10 由参数方程确定的函数的导数,高阶导数(精选)
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隐函数及参数方程的求导方法,高阶导数
偏导数
z x
f x ( x, y),
z y
f y( x, y),
一般说来仍然是 x , y 的函
如数果，这两个函数关于
它x们,的y偏的导偏数导是数也f 存(x在,，y)的二阶偏导数.
则称
依照对变量的不同求导次序， 二阶偏导数有四 个：
z x
x
x
z x
2z x2
f xx( x, y) zxx;
3
x
x y y x
解
z x
1 1 y
2
y x2
y x2 y2 ,
x
z 1 1
y
1
y
2
x
x x2 y2 ,
x
2z x y
y
y x2 y2
(1) ( x2
y2 ) ( y) (0 2 y) (x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
2z y x
x
感谢下 载
感谢下 载
(1)n1(n 1)!.
例 11
设
y
=
sin
x求，dn y
dx n
.
解 dy cos x sin x ，
dx
2
d2 y dx 2
cos
x
2
sin
x
2
2
，
d3 y dx 3
cos
x
2
2
sin
x
3
2
，
dn y dx n
sin
x
n 2
.
五、 高阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的两个
第三模块 函数的微分学
12,13隐函数和由参数方程所确定的函数的导数.
y= 3 2
y=3 3 2
故切线方程为 即
3 3 y − 3 = − (x − 2) 2 4
求由方程 y5 + 2y − x − 3x7 = 0 确定的 y = y(x) 在 x = 0 处的导数 dy 隐函数 . dx x = 0 解 方程两边对 x 求导 例5
得
dy 5y + 2 −1− 21x6 = 0 dx dx 6 dy 1+ 21x ∴ = 4 dx 5y + 2
π πa 直 坐 为 0, )的 对 的 角 θ = 角 标 ( 点 应 极 为 2 2 dy 2 而 =− d x θ=π π
2
故 求 线 程 所 切 方 为
aπ 2 y− = − ( x − 0) 2 π 即 aπ x+ y = . 2 π 2
例3
抛射体运动轨迹的参数方程为
的运动速度的大小和方向. 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向 解 先求速度大小: 先求速度大小 速度的水平分量为 故抛射体速度大小 故抛射体速度大小 铅直分量为
d(ln y) dh(x) = dx dx d(ln y) d(ln y) d y 1 ′ = ⋅y Q = ⋅ d y dx y dx 1 ′ ∴ ⋅ y′ = h (x), y′ = yh (x). ′ y
令
易求导
(2) 适用范围
y = [u(x)]v( x) 的 数 1) 幂 函 : 指 数 导 .
y =ψ[ϕ−1(x)] 可导， 且 可导， 确定的函数
dy dy dt dy 1 ψ′(t) = ⋅ = . = ⋅ dx dt dx dt dx ϕ′(t) dt
一个半径为a的圆在定直线上滚动时 的圆在定直线上滚动时,圆周上任一 例1 一个半径为 的圆在定直线上滚动时 圆周上任一 定点的轨迹称为摆线 计算由摆线的参数方程: 定点的轨迹称为摆线, 计算由摆线的参数方程 摆线 x = a(t − sint), 摆线 y = a(1− cost) dy . 所确定的函数 y = y (x) 的导数 dx dx dy dy dy dt dt [a(1−cost)]' = ⋅ = = 解 dx dt dx dx [a(t −sint)]' dt t asint = (t ≠ 2kπ,k ∈Z ). = cot a(1− cost) 2
y=3 3 2
故切线方程为 即
3 3 y − 3 = − (x − 2) 2 4
求由方程 y5 + 2y − x − 3x7 = 0 确定的 y = y(x) 在 x = 0 处的导数 dy 隐函数 . dx x = 0 解 方程两边对 x 求导 例5
得
dy 5y + 2 −1− 21x6 = 0 dx dx 6 dy 1+ 21x ∴ = 4 dx 5y + 2
π πa 直 坐 为 0, )的 对 的 角 θ = 角 标 ( 点 应 极 为 2 2 dy 2 而 =− d x θ=π π
2
故 求 线 程 所 切 方 为
aπ 2 y− = − ( x − 0) 2 π 即 aπ x+ y = . 2 π 2
例3
抛射体运动轨迹的参数方程为
的运动速度的大小和方向. 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向 解 先求速度大小: 先求速度大小 速度的水平分量为 故抛射体速度大小 故抛射体速度大小 铅直分量为
d(ln y) dh(x) = dx dx d(ln y) d(ln y) d y 1 ′ = ⋅y Q = ⋅ d y dx y dx 1 ′ ∴ ⋅ y′ = h (x), y′ = yh (x). ′ y
令
易求导
(2) 适用范围
y = [u(x)]v( x) 的 数 1) 幂 函 : 指 数 导 .
y =ψ[ϕ−1(x)] 可导， 且 可导， 确定的函数
dy dy dt dy 1 ψ′(t) = ⋅ = . = ⋅ dx dt dx dt dx ϕ′(t) dt
一个半径为a的圆在定直线上滚动时 的圆在定直线上滚动时,圆周上任一 例1 一个半径为 的圆在定直线上滚动时 圆周上任一 定点的轨迹称为摆线 计算由摆线的参数方程: 定点的轨迹称为摆线, 计算由摆线的参数方程 摆线 x = a(t − sint), 摆线 y = a(1− cost) dy . 所确定的函数 y = y (x) 的导数 dx dx dy dy dy dt dt [a(1−cost)]' = ⋅ = = 解 dx dt dx dx [a(t −sint)]' dt t asint = (t ≠ 2kπ,k ∈Z ). = cot a(1− cost) 2
导数的运算(二)
例2 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
解 方程两边对x求导,
y cos(x y) (1 y)
y cos(x y) ycos(x y)
解得 y cos(x y) 1 cos(x y)
例5 设曲线 C 的方程为 x3 y 3 3 xy , 求过 C上
点
3 (
2
,
3 2
)
的切线方程和法线方程
3
33
例4
设参数方程
x y
a b
cos t，(椭圆方程)确 sint
定了函数 y = y(x)，求 dy .
dx
解 dx a sin t dy b cost
dt
dt
所以 dy b cost b cott. dx a sin t a
例 5 求摆线
x
dx 1 cos t dx tπ
点 P 处的切线方程为
3
y1a 2
3
x
3
a
3 2
a
§2-2 导数的运算(二）
高阶导数的定义
我们把函数 yf(x) 的导数 yf (x) 的导数(如果 可导)叫做函数 yf(x) 的二阶导数 记作
y、f
(x)或
d2y dx2
2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式
2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式模块基本信息一级模块名称 微分学二级模块名称基础模块三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数公式模块编号 2-10 先行知识导数的概念 模块编号2-2知识内容 教学要求掌握程度1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念一般掌握2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导3、莱布尼兹公式3、掌握隐函数高阶导的求解（一般是二阶）4、隐函数的高阶导数4、掌握参数方程高阶导的求解（一般是二阶）5、参数方程的高阶导数5、熟记正弦、余弦等常见函数的n阶导数公式能力目标 1、提高学生的观察分析能力2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力时间分配45分钟编撰黄小枚校对方玲玲审核危子青修订肖莉娜 二审 危子青一、正文编写思路及特点：思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义，然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。
特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。
二、授课部分 1.引例（1） 变速直线运动的速度)(t v 是位置函数)(t s 对时间t 的导数，即)()('t s t v = 或dtdst v =)( （2） 速度函数)(t v 对时间t 的变化率就是加速度)(t a ，即)(t a 是)(t v 对t 的导数：[]'')(')()(t s t v t a ==或)()(dtdsdt d t a =（3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称为)(t s 对t 的二阶导数，记为)(''t s 或22dtsd2．高阶导数的定义设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。
由方程所确定的函数的导数
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求抛射例体8 在抛时射刻体t的运运动动轨速迹度的的参大数小方和程方为向xy
v1t v2t
1 2
gt
2
解 先求速度的大小
速度的水平分量与铅直分量分别为
x (t)v1 y(t)v2gt 于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为
y (t) j(t)
例7
求曲线
x sin t y cos2t
在处 t 的切线方程
4
解
dy dx
yt xt
2sin 2t cost
所求切线的斜率为 dy 2 2
dx
切点的坐标为
x0
2 2
y0 0
切线方程为 y 2 2(x 2 ) 2
即
2 2x y20
1 y
y
1 2
(
1 x 1
1 x2
1 x3
x
1) 4
于是 说明
y
y 2
(
1 x1
1 x2
1 x3
1) x4
严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的
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例如 方程xy310确定的隐函数为 y 3 1 x 把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化
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隐函数的求导法一、隐函数的导数
导数的基本公式与运算法则高阶求导
( f ( x)) lim f ( x x) f ( x)
x0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
记作
f ( x),
y,
d2 dx
y
2
或
d
2 f (x dx 2
)
.
d (dy) d x dx
y f (x) y f (x) y [ f (x)] f (x)
dx n
dx n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
二、 高阶导数求法举例
例
设 y arctan x, 求f (0), f (0).
( 1
1(xu21))
1(1u(112x2
x2 )2
)
解
y
1
y(n) ( 1)( n 1)xn (n 1)
若 为自然数n,则
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法)
例. 设 y eax , 求 y(n). 解: y aeax ,
y a2 eax , y a3eax , , y(n) an eax
特别有: (e x )(n) e x
例 设 y ln(1 x), 求y(n) .
[([(11(112xx1)x)3)2]](1[2[1(x1()12 x(1)x)3]2x]) 22(13(1x)x3 )4
0,
求
d2 y d x2
高等数学 第三章 第4节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数(中央财经大学)
原则是: 按照高阶导数的定义, 运用隐函数及参 数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求 导.
例
d y 设 x + x y + y = 4, 求 . 2 dx
2 2
2
解
对方程两边关于 x 求导:
2 x + y + x y′ + 2 y y ′ = 0
故 2x + y y′ = − x + 2y
想想如何求二阶导数？
解
(
)
1 2 1+ t 2 d y = 2 = = 2 2t 2 ′ 4t dx (ln(1 + t ) ) 1 + t 2
⎛ t ⎞′ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
⎛ 1 + t 2 ⎞′ 2t 2 − 1 − t 2 ⎜ 3 ⎜ 4t ⎟ ⎟ 2 t 4 −1 d y 4t ⎝ ⎠ = = = 3 3 ′ 2t 8t dx (ln(1 + t 2 ) ) 1+ t 2
故
1 (1 − x)(1 − 2 x)(1 + x ) y′ = 3 3 (1 + 5 x)(1 + 8 x)(1 + x 4 )
⎧ −1 −2 2x 5 8 4 x3 ⎫ − − − ⎨1 − x + 1 − 2 x + 2 1 + 5x 1 + 8 x 4⎬ 1+ x 1+ x ⎭ ⎩
2
四、 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数
F ( x, f (x) ) ≡ 0
对上式两边关于 x 求导：
d F ( x , y) = 0 dx
然后, 从这个式子中解出 y ′, 就得到隐函数的导数.
例
求由方程 F ( x , y ) = xy − e x + e y = 0 ( x ≥ 0 ) 所确定的隐函数的导数 y′, 并求 y′
例
d y 设 x + x y + y = 4, 求 . 2 dx
2 2
2
解
对方程两边关于 x 求导:
2 x + y + x y′ + 2 y y ′ = 0
故 2x + y y′ = − x + 2y
想想如何求二阶导数？
解
(
)
1 2 1+ t 2 d y = 2 = = 2 2t 2 ′ 4t dx (ln(1 + t ) ) 1 + t 2
⎛ t ⎞′ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
⎛ 1 + t 2 ⎞′ 2t 2 − 1 − t 2 ⎜ 3 ⎜ 4t ⎟ ⎟ 2 t 4 −1 d y 4t ⎝ ⎠ = = = 3 3 ′ 2t 8t dx (ln(1 + t 2 ) ) 1+ t 2
故
1 (1 − x)(1 − 2 x)(1 + x ) y′ = 3 3 (1 + 5 x)(1 + 8 x)(1 + x 4 )
⎧ −1 −2 2x 5 8 4 x3 ⎫ − − − ⎨1 − x + 1 − 2 x + 2 1 + 5x 1 + 8 x 4⎬ 1+ x 1+ x ⎭ ⎩
2
四、 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数
F ( x, f (x) ) ≡ 0
对上式两边关于 x 求导：
d F ( x , y) = 0 dx
然后, 从这个式子中解出 y ′, 就得到隐函数的导数.
例
求由方程 F ( x , y ) = xy − e x + e y = 0 ( x ≥ 0 ) 所确定的隐函数的导数 y′, 并求 y′
参数方程求导法_高阶导数
所确定的函数y的导数 t
dy dx
.
dy (t sin t) 1 cost dx
dx (2t 2 ) 4t dt
dy
故
dy dx
dt dx
1 cost 4t
dt
练
椭圆
x y
a cost ,
bsin t
在t
2
时的切线方程为 y
b.
A.
参数方程求导法则：
设
x x(t)
tI
y y(t)
若 d y y(t), d x x(t) 存在, 且 x(t) 0, 则
dt
dt
dy
dy dx
y(t)
xt
dt dx
y对t求导数
dt
x对t求导数
例3 解
求由参数方程x y
2t 2 t sin
例5 求 y = ex 的各阶导数.
解 y ex
y ( y) (ex ) ex
y(n) ex
y = ex 的任何阶导数仍为 ex
(ex )(n) ex (n N)
练
判断： y = ax 的各阶导数可以表示为： (a x )(n) a x
A. √
一般说来, 如果函数 f (x) 的导函数 f (x) 仍然 可导, 则称 f (x) 的导数为原来函数 f (x) 的二 阶导数, 记为 f (x) ( f (x)).
例4 求幂函数 y x6 2x3 3x2 x 6, n Z 的高阶导数.
解 y 6x5 6x2 6x 1
B.