数学建模题型

1、问题描述（问题与假设）随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?假设：1. 过河途中不会出现不可抗力的自然因素。

2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。

3.船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。

4. 随从会听从商人的调度。

2、问题模型与求解（公式、图、表、算法或代码等）模型的建立：x(k)~第k 次渡河前此岸的商人数 x(k),y(k)=0,1,2,3,4;y(k)~第k 次渡河前此岸的随从数 k=1,2,…..s(k)=[ x(k), y(k)]~过程的状态 S~允许状态集合u(k)~第k 次渡船上的商人数 u(k), v(k)=0,1,2;v(k)~ 第k 次渡船上的随从数 k=1,2…..d(k)=( u(k), v(k))~过程的决策 D~允许决策集合 D={u,v u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律求d(k)∈D(k=1,2,….n),使s(k) ∈S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0）数学模型：模型分析：由（2）（3）（5）可得Yk Xk -≥-44化简得 Yk k ≤X关键代码：clearclcn=3;m=3;h=2;m0=0;n0=0;ticLS=0;LD=0;for i=0:nfor j=0:mif i>=j&n-i>=m-j|i==n|i==0LS=LS+1;S(LS,:)=[i j];endif i+j>0&i+j<=h&(i>=j|i==0)LD=LD+1;D(LD,:)=[i j];endendendN=15;Q1=inf*ones(2*N,2*N);Q2=inf*ones(2*N,2*N);t=1;le=1;q=[m n];f0=0;while f0~=1&t<Nk=1;u=[];v=[];for i0=1:les0=q(i0,:);if f0==1breakendfor i=1:LDs1=s0+(-1)^t*D(i,:);if s1==[m0,n0]u=[m0,n0];v=D(i,:);f0=1;breakendfor j=2:LS-1if s1==S(j,:)if k==1u(k,:)=s1;v(k,:)=D(i,:);k=k+1;breakendif k>1f1=0;for ii=1:k-1if s1==u(ii,:)f1=1;breakendendendif f1==0u(k,:)=s1;v(k,:)=D(i,:);k=k+1;breakendendendendendq=u;le=size(q,1);Q1(1:le,t*2-1:t*2)=q;Q2(1:le,t*2-1:t*2)=v;t=t+1;endtr=t-1;saa1=u;LSF=zeros(tr,2);ANS=zeros(tr,2);for k=tr:-1:2k1=k-1;f0=0;XMC=Q2(:,k*2-1:k*2);WIN=Q1(:,k1*2-1:k1*2);for i=1:2*Nsaa2=saa1-(-1)^k*XMC(i,:);for j=1:2*Nif saa2==WIN(j,:)saa1=saa2;sbb1=XMC(i,:);f0=1;breakendendif f0==1breakendendLSF(k1,:)=saa1;ANS(k,:)=sbb1;endLSF(tr,:)=[m0 n0];ANS(1,:)=[m,n]-LSF(1,:);disp '初始态：'X0=[m,n]disp '状态：'LSFdisp '决策:'ANS3、结果分析与拓展（思考）通过合理的假设，巧妙的利用三维向量表示了商人、随从、船的状态，定义此岸允许状态集合、彼岸允许状态集合及决策变量集合，把此岸允许状态集合和彼岸允许状态集合的元素视为节点，这样把抽象的多步骤决策问题转化为图论的求从起始节点到最终节点的所有路径的问题简化了模型。

通过数学分析的方法解决实用问题，经过问题的提出、假设、分析和模型的建立、求解、检验等过程，解决了商人过河问题。

通过课后延伸扩展，也可以解决多个商人过河问题。

作业6问题：中国人口总数x的1995--2015每隔5年的数据如下（亿），用Logistic人口模型预测2020中国人口数量。

x=[12.11 12.67 13.08 13.41 13.71]解析：Logistic模型的基本形式：（1）应用微分方程的分离变量法，可得（1）的解析解为：(2)为了计算（2）中的r、N，选择三年的人口数据，期中，由（3）（4）得所以（5）由（3）（5）得(6)由于数据取自1995~2015年，为此选择1995、2005、2015间隔相等的三个年份，，代入式（6）得将代入式（2）得(7)式（7）为我国人口数量的预测公式。

把2020年份数据代入式（7），得预测值为13.76.作业5传染病模型传染病SIR 模型中假设传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者。

进一步对SIR 模型修改：如果治愈后的病人中有一部分（比率为α，01α<<）仍为健康的易感染者，一部分（比率为1-α）具有免疫力，不再感染，退出系统，建立模型。

假设 （1）总人数N 不变，易感染者和有免疫性的比例分别为：i(t)和s(t)；（2）每个病人每天有效接触人数为λ，且使具有免疫性的人致病 λ——日接触率 建模 t t Ni t s t i t t i ∆=-∆+)()]([)()([N λ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()1(1)()(d i i i i dt di t i t s si dt i λλ模型模型Logistics i i(0)i)-i(1dt di Logistics 0⇒⎪⎩⎪⎨⎧==λt=t m ,di/dt 最大 t →1⇒∞t m ：新增易感染者高潮时刻λ（日接触率）↓→t m ↑作业4原油采购与加工问题问题分析：问题中关系到公司原油A和B的混合加工，如何进行原油加工和采购，目标是实现公司利润最大化，两种汽油的售价分别按照A的最低比比例进行定价，这里关系到了原油A和B 的分配量和价格的问题。

问题的重点要分析原油A的采购价和购买量的关系是服从分段函数的关系，可以通过线性规划处理问题。

问题假设：由于问题只考虑到原油价的价格及购买量的问题，所以我们可以对原油B不给于考虑，而对于原油A的假设有以下几种情况：（1）混合加工的原油A在汽油甲乙里所占的比例都大于50%、60%，甚至可以达到100%；（2）排除一切加工运输原油A之中造成的原油损耗问题；（3）1000t的原油A之中造成的原油损耗问题；（4）原油A的市场价格应保持；（5）购买原油A的超过量包括购买原油A的等于量；定义与符号说明：X 原油A的购买量C(x) 采购的支出X11 原油A用于生产甲的数量X12 原油A用于生产乙的数量X21 原油B用于生产甲的数量X22 原油B用于生产乙的数量Max z 目标函数（利润）模型的建立：设原油A的购买量为x吨，根据题意，采购价C(x)可列为如下的分段线性函数（单位：千元/吨）钢管切割问题某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19米。

现在有一客货需要50根4m ，20根6m ，15根8m 的钢管，应该如何下料最节省？零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同三种切割模式不能超过3种。

此外，该客户需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5m 的钢管，应该如何下料。

答：钢管下料的合理切割模式：4m 钢管根数 6m 钢管根数 8m 钢管根数 余料 模式14 0 0 3 模式23 1 0 1 模式32 0 13 模式41 2 0 3 模式51 1 1 1 模式60 3 0 1 模式7 0 0 2 3假设xi 表示第i 种模式切割的原料钢管的根数。

则一切割原料钢管的总根数最少为目标，则有7654321x x MinZ x x x x x ++++++=结束条件为（以下是函数组）：⎪⎩⎪⎨⎧≥++++≥++≥+++50234152202543217536542x x x x x x x x x x x x1、问题描述（问题与假设）两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是100~200mg ，儿童是3~5 mg.过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高，100μg/ml 浓度会出现严重中毒,200μg/ml 浓度可致命.医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100~200μg/ml ；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案.假设：胃肠道中药量x(t), 血液系统中药量y(t)，时间t 以孩子误服药的时刻为起点（t=0）.1）. 胃肠道中药物向血液的转移率与x(t) 成正比，比例系数λ(>0)，总剂量1100 mg 药物在t=0瞬间进入胃肠道.2）. 血液系统中药物的排除率与y(t) 成正比，比例系数μ(>0)，t=0时血液中无药物.3）. 氨茶碱被吸收的半衰期为5 h ，排除的半衰期为6 h.4）. 孩子的血液总量为2000 ml.解：（1）临床施救的办法，口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到原来（人体自身）的2倍。

（2）体外血液透析，药物排除率可增加到原来的6倍，但是安全性不能得到充分保证。

2、问题模型与求解（公式、图、表、算法或代码等）解： 模型建立：口服药物 肠胃道药量x （t ）转移率正比于x 血液系统的药量 排除率正比于y 体外X （t ）下降的速度与x （t ）本身成正比（比例系数y ），总剂量1100mg 药物在t=0瞬间进入肠胃道，所以x （t ）满足微分方程：x dt λ-=/dx ，x （0）=1100 （1）药物从胃肠道向血液系统的转移相当于血液系统对药物的吸收，y （t ）由于吸收作用而增长的速度是λx ，由于排除而减少的速度与y （t ）本身成正比（比例系数μ），t=0时血液中无药物，所以y （t ）满足微分方程:0)0(,/d =-=y y x dt y υλ （2）模型求解：由上面公式（1）得 t e t x λ-=^1100)(药物吸收的半衰期为5小时，即x(5)=x(0)/ 22/11005^1100=-λe )/1(1386.05/2ln h ==）（λ （3） 由公式（2）（3）得t e y y x dt dy λλμμλ-+-=-=^1100/)^^()]/(1100[)(t e t e t y λμμλλ---⨯-=药物排除的半衰期为6小时，当只考虑血液对药物的排除时，有2/)6(,)()(^)(/dy a y a y t ae t y y dt =+=--=→-=τττμμ)/1(1155.06/2ln h ==）（μ 3、结果分析与拓展（思考）利用MATLAB 软件，对于y(t)=6a(e^-0.1155t - e^-0.1386t) ，x(t)=ae^-0.1386t 进行作图:Matlab 代码t=[0:0.1:24];x=497.66*exp(-0.1386*t);plot(t,x)hold ony=6*497.66*(exp(-0.1155*t)-exp(-0.1386*t));plot(t,y)由图分析可知，孩子大概在7-8小时之间达到200mg ，即出现中毒现象。