2020年东北三校高三一模理科数学试题(含答案和解析)(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)
东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题(含评分细则
2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 .A.( , 1) (3,B.( , 1] [3,D.( , 1] [1,4.大约在 20 世纪 30 年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数 n ，如果它是偶数，则除以 2；如果它是奇数，则将它乘以 3 加 1，这样反复运算，最后结果必然 是1 ，这个题目在东方称为“角谷猜想” ，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各 种方法，甚至动用了最先进的电子计算机， 验算到对 700 亿以内的自然数上述结论均为正确 的，但却给不出一般性的证明，例如取 n 13，则要想算出结果 1，共需要经过的运算步数 是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知 a ln3,b log 3 e,c log e (注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是 （ ）A.b acB.c b aC.b c aD.a b c6.已知在边长为 3 的等边 ABC 的中，1BD DC ，则 AD AC =( )2A.6B.9C.12D. 61.已知集合 A x 22x，B11 则 C R (A B) ( ) x2.已知复数 za bi(a,b R)， z i1 是实数，那么复数 z 的实部与虚部满足的关系式为 A.a B.a b C.a 2b 0 D.a 2b 0 3.已知 是两个不同的平面，直线 m ，下列命题中正确的是（ A.若 ，则 m ∥ B.若 ，则 m C.若 m∥，则 ∥D.若 m ，则C.[3, )7.如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， ED 平面 ABCD ， FC 平面 ABCD ，y 轴对称，则2nb n 为数阵从左至右的 n 列，从上到下的 n 行共 n 2个数的和，则数列的前 2020 项和为bnED 2FC 2 ，则四面体 A BEF 的体积为( )1 A.32 B. 3C.14 D.38.已知函数 f (x)sin2x 3 cos2x 的图像向右平移 (02)个单位后，其图像关于A.12B.6C.35 D. 122x9.已知椭圆 2a2yb 21(a b 0) 的右焦点为 F(c,0) ，上顶点为A(0,b) ，直线2 ax 上 c存在一点 P 满足 (FP FA) AP 0 ，则椭圆的离心率取值范围为(1A.[12,1) 2 B.[ 22 ,1) 51 C.[ 52 1,1) D.(0, 2 ]10. 已 知 定 义 在 R 上的函 数 f (x) ， 满 足 f(1 x) f (1 x) ， 当[1, ) 时f(x)1 x 2,xx12f ( 2 ),x[1,3) [3, )，则函数 f(x) 的图像与函数 g(x)ln x,xln(2 x),x 1的图像在区间 [ 5,7] 上所有交点的横坐标之和为(A.5B.6C.7D.911.已知数 a n 列的通项公式为 a n 2n2 ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）4 小题，每小题5 分，共 20 分 .把答案填写在答题纸相应位置上13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增 大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术， 它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力 .假定现在市售的某款新能源汽车上， 车载动力蓄电池充放电循环次数达到 2000 次 的概率为 85%，充放电循环次数达到 2500 次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经 经过了 2000 次充电，那么他的车能够充电 2500 次的概率为 .14.已知函数 f （x ） e x ae x 在［ 0,1］上不单调，则实数 a 的取值范围为.2*15.数列 a n 满足 a 1 1，a n （2S n 1） 2S n 2（n 2,n N *），则 a n =.16.已知函数 f （x ） （x 2 a ）2 3x 2 1 b ，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）一）必考题：共 60 分 .17. （本小题满分 12 分）在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 2bcosC 2a c （Ⅰ）求 B ；（Ⅱ）若 a 2， D 为AC 的中点，且 BD 3，求 c .18. （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 中， BB 1 平面 ABC ， AB BC ， AB 2，BC 1，1011 A.20202019 B.20202020 C.2021 1010 D.202112.已知双曲线2y1 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F 1、F2 ， 点3 1 2P 在双曲线上，且 F 1PF 2 120 ，F 1PF 2 的平分线交 x 轴于点 A ，则 PA （ ）A. 55B.2 5 5C.3 55D. 5二、填空题：本题共 1①a2⑤ 4 个极小值35② a ③ a 1, 2 b 0 22⑥1 个极小值点⑦6 个零点④ a 1, 9 b4⑧4 个零点三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤2或 b 01 （Ⅱ）F 是线段CC1上一点，且直线AF 与平面ABB1A1所成角的正弦值为3，求二3 面角F BA1 A 的余弦值.19. （本小题满分12 分）为了研究55 岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100 万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5 万，出现B症状人数为9.3 万，出现C 症状人数为 6.5万，其中含AB症状同时出现 1.8 万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5 万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5 万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73 万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55 岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？n(ad bc)2参考公式：K2(a b)(c d)(a c)(b d)20. (本小题满分12 分)1 2 2 1已知以动点P为圆心的⊙ P与直线l: x 相切，与定圆⊙ F：(x 1)2 y2相24 外切.(Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹方程C ；(Ⅱ)过曲线C上位于x轴两侧的点M、N (MN 不与x轴垂直)分别作直线l 的垂线，垂足记为M 1、N1 ，直线l 交x轴于点A，记AMM 1、AMN、ANN 1的面积分别为S1、S2、S3 ，且S22 4S1S3 ，证明：直线MN过定点.21. (本小题满分12 分)12已知函数f(x) (x 1) ln( x 1)- ax2 x(a R) .2(Ⅰ)设f (x)为函数f(x) 的导函数，求函数f ( x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)在(0, )上有最大值，求实数a 的取值范围.二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任取一题作答 .如果多做，则按所做的第 题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分 10 分.22. [选修 4-4：坐标系与参数方程 ]Ⅰ）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程；Ⅱ）设 M 、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求 MN 的最小值 .23. [选修 4-5：不等式选将 ]设函数 f （x ） x 2 x 3（Ⅰ）求不等式 f （x ） 9的解集；（Ⅱ）过关于 x 的不等式 f （x ） 3m 2 有解，求实数 m 的取值范围一模答案、填空题1, n 113. 14. 15. a n2 16. ①⑥、② ,n 22n 1 2n 3⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得 2sin BcosC 2sin A sinC ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯在直角坐标系 xOy 中，参数方程x cos （其中 y sin为参数）的曲线经过伸缩变换2x得到曲线 C ，以原点 O 为极点， yx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为 sin （3 10 2又由sin A sin(B C) sin BcosC cosB sin C ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4⋯分⋯得2cos B sin C sinC 0 ，因为0 C ，所以sinC0，所以cosB1．因为0 B ，所以2．2B．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6⋯分⋯3uuur uuur uuur（Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以BA BC2BD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8⋯分⋯uuu r uuur 2 uuur 2所以BC)2 (2BD)2，即a2 2 c ac12，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分因为a 2，解方程c22c 8 0，得c 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分18. 解析：(I )连结AB1交A1B于O，连结EO , OC11Q OA OB, AE EB, OE BB1, OE //BB1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯21又DC1BB1，DC1// BB1,2OE/ /DC 1 ，因此，四边形DEOC 1为平行四边形，即ED / /OC1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯Q OC1 面C1AB, ED 面C1AB, DE // 平面C1BA1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5⋯分⋯z(II )建立空间直角坐标系B xyz ，如图过F 作FH BB1 ，连结AHQ BB1 面ABC,AB 面ABC, AB BB1Q AB BC,BC I BB1, AB 面CBB1C1Q AB 面BAA1 B1 , 面BAA1B1 面CBB1C1,Q FH 面CBB1C1, FH BB1, 面BAA1B1 I 面CBB1C1 BB1, FH 面BAA1B1，即FAH 为直线AF 与平面ABB1 A1 所成角，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.7⋯分⋯11记为，sin , AF 3,AF 3在Rt ACF 中，5 AC 2 CF 2 AF 2 CF 2 9, CF 2,uuur uuurF(0,2,1), A1(2,3,0), BF (0,2,1), BA1 (2,3,0),20．解析：ur 设平面 BAC 1的法向量 m （x, y,z ），ur m ur m uuur BF 2y uuur BA 1 2x3y 0 ur ，取 y 2,m ( 3,2, 4) 0 平面 BAA 1 的法向量 n (0,0,1) ，⋯⋯ur r |cos m,n |4 ⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分 29 1因此，二面角 F BA 1 A 的余弦值 429 .⋯29 19. 解析：设 A ｛出现 A 症状的人｝ 、 B 示有限集合元素个数） 根据数 .1⋯0 ⋯分.1⋯2分⋯出现 B 症状的人｝、 C ｛出现 C 症状的人｝（ card 表 1 可 知card AI B 1.8,card AI C 1,card BI C 2,card AI BI C 0.5，所以 card AUBUC card A card B card card AI B card AI C card B I C card=8.5+9.3+6.5 1.8 1 0.5 20 1.3 6.2 0.5 40.51.5失眠人数（万）不失眠人数（万）患病人数（万） 5 7 12 不患病人数（万）15 73 882080100得患病总人数为 20 万人，比例大约为 20%.⋯⋯.4⋯分⋯ ⋯分⋯.9⋯分22100 5 73 15 7k 24.001 3.841.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分12 88 80 20有 95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在 “强关联 ” . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分Ⅰ）设P x,y ，e P 半径为 R ，则R x 1, PF 21R 1 ，所以点 P 到直线 x2 1的 距离与到 F 1,0 的距离相等，故点 P 的轨迹方程 C 为 y 2 4x . .4⋯分⋯Ⅱ）设 M x 1, y 1 N x 2, y 2 ，则 M 1 2,y 11 N 12,y2 设直线 MN : x ty n t 22 0 代入 y 2 4x 中得 y 2 4ty 4n 0 y 1 y 2 4t, y 1y 2 4n 0. .6⋯分⋯Q S 1 2 x 1y 1 、 S 3 x 2 4S 1S 31 ty 1 n2ty 2n 1 2y 1y 221t y 1y 2 n2t y 1y2n22211 4nt 24t2nn22x12x 1 2 y 1y 24n214n222t 2 n 1 4n2 又 S 2 11 n y 1 y2 1 1 n y122 2 2 22 2 1 1 2 1 S 22 n 16t 2 16n 4 n 24 2 2 2 S 22 4S 1S 3 8nt 2 4 n 1 t 2 2n2y 24y 1y 22t 2 n . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分21 1⋯⋯nn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分22 .⋯⋯.8⋯分⋯直线 MN 恒过 1,0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分 221．解析： （Ⅰ） f x ln x 1 ax2 x ．令 h xln x 1 ax ，1 fxhxa ； .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯x 11o当 a0时 ，h x 0 ，f 'x在 1, 上 递 增 ，无减 区间hx 0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.3⋯分⋯2o当a0时，令 hx011 x 1，a令 h x0x11a所以， f 'x 在 1,11 上单调递增， 在 11, 上单调递减； .⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯.5⋯aa分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当 a 0 时，f ' x在 0, 上递增， f ' xf ' 0 0在 0,上递增，无最大值， 不合题意；x所以，当x0时，h x 2 x 1 ax 2 x 1 a x 1 x 12ax1．取t4211，则t 1 ，且h t t 1 2 a t 10．a a又因为h11h0 0，所以由零点存在性定理，存在x01 1,t ，使得a ah x00；⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分当x0, x0时，h x0 ，即f x 0；当x x0 ,时，h x0 ，即f x0；所以， f x 在0, x0上单调递增，在x0 ,上单调递减，在0,上有最大值f x0 ．综上，0a1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分在第22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2．B．铅．笔．在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
【附加15套高考模拟试卷】东北三校(哈尔滨师大附中等)2020高三第一次联合考试数学(理)试题含答案
东北三校（哈尔滨师大附中等）2020高三第一次联合考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面斜坐标系xOy 中，45xOy ∠=︒，点P 的斜坐标定义为“若0102OP x e y e =+u u u v(其中12,e e 分别为与斜坐标系的x 轴、y 轴同方向的单位向量)，则点P 的坐标为()00,x y ”.若()11,0F -，()21,0F ，且动点(),M x y 满足12MF MF =u u u u v u u u u v，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为( )A．0x -= B．0x += C0y -= D0y +=2．已知函数()1ln ,111,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若12x x ≠，且()()122f x f x +=，则12x x +的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．[)1,e -+∞C ．[]32ln 2,-+∞ D ．[]32ln3,-+∞3．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ） A ．2B．C ．6D．4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若||8AB =，则线段AB的中点M 到直线10x +=的距离为( ) A ．2B ．4C ．8D ．165．若函数()2sin(2)cos (0)2f x x x πθθ=+⋅<<的图象过点(0,2)，则（ ）A ．点(,0)4π是()y f x =的一个对称中心 B ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴C ．函数()y f x =的最小正周期是2πD ．函数()y f x =的值域是[0,2]6．设()f x 为定义在R 上的函数,当0x ≥时，()22()x f x x b b =++为常数，则(1)f -= A ．-3B ．-1C ．1D ．37．设直线0x y a -+=与圆222420x y x y ++-+=相交于A ，B 两点，若||2AB =，则a =（ ）A ．-1或1B ．1或5C ．-1或3D ．3或58．已知()()sin f x A B ωϕ=++ (0,0,)2A πωϕ>><部分图象如图，则()f x 的一个对称中心是（ ）A ．5,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭ 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()121,223n n na S a n S =-++=≥，则下面选项为等差数列的是（ ） A ．{}1n S +B ．{}1n S -C ．11nS ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭ D ．11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭ 10．已知||()2x f x x =g ，3(log 5)a f =，31(log )2b f =，(3)c f ln =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>11．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是( )． A ．3[,0]?4-B ．(－∞，34-]∪[0，＋∞) C ．33[,]- D ．2[,0]3-12．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年东北三省三校高三第一次模拟考理科数学试卷含解析
D.VS
第 H 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分 ，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上． 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大．动力
蓄电池技术作为新能源、汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源、汽车发展的主要动力． 假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池 充放电循环次数达到2000次的概率为 85字号，充放电循环次数达到2500次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了 2000次充电，那么他的车能够充电 2500次的概率为
f(x
）＝
I ri
斗
一 lx-21,xξ［1,3)
／工 ← 1\
\2f（丁），巾，＋∞）
’ 则函数
f(x ）的图象与函数
rlnx,x二三1 g(x)=j＼ln(2,--x）以1的图象
在区间［-5,7］上所有交点的横坐标之和为
A. 5
B. 6
C. 7
11.己知数列｛a＂｝的通项公式为ι ＝ 2η十2，将这个数列中的项摆
AB_lBC,AB = 2,BC二 l,BB I 二3,D是CC1 的中点，
E是AB 的中点．
C I ）证明：DE／／平面C1 BA1 ;
t C II) F是线段CC1 上一 点，且直线 AF与平面ABB1 A1 所成角的正弦值为 ，求二面角F BAi A的余 A
弦值．
D
C1
19.（本小题满分12分） 为了研究 55 岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽 取了100万个样本，调查 了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状， A 症状：人睡困 难；B症状：醒得太早；C症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下： 数据l：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C症状人数为6. 5万，其中 含 AB 症状同时出现1.8万人，AC症状同时出现1 万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状 同时出现0.5万人； 数据2：同时有失眠症状和忠心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人 数为73万人．
东北三省三校(哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学)2020届高三第三次联合模拟考试数学(理)含答案
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2020届东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)高三上期第一次联合模拟考数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前东北三省三校(哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学) 2020届高三毕业班上学期第一次联合高考模拟考试数学(理)试题(解析版)全卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}|22A x x =-<<，{|B x y ==，则A B =（ ） A. ()1,2-B. [1,2)-C. ()2,1--D. ()2,3 【答案】B【解析】【分析】化简集合B ,即可求出A B .【详解】由题意得，()2,2A =-，∵B 中，()()130x x +-≥，∴[]1,3B =-，∴[1,2)A B =-，故选B.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.设p ：30x x-<，q ：()()20x a x a --+≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,0-B. []2,3C. ()2,3D. []1,0- 【答案】C【解析】【分析】解不等式，求出命题p ,q 成立的解集,把p 是q 的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由不等式30x x-<，解得03x <<， 由()()20x a x a --+≤得2a x a -≤≤，p 是q 的必要不充分条件，可知203a a ->⎧⎨<⎩, 所以23a <<，故实数m 的取值范围是()2,3.故选C.【点睛】本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题3.已知向量()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-= ，若()()a b c a λ+⊥-，则实数λ=（ ） A. 15 B. 5 C. 4 D. 14【答案】A【解析】【分析】先由题意，得到()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果.【详解】因为()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-=，所以()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，又()()a b c a λ+⊥-，所以()()0λ+⋅-=a b c a ，即32210λλ-++=， 解得：15λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.4.若θ是三角形的一个内角，且4tan 3θ=-，则3sin cos 22ππθθ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 15 B. 15- C. 75 D. 75-。
吉林省东北师大附中2020届高三上学期第一次摸底考试数学(理)试题 PDF版含答案
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5．素数也叫质数，部分素数可写成“2n﹣1”的形式（n 是素数），法国数学家马丁•梅森就是研究素数
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−
3
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0的解集为
A．(−∞， − 2)⋃(0，2) C．(−2，0)⋃(0，2)
B．(−2，0)⋃(2， + ∞) D．(−∞， − 2)⋃(2， + ∞)
12．若关于������������的方程e������������������������
+
e������������+1 ������������+e������������
������������ ，命题������������ :������������⋂������������ ≠∅ ，则下列命题中真命题的是
A．������������ ∧ ������������
B．������������ ∨ (¬������������)
C．(¬������������) ∧ (¬������������) D．(¬������������) ∧ ������������
C．������������(2 + ������������)4
D．������������(1 + ������������)4
二、填空题
13．已知函数������������(������������) = �������������(������������ − 1)， −√−������������，
2020年东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020年东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x∈Z|x2≤1}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. {-1，1}B. {0}C. {-1，0，1}D. [-1，1]2.命题“∀x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是（）A. ∃x∈R，x3-x2+1≥0B. ∃x∈R，x3-x2+1＞0C. ∃x∈R，x3-x2+1≤OD. ∀x∈R，x3-x2+1＞03.已知向量，的夹角为60°，||=2，||=4，则（-）=（）A. -16B. -13C. -12D. -104.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则C的渐近线方程为（）A. y=±xB. y=±xC. y=±2xD. y=±x5.等比数列{a n}的各项均为正数，a1=1，a1+a2+a3=7，则a3+a4+a5=（）A. 14B. 21C. 28D. 636.某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布N（10，0.12）（单位：kg），现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉质量在（10，10.2）kg的袋数，则X的数学期望约为（）参考数据：若X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973A. 171B. 239C. 341D. 4777.在复平面内，复数z=a+bi（a∈R，b∈R）对应向量（O为坐标原点），设||=r，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为θ，则z=r（cosθ+i sinθ），法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1=r1（cosθ1+i sinθ1），z2=r2（cosθ2+i sinθ2），则z1z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+i sin（θ1+θ2）]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：[r（cosθ+i sinθ）]n=r n（cos nθ+i si n nθ），则（）5=（）A. B. C. D.8.运行程序框图，如果输入某个正数n后，输出的s∈（20，50），那么n的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 69.已知四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD为边长2的等边三角形，BD=DC，BD⊥CD，则异面直线，AC与BD所成角的余弦值为( )A. B. C. D.10.一项针对都市熟男（三线以上城市30～50岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生（80后）被调查者、1980年以前出生（80前）被调查者回答“是”的比例分别如下：全体被调查者80后被调查者80前被调查者电子产品56.9%66.0%48.5%服装23.0%24.9%21.2%手表14.3%19.4%9.7%运动、户外用品10.4%11.1%9.7%珠宝首饰8.6%10.8% 6.5%箱包8.1%11.3% 5.1%个护与化妆品 6.6% 6.0%7.2%以上皆无25.3%17.9%32.1%根据表格中数据判断，以下分析错误的是（）A. 都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品B. 从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前C. 80前超过三成一年内从未购买过表格中七类高价商品D. 被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为2：111.椭圆+y2=1上存在两点A，B关于直线4x-2y-3=0对称，若O为坐标原点，则||=（）A. 1B.C.D.12.如图，直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2，AB=BC=1，E是边CD中点，△ADE沿AE翻折成四棱锥D′-ABCE，则点C到平面ABD′距离的最大值为（）A. B. C. D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=24，a8=17，则S8=______．14.函数y=sin（ωx+）（ω∈N*）的一条对称轴为x=，则ω的最小值为______．15.若函数f（x）=在（-∞，+∞）上单调递增，则m的取值范围是______．16.已知f（x）=+b，g（x）=f2（x）-1，其中a≠0，c＞0，则下列判断正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①f（x）关于点（0，b）成中心对称②f（x）在（0，+∞）上单调递增③存在M＞0，使|f（x）|≤M④若g（x）有零点，则b=0⑤g（x）=0的解集可能为{1，-1，2，-2}三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，2sin A•sin B（1-tan A•tan B）=tan A•tan B．（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）求sin A-cos B的取值范围．18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，△ACD是边长为2的等边三角形，且AB=BC=，PA=2，点M是棱PC上的动点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）当线段MB最小时，求直线MB与平面PBD所成角的正弦值．19.现代社会，“鼠标手”已成为常见病．一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率（sEMG）等指标．（Ⅰ）10名实验对象实验前、后握力（单位：N）测试结果如下：实验前：346，357，358，360，362，362，364，372，373，376实验后：313，321，322，324，330，332，334，343，350，361完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N？（Ⅱ）实验过程中测得时间t（分）与10名实验对象前臂表面肌电频率（sEMG）的中位数y（Hz）的九组对应数据（t，y）为（0，87），（20，84），（40，86），（60，79），（80，78），（100，78）（120，76），（140，77），（160，75）建立y关于时间t的线性回归方程；（Ⅲ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据（Ⅱ）中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：（t i）（y i）=-1800参考公式：回归方程=t+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=．20.抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，若A为抛物线上第一象限的一动点，过F作AF的垂线交准线l于点B，交抛物线于M，N两点．（Ⅰ）求证：直线AB与抛物线相切；（Ⅱ）若点A满足AM⊥AN，求此时点A的坐标．21.已知函数f（x）=（2-x）e k（x-1）-x（k∈R，e为自然对数的底数）（Ⅰ）若f（x）在R上单调递减，求k的最大值；（Ⅱ）当x∈（1，2）时，证明：ln＞2（x-）．22.已知曲线C的参数方程为（θ为参数），A（2，0），P为曲线C上的一动点．（Ⅰ）求动点P对应的参数从变动到时，线段AP所扫过的图形面积；（Ⅱ）若直线AP与曲线C的另一个交点为Q，是否存在点P，使得P为线段AQ的中点？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．23.已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4-|x-1|；（Ⅱ）已知m＞0，n＞0，m+n=1，若对任意的x∈R，m＞0，n＞0不等式|x-a|-f（x）≤（a ＞0）恒成立，求正数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A={x∈Z|x2≤1}={-1，0，1}，B={-1，0，1，2}，∴A∩B={-1，0，1}．故选：C．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：将量词否定，结论否定，可得∃x∈R，x3-x2+1＞0故选：B．将量词否定，结论否定，可得结论．本题考查命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：向量，的夹角为60°，||=2，||=4，则（-）===-12．故选：C．直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．4.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程，属于基础题．根据题意，由双曲线的离心率e=2可得c=2a，由双曲线的几何性质可得b==a，即=，由双曲线的渐近线方程可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：-=1，其焦点在x轴上，其渐近线方程为y=±x，又由其离心率e==2，则c=2a，则b==a，即=，则其渐近线方程y=±x；5.答案：C解析：解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=1，a1+a2+a3=7，∴1+q+q2=7，解得q=2．则a3+a4+a5=q2+q3+q4=4+8+16=28．故选：C．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：B解析：解：∵P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，且μ=10，σ=0.1，∴P（9.8＜X＜10.2）≈0.9545，∴P（10＜X＜10.2）==0.47725，则面粉质量在（10，10.2）kg的袋数Y服从二项分布，即Y～B（500，0.47752），则E（Y）=500×0.47752≈239．故选：B．先根据正态分布求得质量在（10，10.2）kg的袋数的概率，再根据袋数Y服从二项分布可得．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．7.答案：A解析：解：（）5==+i=-i．故选：A．（）5=，再利用棣莫弗定理即可得出．本题考查了棣莫弗定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：B解析：解：由题意，模拟程序的运行，可得s=0，k=1第1次执行循环体，s=1，k=2第2次执行循环体，s=4，k=3第3次执行循环体，s=13，k=4第4次执行循环体，s=40，k=5第5次执行循环体，s=121，k=6由上可知，若要输出的s∈（20，50），那么n的值为4，即k=5＞4时，退出循环得解．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．解析：【分析】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与BD所成角的余弦值．【解答】解：四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD为边长2的等边三角形，BD=DC，BD⊥CD，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，1，），C（2，0，0），B（0，2，0），D（0，0，0），=（2，-1，-），=（0，-2，0），设异面直线AC与BD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为．故选：A．10.答案：D解析：解：对于选项A，从表中的数据可得都是熟男购买电子产品的比例为56.9%，为最高值，所以A正确；对于选项B，从表中后两列的数据可以看出，前6项的比例均是80后得意愿高于80前的意愿，所以B正确；对于选项C，从表中的最后一列可看出，80前一年内从未购买过表格中7类高价商品的比例为32.1%，约为3成，所以C正确；对于选项D，根据表中数据不能得到被调查者的都是熟男中800后人数与80前人数的比例，所以D 不正确．故选：D．根据表中的数据逐项进行分析可得．本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．11.答案：C解析：解：∵椭圆+y2=1上，焦点在x轴上，设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线4x-2y-3=0对称，AB中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为-，则x12+4y12=4，①x22+4y22=4，②①-②得：（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，由中点坐标公式可知：x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，即2x0•（x1-x2）+4•2y0•（y1-y2）=0，∴=-=-，∴2y0=x0，代入直线方程4x-2y-3=0，得x0=1，y0=，∴x1+x2=2，y1+y2=1，∴=（x1+x2，y1+y2）=（2，1）∴||==，故选：C．将A，B坐标代入椭圆方程，利用作差法，求得直线AB的斜率，由直线AB的斜率为-，代入求得AB中点M（x0，y0），求出点M的坐标，再根据向量的模计算即可．本题考查作差法求弦的直线方程的斜率，点与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．12.答案：B解析：解：直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2，AB=BC=1，E是边CD中点，△ADE沿AE翻折成四棱锥D′-ABCE，当D′E⊥CE时，点C到平面ABD′距离取最大值，∵D′E⊥AE，CE∩AE=E，∴D′E⊥平面ABCE，以E为原点，EC为x轴，EA为y轴，ED′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，1，0），C（1，0，0），D′（0，0，1），B（1，1，0），=（1，0，0），=（1，-1，0），=（0，-1，1），设平面ABD′的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1），∴点C到平面ABD′距离的最大值为：d===．故选：B．当D′E⊥CE时，点C到平面ABD′距离取最大值，以E为原点，EC为x轴，EA为y轴，ED′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面ABD′距离的最大值．本题考查点到平面的距离的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.答案：80解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4=24，a8=17，∴4a1+d=24，a1+7d=17，解得a1=3，d=2，则S8==80．故答案为：80．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.答案：2解析：解：函数y=sin（ωx+）（ω∈N*）的一条对称轴为x=，故：（k∈Z），解得：ω=6k+2（k∈Z），由于：ω∈N*，当k=0时，ω的最小值为2．故答案为：2直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数中正弦型函数性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15.答案：0＜m≤3解析：解：函数f（x）=在（-∞，+∞）上单调递增，由x≥0时，f（x）=1+2x递增，可得x＜0时，f（x）也递增，即有m＞0，且1+20≥0+m-1，即m≤3，综上可得0＜m≤3．故答案为：0＜m≤3．由指数函数的单调性和定义，可得m＞0且1+20≥0+m-1，解不等式可得所求范围．本题考查分段函数的单调性，注意运用指数函数的单调性和定义法，考查运算能力，属于基础题．16.答案：①③⑤解析：解：对于①，函数y=是定义域R上的奇函数，图象关于原点（0，0）对称，所以函数f（x）=+b的图象关于点（0，b）对称，①正确；对于②，x＞0时，f'（x）==，当-时，f'（x）＞0，当x或x时，f'（x）＜0，所以f（x）在[-，]上单调递增，在（-∞，-）和（，+∞）上单调递减．所以②错；对于③，由②知，函数f（x）在（-∞，-）上单调递减，在[-，]上单调递增，在（，+∞）上单调递减．当x→∞时y=→0，所以当x→∞时，f（x）→b，所以|f（x）|≤max{f（-），}，所以存在存在M＞0，使|f（x）|≤M；对于④若g（x）有零点，只需|f（x）|=1，即b=，b不一定为0，④错误；对于⑤，当a=-20，b=9，c=1时，g（x）=0的解集为{1，-1，2，-2}．故⑤正确；故填：①③⑤．对于①根据y=是定义域R上的奇函数，f（x）是由y=向上平移b个单位得到，故①正确；对于②，求导后讨论f（x）的单调性即可得到结论；对于③结合②的结论，|f（x）|≤max{f（-），}，故③正确；对于④，由g（x）有零点，得b═，b不一定为0，所以④错误；对于⑤举出实例即可．本题考查了函数的奇偶性、函数的单调性、函数的最值、函数的零点等．属于难题．17.答案：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，2sin A•sin B（1-tan A•tan B）=tan A•tan B，∴两边同时乘以cos A cos B，可得2sin A•sin B（cos A cos B-sin A sin B）=sin A•sin B，∴2cos A cos B-2sin A sin B=1，即2cos（A+B）=1，即cos（A+B）=，∴A+B=，∴C=．（Ⅱ）sin A-cos B=sin A-cos（-A）=sin A-cos A-sin A=sin A-cos A=sin（A-），∵A∈（0，），∴A-∈（-，），∴sin（A-）∈（-，），sin A-cos B的取值范围为（-，）．解析：（Ⅰ）△ABC中，由题意利用三角恒等变换求得cos（A+B）=，可得A+B=，可得∠C的大小．（Ⅱ）化简sin A-cos B为sin（A-），再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的取值范围．本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.答案：解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，取AC中点O，连接OB，OD，则AC⊥OB，AC⊥OD，∴点O，B，D共线，即AC⊥BD，又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∵BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：取CP中点E，连接OE，OE∥PA，∴OE⊥底面ABCD，∴OC，OD，OE两两垂直，以O为原点如图建立空间直角坐标系O-xyz，则B（0，-1，0），C（1，0，0），D（0，，0），P（-1，0，2），∴=（0，+1，0），=（-1，1，2），设平面PBD的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1可得平面PBD的一个法向量=（2，0，1），设=λ（0≤λ≤1），则=+=（1-2λ，1，2λ），∴||==，∴当λ=时，||取得最小值，此时=（，1，），设直线MB与平面PBD所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，∴直线MB与平面PBD所成角的正弦值为．解析：（I）取AC中点O，可证O在直线BD上，得出BD⊥AC，BD⊥PA，于是BD⊥平面PAC，得出平面PAC⊥平面PBD；（II）取PC中点E，证明OE⊥平面ABCD，以O为原点建立空间坐标系，求出||最短时对应的坐标，求出平面PBD的法向量，计算平面法向量与的夹角的余弦值即可得出结论．本题考查了面面垂直的判定，考查空间向量与线面角的计算，属于中档题．19.答案：解：（Ⅰ）根据题意填写茎叶图如下；计算=×（346+357+358+360+362+362+364+372+373+376）=363，=×（313+321+322+324+330+332+334+343+350+361）=333，-=363-333=30（N），所以实验前后握力的平均值下降了30N；---------（4分）（II）=80，=80，（t i-）（y i-）=-1800，=（0-80）2+（20-80）2+（40-80）2+（60-80）2+（80-80）2+（100-80）2+（120-80）2+（140-80）2+（160-80）2=24000；回归系数为===-0.075，==80-（-0.075）×80=86，---------（9分）y关于时间t的线性回归方程为：=-0.075t+86；----------（10分）（III）九组数据中40分钟到60分钟y的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，所以使用鼠标60分钟就该休息了．---------（12分）解析：（Ⅰ）根据题意填写茎叶图，计算平均值、，求出-的值；（II）计算平均值，求出回归系数、，写出y关于t的线性回归方程；（III）根据题意知40分钟到60分钟y的下降幅度最大，说明60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，该休息了．本题考查了利用茎叶图求平均数的应用问题，也考查了线性回归方程的应用问题，是中档题．20.答案：解：（I）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），F（0，1），∴直线AF的斜率为，由已知直线BF斜率存在，直线BF的方程为y=x+1，令y=-1，x=，∴B（，-1），直线AB的斜率为==，由y=知，y′|=，∴直线AB与抛物线相切．（II）A（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），直线AM的斜率为==，直线AN的斜率为=，∵AM⊥AN，∴•=-1，∴x1x2+x0（x1+x2）+x02=-16，∴，∴x2-x-4=0，∴x1+x2=，x1x2=-4∴x02+x0-4=-16，∴y02-2y0-3=0∵y0＞0，∴y0=3，又x0＞0，∴x0=2，∴存在A（2，3），使得AM⊥AN．解析：（I）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），分别求出直线AF的斜率，可得直线BF的方程，求出点B的坐标，根据直线核对斜率公式和导数的几何意义已即可证明．（Ⅱ）分别设M（x1，y1），N（x2，y2），求出直线AM，AN的斜率，根据直线的垂直可得x1x2+x0（x1+x2）+x02=-16，再根据韦达定理，即可求出点A的坐标．本题考查抛物线的性质，直线的斜率公式，导数的几何意义，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21.答案：解：（I）∵函数f（x）=（2-x）e k（x-1）-x（k∈R，e为自然对数的底数），∴f′（x）=e k（x-1）[k（2-x）-1]-1≤0恒成立，--------（2分）即-kx+2k-1≤对于∀x∈R恒成立，设g（x）=，则g（x）≥0对于∀x∈R恒成立．则g（1）=2-k≥0，∴k≤2．--------（4分）当k=2时，，g′（1）=0，x∈（1，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（-∞，1），g′（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）min=g（1）=0，即g（x）≥0恒成立，故k的最大值为2．--------（6分）证明：（II）当k=2时，f（x）=（2-x）•e2（x-1）-x单调递减，且f（1）=0，--------（7分）当x∈（1，2）时，f（x）＜f（1），即（2-x）•e2（x-1）＜x，ln（2-x）+2（x-1）＜ln x，2（x-1）＜ln，①--------（9分）下面证明：-，②令H（x）=ln（2x-1）-（-），则H′（x）=≥0，∴H（x）单调递增，H（x）＞H（1）=0，故②成立，--------（11分）由①+②得ln＞2（x-）成立．---------（12分）解析：（I）推导出f′（x）=e k（x-1）[k（2-x）-1]-1≤0恒成立，从而-kx+2k-1≤对于∀x∈R恒成立，设g（x）=，则g（x）≥0对于∀x∈R恒成立．推导出k≤2．当k=2时，，g′（1）=0，利用导数性质推导出g（x）≥0恒成立，由此能求出k的最大值．（II）当k=2时，f（x）=（2-x）•e2（x-1）-x单调递减，且f（1）=0，当x∈（1，2）时，（2-x）•e2（x-1）＜x，从而ln（2-x）+2（x-1）＜ln x，2（x-1）＜ln，再证明：-，由此能证明ln＞2（x-）成立．本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查换元法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（I）设θ=时对应的点为M，θ=时对应的点为N，线段AP扫过的面积=S△AMN+S弓形=S△OMN+S弓形=S扇形OMN=×12×=----（4分）（II）设P（cosθ，sinθ），A（2，0）∵P为线段AQ的中点，∴Q（2cosθ-2，2sinθ）---------（6分）∵Q在曲线C上，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1∴（2cosθ-2）2+（2sinθ）2=1∴8cosθ=7，cosθ=---------（8分）P（，±）---------（10分）解析：（Ⅰ）设θ=时对应的点为M，θ=时对应的点为N，线段AP扫过的面积=S△AMN+S弓形=S△OMN+S2×=；弓形=S扇形OMN=×1（Ⅱ）根据中点公式求得中点坐标代入曲线C的方程可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.答案：解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4-|x-1|，即|3x+2|+|x-1|＜4，∴①，或②，或③．解①求得-＜x＜-，解②求得-≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（-，）．（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴+=（m+n）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号．再根据|x-a|-f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x-a|-f（x）≤4，即|x-a|-|3x+2|≤4．设g（x）=|x-a|-|3x+2|=，故函数g（x）的最大值为g（-）=+a，再由+a≤4，求得0＜a≤．解析：（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x-a|-|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x-a|-|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题(简答)
2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<--=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R （ ） A.),3()1,(+∞--∞ B.),3[]1,(+∞--∞ C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞--∞ 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（ ）A.0=+b aB.0=-b aC.02=-b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（ ） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===（注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（ ）A.c a b <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a << 6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，DC BD 21=，则AC AD ⋅=（ ） A.6 B.9 C.12 D.6-7.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A -的体积为（ ）A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（ ）A.12π B.6π C.3π D.125π 9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[-D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f -=+，当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ，则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<-≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[-上所有交点的横坐标之和为（ ）A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为（ ）A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且 12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA （ ）A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数xx ae e x f -+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=-，则n a = .16.已知函数b x a x x f ----=13)()(222，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①21-≤a ②2523<<a ③02,1<<-=b a ④249,1-<<-=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c . 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A -111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31，求二面角A BA F --1的余弦值. 19.（本小题满分12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下： 数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？参考数据如下：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:-=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+-y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分）已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈-++=）. （Ⅰ）设)(x f '为函数)(x f 的导函数，求函数)(x f '的单调区间； （Ⅱ）若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(-++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(-≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.答案： 一、选择题1B ；2B ；3D ；4A ；5B ；6A ；7B ；8D ；9C ；10C ；11D ；12B 二、填空题13.177; 14。