量子力学第八章绝热近似与Berry相因子

|Ψptqy
“
|my
e´
i ℏ
; Emt
`t ě 0˘
2 / 32
绝热过程：
所以，在体系的 Hamilton 算符不依赖于时间的情形下，体系能量 本征态随时间的演化是绝热过程.
1 绝热过程：
假设体系的哈密顿算符在某个物理过程中从初值 Hˆ ptiq 逐 渐变化到终值 Hˆ ptfq. 倘若此过程是绝热过程、且体系在 初始时刻 ti 处于哈密顿算符 Hˆ ptiq 的本征态 |nptiqy，
把此式与含时薛定谔方程比较，可知：
ÿ 0 “ iℏ rc9nptq |
n
nptqy
`
cnptq
|
9 nptqys
exp
„ ´
i ℏ
żt
0
Enp
qd
ȷ
6 / 32
所以：
ÿ c9mptq “ ´ cnptq x
n
mptq|
9 nptqy
exp
„i ´ℏ
żt
0
Enp
qd
`
i ℏ
żt
0
Emp qd
ÿ | nptqy x nptq| “ 1
n
因此，含时薛定谔方程
iℏ
B Bt
|Ψptqy
“
Hˆ ptq
|Ψptqy
的通解可以写作 t| nptqyu 的线性叠加：
ÿ |Ψptqy “ ˜cnptq |
n
ÿ nptqy “ cnptq |
n
nptqy
exp
„ ´
i ℏ
żt
0
Enp
qd
ȷ
5 / 32
BE
e
x2
O
x1
此处约定 B 为一正常数. 倘若让电子静止于此磁场的坐标原点， 则电子的 Hamilton 算符可表为：
Hˆ ptq
“
´~ S ¨~Bptq
“
eℏB
2
”
cos
3 ` sin

cosp!tq1 ` sin
sinp!tq2ı
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在 Hˆ 随时间变化的情形下， 1 Hˆ 的本征值方程仍然存在：
Enptq ´ Emptq
所以，cmptq 服从的微分方程表达为：
pm ‰ nq
c9mptq “ ´cmptq x mptq| 9mptqy
´ ÿ cnptq x
n‰m
mptq|Hˆ9 ptq| nptqy Enptq ´ Emptq
e´
i ℏ
şt
0
rEn
p
q´Emp
qsd
到此为止，cmptq 满足的方程是精确的.
现在讨论叠加系数 cnptq 服从的方程：
iℏ
B Bt
|Ψptqy
“
iℏ
ÿ rc9nptq
n
|
nptqy
`
cnptq
|
9 nptqys
exp
„i ´ℏ
żt
0
ȷ
Enp qd
ÿ ` cnptqEnptq |
n
n
ptqy
exp
„ ´
i ℏ
żt
0
Enp
qd
ȷ
ÿ “ iℏ rc9nptq |
n
nptqy
ȷ
显然，欲求解此方程需事先计算 x mptq| 9nptqy. 为此，我们求 Hˆ ptq 本征值方程
Hˆ ptq | nptqy “ Enptq | nptqy
的时间导数：
Hˆ9 ptq | nptqy ` Hˆ ptq | 9nptqy “ E9 nptq | nptqy ` Enptq | 9nptqy
请问：
1 若 Hˆ 依赖于时间参数，Hˆ “ Hˆ ptq，其本征态矢是否可以进行 绝热演化？
考虑具有如下性质的旋转磁场. 磁场的
方向与 x3 轴夹角为 ，且以常角速度 !
绕 x3 轴转动：
x3 !
~Bptq “ B”~e3 cos `~e1 sin cosp!tq `~e2 sin sinp!tqı
`
cnptq
|
9 nptqys
exp
„i ´ ℏ
żt
0
Enp
ȷ
qd
` ÿ cnptqHˆ ptq |
n
nptqy
exp
„ ´
i ℏ
żt
0
Enp
qd
ȷ
“ Hˆ ptq |Ψptqy
ÿ ` iℏ rc9nptq |
n
nptqy
`
cnptq
|
9 nptqys
exp
„i ´ℏ
żt
0
ȷ
Enp qd
绝热近似：
›
›
ℏ
x
›
wk.baidu.com› ›
En
ptq
´
Em
ptq
x
mptq|Hˆ9 ptq| mptq|Hˆ ptq|
›
nptqy
› ›
!
1
nptqy
› ›
请思考：为何称此不等式为绝热近似条件？
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若上述不等式成立，则有：
c9mptq « ´cmptq x mptq| 9mptqy
其解为：
cmptq “ cmp0qei mptq
再求上式与 | mptqy 的标积，知：
x mptq|Hˆ9 ptq| nptqy`Emptqx mptq| 9nptqy “ E9 nptqmn`Enptqx mptq| 9nptqy
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上式在 m ‰ n 时给出：
x
mptq| 9nptqy “ x
mptq|Hˆ9 ptq| nptqy ;
ÿ |Ψptqy “ |ny xn|Ψp0qy expp´iEnt{ℏq
n
式中出现的 En 与 |ny 分别是 Hˆ 的本征值以及相应的归一化本征
矢量，Hˆ |ny “ En |ny， xn|my “ nm.
如果初始时刻体系处在 Hˆ 的某个本征态上，
|Ψp0qy “ |my
则在以后的任一时刻，体系仍然确定地处在 Hˆ 的这个本征 态上，差别只是多了一个不改变概率分布的含时相因子：
Hˆ ptq | nptqy “ Enptq | nptqy
但能量本征值 Enptq 与属于它的本征态矢量 | nptqy 均随时间 变化. 体系的能量不是守恒量. 2 Hˆ 仍然是厄米算符. 因此，在任一瞬间 t，Hˆ ptq 本征态矢的
全体仍然构成 Hilbert 空间的一组正交归一的基底：
x nptq| mptqy “ nm;
量子力学
第八章：绝热近似与 Berry 相因子
杨焕雄
中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.edu.cn
December 19, 2019
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本章动机：
量子力学体系的 Schrödinger 方程，
iℏ
B Bt
|Ψptqy
“
Hˆ
|Ψptqy
当 Hˆ 不依赖于时间 t 时具有通解：
Hˆ ptiq |nptiqy “ Enptiq |nptiqy 则体系在演化过程中的任一时刻 t 均处在瞬时哈密顿算 符 Hˆ ptq 的本征态 |nptqy，
Hˆ ptq |nptqy “ Enptq |nptqy ; pti ď t ď tfq
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含时的 Hamilton 算符举例：
其中出现的
żt
mptq “ i d x mp q| 9mp qy
0
为实参数 ( Why ?). 所以，绝热近似下含时薛定谔方程的通解可
写为：
ÿ |Ψptqy « cmp0q |