第四节常见的地图投影

（3）高斯-克吕格投影 ）高斯为了提高地图的精确度，数学家高 斯和地图学家克吕格设计了一套方案。 每次投影，只使用中央经线两侧3 每次投影，只使用中央经线两侧3º范 围内的图，即一次投影的宽度为6 围内的图，即一次投影的宽度为6°， 全球投影60次，形成60个投影带，东 全球投影60次，形成60个投影带，东 西半球各30个带，以赤道为轴线，把 西半球各30个带，以赤道为轴线，把 这些带连接在一起，形成一个类似西 瓜切开形态的分瓣投影，称为高斯瓜切开形态的分瓣投影，称为高斯-克 吕格投影。带的编号从本初子午线向 东，第一带的中央经线是3 东，第一带的中央经线是3°经线。
2、横轴圆柱投影 圆柱轴与地轴垂直，一个经 圈与圆柱内侧相切。
(1)经纬网形状 (1)经纬网形状 与圆柱相切的经线投影成直线，长度比为 1，称中央经线，其它经线为对称于中央经线 的曲线，所有经线交于极点。赤道投影成垂 直于中央经线的直线，其它纬线为对称于赤 道的曲线。
（2）变形规律
中央经线不变形，离中央经线越远 变形越大。 等高圈为平行于中央经线的直线， 即等变形线平行于中央经线，垂直圈 垂直于中央经线，即从中央经线向两 侧变形增大。与中央经线经差90º 侧变形增大。与中央经线经差90º的经 线变形为无穷大。 离中央经线越远的图形使用价值越 小。
（2）变形规律
纬线上的长度比n=1/cosφ 纬线上的长度比n=1/cosφ，等角性 质的投影n=m， 质的投影n=m，相同纬差的两纬线间的 间距向高纬增大。等积投影mn=1， 间距向高纬增大。等积投影mn=1，相 mn=1 同纬差的两纬线间距向高纬变小。等距 投影m=1， 投影m=1，纬线间距不变。 等高圈（等变形线）就是纬线，垂直 圈（变形增大的方向）就是经线。
再看平射方位投影，经线上的长度比m 再看平射方位投影，经线上的长度比m、 纬线上的长度比n 纬线上的长度比n都是纬度的函数，与经度 没关系。即纬度相等，长度比相等，等变 形线与纬线平行，也可以说等变形线就是 纬线。切点长度比为1 纬线。切点长度比为1，是不变形的点，向 外变形增大，经线是变形增大的方向。 球心投影，经线上的长度比m 球心投影，经线上的长度比m、纬线上 的长度比n 的长度比n也都只是纬度的函数，与经度无 关。同样，纬线就是等变形线，切点不变 形，经线是变形增大的方向。
（3）等角航线与大圆航线
在墨卡托投影（正轴等角切圆柱投影）上，任 意两点之间的连线与纬线的夹角保持不变，沿该线 航行方向不变，此线称等角航线。该线在地球表面 实际上是一条指向极地的螺旋线。 球面上两点间的最短距离是过两点的大圆，称 大圆航线。在墨卡托投影上表现为向高纬突出的弧 线。（注：图上的长短与实际相反，这是投影变形 的结果。图上格陵兰岛比南美洲还大） 等角航线能保持方向不变，沿此线航行，不容 易偏离方向，但距离远，很不经济。沿大圆航线航 行，容易偏离方向，不易操作。实际工作中，是将 大圆航线分成若干段，每段以等角航线航行。
但是，以上的坐标值与球面上的点还不是一一对应 的，60个带中有与A点坐标值相同的点有60个，B 的，60个带中有与A点坐标值相同的点有60个，B点坐 标值相同的点也有60个。 标值相同的点也有60个。 为了解决这个问题，使得坐标值与点一一对应，就 在原Y 在原Y坐标前增加两位数，写上投影带的序号，称为通 用坐标。通用坐标的一对有序实数与地球面上的点就 一一对应了。 假设A 假设A、B点均位于第21投影带，则A、B的通用坐标 点均位于第21投影带，则A 是： A （3585.75km,21645.65km） 3585.75km,21645.65km） B （2465.45km,21324.55km） 2465.45km,21324.55km） 熟悉通用坐标的含义后，我们就可以判断点的位置： A点纬度约35左右，经度123左右，位于中央经线右侧， 点纬度约35左右，经度123左右，位于中央经线右侧， 大约124度多。我们也可以推算两点间的距离。 大约124度多。我们也可以推算两点间的距离。
3、斜轴方位投影
（1）经纬网形状 经线中过切点的经线投影成直线，即中 央经线，其它经线为对称于中央经线的曲 线；纬线均为曲线。 （2）变形规律 等高圈为平行于平面的球面圆，投影后 为同心圆，即等变形线；垂直圈为过切点 的球面大圆，投影后为放射状直线，代表 变形增大的方向。
可以看出，方位投影的变形规律与 经纬线没关系，只与切点的位置有关， 与平面平行的球面上的圆投影后就是 等变形线，过切点的球面大圆就是变 形增大的方向。
（3）圆锥投影的推广 圆锥的顶角θ与切线的纬度φ 圆锥的顶角θ与切线的纬度φ是相等的。 θ 的正弦值c 的正弦值c （即c=sin θ ）称为圆锥常数。 当c=1时，即θ =90°，圆锥母线与轴垂直，圆锥面为 c=1时，即θ =90°，圆锥母线与轴垂直，圆锥面为 平面，此为方位投影。 当c=0时，即θ =0，圆锥母圆锥面为圆柱 面，此为圆柱投影。 当c介于0与1之间，即0< θ <90°，此为圆锥投影。 介于0 之间，即0 90°，此为圆锥投影。 可以说，方位投影、圆柱投影是圆锥投影的两个特例。 还可以设圆锥轴与地轴的夹角δ δ=0时为正轴投影； 还可以设圆锥轴与地轴的夹角δ： δ=0时为正轴投影； δ=90°时为横轴投影；0 δ=90°时为横轴投影；0< δ <90°时为斜轴投影。 <90° 我们更可以说，斜轴圆锥投影是更一般的投影。通过控 制圆锥的顶角θ 制圆锥的顶角θ和圆锥轴与地轴的夹角δ，可以获得不同
如A点在北半球，位于中央经线右侧，距中央经线 145.65km，距赤道3585.75km。其坐标为: 145.65km，距赤道3585.75km。其坐标为: （3585.75km,145.65km） 3585.75km,145.65km） B点在北半球，位于中央经线左侧，距中央经线 175.45km，距赤道2465.45km。 175.45km，距赤道2465.45km。其坐标为： （2465.45km,-175.45km） 2465.45km,-175.45km） 为了避免Y坐标出现负值，大家约定俗成，将X 为了避免Y坐标出现负值，大家约定俗成，将X轴向左 平移500公里，就是在所有的Y坐标上都加上500公里，这 平移500公里，就是在所有的Y坐标上都加上500公里，这 样Y坐标都是大于0的值。上面A、B两点的坐标就变成： 坐标都是大于0的值。上面A A（3585.75km,645.65km） 3585.75km,645.65km） B (2465.45km,324.55km) 思考：X轴至少向左移动多少公里才能保证Y 思考：X轴至少向左移动多少公里才能保证Y为正？
一、方位投影 投影面为平面，平面与球面 相切，根据切点位置不同，可 分为正轴、横轴、斜轴方位投 影，根据变形性质分为等积、 等角、等距、任意方位投影。
1、正轴方位投影 （1）经纬网的形状 北极点为标准点，纬线为同心圆，经线 为放射状直线，两条经线的夹角等于对应 的经度差。
（2）变形规律 以正射方位投影为例：纬线上的长度比 n为1，是常数；经线上的长度比m是纬度 ，是常数；经线上的长度比m 的函数，与经度没关系。即纬度相等，长 度比相等，也就是说同一纬线上长度比相 等，所以，纬线就是等变形线，且同一经 线上纬度越高变形越小。
三、圆锥投影 1、正轴圆锥投影 圆锥的轴与地轴刚好重合， 圆锥与球面相切，切线为赤道 到极地之间的任一纬线。
(1)经纬网的形状 (1)经纬网的形状 经纬网呈扇形，经线投影成 放射状直线，纬线投影成同心 圆弧，两经线间的夹角小于对 应的经度差。（注意与正轴方 位投影经纬网的差别）
（2）变形规律 切线的长度比为1 切线的长度比为1。是标准线，不 变形。向高纬、低纬的纬线投影以后 均变长，即长度比大于1 均变长，即长度比大于1，纬线上的点 长度比相等，即纬线是等高圈；经线 是垂直圈，代表变形增大的方向，从 标准纬线向两侧变形增大。 经线上的长度比m 经线上的长度比m与投影变形性质 有关，表现在纬线间隔上：等积投影， 向两侧增大；等角投影，向两侧变小； 等距投影则保持不变。
高斯高斯-克吕格投影的变形规律：
中央经线上长度比为1 中央经线上长度比为1，是标准线，等 高圈（等变形线）平行于中央经线，垂直 圈垂直于中央经线，离中央经线越远变形 越大。 同一经线上，纬度越高，变形越小；同 一纬线上，离开中央经线越远变形越大。 全图最大变形点在赤道上的两端。
高斯高斯-克吕格投影上点的平面直角坐标： 由于高斯由于高斯-克吕格投影的变形控制在一定 的范围，且全球都在投影中，所以世界各 国国家基本比例尺地形图均采用此投影。 为了更精确，小比例尺地形图采用3 为了更精确，小比例尺地形图采用3°分带， 全球分为120个带。 全球分为120个带。 为了研究图上点的位置关系，该图上的 平面直角坐标也作了专门设计。以赤道为 横轴（Y轴），中央经线为纵轴（X 横轴（Y轴），中央经线为纵轴（X轴）建 立平面直角坐标系。
双标准纬线割圆锥投影可以使位 于中纬度面积广大的地区保持变形不 大，我国位于中纬度，面积广大，所 以大多数全国地图采用此投影。 早期全国图采用的双标准纬线分 别是25° 别是25°N和45°N，现在采用的是 45° 25°N和47°N。 25° 47°
（3）等高圈与垂直圈 同一纬线到投影面的距离是相等的， 我们称为等高圈；经线是与纬线（等 高圈）垂直的，我们称为垂直圈。换 句话说，等高圈就是等变形线，垂直 圈代表变形增大的方向。
2、横轴方位投影
（1）经纬网形状 经线中过切点的经线投影为直线，称为 中央经线，其它经线为对称于中央经线的 曲线；赤道为垂直于中央经线和直线，其 它纬线为对称于赤道的直线或曲线。 （2）变形规律 等高圈为平行于平面的球面圆，投影后 为同心圆，代表等变形线；垂直圈为过切 点的球面大圆，投影后为过切点的放射直 线，代表变形增大的方向。
的投影。
这是我们科研的一种思维方法，即从特殊到一般的方 法。
2、双标准纬线割圆锥投影 圆锥与球面相割，割线是纬 度分别为φ 度分别为φ1、φ2的纬线，长度比 的纬线， 均为1 均为1，双标准纬线。