种近似方法。
它是由玻恩和奥本海默在20世纪初提出的，被广泛应用于各个领域的物理研究中。
本文将介绍玻恩-奥本海默近似公式的原理和应用，并探讨其在实际问题中的重要性。
在量子力学中，散射是指入射粒子与散射体相互作用后改变运动方向或能量的过程。
玻恩-奥本海默近似公式是一种计算散射振幅的方法，它基于Born近似和奥本海默近似的理论基础。
这两种近似方法分别用于描述入射粒子和散射体的相互作用过程。
Born近似是指假设散射过程中入射粒子和散射体之间的相互作用可以被看作是微扰。
根据Born近似，可以通过求解微分方程得到散射振幅的表达式。
奥本海默近似是在Born近似的基础上进一步简化计算，假设散射体的形状和散射势能在入射粒子的波长尺度上变化较小，从而简化了计算过程。
玻恩-奥本海默近似公式可以用于计算散射振幅的大小和相位。
对于散射振幅的大小，可以通过公式中的积分项来计算。
对于散射振幅的相位，可以通过公式中的相因子来计算。
这些计算结果可以用于推导出散射截面、散射概率等物理量，进而研究散射过程的性质和规律。
玻恩-奥本海默近似公式在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在核物理中，可以利用该公式来计算不同能量的入射粒子与原子核的散射过程，从而研究核反应和核结构等问题。
在凝聚态物理中，可以利用该公式来计算电子在晶格中的散射过程，从而研究电子的输运性质和材料的导电性等问题。
玻恩-奥本海默近似公式的应用不仅局限于物理学领域，还可以扩展到其他领域。
例如，在化学反应动力学中，可以利用该公式来计算分子间的碰撞和反应过程，从而研究化学反应的速率和机理等问题。
在生物物理学中，可以利用该公式来计算生物分子之间的相互作用和结合过程，从而研究蛋白质折叠和药物与靶标的结合等问题。
玻恩-奥本海默近似公式是一种重要的量子力学近似方法，广泛应用于各个领域的物理研究中。
它的原理和应用使得我们能够更好地理解和描述散射过程，从而深入探索物质世界的奥秘。
量子散射 分波法 玻恩近似页PPT文档
性质，它们之间的相互作用，以及入射粒子
的动能有关，是， 的函数
4
一 散射截面 (续3)
Chapter.6 .Scattering
q(，)具有面积的量纲
[q]
dn Nd
L2
故称q(，)为微分散射截面，简称为截面
或角分布
如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截
面面积q(，)，则单位时间内通过此截面的 粒子数恰好散射到(，)方向的单位立体角
Jr2 i 2 r2 *2 * r2r2|f(,)|2 （11）
单位时间内，在沿 (,) 方向d立体角内
出现的粒子数为
dnJrds |
f (,)|2
r2
dsΒιβλιοθήκη | f (,)|2 Nd（12）
比较（1）式与（12），得到
q(,)| f(,)|2
（13）
13
二、散射振幅 (续7)
Chapter.6 .Scattering
由此可知，若知道了 f ( , ) ，即可求得 q( , )， f ( , ) 称为散射振幅。所以，对于能量给定的入
射粒子，速率 v 给定，于是，入射粒子流密度
N v 给定，只要知道了散射振幅 f ( , )，也就能 求出微分散射截面。 f ( , ) 的具体形式通过求
函数。
设 r时，V(r)0，方程（5）变为
2k20
令
r
（6）
（7）
8
二、散射振幅 (续2)
Chapter.6 .Scattering
将（6）式写成
2
r2
k2
Lˆ2 r2
0
在 r的情形下，此方程简化为
2
高二物理竞赛课件：量子力学之Born近似
2
0 1
1 0
；Sˆ
y
2
0 i
i 0
；Sˆ z
2
1 0
01
相应的Pauli 矩阵表示(Pauli 表象)为：
ˆ x
0 1
1 0
；ˆ
y
0 i
i 0
；ˆ z
1 0
01
它是电子的本身的内禀属性，是电子内部状态的表征，标志了电
子还有一个新自由度。
3.电子自旋值是 ， 而不是 的整数倍。 2
4.电子自旋的回转磁比率的定义：Msz e
Sz
e
轨道运动的回转磁比率定义为：M Lz e
Lz
2 e
可见：自旋回转磁比率等于轨道运动回转磁比率的两倍。
自旋函数是 21的矩阵，而自旋算符是作用在自旋函数上的，
U0 E
)1/
2
]
，
当粒子能量很高时， E U 0 ，则
(1 U 0 )1/ 2 1 U 0 ，
E
2E
则
ka(1 U 0 )1/ 2 ka kaU0
E
2E
kctg(ka
0
)
kctg[ka
kaU0 2E
]
，
0
kaU0 2E
1。
（ 0 1 U(r) 得影响很小 把U(r) 作为微扰越合理 微扰
法算的结果越准确 玻恩近似法越合用。） E 2k 2 k v ，速度大能量就高。（对势阱的情况就不讲了）
2 2
7
举例 对
粒子的高能散射：
把U (r) ZZ 'es2 er / a 代入微分散
r
射截面有
q(
)
4 2
4K 2
卢瑟福散射
卢瑟福散射卢瑟福散射实验是近代物理科学发展史中最具有影响力的重要实验之一。
本世纪初，人们虽然知道了物质由原子构成，并且由气体性质和热力学理论也知道了原子的大概尺寸，约为10-8cm 。
1897年，汤姆生（J.J.Thomson ）发现了电子，而且知道了电子是原子的组成部分，但原子的内部结构却仍处于假想阶段。
由于原子是中性的，电子带有负电荷，所以原子中还应有带正电的部分。
汤姆生提出一种原子模型，认为正电荷均匀地分布在整个原子球内，一定数目的电子“镶嵌”在这个球内或球面上。
电子可以在它们的平衡位置附近振动，从而发出特定频率的电磁波，这就是汤姆生的原子模型。
这似乎可以解释当时已观察到的原子光谱，但事实很快否定了这一模型。
1909年，卢瑟福（Lord Ernest Rutherford ）和其合作者盖革（H.Geiger ）与马斯顿（E.Marsden ）所进行的α粒子散射实验则为另一种原子模型，即原子的核式模型（又称“行星模型”）的建立奠定了基础。
卢瑟福散射实验最重要的结果是发现大约有1/8000的α粒子散射角大于900，甚至接近1800，即发现存在大角度散射。
当卢瑟福试图用汤姆生模型解释这个实验结果时，他发现大角度上的散射截面是不能被解释的。
在汤姆生模型中，正电荷分布于整个原子，因而在原子内部的任何位置上都不可能有足够强的电场使α粒子发生大角度散射。
为了证实该实验结果，卢瑟福认为原子中的正电荷不得不更紧密地集中在一起。
通过他对物理现象深刻的洞察力，最终提出了原子的核式模型。
在核式模型中，原子核的半径近似为10-13cm ，约为原子半径的1/105。
卢瑟福散射实验给了我们正确的有关原子结构的图像，是现代核物理的基石。
一、原理1. 瞄准距离与散射角的关系卢瑟福把α粒子和原子都当做点电荷，并且假设两者之间的静电斥力是唯一的相互作用力。
设一个α粒子以速度v 0沿AT 方向入射，由于受到核电荷的库仑作用，α粒子将沿轨道ABC 出射。
第5章3散射分波法和Born近似
ka
由此可得到总散射截面为
Q
Q0
4
k2
sin 2 0
4 sin 2[arctg( k tgk a) ka]
k2
k
在粒子能量很低k→0的情况下
式中
0
k a[ tg (k 0 a) k0a
1]
Q
4
k2
sin 2 0
4
k2
2 0
4a 2 (tgk0a
k0a
1)2
k0
2 | V0
2
|
k
如果散射场不是势阱而是方形势垒，即 V0＞0，
Q q( ,)d 0 0 q( ,) sindd
Q称为总散射截面。
2.散射截面的计算公式
取散射中心为坐标原点。用V(r)表示入 射粒子与散射中心之间的相互作用势能，
则体系的Schrödinger方程写为
2 2 V (r) E
2
令 k2 则有
2E
2
2
p2 2 ,v
[k
2
p k
2
,U (r)
dn
J r dS
v r2
|
f
( ,) |2
dS
v|
f
( ,) |2
d
微分散射截面是q( ,) | f ( ,)
N
|2
|
f
( ,)
|2
d
3.中心势场中的弹性散射――分波法
2 [k 2 U (r)] 0 (5．40)
取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为 极轴，这个轴是我们所讨论问题中的旋转对称， 波函数ψ和散射振幅f都与φ角无关。
i
(
l
1 2
l
rutherford散射公式及α粒子散射径迹是双曲线一分支的简明推证
rutherford散射公式及α粒子散射径迹是双曲线一分支的简明推证rutherford散射公式及α粒子散射径迹的研究对于了解原子结构的基本特征具有重要的意义。
本文将通过简明的推证，探讨rutherford散射公式及α粒子散射径迹是双曲线一分支的原因。
主体rutherford散射公式是描述α粒子在经过质子或原子核散射后偏转角度的公式。
其公式为：θ=2arctan(b/2d)其中，θ为偏转角度，b为散射中心与散射粒子的最近距离，d 为散射粒子与质子或原子核的距离。
我们可以将rutherford散射公式转化为直角坐标系中的方程，即：y=b/sqrt(1-(x/d)^2)其中，y为偏转角度，x为散射中心与散射粒子的距离。
我们可以将该方程进行简单的变形，得到：(x/d)^2+y^2=b^2/d^2该方程可以表示一个双曲线的一支，其顶点位于原点，焦点为散射中心。
而α粒子散射径迹也可以用类似的方式表示为一个双曲线的一支。
当α粒子经过原子核散射后，其散射径迹可以表示为：(x/d)^2-y^2=b^2/d^2该方程同样表示一个双曲线的一支，其顶点位于原点，焦点为散射中心。
结论通过以上的推导，我们可以发现rutherford散射公式及α粒子散射径迹都可以表示为一个双曲线的一支。
这是由于散射中心与散射粒子的距离在散射过程中是一个常数，因此它们的散射轨迹都可以表示为一个以散射中心为焦点的双曲线的一支。
结语通过本文的推导，我们可以更深入地理解rutherford散射公式及α粒子散射径迹的本质特征。
这有助于我们更好地理解原子结构的基本特征，为后续的相关研究提供了有力的理论支持。
Rutherford散射实验的使用教程
Rutherford散射实验的使用教程在物理学的发展史上，Rutherford散射实验被认为是开创了原子核物理学的大门。
这一系列实验由欧内斯特·卢瑟福（Ernest Rutherford）领导，为我们认识原子核结构和理解微观世界的奇妙之处提供了重要的线索。
本文将介绍Rutherford散射实验的概念、实验装置以及实验步骤。
一、Rutherford散射实验的概念Rutherford散射实验是在20世纪初期进行的一系列重要实验，用以研究原子结构。
当时的科学家们普遍认为，原子是一个均匀分布的正电子云，而正电荷和负电荷相互抵消。
然而，卢瑟福通过他的实验研究发现，正电荷主要集中在原子核中，并且核占据原子很小的体积，其外围存在一个电子云。
二、实验装置1. 阿尔法粒子源：阿尔法粒子是一种带正电的氦离子，由两个质子和两个中子组成。
实验中，需要使用一个阿尔法粒子源，产生大量的阿尔法粒子以进行散射。
2. 金属箔：实验中使用的金属箔通常是非常薄的，如铂金、铝或金属箔。
这种金属箔的厚度通常只有几个原子层，以确保散射的阿尔法粒子能够穿过。
3. 散射屏：散射屏位于阿尔法粒子源和金属箔之间。
它可以轻松移动，用于控制阿尔法粒子束的强度和角度。
4. 探测屏：探测屏用于记录被散射的阿尔法粒子的位置。
可以使用比如闪烁屏或者感光底片作为探测屏。
三、实验步骤1. 准备实验装置：安装阿尔法粒子源、金属箔、散射屏和探测屏。
确保实验环境的干净和安全。
2. 开始散射：调整散射屏，并打开阿尔法粒子源。
让阿尔法粒子束穿过散射屏和金属箔，被探测屏捕捉到。
3. 记录数据：通过观察探测屏的结果，记录散射的位置和角度。
可以用标尺或其他测量仪器来量化实验数据。
4. 分析数据：根据实验数据，可以计算出阿尔法粒子在金属箔中的散射角度，并推测原子核的存在。
5. 定性分析：通过分析不同散射角度下的实验数据，可以研究原子核的性质，如半径和质量。
四、实验结果与启示通过Rutherford散射实验，卢瑟福发现了原子核的存在，并提出了新的原子模型，即“卢瑟福模型”。
量子散射 分波法 玻恩近似
19
三、分波法 (续5)
Chapter.6 .Scattering
利用（3-8）、（3-9），可将（3-7）写成
( r , )
r
e (2l 1)i f ( ) [e r l 0 2ikr
ikr l
1 i ( kr l ) 2
e
1 i ( kr l ) 2
（3-5）
17
三、分波法 (续3)
Chapter.6 .Scattering
为了后面的方便起见，这里引入了两个新的 常数 l Al kAl, l l 2 将（3-5）代入（3-2），得到方程（3-1）在 r 情形下通解的渐近形式
r ( r , )
Al 1 kr sin kr 2 l l Pl (cos ) l 0
eikr r ikz (r ) Ae f ( , ) r
（9）
11
二、散射振幅 (续5)
Chapter.6 .Scattering
为方便起见，取入射平面波 e ikx 的系数 A 1 ， | 1 |2 1 ，入射粒子束单位体积中的粒 这表明 子数为1。 入射波几率密度（即入射粒子流密度）
2
2
（4）
2 V (r ) 2 U (r )
7
方程（4）改写为
二、散射振幅 (续1)
Chapter.6 .Scattering
[k V (r )] 0
2 2
（5）
由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从 微观角度看，可以认为 r ，因此，在计算 q( , ) 时，仅需考虑 r 处的散射粒子的 行为，即仅需考虑 r 处的散射体系的波 函数。 设 r
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42 K2 42
sin2
K2 42
2
t
而仍处于 Hˆ 0本征值为 BB0的本征态，即 自旋向下态的概率为
PBB0 cos2
K2 2
42
t
K2 K2 42
sin2
K2
2
42
t
0 1
10
2
电子所处的态随时间在这两个态之间震荡。
2
当
0
2BB0
时，电子所处的态
B. 绝热定理 由公式
(t)
am (t)
um(t)
e
i
tti
Em (t)dt
m
am (t) am (0)eim (t)
我们就有绝热定理：若体系在 ti 0 的初始时刻处于 un(0) ，即 am(0) nm , 则在绝热近似条件下，t 时刻体系仍处于
瞬时本征态 un (t) , 体系的绝热近似波函 数为
dn d
即
dn (, )d
比例常数一般是 (, ) 的函数；如入
射方向为轴 z（且束和靶都不极化），则
第二十七讲回顾
Ⅱ. 磁共振 A. 跃迁概率和跃迁率 B. 严格求解—Rabi 振荡 C. 一级近似公式的精确性
Ⅲ. 绝热近似 A. 绝热近似的条件 B. 绝热定理
Ⅲ. 磁共振
电子置于均匀磁场 B0 （在 Z 方向 ） 中，则
Hˆ 0
s
B0
ems me
B0
于是简并态（对自旋）发生分裂，其能量
差
E E E 0 2BB0
2 mm
m B02
(Vm (B))z m / B02
这表明 Vm(B) 是平行磁场 Bˆ (t) ，即
垂直 B 空间的球面，所以
m (C)
m ds
s(C)
nˆ s B02
m(C)
其中 (C) 就是回路 C 对着简并态处的 （ B 0 ）立体角。
B0
第十一章 量子散射的近似方法
Ⅰ. 一些描述散射的物理量 在束缚态问题中，我们是解本征值问
n(t)
e
i
n
(
t
)e
i
0t
En
(
t
)dt
un (t)
n (t) i0t un (t) u n (t) dt
也就是说，在绝热演化过程中，体系的状 态被扰动而跃迁到态 um(t) (m n) 的概 率是可忽略的。
第 二十 八 讲
Ⅴ. 贝利相位和贝利相位因子
第十一章 量子散射的近似方法
Ⅰ. 一些描述散射的物理量
Vn(R)
所以，
nNew(C) n(C)
这类似于‘‘矢势‘V‘n (，R )
，经规范变
换后n (C)
n (C)
， 保持不变，即 是规范不变的。
例：B考(t)虑在磁场中自B旋0 的问题。 kˆ 当 保持其长度 不变但缓慢地绕
轴转动。自旋也随之改变其方向。体系
的哈密顿量Hˆ可写为gsˆ Bˆ (t) /
um(t)
e
i
tti
Em (t)dt
m
如果因哈密顿量 Hˆ (t) 的变化而引起
am(t) un (t) u m(t)
非常光滑又缓慢地变化，而且
e
i
tti
[En
(
t
)
Em
(t
)]dt
又是一个振荡很快的函数，则有绝热近似
解
an (t) an (0)ein (t)
的条件为
un (t) u m (t) 1 En(t) Em(t)
有
R(ti ) R(tf )
Hˆ (r,R(ti )) Hˆ (r,R(tf ))
态矢量
n (r, R(tf
))
ein (tf
e )
i
tf ti
En (t)dt
un (r, R(tf
)
与
n(r, R(ti )) un(r, R(ti )
之间能够发生干涉。所以，态矢量在参数 空间中经封闭路径后，相位
Im Run(r, R) um(r, R) um(r, R) Run(r, R)
mn
根据公式
um (t) un(t) (En(t) Em(t)) um(t) Hˆ (t) un(t)
um(t) Run(t) (En(t) Em(t)) um(t) (RHˆ (t)) un(t)
得
Vn (R) Im( Run (r, R) um(r, R) um(r, R) Run(r, R) )
mn
Im
mn
un (r, R) (RH(R)) um (r, R) um(r, R) RH(R) un(r, R)
En (R) Em (R)2
n(C) 变化仅与封闭路径 C 相关 ( 这 一点我们将在下面的例子看到 ) ，所以它 又被称为贝利几何相位以与动力学相位
A．散射截面定义
B．散射振幅
Ⅴ. 贝利相位和贝利相位因子
在1984年以前，人们常将演化波函数 表为
n (t)
e
i
t
0 En (t)dt
un (t)
或者认为，瞬时本征矢是由瞬时本征方程 所定义，所以可自由选择相位因子以使上 式成立。
但到1984年，贝利指出，不是所有过 程的本征函数都可以简化为上式。这一论 证不仅指出，相位因子并不总是可以任意 选择的，而且开辟了量子力学应用的新领 域。
t
其中 n(t) i 0 un(t) un(t) dt
绝热近似条件可表为
un (t) Hˆ (t) um(t) En (t) Em(t) En(t) Em(t)
即体系的特征频率
En(t) Em(t)
远大于微扰作用的相对变化率。这就是哈 密顿量 Hˆ (t) 变化是否非常缓慢的判据。
应当注意，判断物理过程是否满足绝 热近似条件时，不仅要判断某时刻的绝热 近似条件是否满足，还要求体系在演化过 程中能级 Em(t) 不发生交叉。
题，以期与实验的能量测量值比较。而在 散射问题中，能量是连续的，初始能量是 我们给定的（ 还有极化 ）。这时有兴趣 的问题是粒子分布（ 即散射到各个方向上 的强度）。所以散射问题（特别是弹性散
射 ），主要关心的是散射强度，即关心远 处的波函数。 A．散射截面定义：
用散射截面来描述粒子被一力场或靶 散射作用是很方便的。反之，知道散射截 面的性质，可以推出力场的许多性质。而 我们对原子核和基本粒子性质，很多是这 样推出的。这也是量子力学中的逆问题。
En(R(t))dt
相区别。 显然，贝利相位不会因为瞬时本征态
的相因子的另外选择而改变。 证：设新的瞬时本征态为
un (r, R(t) new ei(R) un (r, R(t)
则
VnNew(R)
Im[
R
( new
un(r,R) R
un (r, R)
)]
new
Im[R ( un(r,R) R un(r,R) ) iR (R(R)) un(r,R) un(r,R) ]
随时间的变化率很小的问题。
A. 绝热近似的条件 当哈密顿量 Hˆ (t) 随时间变化非常缓慢
时，则可定义瞬时本征方程
Hˆ (t) um (t) Em (t) um (t)
并有 un (t) um(t) nm 对于 t 时刻，薛定谔方程
i (t) Hˆ (t) (t) t
的解可表为
(t)
am(t)
0 1
则 t 时刻，
t
2i
eit / 2 sin
K2
42
t
K2 42
2
eit / 2
iK sin
K2
42
t
K2 42 cos
K2 42
2
K2
42
t
2
处于 Hˆ 0 本征值为 BB0 的本征态，
其表示为
1 0
所以， t 时刻，电子处于自旋向上态的概
率为
PBB0
cos t
sin
t
0
sin t cos t
0
0 B0 sin ) 0
0
0
0
1 B0 cos B0
在 Rz (t)Ry ()B(t)
cos t sin t 0 cos 0 sin 0
sin
t
cos t
0
0
1
0
0
0
0
1 sin 0 cos B0
B(t) (B0 sin cos t,B0 sin sin t,B0 cos )
Ry ()Rz (t)B(t)
cos 0 sin cos t sin t 0 B0 sin cos t
0
1
0
sin
t
cos t
0
B
0
sin
sin
t
sin 0 cos 0
0 1 B0 cos
n (C) [Im un (r, R) R un (r, R) ] dR
C
ds Vn(R)
s(C)
是一个可观测量。它被称为 Berry 相位。
ein (C)
被称为 Berry 相位因子。而
Vn (R) Im[R ( un (r, R) R un (r, R) )]
Im( Run (r, R) Run(r, R) )
考虑一个体系，其哈密顿量随时间在 一多维参量空间中演化。它的瞬时本征方 程为
Hˆ (r,R(t)) un(r,R(t)) En(R(t)) un(r,R(t))
体系的薛定谔方程是
i
d dt
n
(r
,
R(t))