1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则

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10 由参数方程确定的函数的导数、高阶导数

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二、高阶导数
1、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度问题:变速直线运动的加速度.
设 s = f (t ), 则瞬时速度为 v ( t ) = f ′( t )
Q 加速度 a是速度 v对时间 t的变化率
∴ a ( t ) = v ′( t ) = [ f ′( t )]′ .
一地函 f ( x)的 −1 导的数为般 , 数 n 阶数导称
数 n 导 , 作函 f ( x)的阶数记
dn y dn f ( x) f (n) ( x), y(n) , . 或 n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数. 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数
(4) ( x α ) ( n ) = α(α − 1) L (α − n + 1) x α − n
(n)
(5) (ln x )
14
= ( −1)
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n −1
( n − 1)! xn
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1 (n) n n! ( ) = ( −1) n + 1 x x
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1 (5) , 求y . 2 x −1 1 1 1 1 解Qy= 2 ) = ( − x −1 2 x −1 x +1
例6 设 y =
∴y
(5)
1 − 5! − 5! ] = [ − 6 6 2 ( x − 1) ( x + 1) 1 1 ] = 60[ − 6 6 ( x + 1) ( x − 1)
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由参数方程确定的函数的求导方法

一、概述从高中开始学习数学，我们就被教导如何求解代数函数的导数。

但是在高等数学领域，我们还需要学会如何求解由参数方程确定的函数的导数。

参数方程在描述曲线、曲面等几何图形时具有独特的优势，因此求解由参数方程确定的函数的导数是十分重要的。

二、参数方程的定义参数方程是由参数对确定的函数，其自变量和因变量均为参数。

常见的参数方程形式可表示为$x=f(t)$，$y=g(t)$，其中$x$和$y$分别是$t$的函数。

参数方程的优点在于能够将几何问题转化为代数问题，简化问题的求解过程。

三、从参数方程求导的基本方法1. 链式法则当我们需要求解由参数方程确定的函数的导数时，可以利用链式法则。

设有参数方程$x=f(t)$，$y=g(t)$，需求解函数$y$关于$x$的导数$\frac{dy}{dx}$。

根据链式法则，我们有$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$。

通过对参数$t$的求导，我们可以得到$y$关于$x$的导数。

2. 极限定义法我们也可以利用极限定义法来求解由参数方程确定的函数的导数。

设有参数方程$x=f(t)$，$y=g(t)$，需求解函数$y$关于$x$的导数$\frac{dy}{dx}$。

我们可以将$\frac{dy}{dx}$表示为$\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$，其中$\Delta t$趋近于$0$。

通过极限的定义，我们可以求得函数$y$关于$x$的导数。

四、实例分析为了更好地理解从参数方程求导的方法，我们通过实例来进行分析。

假设有参数方程$x=2t$，$y=t^2$，我们需要求解函数$y$关于$x$的导数。

根据链式法则，我们有$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，代入参数方程得$\frac{dy}{dx}=\frac{2t}{2}=\frac{t}{1}=t$。

隐函数和由参数方程所确定的函数的导数

的隐函数，则 F[ x, y( x)] 0 ( x D)；
2°若隐函数 y y( x) ( x D)可由F ( x, y) 0中
解出，则称此隐函数可显化；
如：
确定了一个隐函数：y = y(x)
可显化：y 3 1 x.
2021/4/22
2
3°有些隐函数不易显化，甚至不能显化.
例1 e y xy 0 确定了一个隐函数：
y
t
2
,
t x 2
y
t2
( x)2
2
x2 4
故
消去参数 t
y 1 x. 2
问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何
求函数的导数?
2021/4/22
14
结论 (由参数方程所确定的函数的求导公式)
在
x y
(t) (t)
中，设
x
(t
)在某个区间上具有
单调且连续的反函数 t 1( x), 且能构成复合
5 y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
由原方程得 x = 0 时 y = 0 , 故
2021/4/22
28
例3-4 设 y x ex , 求其反函数的导数 . 解 (方法1)
(方法2) 等式两边同时对 y 求导
2021/4/22
29
f (x) 0 f (x) 0
当 f ( x) 0 时，y f ( x)
f (x)
y (ln x ) 1 ( x 0) x
当
f
(
x)
0
时，y
[
1 f(
x)]
[
f
(
x

隐函数及参数方程确定函数求导法则

求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.
解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
dx dt

v1
,
垂直分量为
dy dt
v2
gt
,
故抛射体速度大小
v
(dx)2 (dy)2 dt dt
v12(v2g)t2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向): y
设为切线倾角, 则
tan d y

dy dt
d x v2 gt
o
x
dx
dt
v1
抛射体轨迹的参数方程
x y
v1t v2t
12
gt2
速度的水平分量
dx dt

v1
,
垂直分量
dy dt
v2
gt ,
速度的方向 tan v2 gt
v1
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
arctanv2

(x2)/+(y2)/=（R2）/
2x 2 y dy 0 dx
dy x dx y
例2 求由方程ysinx+lny=1所确定的隐
函数的导数 y
/ x
解将方程的两边同时对 x 求导，得
yx/
sin
x

y
cos
x

1 y
yx/

0
整理得
yx/
y2 cos x
1 y sin x
例3. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy 方程两边对 x 求导
ddx(y52yx3x7)0

由参数方程所确定的函数的导数

由参数方程所确定的函数的导数要计算由参数方程确定的函数的导数，我们首先需要了解参数方程的概念和用法。

参数方程是一种常用于描述曲线或曲面的方程形式。

它使用一个参数来表示变量，通过改变参数的值可以得到曲线或曲面上的不同点。

常见的参数方程形式为：x=f(t)y=g(t)其中，t是参数，x和y是关于t的函数。

要计算由参数方程所确定的函数的导数，我们可以使用链式法则。

链式法则是微积分中的一个重要定理，用于计算复合函数的导数。

首先，我们将两个参数方程写成一个函数：f(t)=(x(t),y(t))然后使用链式法则将函数f(t)求导：f'(t)=(x'(t),y'(t))其中，'表示对变量t求导。

x'(t)和y'(t)分别表示x和y关于t的导数。

进一步，我们可以通过求解x(t)和y(t)关于t的导数来计算x'(t)和y'(t)：x'(t) = dx(t)/dty'(t) = dy(t)/dt具体的计算方法取决于参数方程的具体形式。

下面我们通过一些例子来演示如何计算由参数方程所确定的函数的导数：例1：考虑参数方程 x = cos(t)，y = sin(t)，我们将其表示为函数形式 f(t) = (cos(t), sin(t))。

求导得到：x'(t) = -sin(t)y'(t) = cos(t)所以函数f(t)的导数为 f'(t) = (-sin(t), cos(t))。

例2：考虑参数方程x=2t，y=t^2，我们将其表示为函数形式f(t)=(2t,t^2)。

求导得到：x'(t)=2y'(t)=2t所以函数f(t)的导数为f'(t)=(2,2t)。

通过以上例子，我们可以看到，对于参数方程确定的函数，其导数是一个向量函数，每个分量的导数都是各个参数的导数。

总结起来，计算由参数方程确定的函数的导数的步骤如下：1.将参数方程写为函数形式f(t)=(x(t),y(t))。

由参数方程所确定的函数的导数与导数的简单应用

⎧ x = ϕ (t ) 若函数 ⎨ 二阶可导 , ⎩ y = ψ (t )
d 2 y d dy = ( ) = d ⎛ ψ ′( t ) ⎞ dt ⎜ 2 ⎟ ⎜ ϕ ′( t ) ⎟ dx dx dx dx dt ⎝ ⎠
ψ ′′( t )ϕ ′( t ) − ψ ′( t )ϕ ′′( t ) 1 = ⋅ 2 ϕ ′ (t ) ϕ ′( t )
y
y=
3
x −1
0
1
x
在x = 1处不可导，但此时有垂直切线x = 1.
例1 过M (3,8)作曲线 y = x 2 的切线, 写出切线方程. 解易见点 M ( 3 ,8 )不在曲线 y = x 2 上 .
设曲线 y = x 2的过 M 点的切线的切点为 P ( x 0 , x 0 )
曲线在 P 点的切线的斜率为 f ′( x 0 ) = 2 x 0
l ( t ) = x ( t ) + 100
2 2
2
(1)
dl dx （2） (1)式两边对t求导得 2l = 2 x dt dt dx 又已知 = −3米 / 秒,（负号表示距离缩短!） dt dl x dx x dx ∴ = = dt x = 50 l dt x = 50 1002 + x 2 dt x = 50
y
y = f ( x)
f ′( x 0 )表示曲线 y = f ( x ) 在点 M ( x 0 , f ( x 0 ))处的切线的斜率 , 即 f ′( x 0 ) = tan α , (α为倾角) o
α
T M
x0
x
切线方程为 y − y 0 = f ′( x 0 )( x − x 0 ). 1 ( x − x0 ) ( f ′( x0 ) ≠ 0). 法线方程为 y − y0 = − f ′( x 0 )

由参数方程所确定的函数的导数(精)

例如方程xy310确定的隐函数为 y 3 1 x
把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化隐函数的求导法把方程两边分别对x求导数然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出.
山东农业大学
高等数学
主讲人：苏本堂
例1 求由方程eyxye0所例2 求由方程y52yx3x70 确定的隐函数y的导数所确定的隐函数yf(x)在解方程中每一项对x求导得 x0处的导数y|x0
d 1 dh sec d t 500 d t
2
h
sec 2 1 tan 2
dh 已知 140 m min , h = 500m 时, tan 1 , sec 2 2 , dt d 1 1 ( rad/ min ) 140 d t 2 500
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高等数学
主讲人：苏本堂
二、由参数方程所确定的函数的导数
x j (t ) 设 y 与 x 的函数关系是由参数方程确定的 y y (t ) 设xj(t)具有反函数tj-1(x) 且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yy[j-1(x)] 若xj(t)和yy(t)都可导则
山东农业大学
高等数学
主讲人：苏本堂
例3. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
山东农业大学
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主讲人：苏本堂
例5 求yx sin x (x>0)的导数解法一两边取对数得 ln ysin xln x

高等数学：第十一讲由参数方程所确定的函数的导数

dy dt
1 dx
y(t ) )
例题：
已知摆线方程为
x a(t sin t),
y
a(1
cost)
(a 为常数，0 t 2π) ，求摆线在 t
3
处的切线方程 .
解
与
t
3
对应的曲线上的点为
P a
3
3 2
,
1 2
a
,
y′ (t)= asin t， x′(t)= a(1-cos t)，
由参数方程所确定的函数的
导数
引例
已知摆线方程为
x y
a(t a(1
sin t ) ， (a
cos t)
为常数，0
t
2π
)
，求摆线在
t 处的切线方程 .
3
分析切线方程
切点
斜率
导数
问题
一、这里的函数如何确定？二、如何求该函数的导数？
隐由函参数方程确定的函数
定义
如果参数方程
x y
x(t), y(t)
所以
dy
sin t
dy ,
dx 1 cos t dx t π
3.
3
点
P
处的切线方程为
y
1a 2
3
x
3
a
3 2
a
.
谢谢
(
t
)
可确定y与x之间的函数
关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的
函数。
例如，参数方程
x
y
r cost, r sin t
(0
t
2
)
确定了y与x之间的函数
关系，即 x2 y2 r 2.

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作业习题1.4 习题 P59-61 A 组 13 (1) 、(3) ， 14
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17
所求切线方程为
y − a = x − a ( − 1) 2
即
y = x + a (2 −
π
π
2
).
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x = t 2 + 2t, (0 < ε < 1). 例2 设由方程 2 t − y + ε sin y = 1,
确定函数 y = y( x), 求方程组两边对t求导求导, 解方程组两边对求导, 得
d 2 y ψ′′(t )ϕ′(t ) −ψ′(t )ϕ′′(t ) . 即 = 2 3 dx ϕ′ (t )
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二、典型例题
x = a( t − sin t ) π 在t = 处的切线方程 . 例1 求摆线 2 y = a(1 − cos t )
x = ϕ (t), y =ψ (t),
(α < t < β )
确定的函数 y = f ( x ) ,可采用下述方法来求它的导数：可采用下述方法来求它的导数：
首先根据微分形式不变性可得首先根据微分形式不变性可得 dx = ϕ ′ ( t ) dt , dy = ψ ′ ( t ) dt , 然后根据导数是微商，然后根据导数是微商，可得根据导数是微商
例3
设
, 求
求导, 解方程组两边同时对 t 求导, 得
dy ∴ dx
t =0
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注参数方程所确定的函数的求导法则的另一种解释. 参数方程所确定的函数的求导法则的另一种解释我们知道导数也叫微商，我们知道导数也叫微商，因此对于参数方程微商
d dy d 2 y dt dx = = 2 dx dx dt
b ′ − cot t − b ⋅ ( − csc 2 t ) a = a (a cos t )′ − a sin t
b = − 2 csc 3 t . a
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1 − sec 2 tdt . = = 4 3a cos 2 t ⋅ ( − sin t )dt 3a cos t ⋅ sin t
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11
x = arctan t , dy 所确定，例 5 设 y = y( x ) 由所确定，求 . 2 t dx 2 y − t y + e = 5.
dy ψ ′ ( t ) dt ψ ′ ( t ) . = = dx ϕ ′ ( t ) dt ϕ ′ ( t )
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例4
解
x = a cos 3 t , d2y dy 设求， 2. dx dx y = a sin 3 t ,
dy 3a . 2 dx 3a cos t ⋅ ( − sin t )dt
dx = 2t + 2, dt dy dy 2t − = 0. +ε cos y dt dt
故
dx = 2(t + 1), dt dy 2t . = dt 1 − ε cos y
dy dy t . = dt dx = dx dt (t + 1)(1 − ε cos y)
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∴ y = ψ [ϕ ( x )]
−1
再设函数 x = ϕ ( t ), y = ψ ( t )都可导, 且ϕ ′( t ) ≠ 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) dy dt ψ′ ( t ) = ⋅ = ⋅ = . 即 = = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dx dx ϕ′ ( t ) dt dt
分析方法一由 x = arctan t 得 t = tan x ，代入
2 y − t y + e = 5,
2 t
根据隐函数求导法则可求. 2 y − y 2 tan x + etan x = 5. 根据隐函数求导法则可求得根据参数方程求导法则可求. 方法二根据参数方程求导法则可求答案为：答案为：
dy a sin t sin t dy dt = = = dx dx a − a cos t 1 − cos t dt
解
dy ∴ dx
t=
π 2
π sin 2 = 1. = π 1 − cos 2
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当t =
π
2
时, x = a(
π
2
− 1), y = a .
三、小结参数方程求导法: 参数方程求导法: 实质上利用复合函数求导法则. 实质上利用复合函数求导法则求高阶导数时, 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
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14
思考题：思考题：在摆线的一拱
x = a ( t − sin t ), y = a ( t − cos t ),
(0 ≤ t ≤ 2π )
上求一点A，平行，上求一点，使该点处的切线与直线 y＝ 1-x平行，＝ - 平行并写出切线方程. 并写出切线方程
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15
解摆线上任一点处切线的斜率为 dy dy dt t sin t = = cot , = dx dx 2 1 − cos t dt t 3 令 cot = −1, 得t = π，代入曲线方程，得切点代入曲线方程， 2 2 3 x = a ( π + 1)， y = a. 2 3π + 1 , 即所求切线为 y − a = − x − a 2 3π y = a( + 2) − x . 2
1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则
一、求导法则二、典型例题三、小结
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1
一、求导法则
x = ϕ(t ) 若参数方程确定y与x间的函数关系 , y =ψ (t ) . 称此为由参数方程所确定的函数
例如
x = 2t , 2 y = t ,
2
x t= 2
2
消去参数 t
x 2 x ∴y=t =( ) = 2 4
1 ∴ y′ = x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导? 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
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x = ϕ (t ) 在方程中, y = ψ (t )
设函数x = ϕ ( t )具有单调连续的反函数 t = ϕ −1 ( x ),
dy ( y 2 − etan x )sec 2 x . = dx 2(1 − y tan x )
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d2y 例6 设 x = a cos t，y = b sin t，求 2 . dx
解
dy dy dt b = = − cot t， dx dx a dt
若要求二阶导数，则由下列参数方程若要求二阶导数，
x = a cos 3 t , dy dx = − tan t ,
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x = a cos 3 t , dy dx = − tan t ,
可得
dy d 2 d y d dy dx = d ( − tan t ) = dx = dx 2 d (a cos 3 t ) dx dx
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x = ϕ (t ) 若函数二阶可导 , y = ψ (t )
d 2 y d dy d ψ ′( t ) dt = ( )= ( ) 2 dx dx dt ϕ′( t ) dx dx
ψ ′′( t )ϕ ′( t ) − ψ ′( t )ϕ ′′( t ) 1 = ⋅ 2 ϕ ′ (t ) ϕ ′( t )