湖南师范大学附属中学2020年5月高考预测考试理科数学试卷及答案
湖南师范大学附属中学2020届高三月考试卷(三)数学理科附答案与详解
湖南师大附中2020届高三月考试卷（三）数学（理科）时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合11,32A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{}|10B x ax =+=，且B A ⊆，则a 的可能取值组成的集合为（ ） A. {}3,2- B. {}3,0,2- C. {}3,2-D. {}3,0,2-2. 已知复数11z i =+，命题p ：复数z 的虚部为12，命题q ：复数z 的模为1.下列命题为真命题的是（ ） A. p q ∨ B. ()p q ∧⌝ C. p q ∧D. ()()p q ⌝∧⌝3. 若向量a r 与b r 满足()a b a +⊥r r r ，且1a =r ，2b =r，则向量a r 在b r 方向上的投影为（ ）A.B. 12-C. -1D.34. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟，按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为310-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A. 510190-米B. 61019000-米C. 6109900-米D. 5109900-米5. 已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()2c f m =+，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<6. 设p ：()0,x ∀∈+∞，210x ax -+≥，则使p 为真命题的一个充分非必要条件是（ ） A. 1a ≤B. 2a ≤C. 3a ≤D. 2a >7. 已知α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，给出下列说法：①若l α⊥，αβ⊥，则//l β；②若//l α，//αβ，则//l β；③若l α⊥，//αβ，则l β⊥； ④若//l α，αβ⊥，则l β⊥.其中说法正确的个数为（ ） A. 3B. 2C. 1D. 08. 若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（ ） A. 20B. 90C. 15D. 459. 设双曲线的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为双曲线在第二象限上的点，直线BO 交双曲线于C 点，若直线AC 平分线段BF 于M ，则双曲线的离心率是（ ） A.12B. 2C.13D. 310. 已知函数()222,17,1x ax x a x x x f ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使()()12f x f x =，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3a < B. 23a -<< C. 22a -≤≤D. 2a <1l. 将函数()()[]()sin 20,0,2f x x ωϕωϕπ=+>∈图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x ，函数()g x 的部分图象如图所示，且()g x 在[]0,2π上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为-1），则ω的取值范围是（ ） A. 713,1212⎛⎤⎥⎝⎦B. 713,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1117,1212⎛⎤⎥⎝⎦12. 已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，1PA AB PB AC ====，2CP =D 是PB 的中点，且2CD =，则球O 的表面积为（ ）A.73π B.76π C.27D.54二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知1cos 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 14. 湖南师大附中第33届体育节高二年级各班之间进行篮球比赛，某班计划从甲、乙两人中挑选服务人员，已知甲可能在16:00—17:00到达篮球场地，乙可能在16:30—17:00到达，若规定谁先到达就安排谁参加服务工作，则甲参加服务工作的概率是______.15. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M ，N ，过弦MN 的中点P 作抛物线准线的垂线PQ ，垂足为Q ，则PQMN的最大值为______. 16. 对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a A n -+++=L 为数列{}n a 的“好数”，已知某数列{}n a 的“好数”12n n A +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若7n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围是______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222cos cos sin sin sin C B A A C -=-. （1）求角B 的值；（2）若BC 边上的高AH 满足12AH BC =，求22b cc b+的取值范围. 18. 如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，//ED FB ，12DE BF =，AB FB =，FB ⊥平面ABCD .（1）设BD 与AC 的交点为O ，求证：OE ⊥平面ACF ； （2）求二面角E AF C --的正弦值.19. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率5e =1F ，2F ，过右焦点2F 任作一条直线l ，记l 与椭圆的两交点为A ，B ，已知1F AB ∆的周长为定值（1）求椭圆C 的方程；（2）记点B 关于x 轴的对称点为'B ，直线'AB 交x 轴于点D ，求ABD ∆面积的取值范围.20. 某个地区计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水的年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：十亿立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超过12的年份有35年，超过12的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. （1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过12的概率；（2）若水的年入流量X 与其蕴含的能量y （单位：百亿万焦）之间的部分对应数据为如下表所示：用最小二乘法求出y 关于X 的线性回归方程$$y bXa =+$；（回归方程系数用分数表示） （3）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？。
湖南师大附中第五次月考数学试题目5.docx
湖南师大附中高三数学第五次月考试卷(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1、 已知集合 A = {x|log 2x>l,x>0},fi = {y|y = 2'r ,x>0} J'J A B= ()A.0B. {x|x 〉2}C.{x|l<x<2}D. {x|l<x<2}解析：由题设知，集合人={工|工〉2},3 = {乂>21},故选B. 2、 在二项式(f 尸的展开式中，含J 的项的系数是()XA. -10B. 10C. -5D. 5解析：对于7；+1 = C ；(x 2)5-r (--)r = (-l)r C ；x 10-3r ,对于 10-3r = 4,.'.r = 2，则 J 的项 X 的系数是C*—1)2=10x>03、 已知平面区域O = {(x,y)|x2 + y2 Ml}w = {(x,y )心0 "若在区域。
上随机找一x+y<l点P ,则点P 落在区域M 的概率为()1 1 1 1 1 1A, 一 B. ---------------------- C. ---------------------- D, 一4 4〃 4 2〃 2n解析：平面区域心为等腰直角三角形，其直角边的长为1,其面积为!，则在。
区域上随1 71机找一个点P ,则点P 落在区域必的概率为〃=」~才=—,故应选D.7TX12 1712Xx <0 4、 设函数/(x)= < ''若/'(X )是奇函数，则g(2)的值是()、g(x),x > 0. A. --B. -4C. -D. 4 44解析：由题设知，当x > OHf,-x < 0, g(x) = f(x) = -f(-x) = -2^,g(2) = - i 故选 A.45、 不等式\x + 3\-\x-l\<a 2-3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为()D. (-oo, 1] [2, +co)A. (-oo, -1] [4, +oo)B. (-oo,-2] [5, +oo)C. [1, 2]解析：由题设知，设f(x)=\x+3\-\x-l\ ,易知/⑴的最大值为4,所以a 2 -3a >4-对任 意实数x 恒成立，解得a 的范围是( — 00, —1] [4,+8),选入.已知"4 = 1,|彼卜 J5,OA.QB = 0,点 C 在 ZAO8 内，且 ZAOC = 30°,设解析：如图，设\oc\ = r, OAOB = 0,:.OALOB ，过点。
湖南师范大学附属中学2020届高三下学期5月模拟考试数学(理)试卷及答案解析.
湖南师范大学附属中学2020届高三下学期5月模拟考试数学(理)试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设集合}(){}2,2,,A x y x y B x y y x =+===，则A B =（ ） A.(){}1,1 B.(){}2,4- C.()(){}1,1,2,4- D.∅2.已知2(1)i z-=1i +（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A. 1i + B. 1i - C. 1i -+ D. 1i -- 3.现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )A.甲B.乙C.丙D.丁4.已知直线,a b 表示不同的直线，则//a b 的充要条件是（ ）A.存在平面α，使//,//a b ααB.存在平面α，使,a b αα⊥⊥C.存在直线c ，使 ,a c b c ⊥⊥D.存在直线c ，使,a b 与直线c 所成角都是60︒5.函数()24sin f x x x =-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致是( ) A. B. C. D.6.()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为( )A.－60B.240C.－80D.1807.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（ ）B.413D.478.关于函数()sin cos 22x x f x =+ 有下述三个结论： ①函数()f x 的图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称；②函数()f x 的最小正周期为π；③0x ∃∈R ，()01f x = .其中正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.39.设a,b,c 分别是ΔABC 的内角A,B,C 的对边，已知(b +c )sin (A +C )=(a +c )(sinA −sinC )，设D 是边BC 的中点，且ΔABC 的面积为√3，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •(DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )等于（ ）A. 2B. 4C. -4D. -210.已知椭圆C:x 24+y 2b =1(0<b <2),作倾斜角为3π4的直线交椭圆C 于A,B 两点,线段AB 的中点为M,O 为坐标原点,若直线OM 的斜率为12,则b=( ) A. 1 B. √2 C. √3 D. √6211.在四面体ABCD 中，AB =AC =2√3，BC =6，AD ⊥底面ABC ，G 为ΔDBC 的重心，且直线DG 与平面ABC 所成的角是30∘，若该四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是（ ）A. 24πB. 32πC. 46πD. 49π12.已知函数()1ln m f x n x x=--（0m >，0e n ≤≤）在区间[1,e]内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ） A.22,112e e e e +⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦ B.22,11e e e e +⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦ C.2,11e e ⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦ D.1,12e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）S 的值是__________．14.在锐角三角形ABC 中，sin 22C C =cos cos c B b C +=，则ABC 的面积的取值范围为______．15.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，O 是坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为A ，B ，且OAB ∠为直角，记OAF △和OBF 的面积分别为OAF S ，OBF S ，若35OAF OBF S S =△△，则双曲线C 的离心率为______． 16.已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n −2n+1，若不等式2n 2−n −3<(5−λ)a n 对∀n ∈N ∗恒成立，则整数λ的最大值为__.三、解答题（题型注释）17.已知数列n a 的前n 项和为n S ，()*10,N a a a a =>∈，1n n S pa +=（0p ≠且1p ≠-，*N n ∈）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在①1k a +，3k a +，2k a +，②2k a +，1k a +，3k a +这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，要使问题成立：对任意的正整数k ，若将1k a +，2k a +，3k a +按______的顺序排列后构成等差数列，且公差为k d ，求p 的值及对应的k d ．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，AB AC ⊥，且3PA AB ==，2AC =，E 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）求直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值；（3）在线段PB 上(不含端点)是否存在一点M ，使得二面角M AC E --的余弦值为？若存在，确定M 的位置；若不存在，请说明理由. 19.已知圆221:2C x y +=，圆222:4C x y +=，如图，12,C C 分别交x 轴正半轴于点,E A .射线OD 分别交12,C C 于点,B D ，动点P 满足直线BP 与y 轴垂直，直线DP 与x 轴垂直.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点E 作直线l 交曲线C 与点,M N ，射线OH l ⊥与点H ，且交曲线C 于点Q .问：211MN OQ +的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由. 20.在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如下折线图：（1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论；（2）治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的A 项目或乙地区的B 项目投入研发资金，经过评估，对于A 项目，每投资十万元，一年后利润是l.38万元、1.18万元、l.14万元的概率分别为16、12、13；对于B 项目，利润与产品价格的调整有关，已知B 项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是()01p p <<，记B 项目一年内产品价格的下调次数为ξ，每投资十万元，ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.4万元、1.25万元、0.6万元．记对A 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为1ξ，记对B 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为2ξ． (i)求1ξ，2ξ的概率分布列和数学期望1E ξ，2E ξ；(ii)如果你是投资决策者，将做出怎样的决策?请写出决策理由．21.设函数()ln x f x x x ae =-，()212x mx x φ=+，其中a R ∈，e 是自然对数的底数． （1）若()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，求a 的取值范围；（2）当10f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，设()()()F x f x x φ=-，m R ∈，若()F x 在()0,∞+上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证： 212x x e >． 22.在直角坐标系.xOy 中，曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩（φ 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ.（1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 2的极坐标方程为()0π,R θααρ=<<∈，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB，求α的值. 23.已知函数f(x)=|x−2a|−|x−a|，a∈R．（Ⅰ）若f(1)>1，求a的取值范围；（Ⅱ）若a<0，对∀x，y∈(−∞,a]，都有不等式f(x)≤|(y+2020)|+ |y−a|恒成立，求a的取值范围．参考答案1.C【解析】1.首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩，解得方程组的解，从而得到结果. 首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩， 从而集合{(1,1),(2,4)}AB =-，故选：C.2.D【解析】2. 试题由2(1)1i i z-=+，得2(1)22(1)111(1)(1)i i i i z i i i i i --====--+++-，故选D. 3.B【解析】3.结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；综上可得，获奖人为乙.故选：B.4.B【解析】4.根据充要条件的定义，逐项判断//a b 是否能推出选项成立，和选项是否能得出//a b 成立，即可得出结果.A 选项，//a b ⇒存在平面α，使//,//a b αα；反之，a 与b 可以平行、相交或者异面.故A 错误.B 选项，//a b ⇒存在平面α，使,a b αα⊥⊥；反之，也成立.故B 正确.C 选项，//a b ⇒存在直线c ，使 ,a c b c ⊥⊥；反之，a 与b 可以平行、相交或者异面.故C 错误.D 选项，//a b ⇒存在直线c ，使,a b 与直线c 所成角都是60︒；反之，a 与b 可以平行、相交或者异面.故D 错误.故选：B5.D【解析】5.∵函数f （x ）=2x ﹣4sinx ，∴f（﹣x ）=﹣2x ﹣4sin （﹣x ）=﹣（2x ﹣4sinx ）=﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数，所以函数f （x ）=2x ﹣4sinx 的图象关于原点对称，排除AB ，函数f′（x ）=2﹣4cosx ，由f′（x ）=0得cosx=，故x=2k（k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C ， 故选：D ．6.D【解析】6.求()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项，可转化为求62x ⎫⎪⎭展开式中的常数项和31x 项，再求和即可得出答案.由题意，62x ⎫⎪⎭中常数项为2426260C x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 62x ⎫⎪⎭中31x 项为4246321240C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为： 3x ⨯31240160180x-⨯=. 故选：D【解析】7.设AF a '=，则2A F a ''=，小正六边形的边长为2A F a ''=，利用余弦定理可得大正六边形的边长为7AB a ，再利用面积之比可得结论.由题意，设AF a '=，则2A F a ''=，即小正六边形的边长为2A F a ''=，所以，3FF a '=，3AF F π'∠=，在AF F '∆中，由余弦定理得2222cos AF AF FF AF FF AF F '''''=+-⋅⋅∠， 即()222323cos 3AF a a a a π=+-⋅⋅，解得AF =，所以，大正六边形的边长为AF =，所以，小正六边形的面积为21122222S a a a =⨯⨯+⨯=，大正六边形的面积为2212222S =⨯⨯=， 所以，此点取自小正六边形的概率1247S P S ==. 故选：D.8.B【解析】8.根据偶函数的定义可得()f x 为偶函数,故①错误;根据()()f x f x +π=对任意的x 都成立,知②正确;在一个周期[0,)π内任取一个x ,都有()f x ∈,可知③错误. 依题意，()()()sin cos sin cos ()2222x x x x f x f x ---=+=+=， 故函数f x （）的图象关于y 轴对称，故①错误； 因为()sin cos cos sin ()222222x x x x f x f x πππ⎛⎫⎛⎫+=+++==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故x π=是函数f x （）的一个周期，且当[0,)x π∈时()sincos 2224x x x f x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，故②正确，③错误. 故选B .【解析】9.利用三角形内角和定理可得(b +c )sinB =(a +c )(sinA −sinC )．由正弦定理可得b 2+c 2﹣a 2=bc ，由余弦定理可得cosA=12，结合范围A ∈（0，π）可得A 的值，结合ΔABC 的面积求得bc,将AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •(DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )利用向量加减法运算转化为AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,即可求得结果.∵(b +c )sin (A +C )=(a +c )(sinA −sinC )，，∴由正弦定理可得：(b +c )b =(a +c )（a −c ），整理可得：b 2+c 2﹣a 2=-bc ，∴由余弦定理可得：cosA=−12，∴由A ∈（0，π），可得：A=2π3，又ABC 的面积为√3，即12bcsin 2π3=√3,∴bc=4,又AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •(DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=(DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )•(DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2-DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 24-(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )24=(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )24-(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )24=−4AB⃑⃑⃑⃑⃑ •AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 4=−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ •AC⃑⃑⃑⃑⃑ =-bccosA=2. 故选A.10.B【解析】10.分析：首先设出点A ,B 的坐标，然后结合点差法计算b 的值即可.详解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x 0,y 0),则{x 124+y 12b 2=1x 224+y 22b 2=1 ，两式作差得(x 1−x 2)(x 1+x 2)4+ (y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2=0. 因为y 1−y 2x 1−x 2=−1,所以x 04−y 0b 2=0.即y 0x 0=b 24. 由y 0x 0=b 24=12,解得b 2=2,即b =√2. 本题选择B 选项.11.D【解析】11.分析：求出△ABC 外接圆的直径，利用勾股定理求出球O 的半径，即可求出球O 的表面积．详解：取BC 的中点为E ，由题意，AE=√3，AD=1，cos ∠BAC=2×2√3×2√3=﹣12，∴sin ∠BAC=√32，∴△ABC 外接圆的直径为2r=√32=4√3，设球O 的半径为R ，∴R=√12+14=72 ∴球O 的表面积为49π， 12.A【解析】12.由函数在区间[1,e]内有唯一零点，根据零点存在性定理即函数单调性可得(1)0,(e)0,f f ≥⎧⎨<⎩或(1)0,(e)0,f f >⎧⎨≤⎩化简可得关于.m n 的约束条件，利用线性规划求解即可. 22()m n m nx f x x x x '+=--=-，当0n =时，2()0m f x x '=-<， 当0e n <≤时，令()0f x '=，则0mx n=-<，所以函数()f x 在[1,e]上单调递减， 由函数()f x 在区间[]1,e 内有唯一零点，得(1)0, (e)0,f f ≥⎧⎨<⎩,即10,10,em mn -≥⎧⎪⎨--<⎪⎩ 即10,e e 0,m m n -≥⎧⎨--<⎩或 (1)0, (e)0,f f >⎧⎨≤⎩,即10,e e 0,m m n ->⎧⎨--≤⎩,又0m >，0n e ≤≤，所以10,e e 0,0,0e,m m n m n -≥⎧⎪--<⎪⎨>⎪⎪≤≤⎩ （1）或10,e e 0,0,0e,m m n m n ->⎧⎪--≤⎪⎨>⎪⎪≤≤⎩ （2）所以m ，n 满足的可行域如图（1）或图（2）中的阴影部分所示， 则2(2)1(1)n n m m +--=+--表示点（m ，n ）与点（－1，－2）所在直线的斜率，综上可得21n m ++的最小值在A 点处取得，根据e e 0,e,m n n --=⎧⎨=⎩得A 点坐标满足2e e,e,m n ⎧=+⎨=⎩，所以最小值为2e 2e e 1+++，故选A. 13.0【解析】13.模拟运行程序，得出该程序框图S 的值会以3为周期循环出现，根据20193673=⨯，即可得出答案.1,0tan3n S π==+=22,tan 03n S π=== 33,0tan 03n S π==+=44,0tan3n S π==+=55,tan 03n S π=== 6,0tan603n S π==+=由于()tan 3f n n π=的周期33T ππ==，则tan 3n π的值以3为周期循环出现即该程序框图S 的值会以3为周期循环出现因为20193673=⨯，所以2019n =时，0S =，此时循环终止，输出的0S = 故答案为：014.【解析】14.利用辅助角公式，结合锐角三角形特点可求得C ；利用余弦定理化简已知等式可求得a ；利用正弦定理和锐角三角形角的大小可确定,sin c B 的取值范围，代入三角形面积公式可得结果.由sin 22C C =+sin 222sin 23C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 232C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，0,2C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，22,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，3C π∴=，由余弦定理知：222222cos cos 22a c b a b c c B b C a a a+-+-+=+==ABC 为锐角三角形且3C π=，,62A ππ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭，,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 1sin ,12A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理知：sin sin a C c A ==，1sin sin 2ABCSac B B ∴==∈．故答案为：.【解析】15.不妨设点A 在渐近线by x a=上，点B 在渐近线b y x a =-上，先求出点,A B 的纵坐标，再根据35A OAFOBF B y S S y ==△△求出离心率. 不妨设点A 在渐近线by x a=上，点B 在渐近线b y x a =-上，因为OAB ∠为直角，所以直线AB 的方程为()ay x c b=--， 由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得点A 的纵坐标22A abc y a b =+， 由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得点B 的纵坐标22B abc y b a =-， 所以222235A OAF OBF B b a y S S y a b -===+△△，解得2214b a =或4，又离心率e =，所以双曲线C16.4【解析】16.试题分析：当n =1时，S 1=2a 1−22得a 1=4，S n =2a n −2n+1；当n≥2时，S n−1=2a n −2n ，两式相减得a n =2a n −2a n−1−2n ，得a n =2a n−1+2n ，所以a n2n −a n−12n−1=1． 又a 121=2，所以数列{a n2n }是以2为首项，1为公差的等差数列，a n 2n=n +1，即a n =(n +1)•2n ．因为a n >0，所以不等式2n 2−n −3<(5−λ)a n ，等价于5−λ>2n−32n．记b n=2n−32n，n ≥2时，b n+1b n=2n−12n+12n−32n =2n−14n−6．所以n ≥3时，b n+1b n<1,(b n )max =b 3=38．所以5−λ>38,λ<5−38=378，所以整数λ的最大值为4．17.（1）()()2112n n a n a a p n p p -⎧=⎪=⎨⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）见解析【解析】17.（1）由1n n S pa +=再写式子12n n S pa n -=≥（），两式作差得到11n n a pa p++=（n ≥2），所以数列{a n }从第二项起是公比为1p p+的等比数列，又当n ＝1时2a a p =，从而可得通项公式；（2）由（1）分别写出1k a +，2k a +，3k a +，若选①，则1232k k k a a a ++++=，解出p 值，即可求得k d ；同理若选②，则2312k k k a a a ++++=，解出p 值，求得k d . （1）因为1n n S pa +=，当2n ≥时，1n n S pa -=， 两式相减，得()112n n a p n a p ++=≥，故数列{}n a 从第二项起是公比为1p p+的等比数列， 又当1n =时，120a pa -=，1a a =，所以2a a p =，从而()()2112n n a n a a p n p p -⎧=⎪=⎨⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩．（2）由（1）得111k k a p a p p -+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，21k k a p a p p +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，131k k a p a p p ++⎛⎫+= ⎪⎝⎭，若选①，则1232k k k a a a ++++=，11p p +=或112p p +=-，得23p =-， 所以113122k k a a -+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，133122k k a a ++⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1319182k k k k a d a a -++⎛⎫=-=⨯- ⎪⎝⎭．若选②，则2312k k k a a a ++++=，11p p +=或12p p +=-，得13p =-，所以()1132k k a a -+=--，()232kk a a +=--，所以()11292k k k k d a a a -++=-=-⋅-．18.（1）证明见解析.（2（3）存在，13PM PB =【解析】18.（1）连接BD 交AC 于点F ，连接EF ，可证//EF PB ，从而得线面平行；（2）由题意以A 为坐标原点，分别以AC ，AB AP ，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，可用向量法求出线面角；（3）在（2）基础上，设(01)PM PB λλ=<<，求出平面MAC 和平面EAC （（2）中已有）法向量，由法向量夹角与二面角的关系可求得λ． （1）连接BD 交AC 于点F ，连接EF .∵ABCD 是平行四边形，∴F 是BD 的中点.又E 是PD 的中点，∴//EF PB 又PB ⊄平面AEC ，EF ⊂平面AEC ，∴//PB 平面AEC ；（2）以A 为坐标原点，分别以AC ，AB AP ，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)A ，，，(030)B ，，，(200)C ，，，(230)D -，，，(003)P ，，，33(1)22E -，，.设平面AEC 的法向量为()x y z n =，，. ∵33(1)(200)22AE AC =-=，，，，，， ∴00n AE n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即3302220.x y z x ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩， 不妨取1y =，得(011)n =，，又(203)PC =-，，.设直线PC 与平面AEC 所成的角为α，则326sin cos 26PC αPC PC n n n⋅=<==⋅>，即直线PC 与平面AEC所成角的正弦值为26． （3）假设在线段PB 上(不含端点)存在一点M ，使得二面角M AC E --的余弦值为.连接AM MC ，.设(01)PM PB λλ=<<， 得(0333)M λλ-，，. 设平面MAC 的法向量为()x y z m =，，. ∵(0333)(200)AM λλAC =-=，，，，，， ∴00m AM m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即3(33)020.y z x λλ+-=⎧⎨=⎩，不妨取1z =，得1(011)λm =-，， 设二面角M AC E --的平面角为θ，则cos cos 102θm n m n m n⋅=<===⋅⋅>，.化简得29920λλ-+=， 解得13λ=，或23λ=. ∵二面角M AC E --的余弦值为10，∴13λ=. ∴在线段PB 上存在一点M ，且13PM PB =，使得二面角M AC E --的余弦值为10. 19.（1）22142x y +=（2）是定值，为34.【解析】19.(1) 设BOE α∠=,再根据三角函数的关系可得2cos P x α=,P y α=,进而消参求得轨迹C 的方程即可.(2) 设直线l的方程为x my =+再联立直线与(1)中椭圆的方程,根据弦长公式化简211MN OQ +,代入韦达定理求解即可. 解：方法一：（1）如图设BOE α∠=,则)Bαα()2cos ,2sin D αα,所以2cos P x α=,P y α=.所以动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.方法二：（1）当射线OD 的斜率存在时,设斜率为k ,OD 方程为y kx =,由222y kx x y =⎧⎨+=⎩得2221P y k =+,同理得2241P x k =+,所以2224P P x y +=即有动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.当射线OD 的斜率不存在时,点(0,也满足.（2）由（1）可知E 为C 的焦点,设直线l的方程为x my =+0时）且设点()11,M x y ,()22,N x y ,由2224x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()22220m y ++-=所以1212222y y y y m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩,所以()221241m MN m +==+ 又射线OQ 方程为y mx =-,带入椭圆C 的方程得()2224x my +=,即22412Q x m =+222412Q m y m=+,()22211241m m OQ +=+ 所以()()2222211212344141m m MN m m OQ +++=+=++ 又当直线l 的斜率为0时,也符合条件.综上,211MN OQ +为定值,且为34. 20.（1）①甲地区比乙地区的新增人数的平均数低； ②甲地区比乙地区的方差大；（2）(i)分布列见解析，1E ξ=1.2，2E ξ20.50.3 1.4p p =--+； (ii) 当205p <<时，投资B 项目；当25p =时，两个项目都可以；当215p <<时，投资A 项目．理由见解析【解析】20.（1）由图表可知甲地区的数据比较分散，所以甲地区比乙地区的方差大；也可求出两地区的平均数，比较平增多数；（2）（i ）由题可知1ξ分别取l.38、1.18、l.14时，其对应的概率分别为16、12、13，从而可列出1ξ的分布列，由题意得~(2,)B p ξ，从而可列出ξ的分布列，而ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.4万元、1.25万元、0.6万元，由此可列出2ξ的分布列，并可求出期望； （ii ）对（i ）得到的数学期望1E ξ，2E ξ比较大小，进行决策. （1）①甲地区比乙地区的新增人数的平均数低； ②甲地区比乙地区的方差大； （2）（i ）由题意得1ξ的概率分布列为所以1 1.38 1.18 1.14 1.2623E ξ=⨯+⨯+⨯=． 由题意得~(2,)B p ξ，即ξ的概率分布列为由题意得下调次数和利润2的关系为所以2的概率分布列为所以222 1.4(1) 1.252(1)0.6E p p p p ξ=⨯-+⨯-+⨯()()2221.412 2.50.6p p p p p =⨯-++⨯-+⨯20.50.3 1.4p p =--+（ii ）当12E E ξξ<，得21.20.50.3 1.4p p <--+，即25320p p +-<，整理得(52)(1)0p p -+<，解得205p <<； 当12E E ξξ=时，25p =； 当12E E ξξ>时，215p <<； 所以，当205p <<时，投资B 项目；当25p =时，两个项目都可以；当215p <<时，投资A 项目．21.（1）1(0,)e；（2）证明见解析.【解析】21.（1）()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点，则()0f x '=有两根，再分离参数，借助导数研究即可；（2）要证212x x e >即证12ln ln 2x x +>，()F x 在()0,∞+上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，即()ln F x x mx '=-有两个零点1x ，2x ，可得()()12121212ln ln ln ln x x x x x x x x -++=-，设21x t x =，则()121ln ln ln 1t t x x t ++=-，1t >，即证()1ln 21t tt +>-，1t >，即当1t >时，()21ln 1t t t ->+，设函数()()21ln 1t h t t t-=-+，1t >，利用导数求其单调性及函数的最值，即可得证.解：（1）()1x f x lnx ae '=+-，由题意可知，10x lnx ae +-=在(0,)+∞上有两个不同的实数根， 即1xlnx a e +=，只需函数1()xlnx g x e +=和y a=图象有两个交点， 211(1)1()()x x x x e lnx e lnx x x g x e e-+--'==，易知1()1h x lnx x =--在(0,)+∞上为减函数，且()10h =，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数； 所以1()(1)max g x g e ==，所以1a e<，又当0x →，()g x →-∞，x →+∞，()0>g x ， 要使()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点，则10a e <<． 故a 的取值范围为1(0,)e． （2）10f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭易得0a =，()()()21ln 2F x f x x x x mx x φ=-=-- ()F x 在()0,∞+上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <()ln F x x mx '∴=-有两个零点1x ，2x ，则1122ln 0ln 0x mx x mx -=⎧⎨-=⎩，解得12121212ln ln ln ln x x x x m x x x x +-==+- 于是()()221212111221211ln ln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭+==-- 又120x x <<，设21x t x =则1t >，因此()121ln ln ln 1t t x x t ++=-，1t > 要证12ln ln 2x x +>，即证()1ln 21t t t +>-，1t > 即当1t >时，()21ln 1t t t ->+，设函数()()21ln 1t h t t t -=-+，1t >，则 ()()()()()()222212111011t t t h t t t t t +---'=-=>++ 所以，()h t 为()1,+∞上的增函数，又()10h =，因此()()10h t h >=于是，当1t >时，有()21ln 1t t t->+， 所以，有12ln ln 2x x +>成立，即212x x e >，得证22.（1）()2224x y -+=，()2224x y +-=,；（2）34πα=【解析】22.（1）由曲线C 1的参数方程消去参数求出曲线的普通方程；曲线C 2的极坐标方程左右同乘ρ，即可求出直角坐标方程；（2）曲线C 1化为极坐标方程4cos ρθ=，设1122(,),(,)A B ραρα，从而12||||AB ρρ=-计算即得解.（1）曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩, 消去参数得到普通方程：22(2)4x y -+= 曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，两边同乘ρ得到24sin ρρθ= 故C 2的直角坐标方程为：22(2)4x y +-=.（2）曲线C 122(2)4x y -+=化为极坐标方程4cos ρθ=, 设1122(,),(,)A B ραρα因为曲线C 3的极坐标方程为：(0),R θααπρ=<<∈ 点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB12|||||4sin 4cos |sin()|4AB πρρααα∴=-=-=-=sin()1,04πααπ∴-=±<< 3424πππαα∴-=∴= 23.（Ⅰ）(−∞,−1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）[−1010,0).【解析】23.（Ⅰ）由题意不等式化为|1−2a|−|1−a|>1，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；（Ⅱ）由题意把问题转化为[f(x)]max ≤[|y +2020|+|y −a|]min ，分别求出[f(x)]max 和[|y +2020|+|y −a|]min ，列出不等式求解即可．（Ⅰ）由题意知，f(1)=|1−2a|−|1−a|>1， 若a≤12，则不等式化为1−2a −1+a >1，解得a <−1； 若12<a <1，则不等式化为2a −1−(1−a)>1，解得a >1，即不等式无解； 若a≥1，则不等式化为2a −1+1−a >1，解得a >1，综上所述，a的取值范围是(−∞,−1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）由题意知，要使得不等式f(x)≤|(y+2020)|+|y−a|恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y+2020|+|y−a|]min，当x∈(−∞,a]时，|x−2a|−|x−a|≤−a，[f(x)]max=−a，因为|y+2020|+|y−a|≥|a+2020|，所以当(y+2020)(y−a)≤0时，[|y+2020|+|y−a|]min=|a+2020|，即−a≤|a+2020|，解得a≥−1010，结合a<0，所以a的取值范围是[−1010,0).。
湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试(理数)
湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试数 学（理科）本试题卷共5页，全卷满分150分，考试用时l20分钟。
一、选择题：本大题共且2个小题，每小题S 分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}121>=-x x A ，{}022≤-=x x x B ，则=B A I A ．[)2,1B ．[]2,1C ．(]3,0D ．(]2,12．在复平面内，复数iiz +=1（i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足FB CF 2=，那么=EF A ．3121- B ．2131+C ．AD 3221- D ．2141+ 4．函数12-=x ex y （其中e 为自然对数的底）的图象大致是5．在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内 切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧， 则点M 恰好取自阴影部分的概率为 A ．21B ．2π C ．12-πD ．22π-6．()51113⎪⎭⎫⎝⎛-+x x 的展开式中的常数项为A ．14B ．14-C ．16D ．16-7．已知α为锐角，且()110tan 31cos =+οα，则α的值为A ．ο20B ．ο40C ．ο50D ．ο708．设椭圆)0(1:2222>>+b a by a x C ，的左、右焦点分别为21,F F ，点)0)(,0(b t t E <<.己知动点P在椭圆上，且点2,,F F P 不共线，若2PEF ∆的周长的最小值为b 3,则椭圆C 的离心率为A ．23 B ．22 C ．21 D ．35 9．设三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面2==AC AB ,ο90=∠BAC ,231=AA ,且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 A ．π24 B ．π18 C ．π26D ．π1610．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若nn n S a 2=+，*)(2212N n a a n n b n∈-=++，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nb 1的前99项和为 A ．9897 B ．9998 C ．10099 D ．10110011．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤+=21,2181,log 2)(21x x x x f x ，若))(()(b a b f a f <=，则ab 的最小值为 A ．22B ．21 C ．42 D ．35 12．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ,交y 轴于点C ,交另一条渐近线于点A ,并且点C 位于点B A ,之间，已知O 为原点,且a OA 35=，则=FCFAA ．45 B ．34 C ．23 D ．25 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2020届湖南师范大学附属中学高三月考试卷(三)数学理科试题
（2）若水的年入流量 与其蕴含的能量 （单位：百亿万焦）之间的部分对应数据为如下表所示：
年入流量
6
8
10
12
14
蕴含的能量
1.5
2.5
3.5
5
7.5
用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ；（回归方程系数用分数表示）
（3）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 限制，并有如下关系：
故选： .
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球，将三棱锥补成三棱柱是解题的关键.
13．
【解析】
试题分析：
考点：二倍角公式
14．
【解析】
【分析】
设甲和乙到校的时刻分别为16时 分和16时 分，如图所示，根据几何概型公式计算得到答案.
【详解】
设甲和乙到校的时刻分别为16时 分和16时 分，如图所示： 可以看成平面直角坐标系中的点，
【详解】
利用向量垂直的充要条件有： ，∴ ，
则向量 在 方向上的投影为 ,故选B.
【点睛】
本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
4．B
【解析】
【分析】
直接利用等比数列求和公式计算得到答案.
A．3B．2C．1D．0
8．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（）
A．20B．90C．15D．45
【2020年数学高考】湖南省师大附中2020届高三月考试卷(七)数学理.doc
湖南师大附中2020届高三月考试卷(七)数 学(理科)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共10页．时量120分钟．满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知集合A ＝{}x |（x －1）2＋y 2＝1，x ∈R ，B ＝{}y |y ＝1－x 2，x ∈R ，则A ∩B ＝(B) (A)[]0，2 (B)[]0，1 (C)(－∞，0] (D)[1，＋∞) 【解析】A ＝[]0，2，B ＝(－∞，1]A ∩B ＝[]0，1.(2)已知复数z 满足(1－i)z ＝2i ，且z ＋ai(a ∈R )为实数，则a ＝(C) (A)1 (B)2 (C)－1 (D)－2【解析】由(1－i)z ＝2i ，解得z ＝－1＋i ，故z ＋ai ＝－1＋(a ＋1)i 为实数时，a ＝－1.(3)已知S n 为等差数列{}a n 的前n 项和，若a 7＝1，a 1－S 4＝9，则数列{}S n 中的最小项为(B) (A)S 1 (B)S 5，S 6 (C)S 4 (D)S 7【解析】令等差数列{}a n 的公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋6d ＝1，a 1－4a 1－6d ＝9，解得a 1＝－5，d ＝1，有a n ＝n －6，S n ＝n （n －11）2，则当n ＝5或6时，S n 最小．(4)已知⎝⎛⎭⎫x －1x n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，记展开式中系数最大的项为第k项，则k ＝(A)(A)5 (B)4 (C)4或5 (D)5或6【解析】⎝⎛⎭⎫x －1x n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，∴n ＝2＋5＝7，第r ＋1项的系数为T r ＋1＝C r 7(－1)r，r ＝4时T r ＋1最大，故展开式中系数最大的项为第5项．(5)执行如右图所示的程序框图，若输入a ＝7，b ＝1，则输出S 的结果是(D) (A)16 (B)19 (C)34 (D)50【解析】第一次a ＝7，b ＝1，S ＝7， 第二次a ＝6，b ＝2，S ＝19，第三次a ＝5，b ＝3，S ＝34，第四次a ＝4，b ＝4，S ＝50后，程序结束．(6)从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任意取出两个数字作和，则使得和为偶数的概率值为(C)(A)13 (B)23 (C)49 (D)59【解析】p ＝C 24＋C 25C 29＝49. (7)为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象(C)(A)向左平移56π个长度单位 (B)向右平移56π个长度单位(C)向左平移512π个长度单位 (D)向右平移512π个长度单位【解析】∵y ＝sin 2x ＝f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2，∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋512π＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (8)一个三棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该三棱锥的侧视图可能为(D)【解析】分析三视图可知，该几何体为如下图所示的三棱锥，其中平面ACD ⊥平面BCD.(9)已知A 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若存在实数λ使得GA →＝λPF 1→，则双曲线的离心率为(A)(A)3 (B)2 (C)4 (D)与λ的取值有关【解析】由题意，PG ＝2GO ，GA ∥PF 1，∴2OA ＝AF 1，∴2a ＝c －a ，∴c ＝3a ，∴e ＝3.(10)已知对任意的x ∈(0，＋∞)，函数f(x)满足：0<f(x)<xf′(x)<2f(x)，则f （2）f （1）的取值范围是(A)(A)(2，4) (B)(1，2) (C)(0，1) (D)(0，2)【解析】令g(x)＝f （x ）x (x ∈(0，＋∞))，则g′(x)＝xf′（x ）－f （x ）x 2>0，于是g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故有g(2)>g(1)，即f （2）2>f （1）1，也就是f （2）f （1）>2；再令h(x)＝f （x ）x 2(x ∈(0，＋∞))，则h′(x)＝xf′（x ）－2f （x ）x 3<0，于是h(x)在(0，＋∞)上单调递减，故有h(2)<h(1)，即f （2）22<f （1）1，也就是f （2）f （1）<4.(11)已知平面上四点A 、B 、C 、D 满足||DA →＝||DB→＝1，DA →·DB →＝0，DB →·DC →＝λ，DC →·DA →＝－1－λ2，其中λ∈[]－1，1，则△ABC 面积的最大值为(C)(A)32 (B)1 (C)2＋12 (D)3＋12【解析】由已知条件可建立直角坐标系如图所示， D(0，0)，A(1，0)，B(0，1)，令∠BDC ＝θ， 则∠ADC ＝270°－θ或90°－θ，有⎩⎨⎧λ2＝（DB →·DC →）2＝||DC →2cos 2θ，1－λ2＝（DC →·DA →）2＝||DC→2sin 2θ， 故有||DC →＝1，又因为DC →·DA →＝－1－λ2<0，故点C 在以D 为圆心，1为半径的左半圆上，从而，当点C 在优弧AB 上且该处圆的切线与AB 平行时，△ABC 面积取到最大值，此最大值为2＋12.(12)已知只有50项的数列{}a n 满足下列三个条件： ①a i ∈{}－1，0，1，i ＝1，2，…，50； ②a 1＋a 2＋…＋a 50＝9；③101≤(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2≤111.对所有满足上述条件的数列{}a n ，a 21＋a 22＋…＋a 250共有k 个两两不同的值，则k ＝(C) (A)10 (B)11 (C)6 (D)7【解析】设a 1，a 2，…，a 50中有s 项取值0，由条件(2)知，取值1的项数为50－s －92＋9，取值－1的项数为50－s －92，再由条件③得101≤s ＋4⎝⎛⎭⎫50－s －92＋9≤111，解得7≤s ≤17，又易知s 必为奇数，故s ＝7，9，11，13，15，17.它们对应6个不同的值a 21＋a 22＋…＋a 250＝50－s.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．(13)计算sin 20°cos 10°－cos 160°sin 370°＝__12__．(14)将1，2，3，4，5这五个数字任意排成一排即成一个五位数，若该五位数为偶数且2与3相邻，则这样的五位数的个数为__18__．【解析】第1类，个位数为2，有A 33＝6个；第2类，个位数为4，有A 22A 33＝12个．(15)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，则x 2＋2y 2的取值范围是__⎣⎡⎦⎤23，6__．【解析】作出可行域为以A(1，0)，B(2，1)，C(0，1)为顶点的△ABC 的边界及内部．对任意固定的y ∈[]0，1，下面分别求x 2＋2y 2的最小值与最大值：x 2＋2y 2≥(1－y)2＋2y 2＝3⎝⎛⎭⎫y －132＋23≥23，x 2＋2y 2≤(1＋y)2＋2y 2＝3y 2＋2y ＋1≤6.(16)若存在x 0∈(0，1)，使得(3－x 0)eax 0≥3＋x 0(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的取值范围是__⎝⎛⎭⎫23，＋∞__. 【解析】∵存在x 0∈(0，1)，使得(3－x 0)eax 0≥3＋x 0，即ax 0－ln(3＋x 0)＋ln(3－x 0)≥0. 令f(x)＝ax －ln(3＋x)＋ln(3－x)(x ∈(0，1))，由于f(0)＝0，f ′(x)＝a －69－x 2，69－x 2∈⎝⎛⎭⎫23，34， 若a ≤23，则f′(x)≤0，f(x)递减，有f(x)<f(0)＝0，不合题意；若a ≥34，则f′(x)≥0，f(x)递增，有f(x)>f(0)＝0，符合题意；若23<a<34，则存在t ∈(0，1)，使得f′(t)＝0，又f′(x)在(0，1)上单调递减，故存在x ∈(0，t)，使得f ′(x)>0，即f(x)在(0，t)上递增，有f(x)>f(0)＝0，符合题意．综上，a ∈⎝⎛⎭⎫23，＋∞. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a n －2S n ＝1. (Ⅰ)求数列{}a n 的通项公式；(Ⅱ)设b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n 2＋2n ＋1n （n ＋1）·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】(Ⅰ)a n －2S n ＝1中令n ＝1得a 1＝－1，由a n －2S n ＝1可得，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝a n ＋1－12－a n －12，整理得a n ＋1＝－a n ，所以{}a n 是首项为－1，公比为－1的等比数列，故a n ＝()－1n.(5分)(Ⅱ)由题意，b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n 2＋2n ＋1n （n ＋1）·()－1n＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ·2n ＋1n （n ＋1） ＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ·⎣⎡⎦⎤1n ＋1（n ＋1）.当n 为偶数时，T n ＝()－1＋22－32＋42－…－（n －1）2＋n 2－⎝⎛⎭⎫11＋12＋⎝⎛⎭⎫12＋13－…－⎝⎛⎭⎫1n －1＋1n ＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1＝()1＋2＋3＋…＋n －1＋1n ＋1＝n （n ＋1）2－n n ＋1；(9分)当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋b n ＝n （n －1）2－n －1n －n 2－⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1＝－n （n ＋1）2－n ＋2n ＋1，综上所述，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＋1）2－nn ＋1，n 为偶数，－n （n ＋1）2－n ＋2n ＋1，n 为奇数.(12分)(18)(本小题满分12分)如图(1)，在边长为2的正方形ABCD 中，E 是边AB 的中点．将△ADE 沿DE 折起，如图(2)，F 是折叠后AC 的中点．(Ⅰ)求证：BF ∥平面ADE ；(Ⅱ)若平面ADE ⊥平面BCDE ，求BF 与平面ABD 所成角的正弦值．【解析】(Ⅰ)取AD 中点G ，连结EG ，FG ，∵F 为AC 中点， ∴FG 綊12CD ，BE 綊12CD∴FG 綊BE ，从而四边形EBFG 是平行四边形．(3分) ∴BF ∥EG ，又BF 平面ADE ，EG 平面ADE ， ∴BF ∥平面ADE.(5分)(Ⅱ) 如图所示以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系，在图(1)中作AH ⊥DE 于H ，易求得EH ＝15，AH ＝25，作HN ⊥AE 于N ，HM ⊥BC 于M ，则HN ＝25，HM ＝65，所以A ⎝⎛⎭⎫25，65，25.(7分)而B(0，0，0)，D(2，2，0)，则BA →＝⎝⎛⎭⎫25，65，25，BD →＝(2，2，0)．设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0，n ·BD →＝0⎩⎪⎨⎪⎧25x ＋65y ＋25z ＝0，2x ＋2y ＝0，解得一个法向量为n ＝(－5，5，－2)．(9分)又C(2，0，0)，∴F ⎝⎛⎭⎫65，35，15，∴BF →＝⎝⎛⎭⎫65，35，15，∵cos 〈n ，BF →〉＝n ·BF →||n ·||BF→＝－3514.∴BF 与平面ABD 所成角的正弦值为3514.(12分)(19)(本小题满分12分)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次，在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分，没有投进得0分；如果前两次得分之和超过3分，即停止投篮，否则投三次，且假设所有人在A 处的命中率为14，在B 处的命中率为q ⎝⎛⎭⎫14<q<1.已知同学甲选择只在B 处投球．(Ⅰ)若q ＝35，求同学甲最终得分的分布列与期望；(Ⅱ)若同学乙选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，试判断甲、乙两位同学，哪位同学最终得分超过3分的概率更大一些？并说明理由．【解析】(Ⅰ)用X 表示同学甲投篮结束后所得的总分，则X 的可能取值为0，2，4，则P(X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫253＝8125，P(X ＝2)＝C 13×⎝⎛⎭⎫252×35＝36125，P(X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫352＋2×⎝⎛⎭⎫352×25＝81125，随机变量X数学期望为：E(X)＝0×8125＋2×36125＋4×81125＝396125.(6分)(Ⅱ)设在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件A 、B 相互独立，记同学甲最终得分超过3分为事件C ，则P(C)＝P(BB)＋P(B B －B)＋P(B －BB)＝q 2(3－2q)，记同学乙最终得分超过3分为事件D ，则P(D)＝P(AB)＋P(A －BB)＋P(A B －B)＝14q ＋34q 2＋14q(1－q)＝12q(1＋q)，而P(C)－P(D)＝－2q 3＋52q 2－12q ＝－12q(4q －1)(q －1)>0，故同学甲最终得分超过3分的概率更大一些．(12分) (20)(本小题满分12分)设x ，y ∈R ，向量i ，j 分别为平面直角坐标内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝(x ＋1)i ＋y j ，b ＝(x －1)i ＋y j ，且|a |＋|b |＝4.(Ⅰ)求点M(x ，y)的轨迹C 的方程；(Ⅱ)记轨迹C 与x 轴的左、右交点分别为A ，B ，点S 是C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝－4分别交于M ，N 两点，当线段MN 的长度最小时，在轨迹C 上是否存在点T 使得△TSA 的面积为14？若存在，确定点T 的个数；若不存在，说明理由．【解析】(Ⅰ)∵a ＝(x ＋1)i ＋y j ，b ＝(x －1)i ＋y j ，且|a |＋|b |＝4.∴（x ＋1）2＋y 2＋（x －1）2＋y 2＝4，即点M(x ，y)到两个定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)的距离之和为4.(2分) ∴ 点M 的轨迹C 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，则：a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3，故所求轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(Ⅱ)易知A ，B 的坐标为A(－2，0)，B(2，0)，直线AS 的斜率k 显然存在，且k>0, 故可设直线AS 的方程为y ＝k(x ＋2)，从而M(－4，－2k)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，设S(x 1，y 1)，则(－2)x 1＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝6－8k 23＋4k 2，从而y 1＝12k 3＋4k 2，即S ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2. 又B(2，0)，故直线BS 的方程为y ＝－34k(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34k （x －2），x ＝－4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝92k，所以N ⎝⎛⎭⎫－4，92k . 故||MN ＝⎪⎪⎪⎪－2k －92k ＝2k ＋92k ≥22k·92k＝6， 当且仅当2k ＝92k 时，即k ＝32时等号成立，所以k ＝32时，线段MN 的长度取最小值6.(8分)此时直线AS 的方程为3x －2y ＋6＝0，S ⎝⎛⎭⎫－1，32， 所以||AS ＝132，要使△TSA 的面积为14，只需点T 到直线AS 的距离等于1313，所以点T 在平行于AS 且与AS 距离等于1313的直线l′上，①当t ＝7时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋y 3＝1，3x －2y ＋7＝0得12x 2＋42x ＋37＝0，由于Δ＝－12<0，故直线l′与椭圆C 无交点； ②当t ＝5时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，3x －2y ＋5＝0得12x 2＋30x ＋13＝0，由于Δ＝276>0，故直线l′与椭圆C 有两个交点， 综上所求点T 的个数是2个．(12分) (21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a ＋sin xe x，a ∈R ，e 为自然对数的底数．(Ⅰ)若函数f(x)存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)若a ＝0，试讨论方程f(x)＝cos x x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上解的个数；(Ⅲ)证明：对任意的a ≥0，x ∈[]－1，1，恒有e 1－3x >2f ′(x)成立．【解析】(Ⅰ)由已知得f′(x)＝cos x －a －sin xe x，因为函数f(x)存在单调递增区间，所以f′(x)>0有解． 即cos x －a －sin x>0有解，所以a<()cos x －sin x max，又cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，所以a< 2.(4分)(Ⅱ)由题意，只需讨论g(x)＝e x cos x －xsin x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上的零点个数，而g′(x)＝e x cos x －e x sin x －sin x －xcos x ＝e x (cos x －sin x)－(sin x ＋xcos x)，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以cos x －sin x ≤0，sin x ＋xcos x>0，所以g′(x)<0，故g(x)在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递减，而g ⎝⎛⎭⎫π4＝22⎝⎛⎭⎫e π4－π4，令h(x)＝e x －x －1，则h′(x)＝e x －1，由h′(x)<0得x<0，所以h(x)在(－∞，0)单调递减，由h′(x)>0得x>0，所以h(x)在(0，＋∞)单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，从而e x ≥x＋1>x.于是g ⎝⎛⎭⎫π4＝22⎝⎛⎭⎫e π4－π4>0， 而g ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2<0，且函数g(x)的图象在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是连续不断的，因此，函数g(x)在⎣⎡⎦⎤π4，π2上有且只有一个零点．(8分)(Ⅲ)由于f′(x)＝cos x －a －sin x ex，即证：e 1－2x ＋2sin x －2cos x ＋2a>0对a ≥0，x ∈[]－1，1成立， 只需证：e 1－2x ＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4>0对x ∈[]－1，1恒成立，由(Ⅱ)可知，e x ≥x ＋1，所以有：e 1－2x ≥2－2x(当且仅当x ＝12时取等) ①只需证：2－2x ＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≥0对x ∈[]－1，1恒成立，令函数φ(x)＝2－2x ＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈[]－1，1，则φ′(x)＝－2＋22cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝22⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－22， 当x ∈[]0，1时，x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，1－π4，φ′(x)≥0，即φ(x)在[]0，1上是增函数，当x ∈[)－1，0时，x －π4∈⎣⎡⎭⎫－1－π4，－π4，φ′(x)<0，即φ(x)在x ∈[)－1，0上是减函数，所以，在[]－1，1上，φ()x ≥φ()0＝0，所以φ()x ≥0.所以2－2x ＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≥0(当且仅当x ＝0时取等) ②因为①②不能同时取等号，所以：e 1－2x ＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4>0对x ∈[]－1，1恒成立，所以对任意的a ≥0，x ∈[]－1，1，恒有e 1－3x >2f ′(x)成立．(12分)请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋acos β，y ＝asin β(a>0，β为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32.(Ⅰ)若曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为1，求实数a 的值；(Ⅱ)若A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求△OAB 的周长的最大值．【解析】(Ⅰ)曲线C 是以()a ，0为圆心，以a 为半径的圆； 直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.(2分)若曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为1，则有||a －32＝a ＋1，解得：a ＝13.故所求实数a 的值为13.(5分)(Ⅱ)由题意，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2acos θ，θ∈⎣⎡⎭⎫－π2，π2，设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则：||OA ＝||2acos θ，||OB ＝⎪⎪⎪⎪2acos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，由正弦定理得：||AB sin π3＝2a ，所以||AB ＝3a ，所以△ABO 的周长为C △ABO ＝||OA ＋||OB ＋||AB ＝a ⎣⎡⎦⎤3＋2||cos θ＋2⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，而cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋cos θ＝－32sin θ＋32cos θ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3≤3，所以当θ＝－π6时，cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋cos θ取得最大值 3.所以△OAB 的周长的最大值为33a.(10分) (23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)＝|2x －1|，x ∈R . (Ⅰ)解不等式f(x)＋f(x ＋1)≤2；(Ⅱ)已知不等式f(x)≤f(x ＋2)－||x －a 的解集为M ，若⎝⎛⎭⎫12，1M ，求实数a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)原不等式等价于||2x －1＋||2x ＋1≤2，而||2x －1＋||2x ＋1≥2当且仅当()2x －1(2x ＋1)≤0时取等，即－12≤x ≤12，故不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－12，12.(5分) (Ⅱ)因为⎝⎛⎭⎫12，1M ，则当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，f(x)≤f(x ＋2)－||x －a 恒成立， 等价于||2x －1－||2x ＋3＋||x －a ≤0在x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立，即||x －a ≤4在x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立，即x －4≤a ≤x ＋4在x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立， 所以()x －4max ≤a ≤()x ＋4min，故所求a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－3，92. (10分)。
湖南师范大学附属中学2020届高三5月模拟考试数学(理)试题(解析)
3 2
z
0
，取
y
1
，得
m
(0
，1， 1)
，
设直线 PC 与平面 AEC 所成角为 ，
理科数学参考答案及解析 第 4页，总 9页
则直线 PC 与平面 AEC 所成角的正弦值为：
sin | |PPCC||mm| |
3 13
3 26 ． 2 26
（Ⅲ）假设在线段 PB 上（不含端点）存在一点 M ，使得二面角 M AC E 的余弦值为 10 ， 10
P(0 ，0， 3) ， C(2 ，0， 0) ， A(0 ，0， 0) ， D(2 ， 3 ， 0) ， E(1， 3 ， 3) ，
22
AE
(1,
3
,
3
)
，
AC
(2
，0，
0)
，
PC
(2
，0，
3)
，
22
设平面 AEC 的法向量 m (x ， y ， z) ，
则
AEm ACm
x 2x
3y 2 0
设 M (a ， b ， c) ， PM PB ， B(0 ，3， 0) ，则 (a ， b ， c 3) (0 ，3， 3) ，
解得 a 0 ， b 3 ， c 3 3 ， M (0 ， 3 ， 3 3) ，
AC (2 ，0， 0) ， AM (0 ， 3 ， 3 3) ，
2 ,得
p
1 3
所以 ak1 3a(2)k1, ak2 3a(2)k ,所以 dk ak1 ak2 9a (2)k1 .
18、解：（Ⅰ）证明：连接 BD 交 AC 于点 O ，并连接 EO ， 四边形 ABCD 为平行四边形， O 为 BD 的中点， 又 E 为 PD 的中点，
【附加15套高考模拟试卷】湖南省师大附中2020届高三月考(5)数学(理)试题含答案
湖南省师大附中2020届高三月考（5）数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲乙等4人参加4100⨯米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ）A ．29 B ．49 C ．23 D ．792．已知函数()(1cos )cos tan 2xf x x x =+，那么下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且最小正周期为πB ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，且最小正周期为2π C ．函数()f x 在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，且最小正周期为π D ．函数()f x 在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，且最小正周期为2π3．函数()()11x xe f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．4．若函数()2sin(2)cos (0)2f x x x πθθ=+⋅<<的图象过点(0,2)，则（ ）A ．点(,0)4π是()y f x =的一个对称中心 B ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴C ．函数()y f x =的最小正周期是2πD ．函数()y f x =的值域是[0,2] 5．在平面直角坐标系中，两动圆均过定点，它们的圆心分别为，且与轴正半轴分别交于.若，则（）A ．B ．C ．D ．6．用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为（ ）A．532B．516C．1132D．11167．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>与双曲线22221(0,0)x ym nm n-=>>有共同的焦点1F，2F，且在第一象限内相交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为1e，2e．若123F PFπ∠=，则12e e⋅的最小值是（）A．12B．2C．3D．328．已知函数()()sin3cos0f x wx wx w=->的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于4π，若将函数()y f x=的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x=的图象，则在下列区间中使()y g x=是减函数的是（）A．,03π⎛⎫-⎪⎝⎭B．7,2424ππ⎛⎫⎪⎝⎭C．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭D．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭9．若a，b，c，满足23a=，2log5b=，32c=，则（）A．c a b<<B．b c a<<C．a b c<<D．c b a<<10．条形图给出的是2017年全年及2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数与中位数，饼图给出的是2018年全年全国居民人均消费及其构成，现有如下说法：①2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数的增长率低于2017年；②2018年全年全国居民人均可支配收入的中位数约是平均数的86%；③2018年全年全国居民衣（衣着）食（食品烟酒）住（居住）行（交通通信）的支出超过人均消费的70%.则上述说法中，正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．011．已知函数()12xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()()0.322,2,log5a fb fc f===，则,,a b c的大小关系为（）A．c b a>>B．a b c>>C．c a b>>D．b c a>>12．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为（ ）A ．16πB ．323πC ．48πD ．163π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届湖南师大附中高三第5次月考试卷-理科数学答案
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2020年湖南师大附中高考数学模拟试卷(理科)(二)(5月份)(有答案解析)
∴n=
；
故选：A．
6.答案：B
解析：【分析】 本题考查空间几何体的三视图的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，为 中档题． 画出三视图表示的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【解答】
解：由题意可知几何体的形状如图：是长方体中截出的棱锥（底面是梯形，高为 ，底面边长 1，上
（2）根据（1）的判断结果及表 1 中的数据，建立 y 关于 x 的回归方程，并预测活动推出第 8
天使用扫码支付的人次；
（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下
表 2：
支付方式
现金
乘车卡
扫码
比例
10%
60%
30%
车队为缓解周边居民出行压力，以 80 万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆
A. ，
B. ，-
C. ，
D. - ，
11. 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，|AB|=|AD|= ，|AA1|=1，而对角 线 A1B 上存在一点 P，使得|AP|+|D1P|取得最小值，则此最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 1+ D.
12. 已知 a＞0，函数 f（x）=ex-a-ln（x+a）-1（x＞0）的最小值为 0，则实数 a 的取值范围是（ ）