量子力学第八章绝热近似与Berry相因子
北京大学量子力学教材 第八章 下
ˆ 与 t 有关，体系原处于 H ˆ (r, P ˆ ) ，随 t 加一微动 V( t ) H 0
第八章
量子力学中的近似方法
第八章
§8.2 变分法 2
目 录
(1) 定理 3 (2) Ritz 变分法 ............................... 3
§8.3 量子跃迁 .............................. 5
(1) 含时间的间的微扰论 (2) 跃迁几率
............................ 6
（这里 ( ) 是已归一化的）
* ( )(
2 2 e 2 2 2 e 2 1 2 ) ( )d r1d r 2 2 r1 2 r2 e 2 z e 2 z e 2 ) ) ( ( ( )d r1d r 2 r1 r 2 r2 r1
由此类推
1 t t t (m) ak (t) ( )m t 0 dt m t 0m dt m 1 t 02 dt1 n i m1m 2 m m 1
Vnn m1 ( t m )e
i nn m 1 t m i n1k t 1
Vn m1n m2 ( t m 1 )e
z 5 16
E 0 H ( z
5 5 e 2 ) ( z ) 2 16 16 a 0
(实验值为 78.86eV)
二能级系统的绝热近似条件_颜玉珍
C
H
( t) =
__
- L# B ( t ) =
C¶ 2
B0 B 1 eiXt
B 1 e- iXt 。 - B0
( 2)
引入频率 80 = CB0, 8 1 = CB1 ( C为旋磁比 ), 上式写为
C
H ( t) =
h 2
80 8 1 eiX t
8 1 e- iXt 。 - 80
( 3)
..
系统的演化满足 Schrodinger方程
在量子力学教材中, 对绝热近似物理意义的描述都是用系统中变量变化的快慢来衡量的。一个
^
_
_
_
_
量子系统, 如果其哈密顿量 H 是一组参量 R ( t)的函数, 设 R ( t )随时间 T 作周期性变化, 且 R (T ) = R ( 0)。
当周期足够大时哈密顿量随时间变化缓慢,
即
9H 9t
U
0,
此即为绝热近似的条件
Ad iaba tic Cond ition of Two States System
YAN Y u- zhen ( D ep artm en t of Phys ics, J iay ing U n iversity, M eizhou 514015, Ch ina )
[ Abstract]W e ob tain the w avefunction of the tw o states system in non- ad iabatic cond it ion by us ing the m ethod of coord inate trans form ation. The geom etric ph ase of th e system is also d iscussed after an evolut ion period. W e p resen t the ad iabatic cond ition of two states system after contrasted it w ith ad iabaticm od els. [ K ey w ords] tw o states system; ad iab at ic approx im ately; non- ad iabatic approxim ately; Berry phase; A - A phase
量子Hall效应与Berry相因子
量子Hall效应与Berry相因子
刘业厚;于肇贤
【期刊名称】《鲁东大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】1993(000)004
【摘要】将绝热过程中的Berry相因于的概念推广到简并系统.在对称规范条件下研究了量子Hall效应与Berry相因子之间的关系,导出了量子Hall电导率与Berry 相因子之间的关系,理论分析与Klitzing,Tsui等人的实验结果一致.
【总页数】7页(P33-39)
【作者】刘业厚;于肇贤
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O471.1
【相关文献】
1.二能级量子系统中的Berry相因子 [J], 张存元;吴锋民
2.量子Berry相因子与相位教学 [J], 易学华;余晓光;付凤兰
3.量子Rabi模型中的Berry相的解析解 [J], 陈庆虎;贺树
4.谐振子系统的量子-经典轨道、Berry相及Hannay 角∗ [J], 辛俊丽;沈俊霞
5.含时边界条件量子体系的Berry相因子 [J], 于肇贤;张德兴
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两体系统在旋转磁场中的Berry相解读
两体系统在旋转磁场中的Berry相自从1984年Berry提出绝热近似下的几何相问题，这个领域吸引了大批研究者。
他们讨论了几何相的理论基础、应用前景和实验验证。
本论文关注于这样一个模型：两个定域电子在旋转磁场中，它们不仅受到磁场对它们的作用，而且要受到电子和电子之间的相互作用。
磁感应强度B|-的方向随时间周期性变化，但保持它的模不变，也就是B|-张开一个S~2的光滑微分流形。
我们考虑B|-做周期运动，即在S~2上会形成一个闭合曲线。
经过大量计算，我们找出了两个有解析解的模型，而本论文主要讨论这两个模型。
首先计算在同一个磁场中电子和电子之间的相互作用为XXX模型的Berry相。
经过分析，可以发现有两个瞬时本征态的Berry相精确为零，而不为零的瞬时本征态的Berry相只受到了参数θ的影响，并且电子之间的相互作用系数对其没有影响。
我们还找到了Berry相和z方向Pauli矩阵平均值之间的关系。
其次我们用微扰论的方法讨论两电子在完全相同的旋转磁场中的Berry相，并且考虑电子之间的相互作用为XXZ的模型。
另外我们发现Berry相不仅受到了参数θ的影响，而且我们还可以看到，与XXX模型不同的是，电子之间的相互作用系数x_J和z_J会影响Berry相。
类似于XXX模型，在此模型中，我们也找到了Berry相和z方向Pauli矩阵平均值之间的关系。
同主题文章[1].张忠灿,方祯云,胡陈果,孙世军. Berry几何相与量子跃迁' [J]. 高能物理与核物理. 2000.(12)[2].蒋占峰,李润东,刘伍明. 室温下无耗散的量子自旋流' [J]. 物理. 2005.(04)[3].黄昆. 无辐射跃迁的绝热近似和静态耦合理论' [J]. 中国科学A辑. 1980.(10)[4].肖青,孙昌璞. 高阶量子绝热近似方法和Berry相因子的性质' [J]. 东北师大学报(自然科学版). 1993.(01)[5].胡岗,丁达夫. 利用随机共振系统获取高信噪比' [J]. 北京师范大学学报(自然科学版). 1992.(03)[6].郑国桐,陈炽庆,裘志洪. 用_Λ~(238)U超核聚变检验裂变机制的可行性探讨' [J]. 计算物理. 1988.(04)[7].郭淑梅. 强磁场中氢原子波函数的研究' [J]. 辽宁师专学报(自然科学版). 2008.(04)[8].章兴国,李星文. 绝热近似方程对Ising模型的应用' [J]. 河北大学学报(自然科学版). 1986.(04)[9].潘学玲,李毓成. 强磁场中氢分子离子H_2~+ 的电子能级' [J]. 应用基础与工程科学学报. 1998.(03)[10].惠萍. 异核氢分子离子HD~+在磁场中的哈密顿量' [J]. 广东教育学院学报. 2006.(03)【关键词相关文档搜索】：理论物理; 绝热近似; Berry相; 两粒子系统; 旋转磁场; XXX模型; XXZ模型【作者相关信息搜索】：天津大学;理论物理;杜九林;杨大宝;。
Berry 相位争论分析 ━━可积与不可积？动力学与几何？
i e r ' A r dr ' 0 r a c
(3.7)
结合下面(9)式叙述表明，在 B ≠0 区域此处相位积分不仅与两端点有 关，并且与路径有关，而电子行进的路径又没有明确的轨道，因而这 才是可积的(这 个相位是“不可积的”！ 只在 B =0 的区域它与路径无关， 也正说明， 磁场毕竟是一种物理实在， 不能通过数学变换将其彻底地 转化为某种含义确定的相位)。这个相位存在表明，即使粒子路径限 制在电磁场场强为零的区域，粒子不受定域力的作用，但电磁势（沿 粒子路径的积分）仍会影响粒子运动的相位。 于是，在通电情况下，C 点的合振幅成为
[第 3 讲]
Berry 相位争论分析 ━━可积与不可积？动力学与几何？
I，前言 II，关于 Berry 相位的争论 1，Berry 之前的看法——Schiff 为代表 2，Berry, Simon 的推导论证 3，不同看法（I）——Berry 相位是动力学相因子? 4， 不同看法（II）——Berry 相位只能从含时 Schrodinger 方 程导出? 5，不同看法（III）——能量本征态叠加有 Berry 相位? III，“Berry 相位本质”争论的澄清 1，一个反例：一维准定态的矢量平移总是拓扑平庸的 2，正确的说法：一盆有小孩的洗澡水 3，不必从含时 Schrodinger 方程导出 Berry 相位 4，“不同能级本征态叠加中的 Berry 相位”问题分析 IV，Berry 相位几何本质的再澄清 1，二维流形上矢量平移及协变导数计算 2，二维球面和乐（Holonomy）相因子计算 3，流形上的协变计算 V，小结 ※ ※
343
ψ t = e
n
i n t - i
量子力学课件第八章
第八章 WKB 近似WKB （Wenzel ，Kramers, Brillouin ）1方法是得到一维定态Schrödinger 方程的近似解的一种技术（它的基本思想同样可应用于许多其他形式的微分方程和三维Schrödinger 方程的径向部分）。
此法对计算束缚态能量和势垒穿透率都是非常有用的。
它的基本思想如下：假设能量为E 的粒子穿过势能V(x)的区域，其中V(x)为常量。
当E>V 时，则波函数的形式为()ikxx Ae ψ±=，其中k ≡正号表示粒子向右运动，而负号表示它向左运动（当然，通解是两项的线性组合）。
波函数为振荡函数，具有固定的波长（λ=2π/k ）和不变的振幅（A ）。
现在设想V(x)不是一个常量，但是变化相比λ非常缓慢，因此包含许多全波长的区域中的势能可以认为基本上是不变的。
这样，除了波长和振幅随x 缓慢的变化外，可以合理地认为ψ实际上仍然保持正弦形式。
这就是隐藏在WKB 近似后面的核心思想。
它将依赖x 的问题有效地分为两种不同层次：快速振荡和由振幅和波长逐渐变化的调制。
同理，当E<V （其中V 为常量）时，ψ的指数形式为：()xx Ae κψ=其中κ≡如果V(x)不是常量，但是相比1/κ变化很缓慢，除了A 和κ随x 缓慢的变化外，则解可以认为基本上仍然保持指数形式。
现在仍然有一处整个方法不适用的地方，这就是经典转折点的邻域，此处E ≈V 。
因为此处的λ（或者1/κ）趋于无穷大，从而，相比之下V(x)就很难说是“缓慢的”变化了。
我1在荷兰此为KWB ，在法国此为BWK ，在英国此为JWKB （J 为Jeffreys ）们将会看到，对于转折点的恰当地处理将是WKB 近似最难的一个部分，尽管最终的结果形式简洁并易于应用。
8.1经典区域定态Schrödinger 方程()2222d V x E m dx ψψψ-+=可以改写为下列形式：2222d p dx ψψ=- [8.1]其中()p x ≡ [8.2]这是具有总能量E 和势能V(x)的粒子的动量的经典表示式。
量子力学-量子散射的近似方法 Ⅱ. 玻恩近似;Rutherford散射 Ⅲ. 有心势中的分波法和相移
42 K2 42
sin2
K2 42
2
t
而仍处于 Hˆ 0本征值为 BB0的本征态，即 自旋向下态的概率为
PBB0 cos2
K2 2
42
t
K2 K2 42
sin2
K2
2
42
t
0 1
10
2
电子所处的态随时间在这两个态之间震荡。
2
当
0
2BB0
时，电子所处的态
B. 绝热定理 由公式
(t)
am (t)
um(t)
e
i
tti
Em (t)dt
m
am (t) am (0)eim (t)
我们就有绝热定理：若体系在 ti 0 的初始时刻处于 un(0) ，即 am(0) nm , 则在绝热近似条件下，t 时刻体系仍处于
瞬时本征态 un (t) , 体系的绝热近似波函 数为
dn d
即
dn (, )d
比例常数一般是 (, ) 的函数；如入
射方向为轴 z（且束和靶都不极化），则
第二十七讲回顾
Ⅱ. 磁共振 A. 跃迁概率和跃迁率 B. 严格求解—Rabi 振荡 C. 一级近似公式的精确性
Ⅲ. 绝热近似 A. 绝热近似的条件 B. 绝热定理
Ⅲ. 磁共振
电子置于均匀磁场 B0 （在 Z 方向 ） 中，则
Hˆ 0
s
B0
ems me
B0
于是简并态（对自旋）发生分裂，其能量
差
E E E 0 2BB0
2 mm
m B02
(Vm (B))z m / B02
这表明 Vm(B) 是平行磁场 Bˆ (t) ，即
北京大学量子力学教材 第八章 上
ˆ 于是 E1 0 0 H1 0
e 2 ( a 3 ) 2
d r1
2 ( r1 r2 ) a e
2 r2 sin 2 d 2 d 2 dr2 2 (r12 r2 2r1r2 cos )1 2
以 r1 方向为 z 方向
r l 1 Pl (cos )( 2 ) 1 r1 r 1 l0 r12 1 P (cos )( r1 ) l l r2 r2 l 0 E1 0 2e 2 (a )
求 E k ， k 的步骤是通过逐级逼近来求精确解，即将 E k ， k 对 展开。由于涉及 的项
0 0 0 较小，因此， E k 应接近 E 0 k ， k 接近 k 。所以，可以从 E k ， k 出发求 E k ， k 。当 0 ，
ˆ 0 ， 0 ， E E0 即H k k k k 1
B．二级微扰：当微扰较大时，或一级微扰为零时，则二级微扰就变得重要了，由 2 项得
ˆ ' 0 a ( 2) H ˆ ' 0 a (1) E 0 ' 0 a ( 2) E1 ' 0 a (1) E 2 0 H 0 i ik 1 i ik k i ik k i ik k k
7
e 2
e2 4 0
ˆ H ˆ H ˆ H 0 1
设 即
ˆ 的基态为 0 H 0
s, s z , r1 , r2 0 u100 (r1 )u100 (r2 ) 00 1 a 3
1 ( r1 r2 ) a
e
00
E0 0 2
2e 2 e2 2 2a 4 0 4 0 a
x a x a
贝利相位的介绍
nRt
En R t m n
（6）
4
考虑一般含时薛定谔方程
i t Hˆ Rt t
t
t 可用 n Rt 展开，即
（7）
t an t n R t an t eint n R t （8）
n
n
（8）式代入（7）式得
i an t eint nRt an t n t eint nR t
在绝热近似条n 件下，利用（6）式，上式可简化为
am t am t mRt mRt （11）
积分得到
a
m
t
a
m
0
exp
t
0
mRt
t
mRt
dt
（12）
其中初始条件 am0 1
式（2）对时间求导
mRt mRt mRt mRt 0 （13）
即 Re mRt mRt 0
2022/3/22
（14）
n
n
i an t ein n 由（4）式
t
t
n
n
t
Rt
1
En
n
an t ein
Rt
t
En
R t
n Rt
a t e n R t 2022/3/22 n
in t
an t eint n R t
0 （9）
n
n
5
mRt 左乘上式，可得
am t an t eintmt m Rt n Rt （10）
例如周期变化的磁场的矢势 At 可作为 Rt
Rt 的周期变化在参量空间定义了一条闭合曲线 C
若假定周期 T足够大，以致哈密顿算符随时间的 变化很缓慢(此称为绝热变化过程) ，致使系统在每
量子力学概论 中文版-考研试题文档资料系列
译者的话本书译自David J.Griffiths教授所著《量子力学概论》第二版。
Griffiths教授是美国著名的物理教育学家，他所撰写的许多教材都被美国著名高校所使用。
其中《量子力学概论》一书是美国许多一流理工科大学，包括麻省理工学院（MIT）和加州大学洛杉矶分校（UCLA）等一些著名高校物理系学生的教学用书，在欧美被认为是最合适、最现代的教材之一。
本书的特点为：（1）立足于“量子力学入门水平”，包含了大学量子力学最主要的内容，讲解直接从薛定谔方程开始。
强调实验基础和基本概念，力图改变了量子力学难于理解、难于接受的教学状况。
作者从务实的角度出发，着重于交互式的写作，采用对话式的语言，叙述简明，文笔流畅，使人感到耳目一新。
（2）不仅仅局限于知识的讲授，而是让读者真正从具体问题中体会到量子力学的精髓。
针对量子力学不易理解的特点，本书首先从简单的概率论和微分方程入手，让学生能迅速对一些简单的量子力学问题“上手”，而不仅仅是望着深奥的知识兴叹。
（3）充分体现现代物理内容，在讲述量子力学的同时，把问题扩展到多个前沿的研究领域，如统计物理、固体物理、粒子物理等。
在物理学各个分支中常用的部分既有精辟的叙述，又有实际举例。
（4）作者通过把一些内容移到课外习题的方式来缩减内容，使学生可以通过自学来掌握量子力学相当大的一部分内容，使得本书主线清晰，内容简练。
为此，作者在练习题选择上特别下功夫。
例题与习题对数学的要求并不高；习题分为容易、中等和较难三个层次，可供不同基础的学生选择。
对难的题目还附有提示。
有利于学生对量子力学的掌握。
鉴于上述特点，我们认为这本书非常适合我国学生在学习量子力学中使用。
该教材的翻译出版会对量子力学的教学起到积极的作用。
本书的1－4章、12章由胡行翻译，5－9章由贾瑜翻译，10－11章由李玉晓翻译，最后由贾瑜对全书进行了统一。
×××教授审校了全书，霍裕平院士为中译本写了序言，译者对此表示衷心感谢。
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|Ψptqy
“
|my
e´
i ℏ
; Emt
`t ě 0˘
2 / 32
绝热过程：
所以，在体系的 Hamilton 算符不依赖于时间的情形下，体系能量 本征态随时间的演化是绝热过程.
1 绝热过程：
假设体系的哈密顿算符在某个物理过程中从初值 Hˆ ptiq 逐 渐变化到终值 Hˆ ptfq. 倘若此过程是绝热过程、且体系在 初始时刻 ti 处于哈密顿算符 Hˆ ptiq 的本征态 |nptiqy，
ÿ | nptqy x nptq| “ 1
n
因此，含时薛定谔方程
iℏ
B Bt
|Ψptqy
“
Hˆ ptq
|Ψptqy
的通解可以写作 t| nptqyu 的线性叠加：
ÿ |Ψptqy “ ˜cnptq |
n
ÿ nptqy “ cnptq |
n
nptqy
exp
„ ´
i ℏ
żt
0
Enp
qd
ȷ
5 / 32
Enptq ´ Emptq
所以，cmptq 服从的微分方程表达为：
pm ‰ nq
c9mptq “ ´cmptq x mptq| 9mptqy
´ ÿ cnptq x
n‰m
mptq|Hˆ9 ptq| nptqy Enptq ´ Emptq
e´
i ℏ
şt
0
rEn
p
q´Emp
qsd
到此为止，cmptq 满足的方程是精确的.
绝热近似：
›
›
ℏ
x
›
› ›
En
ptq
´
Em
ptq
x
mptq|Hˆ9 ptq| mptq|Hˆ ptq|
›
nptqy
› ›
!
1
nptqy
› ›
请思考：为何称此不等式为绝热近似条件？
8 / 32
若上述不等式成立，则有：
c9mptq « ´cmptq x mptq| 9mptqy
其解为：
cmptq “ cmp0qei mptq
量子力学
第八章：绝热近似与 Berry 相因子
杨焕雄
中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@
December 19, 2019
1 / 32
本章动机：
量子力学体系的 Schrödinger 方程，
iℏ
B Bt
|Ψptqy
“
Hˆ
|Ψptqy
当 Hˆ 不依赖于时间 t 时具有通解：
`
cnptq
|
9 nptqys
exp
„i ´ ℏ
żt
0
Enp
ȷ
qd
` ÿ cnptqHˆ ptq |
n
nptqy
exp
„ ´
i ℏ
żt
0
Enp
qd
ȷ
“ Hˆ ptq |Ψptqy
ÿ ` iℏ rc9nptq |
n
nptqy
`
cnptq
|
9 nptqys
exp
„i ´ℏ
żt
0
ȷ
Enp qd
ȷ
显然，欲求解此方程需事先计算 x mptq| 9nptqy. 为此，我们求 Hˆ ptq 本征值方程
Hˆ ptq | nptqy “ Enptq | nptqy
的时间导数：
Hˆ9 ptq | nptqy ` Hˆ ptq | 9nptqy “ E9 nptq | nptqy ` Enptq | 9nptqy
现在讨论叠加系数 cnptq 服从的方程：
iℏ
B Bt
|Ψptqyຫໍສະໝຸດ “iℏÿ rc9nptq
n
|
nptqy
`
cnptq
|
9 nptqys
exp
„i ´ℏ
żt
0
ȷ
Enp qd
ÿ ` cnptqEnptq |
n
n
ptqy
exp
„ ´
i ℏ
żt
0
Enp
qd
ȷ
ÿ “ iℏ rc9nptq |
n
nptqy
Hˆ ptq | nptqy “ Enptq | nptqy
但能量本征值 Enptq 与属于它的本征态矢量 | nptqy 均随时间 变化. 体系的能量不是守恒量. 2 Hˆ 仍然是厄米算符. 因此，在任一瞬间 t，Hˆ ptq 本征态矢的
全体仍然构成 Hilbert 空间的一组正交归一的基底：
x nptq| mptqy “ nm;
其中出现的
żt
mptq “ i d x mp q| 9mp qy
0
为实参数 ( Why ?). 所以，绝热近似下含时薛定谔方程的通解可
写为：
ÿ |Ψptqy « cmp0q |
把此式与含时薛定谔方程比较，可知：
ÿ 0 “ iℏ rc9nptq |
n
nptqy
`
cnptq
|
9 nptqys
exp
„ ´
i ℏ
żt
0
Enp
qd
ȷ
6 / 32
所以：
ÿ c9mptq “ ´ cnptq x
n
mptq|
9 nptqy
exp
„i ´ℏ
żt
0
Enp
qd
`
i ℏ
żt
0
Emp qd
再求上式与 | mptqy 的标积，知：
x mptq|Hˆ9 ptq| nptqy`Emptqx mptq| 9nptqy “ E9 nptqmn`Enptqx mptq| 9nptqy
7 / 32
上式在 m ‰ n 时给出：
x
mptq| 9nptqy “ x
mptq|Hˆ9 ptq| nptqy ;
请问：
1 若 Hˆ 依赖于时间参数，Hˆ “ Hˆ ptq，其本征态矢是否可以进行 绝热演化？
考虑具有如下性质的旋转磁场. 磁场的
方向与 x3 轴夹角为 ，且以常角速度 !
绕 x3 轴转动：
x3 !
~Bptq “ B”~e3 cos `~e1 sin cosp!tq `~e2 sin sinp!tqı
Hˆ ptiq |nptiqy “ Enptiq |nptiqy 则体系在演化过程中的任一时刻 t 均处在瞬时哈密顿算 符 Hˆ ptq 的本征态 |nptqy，
Hˆ ptq |nptqy “ Enptq |nptqy ; pti ď t ď tfq
3 / 32
含时的 Hamilton 算符举例：
BE
e
x2
O
x1
此处约定 B 为一正常数. 倘若让电子静止于此磁场的坐标原点， 则电子的 Hamilton 算符可表为：
Hˆ ptq
“
´~ S ¨~Bptq
“
eℏB
2
”
cos
3 ` sin
cosp!tq1 ` sin
sinp!tq2ı
4 / 32
在 Hˆ 随时间变化的情形下， 1 Hˆ 的本征值方程仍然存在：
ÿ |Ψptqy “ |ny xn|Ψp0qy expp´iEnt{ℏq
n
式中出现的 En 与 |ny 分别是 Hˆ 的本征值以及相应的归一化本征
矢量，Hˆ |ny “ En |ny， xn|my “ nm.
如果初始时刻体系处在 Hˆ 的某个本征态上，
|Ψp0qy “ |my
则在以后的任一时刻，体系仍然确定地处在 Hˆ 的这个本征 态上，差别只是多了一个不改变概率分布的含时相因子：