量子力学-含时间的微扰论 Ⅴ.贝利相位和贝利相位因子 第十一章 量子散射的近似方法Ⅰ.一些描述散射的物理量
量子力学中的微扰论
量子力学中的微扰论第一章近似方法无论是经典力学还是量子力学，可以严格求解的物理系统总是少数。
如在经典力学中，两个物体在万有引力作用下运动，即二体问题是可以严格解的，解出来就是位置随时间变化的关系；如果再加上一个物体，即三个物体之间存在着引力，它们的运动规律就是经典力学中著名的三体问题。
19世纪末，法国数学家彭加勒证明了三体问题是不可解的，或说是不可积的，即无法表示为一个轨道的方程甚至无法表示为一个不定积分。
彭加勒证明：对可积问题，初始条件作微量调整，最终轨道也只要作微量修正就行了；如果是不可积问题，初始条件的微小变动就会导致轨道完全不一样，即轨道对初始条件十分敏感。
实际的物理系统大多属于无法严格求解的问题。
为了研究这些数学上无法严格求解的问题，我们可以使用各种近似方法、计算机模拟或数值计算等进行处理。
在什么情况下使用什么样的近似方法，考虑哪些因素，忽略哪些因素，取舍之间蕴涵着丰富的物理内容。
如：经典力学中的三体问题，通常使用微扰论来解决，即把第三个物体的影响当作微扰来处理。
譬如，地球与太阳是两体问题，加上月亮就构成了三体问题。
月亮对地球轨道也有影响，但这个影响很小，这就可以用微扰的方法来处理。
微扰论在经典力学中取得的主要成就有：海王星的发现、星际航行。
量子力学处理的是微观粒子，而实际问题大多包含多个微观粒子，因此量子力学处理实际问题的复杂性还来自于——多体性。
对于具体物理问题的薛定谔方程，能够像粒子在一维无限深势井中运动和氢原子体系这样的问题能够精确求解的问题很少。
在通常遇到的许多问题中，由于系统的哈密顿算符比较复杂，往往不能求出精确的解，只能求近似解。
因此，量子力学中用来求问题的近似解的方法，就显得非常重要。
近似方法通常从简单的问题的精确解出发来求比较复杂的问题的近似解。
在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数，因此，引入各种即时方法以求解薛定谔方程的问题显得十分重要。
量子力学的Berry相位
量子力学的Berry相位量子力学的Berry相位是一种描述量子系统的相位效应的概念。
它由英国物理学家Michael Berry于1984年首次提出，被广泛运用于凝聚态物理、光学、量子信息等领域。
1. 简介在传统的量子力学理论中，波函数的演化只与哈密顿量有关。
然而，Berry相位的引入，使我们可以考虑系统在闭合回路中的演化路径对最终态的影响。
即系统在Adiabatic过程中，会积累一种额外的相位，即Berry相位。
2. Berry相位的来源Berry相位的来源主要是系统的哈密顿量的本征值的演化。
当外部参数发生改变时，哈密顿量也会相应地发生改变，导致本征值的变化。
这种变化会影响波函数的相位，从而导致Berry相位的产生。
3. Berry相位的数学表达Berry相位的数学表达式是由Berry在论文中提出的。
对于一个经典系统，其哈密顿量可以写作H(x, p)，其中x是位置，p是动量。
对应的Schrodinger方程可以写作H(x, -i∇)ψ = Eψ。
Berry相位可以用下面的公式表示：Φ_B = i∫[A(x)dxi]其中A(x)是Berry规范势。
这个公式的意义是描述波函数的全局相位随着参量x以某种路径变化时的积分。
4. Berry相位的实验观测Berry相位的存在可以通过实验观测得到证明。
实验上，可以通过施加外磁场、操控光学系统的参数等手段来引入Berry相位，然后通过测量干涉、干扰效应来观测这一相位。
5. 应用与前景Berry相位在凝聚态物理、光学和量子信息等领域有着广泛的应用。
它可以用于解释一些物理现象，如自旋核磁共振、量子霍尔效应等。
同时，Berry相位还为量子计算、量子通信等领域的发展提供了新的思路。
6. 发展与挑战虽然Berry相位在理论和实验上已经得到了广泛的研究，但仍存在一些挑战。
例如，如何将Berry相位与其他相位效应相结合，以及如何在更复杂的系统中描述Berry相位等。
这些问题需要更深入的研究和理解。
量子力学第9章-含时微扰
ˆ ˆ H(t) = H0 + H′(t)
量与时间有关， 因为 Hamilton 量与时间有关，所以体系波函数须由含时 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的， Schrodinger 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的， 而定态微扰法在此又不适用， 而定态微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理 论。 含时微扰理论可以通过 含时微扰理论可以通过 H0 的定态波函数近似地求出微扰存 在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后， 在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后， 体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。 体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。
比较等式两边得
(0 (1 δnk = an )(0) +λan )(0) +⋯
(0 an )(0 =δnk ) (1 (2 an )(0 = an )(0 =⋯ 0 ) ) =
n
幂次项得： 比较等号两边同 λ 幂次项得：
不随时间变化，所以a 因 an(0)不随时间变化，所以an(0)(t) = an(0)(0) = δnk。 后加入微扰，则第一级近似： t ≥ 0 后加入微扰，则第一级近似：
(0 (1 (2 an = an ) +λan ) +λ2an ) +⋯
∑
n
n
n
n
m n
零级近似波函数 am 不随时 d m) a(0 间变化， = 0 间变化，它由未微扰时体系 (4)解这组方程 解这组方程， (4)解这组方程，我们可得到关于 所处的初始状态所决定。 所处的初始状态所决定。 t d 的各级近似解， an 的各级近似解，从而得到波函 d (1) am (0 ˆ ′ 的近似解。实际上， 数 Ψ 的近似解。实际上，大多数 iℏ n = ∑ an )H neiωm t m d t 情况下，只求一级近似就足够了。 情况下，只求一级近似就足够了。 n a(2 1， （最后令 λ = 1，即用 H’mn代替 d m) (1 ˆ ′ n iℏ = ∑ an )H neiωm t m d t n λ H’mn，用a m (1)代替 λa m (1)。） ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ = ⋯ ⋯
量子化学 微扰理论
0 2 0 1 ˆ ˆ 1 ( H 0 − E n )∑ b jψ 0 = E nψ n + ( E n − H ' )ψ n j j
0 2 0 1 1 ˆ b j ( E 0 − En )ψ 0 =Enψ n + ( En − H ' )ψ n ∑ j j j
ˆ Hϕ n = Eϕ n
无法得到本征值E和本征函数ϕ 但已知另一个体系的具体情况： 无法得到本征值 和本征函数ϕn。但已知另一个体系的具体情况： 和本征函数
0 ˆ 0 H 0ϕ n = E 0ϕ n
ˆ ˆ 只有很小差别。 并且 H 与 H 0只有很小差别。
例如一维非谐振子具有： 例如一维非谐振子具有： h2 d 2 1 2 ˆ H =− + kx + cx 3 + dx 4 2m dx 2 2
( ( ( ( E n ≈ E n0 ) + E n1) + E n2) = E n0 )
| H ' kn | 2 + H ' nn + ∑ 0 E n − E k0 k ≠n
。（略 当m≠n时，就可求出二级波函数修正者。（略） 时 就可求出二级波函数修正者。（
用微扰理论处理非简并态体系已完成， 用微扰理论处理非简并态体系已完成，整个过程中除几个重要的 公式外，另预注意以下几点： 公式外，另预注意以下几点： （1）一级修正能量值的计算比较方便，只需要计算积分： ）一级修正能量值的计算比较方便，只需要计算积分：
0 0 1 0 0 0 ˆ 0 a j ( E 0 − E n ) ∫ (ϕ m ) *ϕ 0 dτ = E n ∫ (ϕ m ) *ϕ n dτ − ∫ (ϕ m ) *H 'ϕ n dτ ∑ j j j
第六讲.贝利相位.ppt
例如周期变化的磁场的矢势 r
At
可作为
Rt
Rt 的周期变化在参量空间定义了一条闭合曲线 C
若假定周期 T足够大，以致哈密顿算符随时间的
变化很缓慢(此称为绝热变化过程) ，致使系统在每
一瞬间都是准静止的，于是对于某一瞬时t ，瞬时定
态薛定谔方程成立
Hˆ
r R
t
nRt
En Rt
nRt
（1）
2020瞬/4/10时本征函数满足的正交归一化条件
3
mRt nRt mn
瞬时本征态 n Rt ei nt nRt
其中
n
t
1 h
t
0 En
r
Rt
dt
称为动力学相位
（2） （3） （4）
绝热条件下，瞬时本征波函数的含时薛定谔方程
ih t
nRt
En Rt
nRt
（5）
用 mRt 左乘上式，并利用（2）式，则有
2020/4/10
ih
mRt
t
r Bm
r R
算r
r R
Am
r R
i r R
m
r
Rt
r R
m
r
Rt
为实数
m
r R
t
r R
m
r R
t
为纯虚数
r
r
r
Bm
Im r R
mR r
r m R Rr
Im rm R rm R
2020/4/10
R
R
r
r
Im r m R r m R
R
R
9
r
（14）
6
可见（12）式指数中被积函数为纯虚数，若记
微扰理论及其应用
渤海大学本科毕业论文（设计）含时微扰理论及其应用Time-dependent perturbation theory and its application学院（系）：数理学院物理系专业：物理学（师范）学号：10030009学生姓名：庞涛入学年度：2010指导教师：韩萍完成日期：2014 年5 月5 日渤海大学Bohai University摘要在量子力学中，精确求解薛定谔方程是很困难的，一般只能求近似解，应用微扰理论可以求得近似解。
学好微扰理论在以后的学习中具有很大帮助。
微扰理论分为两类，不含时微扰理论和含时微扰理论。
在量子力学中，含时微扰理论研究的是一个量子系统的含时微扰所产生的效应.该理论是由英国物理学家狄拉克首先提出和发展建立起来的。
应用含时微扰理论可以近似的计算出有微扰时的波函数，从而计算无微扰体系在微扰作用下由一个量子态跃迁到另一个量子态的跃迁概率。
含时微扰包括常微扰和周期微扰，在这两种微扰作用下，得到的结果是不同的，我们分析计算了在常微扰和周期微扰两种微扰作用下的跃迁概率，得到了一些结论。
在常微扰作用下时，我们得到了一个重要公式，该公式被称为费米黄金定则。
常微扰是只在一段时间内起作用，时间足够长的话，则跃迁概率与时间无关；而通过计算无微扰体系在周期微扰作用下的跃迁概率，得出的结论是周时，期微扰的频率只有在一定范围内，才会发生跃迁。
只有当外界微扰含有频率mk才会出现明显跃迁。
此外，我们还讨论了光的发射和吸收，给出了偶极跃迁的选择定则。
最后对激光的产生和激光的应用进行了介绍。
关键词：选择定则；含时微扰；跃迁概率；黄金规则Time-dependent perturbation theory and its applicationAbstractIn quantum mechanics, the exact solution of Schrodinger equation is very difficult, generally only approximate solutions, using the perturbation theory can be obtained the approximate solution. To learn a great help to the perturbation theory of learning in the future. Perturbation theory is divided into two categories, not the time-dependent perturbation theory and time-dependent perturbation theory.In quantum mechanics, the time-dependent theory of perturbation is the effect of a quantum system with time-dependent perturbation generated. This theory was first proposed and developed by the British physicist Dirac. Calculated using time-dependent perturbation theory can be approximated by a wave function perturbation, thus calculated without perturbation system under the perturbation induced by a quantum state transition to the transition probability of another quantum state. The time-dependent perturbation included regular perturbation and periodic perturbation, in which two kinds of perturbations, the result is different, analysis of transition probability in constant perturbation and periodic perturbation two perturbation effect was obtained by us, some conclusions were obtained. In the constant under perturbations, we obtain a formula, the formula is called the Fermi golden rule. The perturbation is often work only in a period of time, time is long enough, the transition probability is independent of time; and through the calculation of transition probability without perturbation system in the period under perturbations, it was concluded that the periodic perturbation frequency only in a certain range, the transition will occur. Only when the external perturbation with frequency, will appear obvious transition. In addition, we also discuss the emission and absorption of light, gives the dipole transition selection rule. Application of laser and laser produced finally is introduced in this paper.Key Words：Selection rule；time-dependent perturbation；transition probability；The golden rule目录摘要 (I)Abstract (II)引言 (1)1 含时微扰理论的概述 (2)1.1 含时微扰理论下的薛定谔方程 (2)1.2 跃迁概率 (3)2 常微扰和周期微扰 (5)2.1 跃迁概率和费米黄金定则 (5)2.2 周期微扰 (7)3 含时微扰理论的应用 (10)3.1 光的发射和吸收 (10)3.1.1 爱因斯坦的发射和吸收系数 (10)3.1.2 用微扰理论计算发射和吸收系数 (11)3.2 选择定则 (14)3.3 典例分析 (16)4 激光简介 (18)4.1 激光的产生 (18)4.2 激光的应用 (19)结论 (21)参考文献 (22)引言在量子力学中，对于具体物理问题的薛定谔方程，可以准确求解的问题是很少的，一般只能求近似解。
3Berry相位之争
[第3讲]Berry相位争论分析━━可积与不可积？动力学与几何？I，前言II，关于Berry相位的争论1，Berry之前的看法——Schiff为代表2，Berry, Simon的推导论证3，不同看法（I）——Berry相位是动力学相因子?4，不同看法（II）——Berry相位只能从含时Schrodinger方程导出?5，不同看法（III）——能量本征态叠加有Berry相位?III，“Berry相位本质”争论的澄清1，一个反例：一维准定态的矢量平移总是拓扑平庸的2，正确的说法：一盆有小孩的洗澡水3，不必从含时Schrodinger方程导出Berry相位4，“不同能级本征态叠加中的Berry相位”问题分析IV，Berry相位几何本质的再澄清1，二维流形上矢量平移及协变导数计算2，二维球面和乐（Holonomy）相因子计算3，流形上的协变计算V，小结※※※I ，前 言1984年Berry 提醒人们注意在准稳态含时系统演化中存在一类拓扑相位。
它源自系统含时Hamiltonian 参数空间的非平凡拓扑性质。
它们其实是弯曲空间中矢量平移的和乐（Holonomy ）相位。
II ，关于Berry 相位的争论1，Berry 之前人们的看法——以Schiff 为代表设Hamiltonian 通过含时参量()R t 依赖于时间，即()()()H t H R t =，Schrodinger 方程为 ()()()()()()()0,0n t t i H R t t t R t ψψψϕ=∂==∂ （3.1）假设此含时过程是个绝热演化过程，即，时刻都有准定态方程成立，()()()()()()()()()()()()n n n n n nn H R t R t E R t R t R t R t ϕϕϕϕδ''⎧=⎪⎨=⎪⎩（3.2） 注意，虽然Hamiltonian ()()H R t 变化足够缓慢(标准是不致引起相关量子数改变的状态跃迁)，但经历长时间演化，其变化量可以很大。
量子力学-量子散射的近似方法 Ⅱ. 玻恩近似;Rutherford散射 Ⅲ. 有心势中的分波法和相移
42 K2 42
sin2
K2 42
2
t
而仍处于 Hˆ 0本征值为 BB0的本征态，即 自旋向下态的概率为
PBB0 cos2
K2 2
42
t
K2 K2 42
sin2
K2
2
42
t
0 1
10
2
电子所处的态随时间在这两个态之间震荡。
2
当
0
2BB0
时，电子所处的态
B. 绝热定理 由公式
(t)
am (t)
um(t)
e
i
tti
Em (t)dt
m
am (t) am (0)eim (t)
我们就有绝热定理：若体系在 ti 0 的初始时刻处于 un(0) ，即 am(0) nm , 则在绝热近似条件下，t 时刻体系仍处于
瞬时本征态 un (t) , 体系的绝热近似波函 数为
dn d
即
dn (, )d
比例常数一般是 (, ) 的函数；如入
射方向为轴 z（且束和靶都不极化），则
第二十七讲回顾
Ⅱ. 磁共振 A. 跃迁概率和跃迁率 B. 严格求解—Rabi 振荡 C. 一级近似公式的精确性
Ⅲ. 绝热近似 A. 绝热近似的条件 B. 绝热定理
Ⅲ. 磁共振
电子置于均匀磁场 B0 （在 Z 方向 ） 中，则
Hˆ 0
s
B0
ems me
B0
于是简并态（对自旋）发生分裂，其能量
差
E E E 0 2BB0
2 mm
m B02
(Vm (B))z m / B02
这表明 Vm(B) 是平行磁场 Bˆ (t) ，即
量子力学中的几何相位理论解析
量子力学中的几何相位理论解析量子力学是描述微观粒子行为的物理学理论。
而在量子力学中，除了波函数和概率幅之外，还有一个重要的概念，即相位。
量子力学中的相位非常特殊，它与粒子的运动状态息息相关，并对粒子的行为产生重要影响。
在相位的研究中，几何相位理论是一种非常重要的方法，它揭示了粒子运动中的一些基本规律。
几何相位理论最早由英国物理学家迈克尔贝瑞斯（Michael Berry）在20世纪80年代提出，并在量子力学中得到广泛应用。
它的核心思想是，粒子在路径或演化过程中并非只受到动力学相位的影响，还受到一种独特的几何相关相位的作用。
这种相位与粒子运动的轨迹和磁场等有关。
通过研究几何相位，我们可以更深入地理解粒子行为的规律。
为了理解几何相位的具体含义，我们可以从一个简单的实例入手。
考虑一个自旋1/2的粒子被放置在一个均匀磁场中的情况。
根据常规的动力学相位的计算方法，我们可以算出粒子受磁场作用旋转的角度，而几何相位则围绕着磁场的拓扑特性展开。
当粒子沿着一个闭合路径在磁场中运动时，几何相位与路径的拓扑关系密切相关。
除了自旋，光的传播也是几何相位研究的重要对象。
在几何光学中，我们知道光在传播过程中会经历反射、折射等现象。
而在量子力学中，我们可以通过几何相位理论来深入理解这些现象。
例如，当光穿过一个较弯曲的光学元件时，会产生一种相位变化。
而如果我们采用常规的动力学相位的计算方法，往往无法彻底解释光的行为。
而几何相位理论则可以从一个几何的角度给出更准确的描述。
通过对光路的分析，我们可以计算出光线经过弯曲路径后所引入的相位变化，从而更好地解释光在不同介质中传播的特性。
几何相位理论不仅仅局限于经典情形，对于量子力学中复杂系统的研究也有重要意义。
例如，在量子力学的多粒子系统中，粒子之间的相互作用会导致相位的变化。
几何相位理论可以帮助我们理解这种相位变化背后的物理规律，并为多粒子系统的研究提供指导。
通过对系统的几何结构进行分析，我们可以揭示粒子之间相互作用的本质，并研究它们对粒子行为的影响。
贝里相位和贝里曲率
贝里相位和贝里曲率摘要：本文详细探讨了贝里相位（Berry phase）和贝里曲率（Berry curvature）这两个在量子力学和凝聚态物理中极其重要的概念。
文章首先介绍贝里相位的物理背景和数学定义，然后深入讨论贝里曲率以及它们在几何相位、拓扑绝缘体和量子霍尔效应等方面的应用。
通过严谨的数学推导和清晰的逻辑阐述，旨在为读者提供一个全面理解这些概念及其物理意义的参考。
1. 引言在量子力学领域，系统的演化不仅取决于其哈密顿量，还受到系统参数空间中路径的影响。
贝里相位是一个描述量子系统在绝热循环演化过程中获得的几何相位的概念。
该现象由英国物理学家迈克尔·贝里（Michael Berry）于1984年首次提出。
贝里相位与系统的能级结构紧密相关，而与之直接相关的贝里曲率则揭示了参数空间中的拓扑性质。
2. 贝里相位的基本概念贝里相位是量子绝热定理的一个结果，它描述了当一个量子系统沿一条闭合路径绝热演化时，除了动态相位外，还会获得一个额外的相位。
这个相位与系统参数空间中的路径有关，并且与经典的相空间轨迹不同。
贝里相位的数学表达涉及波函数的演变以及贝里连接数（Berry connection）。
3. 贝里曲率的定义与计算贝里曲率是一个描述在参数空间中贝里连接数强度和方向的矢量场。
它是贝里相位的直接衍生物，可以通过对贝里连接数求导得到。
贝里曲率在数学形式上类似于磁场，其在量子系统中的作用也相似于磁场在经典电磁理论中的角色。
4. 贝里相位和贝里曲率的物理意义贝里相位和贝里曲率不仅仅是理论上的构造，它们在多个物理领域中都有实际应用。
例如，在光学中，贝里相位可以用于设计具有特殊性质的光学元件；在固体物理学中，贝里曲率与电子能带结构的关系对于理解拓扑绝缘体和量子霍尔效应至关重要。
5. 贝里相位和贝里曲率的应用实例文章接下来将通过几个具体的应用案例来进一步阐明贝里相位和贝里曲率的物理内涵和实验观测。
包括量子系统的绝热演化、光学活动中的涡旋光束产生、以及凝聚态物质中的拓扑相变等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
K2 2
42
eiteit
普遍解为
((t))
Ac1 Ac2
Bc1 Bc2
A
K
Aeit Beit K 2 42 eit B K 2
K2 2
42
eit eit
若 t 0 ，电子处于 Hˆ 0本征值为 BB0 的本征态，其表示为
这要求
10
AB0
A K K2 42 B K K2 42 1
性，等概率）条件下：
单位时间跃迁概率，即跃迁率
wkn
e2 40
42 32
u(nk )
r nk
2
00
1 c2
H 1 A μ0
其中 u(nk ) 为辐射的能量密度分布，即光 强度分布。
第二十七讲
第十章 含时间的微扰论-量子跃迁
Ⅲ. 磁共振
A. 跃迁概率和跃迁率
B. 严格求解—Rabi 振荡
C. 一级近似公式的精确性
e2 4
(4)2 E02 4 (2)3(a03 ) 3
m 2
64a100k 3 (1 k2a02 )6
2
注意： 2m
k2
Ei
, Ei
e2 2a0
0 , 0
e2 2a0
k 2a02
0 0
,
1
k 2a02
0
40
256 3
a03E02
(
0
)6 (
0 0
)3
2
可以看到，在
4 3
0 处跃迁率达到极大。
0
1
2
Bb
2
ei(0 )t 1 2 i(0 )
Bbt
2
sin 1
2 1 ( 2
0
0 )t
t
2
其中 0 2BB0 /
B. 严格求解—Rabi 振荡
电子的总哈密顿量在 H0 表象，即在 Sz 表象中为
Hˆ
BB0 Bbeit
Bbeit BB0
设 t 时刻，电子状态或称自旋态的表
)nk
2
f
(En0
Ek0
)
例：设：有均匀的周期性电场
V e(E0 r)cost
作用在一个氢原子上。该氢原子在 t 0 时处于基态，试用微扰论求氢原子电离的 跃迁率。
末态为平面波
1 (2)3
2
eikr
k k' δ(k k')
k dk k 1
由此可见，在 k 空间中态密度为 1
Wif
2
总振荡磁场为 Bx b cos t By b sin t Bz B0
电子的总哈密顿量 Hˆ s B B B
它在 H0 表象中的表示为
Hˆ Hˆ 0 Hˆ
(Hˆ 0
)
BB0 0
0 BB0
Hˆ
0
Bb(cos
t
i
sin
t
)
Bb(cos t i sin t)
0
0
Bbeit
i
am (t )
u m(t)
e
i
t
ti Em (t)dt
0
m
m
与 un (t) 标积得
an(t)
am (t )
un (t)
u m(t)
i
e
t
ti [En (t)Em (t)]dt
0
m
即
a n (t) an (t) un (t)
u n (t)
am(t) un(t)
u m
(t)
e
i
从一个态跃迁到另一个态的概率或跃迁率.
那时我们要求微扰的非对角矩阵元很小，
以保证
wT 1
w 是跃迁率，T tf ti 。 现在，我们要讨论的另一类问题, 是
在微扰期间里，微扰势随时间的变化率很 小。对于这一类问题，我们可用量子绝热 近似法来处理。
A. 绝热近似的条件 当哈密顿量 Hˆ (t) 随时间变化非常缓慢
则体系处于 Hˆ 0 的各本征态（或定态）的 概率将可能随时间发生变化。
i Hˆ Hˆ Hˆ 0 V r, t
t
仍可按 Hˆ 0 的定态 n (r, t) n (r)eiE(n0)t
展开，其中 Hˆ 0n(r) E(n0)n(r) 。但由于 n 不是 Hˆ 的定态，所以展开系数是与
(t)
(
1 i
)m
n1n2
nm1
t
t0 dtm
tm t0
dt
m1
t2 t0
dt
1
V (t )e V (t )e innm1tm nnm1 m
nm1nm2
m1
inm1nm2 tm1
于是
Vn1k (t1 )ein1kt1
akn (t) akn(i) (t) i1
nk
若 Vnk 很小，即跃迁概率幅很小。我 们只要取一级近似即可，则
Ⅳ. 绝热近似
A. 绝热近似的条件
B. 绝热定理
Ⅲ. 磁共振
电子置于均匀磁场 B0 （在 Z 方向 ）
中，则
Hˆ 0
s
B0
eB0 me
ms
使电子的简并态（对自旋）发生分裂，其
能量差
E E E 0 2BB0
其中
B
e 2me
其中 B e 2me
当电子吸收一光子 ，则将电子激
发到较高能级，即自旋向上的态。 A. 跃迁概率和跃迁率 设：有一垂直于静场的磁场。于是，
1 i
(BB0c1
Bbeitc2
)
i B be it
i ( Bb
eitc1
BB0 Bb
eitc1 )
Bbeit
1 i
(Bbeitc1
BB0c2
)
得
2c1 i 2c1 [ BB0 (Bb)2 (BB0 )2]c1 0
令
c1 eit
22 2 [(BB0 )2 BB0 (Bb)2 ] 0
示为
t
c1 c2
i
d dt
c1 c2
BB0 Bbe it
Bbe it BB0
c1 c2
于是有
ic1 BB0c1 Bbeitc2
ic2 Bbeitc1 BB0c2
c2
i Bb
eitc1
BB0 Bb
eitc1
•
ic1 BB0c1 iBbeitc2 Bbeitc2
于是
ic1
BB0
2
2
于是有
A K2 42
B K2 42
最后有解
(t)
Ac1 Ac2
Bc1 Bc2
eit
ei t
K 2 42
K 2 42
K
K 2 42 eit K
K2
42
eit eit
2 K2 42
2 K2 42
2i K2 42
eit / 2
sin
2 4[(BB0 )2 BB0 (Bb)2 ]
2
(2BB0 )2 4(Bb)2 2
其中
K 2BB0 /
K2 42
2
0 ， Bb /
所以， 时，有解
c1 c2
K
eit
K2 2
42
eiteit
时，有解
c1 c2
K
eit
n (r, t) 的概率为
Pkn ank(1) (t) 2
1
2
t t0
Vnk (t1 )einkt1 dt1
2
我们已举例
1. 处于基态（ t ）的氢原子，
受位势
V(t) e x E0e t
扰动（ 0 为实参数）
并给出了偶极跃迁，rˆ ，的选择定则
l 1
m 0, 1
当 γ 很大（即微扰时间很短），氢原
0 1
的概率为
BB0
的本征态，
PBB0 cos2
K2
2
42
t
K2 K2 42
sin2
K2 2
42
t
记住：
K 2BB0 / 0 ， Bb /
0 1
10
t
2
电子所处的态随时间在这两个态之间震荡。
2
当
2BB0
0
时，电子所处的态随
时间在这两个态之间发生共振
定态
k (r, t0 ) k (r)eiE(k0) t0
于是
akn(0) nk
a
k(1) n
(t)
1 i
tt0
Vnk
( t1 )eink t1 dt1
a
k n
(2)
(t
)
(
1 i
)2
n1
tt0
dt2
tt02
dt1Vnn1
(
t
2
)einn1
t
2
Vn1k
(t1)ein1k
t1
由此类推
akn(m)
Bbe
it
0
若振荡场比静场小
b B0
设 t 0 时刻，电子自旋态的本征值
为 2。在一级近似下，从本征值为 2
的自旋态跃迁到本征值为 2 的自旋态的概
率为
P
1
2
t
1
†
0
0
0
Bbeit
2
Bbe 0
it
0 1
e
i
2BB0t
/
dt
1 2
t
2
Bb 2 ei(0 )tdt
时，则可定义瞬时本征方程
Hˆ (t) um (t) Em (t) um (t)
并有 un (t) um(t) nm 对于 t 时刻，薛定谔方程