商人过河优化模型.docx
数学建模—商人们怎样安全过河
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，并解释其
实际意义。
提示：
决定商品价格的主要因素：
生产成本、包装成本、其他成本。
•一般思维：
36 18 10 4 2 1 18 9 5 2 11 36 2 2 2 22
•逆向思维：
每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即 就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。
3 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于 6时抵达T市车站，它的妻子驾车准时到车站接他 回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵达 T市车站，随即步行回家，它的妻子像往常一样驾 车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常 提前了10分钟。问他步行了多长时间？
“数学软件与数学建模”选修课之二
数学模型简介
马新生
浙江教育学院数学系 xsma@
“数学软件与数学建模”选修课之二
数学模型简介
2.1 模型2-商人们怎样安全过河 2.2 模型3-照明问题 2.3 数学模型介绍
模型2 商人们怎样安全过河
问题(智力游戏)
随从们密约, 在河的任一 岸, 一旦随从的人数比商 人多, 就杀人越货.
模型的局限性
数学模型的分类
应用领域 人口、交通、经济、生态 … …
数学方法 初等数学、微分方程、规划、统计 … …
表现特性 建模目的
确定和随机
静态和动态
离散和连续
线性和非线性
描述、优化、预报、决策 … …
了解程度 白箱
灰箱
商人过河问题数学建模
作业1、2：商人过河一、问题重述问题一：4个商人带着4个随从过河，过河的工具只有一艘小船，只能同时载两个人过河，包括划船的人。
随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货。
乘船渡河的方案由商人决定。
商人们怎样才能安全过河?问题二：假如小船可以容3人，请问最多可以有几名商人各带一名随从安全过河。
二、问题分析问题可以看做一个多步决策过程。
每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人员在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。
用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。
问题就转换为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。
三．问题假设1. 过河途中不会出现不可抗力的自然因素。
2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。
3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。
4. 随从会听从商人的调度。
四、模型构成x(k)~第k次渡河前此岸的商人数x(k),y(k)=0,1,2,3,4;y(k)~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2,…..s(k)=[ x(k), y(k)]~过程的状态S~允许状态集合S={(x,y) x=0,y=0,1,2,3,4; x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3}u(k)~第k次渡船上的商人数u(k), v(k)=0,1,2;v(k)~ 第k次渡船上的随从数k=1,2…..d(k)=( u(k), v(k))~过程的决策 D~允许决策集合D={u,v |u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律求d(k) ∈D(k=1,2,….n),使s(k)∈S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0）数学模型：k+1k S =S +k k D （-1） （1）'4k k x x += （2）'4k k y y += （3）k.k x y ≥ （4）''k k x y ≥ （5）模型分析：由（2）（3）（5）可得44kk x y -≥- 化简得k k x y ≤综合（4）可得k k x y = 和 {}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）还要考虑 {}'(',')|'0,'0,1,2,3,4kk k k k S x y x y === （7） 把（2）（3）带入（7）可得{}(4,4)|40,40,1,2,3,4k k k k k S x y x y =---=-=化简得{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8） 综合（6）（7）（8）式可得满足条件的情况满足下式{}(,)|0,4,0,1,2,3,4;k k k k k k k S x y x y x y ==== （9）所以我们知道满足条件的点如上图所示：点移动由{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8） 到达{}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）时，可以认为完成渡河。
数学建模 商人过河
数学建模课程作业论文题目：对商人过河问题的研究指导教师：黄光辉小组成员：黄志宇（20156260）车辆工程04班牛凯春（20151927）电气工程05班文逸楚（20150382）工商管理02班一、问题重述3名商人带3名随从乘一条小船过河，小船每次只能承载至多两人。
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
乘船渡河的方案由商人决定，商人们如何才能安全渡河呢？二、问题分析本题针对商人们能否安全过河问题，需要选择一种合理的过河方案。
对该问题可视为一个多步决策模型，通过对每一次过河的方案的筛选优化，最终得到商人们全部安全过到河对岸的最优决策方案。
对于每一次的过河过程都看成一个随机决策状态量，商人们能够安全到达彼岸或此岸我们可以看成目标决策允许的状态量，通过对允许的状态量的层层筛选，从而得到过河的目标。
三、模型假设1.过河途中不会出现不可抗力的自然因素。
2.当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。
3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。
4.随从会听从商人的调度，所有人都到达河对岸。
四、符号说明第k次渡河前此岸的商人数第k次渡河前此岸的随从数过程的状态向量允许状态集合第k次渡船上的商人数第k次渡船上的随从数决策向量允许决策集合x y 3322110s 1s n +1d 1d 11五、模型建立本题为多步决策模型，每一次过河都是状态量的转移过程。
用二维向量表示过程的状态，其中分别表示对应时刻此岸的商人，仆人数以及船的行进方向，其中则允许状态集合:=又将二维向量定义为决策，则允许的决策合集为:因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态随决策的变化规律是该式称为状态转移律。
求决策，使,并按照转移律，由经过有限步n 到达状态六、模型求解本模型使用MATLAB 软件编程，通过穷举法获得决策方案如下(完整matlab 程序详见附录):初始状态：可用图片表示为：X0=33状态为:S =3132303111220203010200决策为:D =0201020120112001020102七、模型推广该商人和随从过河模型可以完美解决此类商人过河的决策问题，并且该模型还可推广至解决m个商人和n个随从过河，以及小船的最大载重人数改变时的问题，只需适当地改变相关的语句即可轻松实现模型的转换。
数学建模作业(商人过河问题)
数学建模作业（四）——商人过河问题一．问题描述有四名商人各带一名仆人过河，但船最多能载二人，商人已获得仆人的阴谋：在河的任一岸，只要仆人数超过商人数，仆人会将商人杀死并窃取财物且安排如何乘船的权力掌握在商人手中。
试为商人制定一个安全过河的方案。
二．解决方案用递归的源程序如下：开始时商人，强盗所在的河的这边设为0状态，另一边设为1状态（也就是船开始时的一边设为0，当船驶到对岸是设为1状态，在这两个状态时，都必须符合条件）#include <stdlib.h>struct node /*建立一个类似栈的数据结构并且可以浏览每一个数据点*/ {int x;int y;int state;struct node *next;};typedef struct node state;typedef state *link;link PPointer1=NULL;link PPointer2=NULL;int a1,b1;int a2,b2;/*栈中每个数据都分为0，1状态*/void Push(int a,int b,int n){link newnode;newnode=(link)malloc(sizeof(state));newnode-> x=a;newnode-> y=b;newnode-> state=n;newnode-> next=NULL;if(PPointer1==NULL){PPointer1=newnode;PPointer2=newnode;}else{PPointer2-> next=newnode;PPointer2=newnode;}}void Pop()/*弹栈*/{link pointer;if(PPointer1==PPointer2){free(PPointer1);PPointer1=NULL;PPointer2=NULL;}pointer=PPointer1;while(pointer-> next!=PPointer2)pointer=pointer-> next;free(PPointer2);PPointer2=pointer;PPointer2-> next=NULL;}int history(int a,int b,int n) /*比较输入的数据和栈中是否有重复的*/ {link pointer;if(PPointer1==NULL)return 1;else{pointer=PPointer1;while(pointer!=NULL){if(pointer-> x==a&&pointer-> y==b&&pointer-> state==n)return 0;pointer=pointer-> next;}return 1;}}int judge(int a,int b,int c,int d,int n)/*判断这个状态是否可行，其中使用了history函数*/{if(history(a,b,n)==0) return 0;if(a> =0&&b> =0&&a <=3&&b <=3&&c> =0&&d> =0&&c <=3&&d <=3&&a+c==3&&b+d==3){switch(n){case 1:{if(a==3){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==0){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==b){Push(a,b,n);return 1;}else return 0;}case 0:{if(a==3){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==0){Push(a,b,n);return 1;}else if(a> =b){Push(a,b,n);return 1;}else return 0;}}}else return 0;}int Duhe(int a,int b,int n)/*递归法解决商人渡河问题，如果这一个状态符合*/ {/*则判断下一个状态，直至问题解决*/ if(a==0&&b==0) return 1;if(n==0)/*判断0状态时，商匪状态是否符合要求*/{if(judge(a-1,b-1,4-a,4-b,1)){if(Duhe(a-1,b-1,1)==1)return 1;}if(judge(a,b-2,3-a,5-b,1)){if(Duhe(a,b-2,1)==1)return 1;}if(judge(a-2,b,5-a,3-b,1)){if(Duhe(a-2,b,1)==1)return 1;if(judge(a-1,b,4-a,3-b,1)){if(Duhe(a-1,b,1)==1)return 1;}if(judge(a,b-1,3-a,4-b,1)){if(Duhe(a,b-1,1)==1)return 1;}else{Pop(0);return 0;}}if(n==1)/*判断0状态时，商匪状态是否符合要求*/{if(judge(a+1,b+1,2-a,2-b,0)){if(Duhe(a+1,b+1,0)==1)return 1;}if(judge(a,b+2,3-a,1-b,0)){if(Duhe(a,b+2,0)==1)return 1;}if(judge(a+2,b,1-a,3-b,0)){if(Duhe(a+2,b,0)==1)return 1;}if(judge(a+1,b,2-a,3-b,0)){if(Duhe(a+1,b,0)==1)return 1;}if(judge(a,b+1,3-a,2-b,0))if(Duhe(a,b+1,0)==1)return 1;}else{Pop(1);return 0;}}return 0;}main(){link pointer;Push(3,3,0);Duhe(3,3,0);pointer=PPointer1;while(pointer!=NULL){printf( "%d,%d---%d\n ",pointer-> x,pointer-> y,pointer-> state);pointer=pointer-> next;}getch();}。
商人们怎样安全过河
看谁答得快
1、某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下午5时到达山顶 并留宿。次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。某 乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为 什么？ 2、某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵达T市 车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班 搭早一班火车于5时半抵T市车站，随即步行回家，他的妻子 像往常一样驾车前来，在路上遇到他接回家时，发现比往常 提前了10分钟，问他步行了多长时间？ 3、两兄妹分别在离家2千米和1千米且方向相反的两所学校上学， 每天同时放学后分别以4千米/小时和2千米/小时的速度步行回 家，一小狗以6千米/小时的速度从哥哥处奔向妹妹，又从妹妹 处奔向哥哥，如此往返直至回家中，问小狗奔波了多少路程？
图 状态s=(x,y) ~ 16个格点 解 法 允许状态S ~ 10个 点 允许决策D ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.
s1
d1
d1, d11给出安全渡河方案
d11
评注和思考
sn+1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2
3
x
规格化方法, 易于推广 考虑4名商人各带一随从的情况
习题
• 模仿这一案例，作下面一题： 人带着猫、鸡、米过河，船除需要 人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之 一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃 米。试设计一安全过河方案，并使渡河 次数尽量地少。
建模示例
问题(智力游戏)
商人们怎样安全过河
河
小船(至多2人)
随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.
但是乘船渡河的方案由商人决定. 3名商人 3名随从 商人们怎样才能安全过河?
数学建模 商人过河
数学建模商人过河(hjh)
问题
随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.
乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?
分析问题
（1）,数据及其关系？（2）如何存储？（3）过程中数据上的操作？
（4）操作过程中需借助什么结构实现？
解答
（1）数据：河两岸的商人数x∈（0，3）和随从人数y∈（0，3）
关系：线性关系
（2）存储：用二维数组来实现。
（3）操作：前进（过河）、后退（返回）
（4）操作过程中需借助栈结构实现
具体分析
此岸商人数与随从人数为C【x】【y】，彼岸商人数与随从人数为B【3-x】【3-y】，C与B数组中x必须大于等于y。
C与B数组中，各个数组中每相邻两个二维数组|x+y|之差不得超过2。
其中过河途中船上人数用数组A表示A【x1】【y1】，返回途中船上人数A【x2】【y2】。
x1，x2，y1，y2=0，1，2。
x1+y1=1或2；y2+x2=1或2。
从此岸来考察，要从最开始的C【3】【3】变到C【0】【0】。
1，C【3】【3】→C【3】【1】，C【3】【1】→C【3】【2】；
2，C【3】【2】→C【3】【0】，C【3】【0】→C【3】【1】；3，C【3】【1】→C【1】【1】，C【1】【1】→C【2】【2】；4，C【2】【2】→C【0】【2】，C【0】【2】→C【0】【3】；5，C【0】【3】→C【0】【1】，C【0】【1】→C【0】【2】；6，C【0】【2】→C【0】【0】。
操作过程中需借助栈结构实现，具体如下图所示：
此岸人数已经全部转移到彼岸，任务圆满完成，商人们安全过河。
商人过河
商人们怎样安全过河摘要：四名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船至多容纳两人，由他们自己制定，随从约定，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀了越货。
但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，另外，当船的的容量增大为3，最多可以有几对商人安全过河。
商人们怎么才安全渡河，那将再此文中分析过河问题。
模型主要通图表法对过河的方案进行举例，然后根据小船的容量和商人们要安全过河为前提对各种方案进行层层筛选，最终得到商人安全过河方案。
关键词：多步决策图解法商人过河一、问题重述四名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船至多容纳俩人，由他们自己划行，随从约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀了越货。
另外，当船的的容量增大为3最多可以有几对商人安全过河但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。
现在需要解决的问题如下：1.四名商人在不被随从谋杀和小船最多能为2人的情况下，商人们将如何安全过河？2.如果有m名商人m名随从，小船的容量为3时，最多可以有多少商人各带一名随从过河。
二、模型的假设1.假设过河的过程中不会发生以外事故。
2.假设当随从人数多国商人时，不会改变杀人越货计划。
3.假设所有人最终都必须到达河对岸。
三、符号说明=0,1,2,3,4…;x k~第k次渡河前此岸的商人数x k,yk~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2,…,) ~过程的状态S ~ 允许状态集合xS={(x , y)x=0, y=0,1,2,3,..; x=m, y=0,1,2,3,..; x=y=1,2,3..}=0, 1, 2..;~第k次渡船上的商人数~第k次渡船上的随从数k=1,2,…=( , ) ~过程的决策 D ~允许决策集合D={(u , v)u+v=1, 2, ….，u, v=0, 1, 2,…}状态因决策而改变~状态转移律四、模型分析针对商人们能否安全过河问题，需要选择一种合理的过河方案，对该问题可将看为一个多步决策模型，通过对每一次过河的方案的筛选优化，最终得到商人们全部安全过河。
商人怎样安全过河文稿
案例名称:商人怎样安全过河学科分类：数学数学分支：初等数学模型预备知识：线性代数，解析几何，MATLAB适用对象：本科、专科学生1.问题的背景与问题提出这个案例是一个智力游戏。
3名商人各带1个随从乘船渡河，一只小船只能容纳2人，由他们自己划行。
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
但是如何乘船渡河的大权掌握在商人手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？2.问题的分析与模型建立：将一个智力游戏转化成数学问题。
商人渡河问题是一个多步决策问题。
首先由学生从玩游戏开始，在纸面上完成渡河过程；然后再由学生实际演绎，在黑板上记录渡河过程。
利用学生的演绎记录结果进行问题的分析与模型的建立。
分析整个操作过程，让模型的建立随着思考的深入自然而然的呈现。
Step1 变量的设置：用有序数对（x,y）表示岸上商人数和随从数，（u,v）表示船上的商人数和随从数，代数思想的自然渗入；Step2 过程的数学化表示：（x2,y2）=（x1,y1）-（u1,v1）（x3,y3）=（x2,y2）+（u2,v2）......（x i+1,y i+1）=（x i,y i）+(-1)i（u i,v i）规律即模型自然呈现。
Step3 模型的优化：引入集合的表示法状态允许集S=｛（x,y）:x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2｝允许决策集D={((u,v)):1≤u+v≤2，u,v=0,1,2}状态转移律 s k+1=s k+(-1)k d k求决策d k（k=1，2,...,n）使状态s k按照转移律，由初始状态s1=(3,3)经过有限步n到达状态s n+1=(0,0)。
3.模型的求解与结果检验求解方法1：符号操作法求解方法2：图解法（引入坐标系）求解方法3：穷举法编程上机4.模型的评注与应用用这种规格化的方法建立的多步决策模型可以用计算机来求解，从而具有推广的意义。
5.参考文献[1]姜启源.数学模型.4版.北京：高等教育出版社，2011×图1 符号法图2 安全渡河的图解法（1）图3 安全渡河的图解法（2）x3 2 1 0sn +139d11dxs n +1dmatlab上机程序：(1)function s=businessmann=input('输入商人数目：');nn=input('输入仆人数目：');nnn=input('输入船的最大容量：');if nn>nn=input('输入商人数目：');nn=input('输入仆人数目：');nnn=input('输入船的最大容量：');endk=1;for i=0:nnn %产生出所有的可能过河的决策for j=0:nnnif (i+j<=nnn) &(i+j>0)d(k,1:3)=[i,j,1]; %1表示从此岸到彼岸d(k+1,1:3)=[-i,-j,-1]; %-1表示从彼岸到此岸k=k+2;endendendk=1;for i=n:-1:0 %产生安全队列for j=nn:-1:0if ((i>=j) & ((n-i)>=(nn-j))) | ((i==0)|(i==n))A(k,1:3)=[i,j,1]; %1表示此岸安全k=k+1;endendend%队列数据结构，第一列表示商人数，第二列表示仆人数，第三列用于记录该结点的上一个结点，第四列表示船的运动方向（1表示此岸往彼岸运动，-1表示从彼岸往此岸运动）sq(1,1)=n;sq(1,2)=nn;sq(1,3)=0;sq(1,4)=1; %初始状态front=1;rear=1; %队列的头尾指针while(front<=rear)x=sq(front,1);y=sq(front,2);flag=0;if (sq(front,4)==1)for v=2:2:size(d,1)i=x+d(v,1);j=y+d(v,2);if (is_save(A,i,j)==1)rear=rear+1;sq(rear,1)=i;sq(rear,2)=j;sq(rear,3)=front;sq(rear,4)=-1;endif (i==0 && j==0)flag=1;endendendif (flag==1)break;endflag=0;if (sq(front,4)==-1)for v=1:2:size(d,1)i=x+d(v,1);j=y+d(v,2);if (is_save(A,i,j)==1) & (sq(sq(front,3),1)~=i | sq(sq(front,3),2)~=j)rear=rear+1;sq(rear,1)=i;sq(rear,2)=j;sq(rear,3)=front;sq(rear,4)=1;endif (i==0 && j==0)flag=1;endendendif (flag==1)break;endfront=front+1;(2)function a=is_save(A,x,y)for i=1:size(A,1)if (x==A(i,1) && y==A(i,2))break;endendif i<size(A,1)a=1;elsea=0;。
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承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：J2202 __________ 所属学校（请填写完整的全名）：江西环境工程职业学院
参赛队员（打印并签名）：1. ___________________________________
2. ___________________________________________
3. ___________________________________
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：教练组_____________________________
日期：2012年8月9日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）:
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
商人过河
摘要
本文针对商人安全渡河的问题，采用多步决策的过程建立数学模型，求解得到了在随从没有杀人越货的情况下的渡河方案。
对于本题而言，在3名商人、3名随从、船的最大容量为2的情况下，首先定义了渡河前此岸的状态，并设安全渡河条件下的状态集定义为允许状态集合，接着得到渡河方案的允许决策集合，然后得到状态随渡河方案变化的规律, 最后利用平而坐标分析法，并利用计算机进行了仿真，得到了一种商人安全渡河的方案。
但是，本文不仅仅是为了拼凑出一个可行方案，而是希望能找到求解这类问题的规律性，并建立数学模型，用以解决更为广泛的问题。
基于此目的，利用了 dijkstm算法,得到最短路径的最优解。
但同时由于该算法遍历计算的节点很多，所以效率低，而且当有多个最短距离时，不能够将所有符合条件的情况逐一列出。
最后，从这类问题解得趣味性、合理性进行了深入讨论，得到了“传教士与野蛮人渡河”，“印度夫妻渡河”等问题通用的模型，并将其进行了推广。
这也是本文的一大特色。
关键词渡河问题状态集合决策集合平面坐标dijg算法
一、问题的提出
三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。
随从们密约，在河的任意一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货.但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？同时，推广到四名商人带四名随从又如何？
二、问题分析
安全渡河问题可以看成一个多步决策过程。
每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员（商人随从各几人）作出决策，在保证安全的前提下（两岸的商人数都不比随从数少），在有限步内使人员全部过河。
用状态（变量）表示某一岸的人员状况，决策（变虽:）表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。
问题转化为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件） ,确定每一步的决策，达到渡河的目的。
此类智力问题经过思考，可以拼凑出一个可行方案。
但是，我们现在希望能找到求解这类问题的规律性，并建立数学模型，用以解决更为广泛的问题。
三、模型假设及符号说明
3.1模型假设
（1）每个商人和随从都会划船：
（2）只有一条船，且每条船上最多只能乘坐两个人：
（3）所有商人与随从之间没有矛盾，不会出现两人不愿意坐一条船的现象:
（4）船在渡河的过程中不受外界环境的影响。
3. 2符号说明
A初始状态下，商人和随从所在的一岸：
3初始状态下，商人和随从欲到达的一岸：
忑第*次渡河前，/岸的商人数：
必第*次渡河前，/岸的随从数：
渡河前A岸商人与随从数的状态:
S渡河前/岸商人与随从数的允许状态的集合:
纵第M次渡河时，船上的乘坐商人数：
”第M次渡河时，船上的乘坐随从数：
g 第斤次渡河方案的决策：
D渡河方案的允许决策集合
9第斤次状态的转移
四、模型的建立与求解
4. 1模型的建立
根据题意，可以作出商人渡河初始状态的示意图：
渡河目的：A一一＞B (选择/岸为参考点)
记第it次渡河前/岸的商人数为忑，随从数为必，斤=1,2,…,加，且
旺,” =0,1,2,3
将二维向量S* =(忑,必)定义为状态，安全渡河条件下的状态集定义为允许状态集合，记为S,因此有：
S = {(R域战=0,3; y = 0, 1, 2, 3 x = l;y = 0, 1 x = 2;y = 0, 1,2} (1)
记第&次渡河时，船上的乘坐商人数为随从数为％,将二维向量d k=(u ky v k)定义为第斤次渡河方案的决策，渡河方案的允许决策集合记为D
根据题意可知，船的容量是一定的，因此，得
D = {(M,V)| w+v = 1,2}
(2)
因为当k = 2n-\时，船由/岸驶向3岸：当"2“时，船由3岸驶向/岸。
所以状态：随着/的变化的规律为：
九=£+(-1)乜
(3)
这样，制定安全渡河方案归结为如下的多步决策问题：
即：求决策£€»伙=1,2,..・,加)，使状态S“S。
按照转移规律，由初始
状态S,=(3,3)经有限刃步后到达状态S m+1=(0,0)o
4.2模型的求解
根据(1) (2) (3)式，通过利用matlab编写一段程序来求解多步决策问题是可行的，但是当商人和随从数都不多的情况下还可以用平而坐标法解此模型更为方便。
接下来，我们先用平面坐标法求解此模型，最后再使用计算机仿真，对求解的结果进行验证，并给予推广。
4. 2. 1平而坐标法
设x为商人数，y为随从数。
在my平面坐标系上作分析。
先标出此案的安全状态点。
起始点一一(3,3)：最终点一•(0,0)
即模型求解就是探求从状态(3,3)经过有限次转移之后到达状态(0,0)的方案。
设Q为第斤次状态的转移，当k = 2n-\时，船由/岸驶向B岸，此时只能减少，不能增加。
故坐标点只能向左下方移动。
由于受船的容量的限制，x + y至多减少2,即至多只能向左下方移动两格。
如下图所示：。