高等数学§2-3隐函数及由参数方程2
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2-3隐函数和参数方程的导数
《微积分 A》习题解答
(2) ⎨
⎧ x = θ (1 − sin θ ) ⎩ y = θ cos θ
解：
′ = 1 − sin θ − θ cos θ xθ ， ′ = cos θ − θ sin θ yθ
故
′ dy yθ cos θ − θ sin θ = = ′ 1 − sin θ − θ cos θ dx xθ
解： ln y = 4 ln( 3 − x ) +
1 ln( x + 2) − 5 ln( x + 1) ，两端同时对 x 求导： 2
y′ 4 1 5 (3 − x )4 x + 2 ⎛ 4 1 5 ⎞ ′ ⎜ ⎟ ，所以 y = = + − + − 5 ⎜ ⎟ y x − 3 2( x + 2) x + 1 ( x + 1) ⎝ x − 3 2( x + 2) x + 1 ⎠
由题意知
dr = 6m / s ， r ( 2) = 12 ， dt dr ds ds = 2π r ⋅ ，故 dt dt dt
s = π r2
两端对 t 求导得
= 2π r ⋅
t =2
dr = 144π ( m 2 / s ) dt
13. 一架巡逻直升机在距地面 3km 的高度以 120km / h 的常速沿着一水平笔直的高速路飞 行，飞行员观察到迎面驶来一辆汽车，通过雷达测出直升机与汽车间的距离为 5km ，且此 距离以 160km / h 的速率减少。试求汽车行驶的速度. 解：由图示建立坐标系，设时刻 t 直升机位于点 ( x1 ( t ), 3) 处，汽车位于点 ( x 2 ( t ), 0) 处， 直升机与汽车间的距离为 l ( t ) ，则有 l = ( x 2 − x 1 ) + 3 ，且已知
2-3 隐函数及参数方程及高阶导数_图文.ppt
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数计算，是微积分中的重要内容。对于隐函数，我们可以通过对方程两边同时求导次进行求导，注意此时要运用复合函数的求导法则。对于由参数方程所确定的函数，其一阶导数可以通过参数方程中各变量对参数的导数关系求得。而二阶导数则需要在一阶导数的基础上，进一步对参数求导，并结合链式法则进行计算。掌握这些方法和步骤，能够有效解决隐函数及参数方程相关的高阶导数问题，提升微积分学习的效果和应用能力。
2-3隐函数及参数方程确定的函数求导
练习题答案
4 一 、 1、 ,； 3
2、 x + 11 y − 23 = 0 2、
2 2 e x+ y − y sin t + cos t 4、 , − 2 − 3 ； 5、 5、 4、 . x+ y cos t − sin t x−e
3、 3、
π
x− y+
π
= 0；
四、小结
隐函数求导法则: 隐函数求导法则: 参数方程求导: 参数方程求导 相关变化率: 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式 求导法求解. 求导法求解.
练 习 题
填空： 填空： 1、 设 x 3 − 2 x 2 y + 5 xy 2 − 5 y + 1 = 0 确定了 dy y 是 x 的函数，则 的函数， =________ dx (1,1) 在点（ 曲线 x 3 + y 3 − xy = 7 在点 （ 1 ， 2 ） 处的切线方程是 ___________. π x = t cos t 处的法线方程________. 2、 曲线 在 t = 处的法线方程________. 2 y = t sin t x = e t cos t dy dy =______； 3、 已知 ,则 =______； =______. t dx dx t = π y = e sin t 3 dy 4、 设 xy = e x + y ,则 =________. dx
dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) = ⋅ = ⋅ = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dt
dy dy dt 即 = dx dx dt
2-3隐函数和由参数方程所确定的函数的导数
f ( x ) y (ln f ( x ) ) f ( x)
( f ( x ) 0)
2) 多个函数的乘积、商、 方根的导数 : f1 ( x ) f n ( x ) yk g1 ( x ) gm ( x )
u ( x 1)( x 2) 例6 设 y ，求 y. ( ln u ) u ( x 3)( x 4) 1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 y 1 1 1 1 1 两边对 x 求导： y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
y (t )都可导, 且 ( t ) 0, 则由参数方程所
y [ 1 ( x )] 可导， 且 确定的函数
d y d y d t d y 1 ( t ) . d x d t d x d t d x ( t ) dt
例7 一个半径为a的圆在定直线上滚动时,圆周上任一
2
3 x x 2x ln x 3 2 1 2 ln x 3( 2 x ) 3( 2 x ) x (2 x )
备用题
例3-1 求由方程x sin x y e x y所确定的
dy 隐函数y在点x 0处的导数 d x x 0. 解 方程两边对x求导： d sin( x y ) dy x sin x y x e , dx dx d( x y ) d dy x sin x y x cos( x y ) (1 ) e , ddx x dx
d y sin x y x cos x y e x 于是 . dx 1 x cos x y
d y sin x y x cos x y e x dx 1 x cos x y
高等数学2-3高阶导数隐函数求导讲解
x
2
2
)
sin(
x
3
) 2
y(n) sin( x n ) 2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
几个常用高阶导数公式
(1) (a x )(n) a x lnn a (a 0) (e x )(n) e x
( 1)( n 1)xn ( n)
2
4
即
求隐函数的导数时,只要记住x是自变量, y是x的函数, 于是y的函数便是x的复合函数, 将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数 y 的方程. 从中解出即可.
虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来 了,当然结果中仍含有变量y. 一般来说,隐函数
求导, 允许在 y的表达式中含有变量y.
练习 设sin y xe y 0, 求 dy . dx
解 利用隐函数求导法.
将方程两边对x求导,得
cos y y 1 e y x e y y 0
解出 y, 得
y
ey cos y
xey
3. 对数求导法
作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍 对数求导法, 它可以利用对数性质使某些函数的
求导变得更为简单.
方 法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
若 n,则
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
( 1)( n 1)xn ( n)
( x )(n)
n!
( n)
0
( n)
例如： ( x5 )(6) 0
( x3 6 x2 5 x 1)(3) 3! 6
三节隐函数和参数方程
-1
0.5
1
内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘,
连除表示的函数
转化
3. 参数方程求导法
极坐标方程求导
4. 用Mathematica求两种函数的导数。
课后练习
P54
3．利用M athematica求由下列方程所确定的各
隐函数
y
y(x)
的导数
ey 故 y ' 1 xe y
注：求导后得到一个关于 x 的方程，解此方程则得
y 的' 表达式，在此表达式中允许含有 y 。
例2 求曲线 y3 x3 2xy上点 (1 , 1 ) 处的切线方程。
解 方程两端对 x 求导数，得
3y2y'3x22y2xy'
解出 y ' ，得 2y3x2
y' 3y22x
dy 。
dx
解 方程两边求导，得
从求导结果中解出隐函数的导数：
或者将两个步骤合并为
注意 在
中
一样的，都表示函数
意义是 的一阶导数。
例4 求方程 导数。
解
所确定的隐函数的
即
说明:
1) 对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
注意:
lnyvlnu
1 y vlnu u v
y
u
yuv(vlnuuv) u
dt
dx dy
(t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
例5 已知圆的参数方程为
求
解 d yd y/d x(asint)'aco stco st d x d t d t (aco st)' asint
高等数学：第三节 隐函数、参数方程
5
例3（课本P.90 例4）
设 xy ln x 1确定了函数x x( y). 试证：函数x( y)满足关系式 x2 ( xy 1) dx 0. dy
小结：隐函数求导步骤
6
二、对数求导法
观察函数
( x 1)3 x 1 y ( x 4)2 e x ,
y x sin x .
方法:
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
15
在方程
x y
(t (t
)中, )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
10
u( x)v(x) (u( x) 0)导数的求法二：
u( x)v( x)＝ev(x)lnu(x) (u( x)v( x))'=(ev( x)lnu( x) )'
＝ev( x)lnu( x)[v' ln u v 1 u']
＝uv[v' ln u vu' ].
u
u
11
练习：求下列函数的导数
(1) y aax a xa xaa; (2) y a xx xax x xa ; (3) y x xx .
解. (1) y aax lna ax lna axa lna axa1 aa xaa 1
aax x ln2 a a xa 1 xa1 ln a aa xaa 1 .
ln f ( x) v( x) ln u( x)
两边同时对x求导得
f ( x) v( x)ln u( x)
例3（课本P.90 例4）
设 xy ln x 1确定了函数x x( y). 试证：函数x( y)满足关系式 x2 ( xy 1) dx 0. dy
小结：隐函数求导步骤
6
二、对数求导法
观察函数
( x 1)3 x 1 y ( x 4)2 e x ,
y x sin x .
方法:
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
15
在方程
x y
(t (t
)中, )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
10
u( x)v(x) (u( x) 0)导数的求法二：
u( x)v( x)＝ev(x)lnu(x) (u( x)v( x))'=(ev( x)lnu( x) )'
＝ev( x)lnu( x)[v' ln u v 1 u']
＝uv[v' ln u vu' ].
u
u
11
练习：求下列函数的导数
(1) y aax a xa xaa; (2) y a xx xax x xa ; (3) y x xx .
解. (1) y aax lna ax lna axa lna axa1 aa xaa 1
aax x ln2 a a xa 1 xa1 ln a aa xaa 1 .
ln f ( x) v( x) ln u( x)
两边同时对x求导得
f ( x) v( x)ln u( x)
北京理工大学工科数学分析2-3隐函数和参数方程求导法
Oct.19 Wed.
Review
❖ 导数四则运算
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[u( x)] v( x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
❖ 反函数求导
反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
❖ 复合函数求导
设y f (u), 而u ( x)则复合函数 y f [ ( x)]的 导数为dy dy du 或 y( x) f (u) ( x).
dx du dx
或 f x fu ux
❖ 高阶导数
(1) (u v)(n) u(n) v (n)
3 75 25 因此水桶的水平上升速率为16/25(cm/s).
Hw: p110 1(双),2(4,5),3,6,7(2,4,10),8(2,8,9),10,12, 16,17. p119 6(2,4,6),7(2,4),8,11,12.
小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导 法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式 求导法求解.
x1(t )( y y1(t )) y1(t )( x x1(t ))
令 y 0,得到切线与 x 轴交点的坐标为:
x0
x(t) y(t) x(t) y(t) y(t )
x1(t )
dx dy
y1(t )
x(t) a cos2 t , sin t
Review
❖ 导数四则运算
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[u( x)] v( x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
❖ 反函数求导
反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
❖ 复合函数求导
设y f (u), 而u ( x)则复合函数 y f [ ( x)]的 导数为dy dy du 或 y( x) f (u) ( x).
dx du dx
或 f x fu ux
❖ 高阶导数
(1) (u v)(n) u(n) v (n)
3 75 25 因此水桶的水平上升速率为16/25(cm/s).
Hw: p110 1(双),2(4,5),3,6,7(2,4,10),8(2,8,9),10,12, 16,17. p119 6(2,4,6),7(2,4),8,11,12.
小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导 法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式 求导法求解.
x1(t )( y y1(t )) y1(t )( x x1(t ))
令 y 0,得到切线与 x 轴交点的坐标为:
x0
x(t) y(t) x(t) y(t) y(t )
x1(t )
dx dy
y1(t )
x(t) a cos2 t , sin t
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由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dx dt dx
dy dt
1 dx
(t ) (t )
dt
dy 即 dy dt
dx dx dt
例 已知椭圆的参xy数 ab方 csiontt程 s，为 求 ddyx
dy
解
dy dx
dtdx((abcsiontts))
bcott a
dt
练习
2x2y
( 1 )
当x 2时，由所给曲线方程得解
x y
20或xy
2 . 4
对于点（2,0）所求切线斜率
ky
x2 y0
2(1xy) 2x2y
x2 y0
1 2
所求切线方程为 y 1 x 1 2
对于点（2,4）所求切线斜率
k 5 2
故所求切线方程为 y 2 x 1. 5
练习：
设函 yy(x 数 )由方 cox 程 sy()y1确定 dy ， dx
你我同行，共同进步。
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
yt2 (x)2 x 2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
在方程 xy((tt))中,
设函x数 (t)具有单调连续 t的 1(x反 ), 函
y[1(x)]
再x 设 ( t )y ,函 ( t ) 都 ,且 数 可 ( t ) 0 , 导
若方程 F(x,y)0确定的是y关于x的函数， 则要求y关于x的导数的步骤如下：
（1）将方程 F(x,y)0两端关于x求导，其中y 视为x 的函数. （2）解上式关于 y 的方程，得出 y 的表达式， 在表达式中允许保留y
例1 求由方x程 yex ey 0所确定的隐函
y的导dd数 xy, ddxyx0.
解 方程两边 x求对导 ,
yxdy exeydy 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dx
dx
解得
dy ex y dx x ey ,
由原方x程 0,y知 0,
ddxyx0
exxeyy
x0 y0
1.
例2 求曲 x2线 2xyy22x在 x2处的切.线
解 方程两x边 求对 导得
2 x 2 y 2 x y 2 y y 2 解得 y（ 21xy）.
求摆 y x a a ((1 t线 c sito t))n 的 s 导 d d,y x及 数 t 在 2的处 d d的 /ty x 2
dy
解 dy dt asint sint dx dx aacost 1 cost
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
1.
2
再见！
谢谢聆听！
二、对数求导法
观察函数 y xsinx.
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法 适用范围:
主要用于求幂指u函 (x)v数 (x)的情形 .
例5 设 y x sx in (x 0 )求 ,y .
解 等式两边取对数得 ln y sixn ln x
上式两x边 求对 导得
1ycoxslnxsix n1
y
x
yy(cx o ln sxsixn 1) x
xsix n(cx olsn xsix n ) x
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方 yx程 ((tt))确定 y与x间的函数,关系
称此为由参数方 定程 的所 函 . 确 数
例如
x 2t,
高等数学§2-3隐函数 及由参数方程2
§3 隐函数及由参数方程所确 定的函数的导数
一、隐函数的求导法则 二、对数求导法则 三、参数方程求导法则
一、隐函数的导数
1.显函数与隐函数 y f(x)形式称为显.函数
由方程所确定 y的 y(x)函 称数 为隐.函
F(x,y)0 yf(x) 隐函数的显化
2.隐函数求导法则: