2.3等腰三角形的性质定理1
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些特殊的性质，这些性质不仅有助于我们理解和解决几何问题，还在各种实际应用中起着重要的作用。
本文将探讨等腰三角形的性质及其相关定理。
一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在一个三角形中，如果两条边的边长相等，我们就可以称之为等腰三角形。
通常，我们用字母a来表示等腰三角形的两条相等的边的长度，而用字母b表示与这两条边相对应的底边的长度。
二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两条等边，也是两个底角之间的夹角。
因此，等腰三角形具有两个底角相等的性质。
例如在一个等腰三角形ABC中，∠A 和∠B是相等的。
2. 等腰三角形的顶角等腰三角形的顶角是等腰三角形中与两个等边相对应的角。
这个角称为等腰三角形的顶角。
在等腰三角形ABC中，∠C就是顶角。
3. 等腰三角形的高线等腰三角形的高线是从顶角所在顶点到底边上的垂线，也就是等腰三角形顶角所在顶点到底边所在直线的垂直的线段。
等腰三角形的高线将底边平分，并且和两边构成相似三角形。
具体来说，等腰三角形ABC的高线CD将底边AB平分，同时构成了与等腰三角形ABC相似的等腰三角形ACD。
4. 等腰三角形中位线的性质等腰三角形中位线是从底边中点到对顶点的线段，在等腰三角形中，三条中位线相交于同一点，且对顶点到交点的距离是底边的一半。
5. 等腰三角形的外接圆和内切圆等腰三角形的外接圆是过等腰三角形三个顶点的圆，它的圆心与顶角所在顶点重合。
等腰三角形的内切圆是切于等腰三角形三边的圆，它的圆心位于等腰三角形的高线和中位线的交点上。
6. 等腰三角形的面积等腰三角形的面积可以通过底边和高线的长度来计算。
等腰三角形的面积等于底边长度乘以高线长度再除以2。
三、等腰三角形的相关定理1. 等腰三角形的高线定理在一个等腰三角形中，高线、底边和等腰腰长构成的直角三角形相似。
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
它具有特殊的性质和应用，对几何学有重要的意义。
本文将介绍等腰三角形的定义、性质和相关定理，以及一些实际应用。
一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两边相等（即两边长度相等）的三角形。
根据这个定义，一个等腰三角形必须满足两边相等，而第三边则可以不相等。
等腰三角形可以是直角三角形、锐角三角形或钝角三角形。
二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的底角（底边对应的角）和顶角（顶点对应的角）相等。
证明：设等腰三角形ABC中，AB=AC，我们需要证明∠B = ∠C。
由三角形内角和定理可知∠A + ∠B + ∠C = 180°，且由AB = AC可知∠A = ∠C。
因此，∠A + ∠B + ∠A = 180°，即2∠A + ∠B = 180°，推出∠B = ∠C。
2. 等腰三角形的高（从顶点到底边垂直的线段）是底边的中线和中线延长线的垂直平分线。
证明：设等腰三角形ABC中，AB=AC，M为底边BC的中点，D 为顶点A到底边BC的垂直线的交点。
由线段等分的定义可知BM = MC。
因为D为垂线的交点，所以ADM和ACM为直角三角形，且∠ADM = ∠ACM。
另一方面，AM为直线BC的中线，所以MB=MC。
因此，在三角形ADM和ACM中，AD = AC，∠ADM = ∠ACM，MB = MC，根据ASA（对应边相等）准则可知三角形ADM和ACM全等。
根据全等三角形的性质可知∠DAM = ∠CAM，即高AD是底边的中线和中线延长线的垂直平分线。
三、等腰三角形的定理1. 等腰三角形的高与底边的关系定理等腰三角形的高与底边的关系定理表明，等腰三角形的高是底边的平分线和垂直平分线。
即等腰三角形的高可以同时平分底边，使得两个等长的线段垂直于底边。
证明：设等腰三角形ABC中，AB=AC，M为底边BC的中点，D为顶点A到底边BC的垂直线的交点。
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
等腰三角形的性质是数学中的重要概念之一，它具有许多有趣的特点和性质。
本文将介绍等腰三角形的性质及其相关定理。
一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，这两条边被称为腰，而另外一条边称为底边。
由于两条腰的长度相等，所以等腰三角形的底角也必然相等。
二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的底角相等：由等腰三角形的定义可知，两条腰的长度相等，因此底角也必然相等。
这是等腰三角形最基本的性质之一。
2. 等腰三角形的顶角平分底角：在等腰三角形中，顶角与底角之间的关系十分特殊。
根据平分角的性质，等腰三角形的顶角将平分底角，使得等腰三角形的顶角等于底角的一半。
3. 等腰三角形中，顶角、底边、高线之间存在特殊关系：等腰三角形中，高线是从顶角向底边作垂直线，垂足处的线段被称为高线。
根据等腰三角形的性质，高线将底边平分，并且高线与底边垂直。
4. 等腰三角形的两条腰上的高线相等：等腰三角形的两条腰上的高线长度相等。
因为两条腰的长度相等，所以它们与底边构成的高线长度也必然相等。
5. 等腰三角形的两边夹角相等：等腰三角形的两边夹角等于顶角的一半。
这是等腰三角形中重要的定理之一，也是许多证明问题中的关键。
6. 等腰三角形中，高线、中线、角平分线重合：在等腰三角形中，高线、中线和角平分线三者的垂足点重合。
这是等腰三角形中有趣的性质之一。
三、等腰三角形的应用1. 利用等腰三角形的性质求解几何问题：等腰三角形的性质可以应用于各种几何问题的求解过程中。
例如，通过已知条件推导等腰三角形的性质，进而解决其他相关问题。
2. 构造等腰三角形：在实际应用中，有时候需要根据具体要求构造等腰三角形。
通过利用等腰三角形的性质，可以在平面上进行精确的构造，满足特定的需求。
4. 证明几何定理：在数学证明中，等腰三角形的性质往往被用作证明其他几何定理的基础，通过运用等腰三角形的特性来推导其他结论。
等腰三角形的性质定理2课时含答案
2.3 等腰三角形的性质定理(一)A组1．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为(C)A．36°B．60°C．72°D．108°(第1题)(第2题)2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(B)A．30°B．45°C．50°D．75°3．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC．若∠1＝70°，则∠BAC的度数为(A)A．40°B．30°C．70°D．50°(第3题)(第4题)4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE．上述结论一定正确的是(D)A．①②③B．②③④C．①③⑤D．①③④(第5题)5．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE．若∠A＝50°，则∠CDE的度数为(D)A．50°B．51°C．51．5°D．52．5°(第6题)6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，求∠ABD的度数．【解】∵AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠A＝36°．∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°－36°＝54°．(第7题)7．如图，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点A′处．若D为AB边的中点，∠B＝50°，求∠BDA′的度数．【解】∵D是AB的中点，∴BD＝AD．由折叠的性质，得A′D＝AD，∴BD＝A′D．∴∠BA′D＝∠B＝50°．∵∠B＋∠BA′D＋∠BDA′＝180°，∴∠BDA′＝180°－∠B－∠BA′D＝80°．(第8题)8．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝28°，求∠EDC的度数．【解】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．同理，∠ADE＝∠AED．设∠EDC＝α，∠C＝β，则∠ADE＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝α＋β，∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝α＋β＋α＝2α＋β．∵∠ADC＝∠BAD＋∠B＝28°＋β，∴2α＋β＝28°＋β，∴α＝14°，即∠EDC＝14°．B组(第9题)9．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM ＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝44°，则∠P的度数为(D)A．44°B．66°C．88°D．92°【解】∵PA＝PB，∴∠A＝∠B．在△AMK 和△BKN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝BK ，∠A ＝∠B ，AK ＝BN ，∴△AMK ≌△BKN (SAS )．∴∠AMK ＝∠BKN ． ∵∠MKB ＝∠MKN ＋∠BKN ＝∠A ＋∠AMK ， ∴∠A ＝∠MKN ＝44°， ∴∠P ＝180°－∠A －∠B ＝92°．10．如图，已知AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4，…．若∠A＝70°，则∠B n －1A n A n －1的度数为(C)(第10题)A ． ⎝⎛⎭⎫702n °B ． ⎝ ⎛⎭⎪⎫702n ＋1°C ． ⎝ ⎛⎭⎪⎫702n －1°D ． ⎝ ⎛⎭⎪⎫702n ＋2°【解】 在△ABA 1中，∵∠A ＝70°，AB ＝A 1B ， ∴∠BA 1A ＝∠A ＝70°．∵A 1A 2＝A 1B 1，∠BA 1A 是△A 1A 2B 1的外角， ∴∠B 1A 2A 1＝∠BA 1A2＝35°．同理，∠B 2A 3A 2＝12∠B 1A 2A 1＝∠BA 1A 22，∠B 3A 4A 3＝12∠B 2A 3A 2＝∠BA 1A 23，…， ∴∠B n －1A n A n －1＝∠BA 1A 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫702n －1°．11．如图，在△ABC 中，分别以AC ，BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连结AE ，BD 交于点O ，求∠AOB 的度数．(第11题)【解】设AC与BD交于点H．∵△ACD，△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，∴△DCB≌△ACE(SAS)，∴∠CDB＝∠CAE．又∵∠DCH＋∠DHC＋∠CDB＝180°，∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，∠DHC＝∠AHO，∴∠AOH＝∠DCH＝60°．∴∠AOB＝180°－∠AOH＝120°．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的两条高线，BD与CE相交于点O．(1)求证：OB＝OC．(2)若∠ABC＝70°，求∠BOC的度数．(第12题)【解】(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵BD，CE是△ABC的两条高线，∴∠BEC＝∠CDB＝90°．又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB(AAS)，∴BE ＝CD ．又∵∠BOE ＝∠COD ，∠BEO ＝∠CDO ＝90°， ∴△BOE ≌△COD (AAS )， ∴OB ＝OC ． (2)连结DE ．∵∠ABC ＝70°，AB ＝AC ， ∴∠A ＝180°－2×70°＝40°．∵∠A ＋∠AED ＋∠ADE ＝180°，∠OED ＋∠ODE ＋∠DOE ＝180°， ∴∠A ＋∠AEO ＋∠ADO ＋∠DOE ＝360°． 又∵∠AEO ＝∠ADO ＝90°， ∴∠A ＋∠DOE ＝180°，∴∠BOC ＝∠DOE ＝180°－40°＝140°．(第13题)13．如图，在△ABC 中，已知BC ＝AC ，∠BAC 的外角平分线交BC 的延长线于点D ．若∠ADC ＝12∠CAD ，求∠ABC 的度数．(第13题解)【解】 如解图，设∠ABC ＝x ，∠CAD ＝y ， 则∠ACD ＝2x ，∠ADC ＝12∠CAD ＝12y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝180°，2x ＋32y ＝180°，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝36°，y ＝72°.∴∠ABC ＝36°．数学乐园14．(1)已知在△ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝67．5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形(请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数)．(2)已知在△ABC 中，∠C 是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC 与∠C 之间的关系．(第14题)导学号：91354010【解】 (1)如解图①②(共有2种不同的分割法)．(第14题解)(第14题解③)(2)设∠ABC ＝y ，∠C ＝x ，过点B 的直线交边AC 于点D ． 在△DBC 中，①若∠C 是顶角，如解图③，则∠CBD ＝∠CDB ＝90°－12x ，∠A ＝180°－x －y ． 故∠ADB ＝180°－∠CDB ＝90°＋12x ＞90°，此时只能有∠A ＝∠ABD ，即180°－x －y ＝y －⎝⎛⎭⎫90°－12x ，∴3x ＋4y ＝540°，∴∠ABC ＝135°－34∠C ．②若∠C 是底角，第一种情况：如解图④，当DB ＝DC 时，∠DBC ＝x ．在△ABD 中，∠ADB ＝2x ，∠ABD ＝y －x ．若AB ＝AD ，则2x ＝y －x ，此时有y ＝3x ，∴∠ABC＝3∠C．若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C．若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．, ④), ⑤)(第14题解)第二种情况：如解图⑤，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝12∠BDC＝12∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°(∠C是小于45°的任意锐角)．2.3 等腰三角形的性质定理(二)A组1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．若∠BAC＝64°，则∠BAD 的度数为__32°__．,(第1题)),(第2题))2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，已知BC＝6，∠B ＝65°，则BD＝__3__，∠ADB＝__90°__，∠BAC＝__50°__．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为(C)A．35°B．45°C．55°D．60°,(第3题)),(第4题)) 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD⊥BC，垂足为D，CD＝4，则△ABC的周长为(B)A．18 B．20C．22 D．24(第5题)5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则DE＝DF，请说明理由．【解】连结AD．∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．(第6题)6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，作∠ABE＝∠ABD，且BE＝DC，连结AE．求证：AB平分∠EAD．【解】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴BD＝DC，AD⊥BC．又∵BE＝DC，∴BD＝BE．又∵∠ABD＝∠ABE，AB＝AB，∴△ABD≌△ABE(SAS)，∴∠BAD＝∠BAE，即AB平分∠EAD．(第7题)7．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG分别交AD，AC于点E，G，EF⊥AB，垂足为F．求证：EF＝ED．【解】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC．又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED．B组(第8题)8．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则(B)A．当∠B为定值时，∠CDE为定值B．当α为定值时，∠CDE为定值C．当β为定值时，∠CDE为定值D．当γ为定值时，∠CDE为定值【解】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝γ．∵∠AED＝∠C＋∠CDE，∠ADC＝∠B＋α，即γ＝∠C＋∠CDE，γ＋∠CDE＝∠B＋α，∴2∠CDE＝α．9．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以点A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以点A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画__9__条线段．(第9题)【解】由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…．∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝2∠BOC＝18°．同理可得∠A 2A 1C ＝27°，∠A 3A 2B ＝36°，∠A 4A 3C ＝45°，∠A 5A 4B ＝54°，∠A 6A 5C ＝63°，∠A 7A 6B ＝72°，∠A 8A 7C ＝81°，∠A 9A 8B ＝90°，∴第10个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形的内角和定理，故最多能画9条线段．10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，BF ⊥AC 于点F ，交AD 于点E ，∠BAC ＝45°．求证：△AEF ≌△BCF ．(第10题)【解】 过点F 作FG ⊥AB 于点G ．∵∠BAC ＝45°，BF ⊥AF ，∴∠ABF ＝45°．∵FG ⊥AB ，∴∠AGF ＝∠BGF ＝90°．在△AGF 和△BGF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠GAF ＝∠GBF ＝45°，∠AGF ＝∠BGF ，GF ＝GF ，∴△AGF ≌△BGF (AAS )，∴AF ＝BF ．∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠EAF ＋∠C ＝90°．∵BF ⊥AC ，∴∠AFE ＝∠BFC ＝90°，∠CBF ＋∠C ＝90°，∴∠EAF ＝∠CBF ．在△AEF 和△BCF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠EAF ＝∠CBF ，AF ＝BF ，∠AFE ＝∠BFC ，∴△AEF ≌△BCF (ASA )．(第11题)11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．(1)求证：DE ＝DF ．(2)问：如果DE ，DF 分别是∠ADB ，∠ADC 的平分线，那么它们还相等吗？【解】 (1)∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 平分∠BAC ．∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ．(2)相等．理由如下：由(1)知AD ⊥BC ，∠DAE ＝∠DAF ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°．∵DE ，DF 分别是∠ADB ，∠ADC 的平分线，∴∠ADE ＝12∠ADB ，∠ADF ＝12∠ADC ，∴∠ADE ＝∠ADF ．在△ADE 和△ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠DAF ，AD ＝AD ，∠ADE ＝∠ADF ，∴△ADE ≌△ADF(ASA)，∴DE ＝DF ．数学乐园(第12题)12．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线相交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，求∠CEF 的度数．【解】 连结BO ．∵∠BAC ＝50°，∠BAC 的平分线与AB 的中垂线相交于点O ，∴∠OBA ＝∠OAB ＝12∠BAC ＝25°．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝50°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝65°．∴∠OBC ＝65°－25°＝40°．根据等腰三角形的对称性，得∠OCB ＝∠OBC ＝40°．∵点C 沿EF 折叠后与点O 重合，∴EO ＝EC ，∠CEF ＝∠OEF ，∴∠EOC ＝∠ECO ＝40°，∴∠CEF ＝∠OEF ＝180°－2×40°2＝50°．。
六年级数学等腰三角形的性质
六年级数学等腰三角形的性质等腰三角形是初中数学学习中的重要概念之一。
六年级学生在学习数学的过程中，也需要掌握等腰三角形的性质和相关定理。
本文将介绍等腰三角形的定义、性质以及相关定理，帮助六年级学生更好地理解和应用等腰三角形。
一、等腰三角形的定义及性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，我们可以通过观察和探究发现以下性质：1. 等腰三角形的底边两边相等：等腰三角形两底边的长度相等，即底边的两边与底边夹角的两边相等。
2. 等腰三角形的顶角两边相等：等腰三角形的两顶角对应的两边相等，即顶角两边的长度相等。
3. 等腰三角形的底角和顶角相等：等腰三角形的底角和顶角的度数相等，即底角和顶角的度数相等。
通过以上性质，我们可以得出一些结论：1. 等腰三角形的底边中线和高线相等：等腰三角形的底边中线是连接底边中点和顶角的直线段，等腰三角形的高线是从顶角降垂到底边的垂线。
底边中线和高线的长度相等。
2. 等腰三角形的底边中线和顶角平分线重合：等腰三角形的底边中线和顶角平分线是同一条直线，即底边中线也是顶角的平分线。
3. 等腰三角形的底边中线和顶角平分线垂直：等腰三角形的底边中线和顶角平分线相互垂直。
二、等腰三角形的相关定理在研究等腰三角形的过程中，数学家总结出一些重要的等腰三角形定理，这些定理对解决各种相关题目非常有帮助。
1. 等腰三角形的高线相等定理：等腰三角形的两条高线相等。
2. 等腰三角形的顶角平分线的性质：等腰三角形的顶角平分线和底边中线重合，并且底边上任意点到顶角平分线的距离都相等。
3. 等腰三角形的底角平分线相等定理：等腰三角形的底角平分线相等，且与底边垂直。
以上定理是在等腰三角形的基础上得出的，对于解决相关题目非常有帮助。
在学习等腰三角形时，应该理解这些定理的含义，并能够熟练运用它们解决问题。
三、例题与解析为了更好地理解等腰三角形的性质和相关定理，我们来看几个例题并进行解析。
例题1：在等腰三角形ABC中，AB = AC，D为底边BC的中点，连接AD并延长至点E，求证：∠BAC = ∠CAE。
2.3 等腰三角形的性质定理(1)浙教版八年级数学上册课件
∴∠CBD=∠BCE
又∵BC=CB（公共边）
∴△BCE≌△CBD（ASA）
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）
即时演练
已知：如图，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，
DE过点P交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．
求证：DE﹣DB=EC．
证明：∵BP平分∠ABC，
∴∠DBP=∠CBP．
求证：∠B=∠C
证明： 如图，作△ABC的角平分线AD.
在△ABD和△ACD，
∵ AB=AC（已知）
∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）
AD=AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
B
D
C
已知：如图，在△ABC中，AB能根据等腰三角形
取CF的中点G，连接DG，则DG是△ACF的中位线，
∴DG∥AC，AC=2DG，
∴∠C=∠3，
∴∠2=∠3，
∴BD=DG，
∴AC=2BD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④．
故选C．
2.已知：如图，AB=AC，DB=DC，问：AD与BC有什么关系？
猜想：AD垂直平分BC
证明:
A
∵AB=AC,BD=CD,AD=DA
A
解： 如图，在△ABC中，
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等腰三角形的两个底角相等） B
同理，∠A=∠B
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A=∠B=∠C= ×180°=60°
由“等腰三角形的两个底角相等”，可以得到以下推论：
等边三角形的各个内角都等于60°
C
即时演练
等腰三角形的性质定理和判定定理
教学内容（一）知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）知识点2：等腰三角形性质定理2:等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2,BD=DC AD⊥BC知识3：等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC【典型例题分析】例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。
解：∵AP=PQ=AQ（已知）∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质）∵AP=BP（已知）∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°∴∠PBA=∠PAB=30°同理∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。
求证：△DEF是等腰三角形。
证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质）∠B=∠DEF（已知）∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等）在△BED和△CFE中,∠BDE=∠FEC中（已证）,BD=CE （已知）,∠B=∠C （已知）∴△BED≌△CFE （ASA）,∴DE=EF （全等三角形对应边相等）∴△DEF是等腰三角形（等腰三角形定义）例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD证明：∵AB∥CD （已知）∴∠A=∠C，∠B=∠D （两直线平行，内错角相等）∵OA=OB （已知）∴∠A=∠B （等边对等角）∴∠C=∠D （等量代换）∴OC=OD （等角对等边）例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。
等腰三角形的性质定理和判定定理
等腰三角形的性质和判定一、知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C（3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）（2）符号语言：∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2BD=DC AD⊥BC（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。
知识3：等腰三角形的判定定理（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在△ABC中∵∠B=∠C ∴AB=AC（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC（4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。
二、【典型例题分析】基础知识应用题：例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。
例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。
求证：△DEF是等腰三角形。
综合应用题：例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。
例5. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等解：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的中线求证：BD=CE例6. 如图，点C为线段AB上的一点，△ACM，△BCN是等边三角形，AN，MC相交于点E，CN与BM相交于点F。
等腰三角形的性质及计算方法
等腰三角形的性质及计算方法等腰三角形是指两条边相等的三角形。
在数学中，我们经常需要计算三角形的各种属性和特性。
本文将介绍等腰三角形的性质，并提供一些计算等腰三角形的方法。
一、等腰三角形的性质1. 两边相等：等腰三角形的两条边长度相等，即AB = AC。
这是等腰三角形最基本的性质。
2. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即两个基边所对的角）相等，即∠B = ∠C。
3. 顶角平分底角：等腰三角形的顶角（即顶点所对的角）平分底角，即∠A = ∠B = ∠C。
4. 等腰三角形的高：等腰三角形的高是从顶点向底边的垂直距离，记作h。
5. 等腰三角形的中线：等腰三角形的中线是连接底边中点与顶点的线段，记作AM。
二、等腰三角形的计算方法1. 计算等腰三角形的周长：等腰三角形的周长可以通过两边的长度和底边的长度来计算。
由于等腰三角形的两边相等，可以使用以下公式计算周长：周长 = AB + AC + BC = 2AB + BC。
2. 计算等腰三角形的面积：等腰三角形的面积可以通过高和底边的长度来计算。
使用以下公式计算面积：面积 = 1/2 * 底边长度 * 高 = 1/2 * BC * h。
3. 计算等腰三角形的高：若已知等腰三角形底边长度BC和两边的长度AB（或AC），可以使用勾股定理计算三角形的高。
假设底边的中点是M，则通过三角形的中线AM可以得到高h，并使用以下公式计算高：h = √(AB² - (1/2 * BC)²)。
4. 计算等腰三角形的底边长度：若已知等腰三角形的两边长度AB 和AC，可以使用以下公式计算底边的长度：BC = 2√(AB² - (1/2 * AC)²)。
5. 计算等腰三角形的顶角和底角：等腰三角形的顶角和底角相等，可以使用以下方法计算角度值：- 计算顶角的度数：∠A = ∠B = ∠C = 180度 / （3 - 1）= 90度。
- 使用正弦函数计算角度的弧度值：sin(∠A) = sin(∠B) = sin(∠C) = (1/2 * BC) / AB。
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
除了两条边相等外，等腰三角形还有许多其他的性质。
本文将为您介绍等腰三角形的性质及其相关定理。
一、等腰三角形的定义及性质等腰三角形的定义：一个三角形是等腰三角形，当且仅当它的两条边相等。
对于等腰三角形，我们首先需要了解它的几何性质。
1. 顶角的性质等腰三角形的两个底角相等。
这是因为等腰三角形的两条边相等，所以对应的角也相等。
2. 底边中点线段等腰三角形的底边中点线段（连结等腰三角形底边中点和顶角的连线）是等腰三角形的高线和中位线。
这是因为等腰三角形的高线和中位线都经过底边中点，而底边中点线段正好连接底边中点和顶角。
3. 顶角平分线等腰三角形的顶角平分线是等腰三角形的高线和中位线的交线。
这是因为等腰三角形的顶角平分线既垂直于底边，也与底边中点线段重合。
二、等腰三角形的定理在等腰三角形中，除了前述性质外，还有一些特殊的定理。
1. 等腰三角形底角定理等腰三角形底角定理指出，等腰三角形的两个底角相等。
这个定理是等腰三角形性质的直接推论。
2. 等腰三角形的周长和面积等腰三角形的周长可以通过两条边的长度以及底角的正切值来计算。
周长公式为：周长 = 2a + b，其中a为等腰三角形的两条边的长度，b为底角的正切值。
等腰三角形的面积可以通过两条边的长度以及底角的正弦值来计算。
面积公式为：面积= (1/2)ab sinθ，其中a和b为等腰三角形的两条边的长度，θ为底角。
3. 等腰三角形的角平分线等腰三角形的顶角平分线也是底边的中垂线和角平分线。
这意味着顶角平分线会把底边平分成两个相等的线段，并且垂直于底边。
三、应用实例等腰三角形的性质在几何学中有广泛的应用。
下面我们通过一个实例来看看等腰三角形的应用。
【实例】一个等腰三角形的顶角为120度，底边的长度为5cm，求等腰三角形的周长和面积。
解：由题目可知，等腰三角形的底角为30度（180度 - 120度 = 60度 / 2）。
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画出等腰三角形的顶角 平分线AD，然后沿着 AD所在的直线对折。
C
D
B(C)
探索：你发现了什么？
1、等腰三角形是轴对称图形 2、等腰三角的顶角平分线所在的直线是它的对称轴
等腰三角形的性质定理1：
A
等腰三角形的两个底角相等
也可以说成 在同一个三角形中，等边对等角
B
C
用符号语言表示为：
在△ABC中，
E A
D
B
C
∵ AB=AC（已知） ∴ ∠B=∠C ( 在同一个三角形中，等边对等角
）
等腰三角形的两个底角相等 已知： 在△ABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C
B
A
C
例1
求等边三角形ABC三个内角的度数
A
BCຫໍສະໝຸດ ABC推论：等边三角形的各个内角都等 于60°.
• 求证：等腰三角形两底角的平分线相等。 已知：如图， 在△ABC中，AB=AC，BD和CE 是△ABC的两条角平分线。 求证：BD=CE