数学在地图学中的应用
数学与地理教学的有效的深度融合
数学与地理教学的有效的深度融合概述：本文档旨在探讨数学与地理教学的深度融合方法，以提高学生的研究效果和兴趣。
数学和地理作为两门重要的学科，通过深度融合可以促进学生跨学科的研究和综合能力的培养。
下面将介绍一些有效的深度融合策略。
1. 实地考察与数据分析：将数学知识融入地理实地考察中，学生可以通过实地观察和收集数据来探索地理现象。
在归纳整理数据的过程中，他们可以运用数学知识进行数据分析和统计处理，从而深入理解地理背后的数学原理。
2. 地图与坐标系：数学中的坐标系概念可以与地理中的地图相结合。
学生可以利用地图上的经纬度信息进行数学上的坐标定位，并通过数学计算来解决地理问题。
这种融合不仅可以增强学生对地图的理解，还能提高他们的数学几何能力。
3. 空间几何与地理图形：数学中的空间几何概念可以与地理中的地形、地貌等进行联系。
学生可以通过研究地理图形的特征和性质，运用数学方法对其进行几何分析和测量。
通过这样的深度融合，学生可以更好地理解地理形状与数学几何的关系。
4. 数据可视化与地理统计：数学中的数据可视化方法可以与地理中的统计数据相结合。
学生可以将地理数据通过图表、图像等形式进行可视化展示，并使用数学的统计方法对数据进行分析。
这样的深度融合既能提升学生的数据分析能力，又能加深他们对地理数据的理解。
结论：数学与地理教学的深度融合可以激发学生的研究兴趣，提高研究效果。
通过实地考察、地图与坐标系、空间几何与地理图形、数据可视化与地理统计等方法的运用，可以促进学生在数学和地理两个学科中的跨学科研究和能力培养。
相关教师应积极探索和实践这些方法，以推动数学与地理教育的深度融合。
参考资料：[1] 张小兵. 数学与地理教学的深度融合探讨[J]. 高中地理, 2018(08): 82-83.[2] 吴红艳. 中学数学与地理教学有效深度融合的研究与实践[D]. 山西广播电视大学, 2018.。
初中数学如何应用数学知识解决实际生活中的几何问题(二)
初中数学如何应用数学知识解决实际生活中的几何问题（二）几何作为数学的一个分支，广泛应用于解决日常生活中的各种实际问题。
在初中数学学习中，我们学习了许多几何知识，如平面图形的性质、平行线与垂直线的关系等。
那么，如何利用所学的数学知识解决实际生活中的几何问题呢？本文将以几个具体实例为例，介绍初中数学如何应用数学知识解决实际生活中的几何问题。
一、房屋装修中的几何问题房屋装修是我们生活中经常遇到的一个问题。
在装修过程中，我们需要考虑很多几何问题，比如选择合适的地板砖规格，铺设墙纸的长度等。
在选择地板砖规格时，我们需要考虑到房间的面积和比例关系，选择与房间尺寸匹配的砖规格，以充分利用砖材料，减少浪费。
在铺设墙纸时，我们需要测量墙面的长度和高度，并选择合适长度的墙纸进行裁剪，以保证整体效果美观。
此外，在选择家具、摆放物品时，也需要考虑到几何关系，避免造成空间浪费或者不协调的视觉效果。
二、地图导航中的几何问题如今，智能手机和导航软件的发展，给人们的出行带来了便利。
在使用导航软件进行导航时，我们经常需要查看地图，规划最短路径等。
这就涉及到了几何问题。
比如，在规划最短路径时，导航软件会根据地图上两地之间的距离和道路状况等因素，通过数学计算得出最优路径。
此外，导航软件还可以提供地图缩放和旋转等功能，使我们更加清晰地了解目的地和周围环境的空间关系，方便我们进行导航。
三、建筑设计中的几何问题在建筑设计中，几何问题是至关重要的。
建筑师需要根据建筑物的功能和需求，设计出符合规范和美观的建筑结构。
在设计建筑的过程中，建筑师需要考虑到建筑物的平面布局和立面形状，以及建筑物与周围环境的空间关系等。
所学的几何知识能够帮助建筑师准确地测量建筑物的尺寸和角度，并通过计算和模拟等方式优化设计方案，以达到设计要求和效果。
四、环境美化中的几何问题在城市环境美化方面，几何问题也起着重要的作用。
比如，园林景观设计过程中，景观设计师需要根据场地的形状和面积，合理布局花坛、喷泉等景观元素，以形成美观的整体效果。
数学与地理知识的结合
数学与地理知识的结合在我们的日常生活中，数学和地理是两门看似独立的学科。
然而，当我们将它们结合在一起时，便能够发现它们之间存在着紧密的联系和应用。
本文将探讨数学与地理知识的结合，以及它们在实际生活中的应用。
一、地图和尺度地理学是研究地球上的各种地理现象和空间分布的学科，而地图则是地理学最重要的工具之一。
在绘制地图时，数学的概念和技巧是必不可少的。
首先，地图使用比例尺来表示地球上的实际距离与地图上的距离的比例关系。
比例尺可以是线性的，也可以是文字说明的。
通过数学计算，我们可以确定地图上的一点与地球上的实际位置之间的准确关系。
其次，地图的投影也需要运用数学的原理。
由于地球是一个球体，将其展开成二维平面会引起形变。
因此，地图投影是将地球上的经纬度坐标转化为平面坐标的方法，而这背后涉及到复杂的数学计算和转换。
二、地理数据的分析与应用地理信息系统（Geographic Information System，简称GIS）是地理学与数学相融合的典型示例。
GIS基于空间和属性数据，通过数学模型和算法对地理现象进行分析和建模。
它可以帮助我们更好地理解和解释地球上的现象和问题。
数学在GIS中扮演着重要的角色，它通过空间统计和空间分析来处理和解释地理数据。
例如，数学模型可以用来评估地区的人口密度、分析城市规划的合理性、预测地震的风险等。
地理数据的可视化也离不开数学的帮助，比如通过数学算法将原始数据转化为图像，使得人们可以更直观地理解地理现象。
三、地理问题的数学求解许多地理问题可以使用数学方法来求解。
例如，地球上两个地点之间的最短路径问题可以通过最短路径算法来解决。
这种算法使用了图论和数学优化的原理，可以帮助我们在地球上找到最短的路径，并应用于导航系统和物流规划中。
另一个例子是地球的形状和大小的测量。
通过利用三角学的原理和卫星测量数据，我们可以计算出地球的周长、面积和体积等参数。
这对于地理学家和测量学家来说是非常重要的信息，可以帮助我们更好地理解地球的结构和属性。
地图学的数学基础3
用于编制中、小比例尺较大地区的地图 （如亚洲与欧洲地图）。
多圆锥投影
1.纬线为同轴圆弧 其圆心均位于中 央经线上； 2.中央经线为直线， 3.其余经线均为对 称于中央经线的 曲线。
多圆锥投影示意图
等差分纬线多圆锥投影
1.经线对称于中央直经线，离中央 经线愈远，经线间隔成等差比例递减； 2.纬线投影为对称于赤道的同轴圆 弧，其圆心位于中经上； 3.极点表示为圆。其长度为赤道投 影长度的二分之一。 它是任意投影。我国的世界地图 多采用该投影。 我国位于地图中接近中央的位置， 形状比较正确。
① 正轴等角圆பைடு நூலகம்投影
墨卡托投影。
墨卡托投影应用：
1.在航海业上得到广泛的应用。 2. 还用于编制赤道附近等国家和地区的地 图， 3.作世界时区图和卫星轨迹图。
用墨卡托投影表示卫星轨迹
3）圆锥投影： 以圆锥面作为投影 面，最后将圆锥面展为 平面而成。
相 割
相 切 正轴 斜轴 横轴
正轴圆锥投影： 纬线为同心圆弧，经线为同心圆弧的 半径，经线间的夹角与相应的经差成正 比。
格陵兰岛
南美洲
墨卡托投影
等角航线：是地球表面上与经线相交 成相同角度的曲线。在地球表面上除经线 和纬线以外的等角航线，都是以极点为渐 近点的螺旋曲线。 等角航线在图上表现为直线。这一特 性对航海具有很重要的意义。
大圆航线：地球面上两点间最短距离是 通过两点间的大圆弧，也称为大圆航线。
好望角——墨尔本
古德分瓣投影
其 它 投 影 简 介
摩尔威特—古德分瓣投影
其它投影简介
圆锥、伪圆锥组合分瓣投影
利用圆锥和伪圆锥投 影在某一条纬线处进行组 合。 该投影的经纬线网和 变形，与所采用的各个组 合投影相同。 为了保持大陆完整， 而将南半球海洋裂开。 它应用于小比例尺大 地区的地图。
数学在地理学中的应用
数学在地理学中的应用地理学是研究地球表面的自然地理和人文地理现象的学科，而数学作为一门科学，可以在地理学中发挥重要的作用。
数学的工具和方法可以用于地理数据的处理、地理模型的建立以及地理问题的解决。
本文将探讨数学在地理学中的应用。
一、地图制作与测量地图是地理学的基础工具，而数学是地图制作和测量的关键。
地图制作需要进行测量和坐标定位，这就需要运用到几何学中的三角测量和投影法。
三角测量可以通过测量一些已知长度的边和角来计算出未知长度和距离，从而实现地图的比例缩放。
而投影法则是将地球表面的三维曲面投影到平面上，以便在地图上呈现。
二、地理数据分析地理学研究中经常使用大量的数据，如地形图、气象数据、人口统计数据等。
数学提供了许多数据处理和分析的方法，例如统计学和概率论等。
通过数据的收集和整理，可以帮助地理学家分析地球表面的变化趋势、人口分布情况等现象。
同时，数学还可以帮助地理学家建立合适的数学模型来预测未来的地理变化和趋势。
三、地理模型建立地理学中需要建立一些地理模型来解释和模拟地球表面的现象。
数学提供了许多模型建立和求解的方法，如微分方程、方程组等。
这些数学工具可以帮助地理学家建立各种地理模型，如气候模型、径流模型、生态系统模型等，以研究地理现象的规律。
四、地理问题解决数学可以帮助解决地理学中的一些实际问题。
例如，在城市规划中，数学可以帮助优化道路网络、交通流量分析、城市规划布局等。
在环境保护中，数学可以帮助计算和预测污染物扩散、水资源管理等。
数学还可以应用于地质学中的地震预测和地质灾害评估等方面。
综上所述，数学在地理学中具有不可忽视的作用。
它为地理学提供了强大的工具和方法，可以帮助地理学家更好地理解和解释地球表面的现象、模拟和预测地理变化，并解决一些实际的地理问题。
数学与地理学的结合不仅推动了地理学的发展，也为我们对地球的认识提供了更加精确和全面的视角。
地图中的数学基础理论
三、横轴方位投影
平面与球面相切，其切点位于赤道上的任意点。特点：通 过投影中心的中央经线和赤道投影为直线，其他经纬线都 是对称于中央经线和赤道的曲线。
等距方位投影属于任意投影，它既不等积也不等角。投影后经 线保持正长，经线上纬距保持相等。
纬线投影后为同心圆，经线投影为交于纬线圆心的直线束，经 线投影后保持正长，所以投影后的纬线间距相等。经纬线投影 后正交，经纬线方向为主方向。
角度、面积等变形线为以投影中心为圆线的同心圆。 球面上的微圆投影为椭圆，且误差椭圆的
五、 横轴、斜轴方位投影变形分布规律
投影面在p点与地球面相切，过新极点p可做许多大图， 命名为垂直圈，再作垂直于垂直圈的各圈，命名为等高圈 。这样垂直圈相当于地理坐标系的经线圈，等高圈相当于 纬线圈，等高圈和垂直圈投影后的形式和变形分布规律和 正轴方位投影时，情况完全一致。
正轴、横轴、斜轴方位投影的误差分布规律是一致的。等 变形线都是以投影中心为圆心的同心圆，不同的是在横轴 和斜轴方位投影中，主方向和等高圈垂直圈一致，而经纬 线方向不是主方向。
的经差，沿经线方向上的长度比大于1，赤道上各点沿经线方 向上的长度变形比原来扩大1倍。 投影的误差分布规律：由投影中心向外逐渐增大。 经纬线投影后，仍保持正交，所以经纬线方向就是主方向，又 因为m = n，即主方向长度比相等， 无角度变形，但面积变形较大，边缘面积变形是中心的四倍。
2.正轴等距方位投影
四、斜轴方位投影
斜轴等距方位投影：中央经线上 的纬线间隔相等。
斜轴等积方位投影：中央经线上 自投影中心向上、向下纬线间隔 是逐渐缩小的。
数学在地理科学中的应用
数学在地理科学中的应用地理科学是一门综合性科学，它研究地球表面的各种自然和人文现象。
而数学作为一门基础学科，不仅在物理和工程等学科中有广泛的应用，同时也在地理科学中发挥着重要的作用。
本文将探讨数学在地理科学中的应用，并着重介绍其在地图制作、地形分析和气候模拟等方面的运用。
一、地图制作地图是地理科学中最基本且最直观的表达工具，它通过图形化的方式展示了地球表面的空间分布。
而数学正是地图制作中不可或缺的工具之一。
首先，地图的投影方式是地图制作中的关键问题。
地球是一个球体，而我们常见的地图是扁平的，因此需要将球体表面的信息转换为平面上的投影。
数学家们通过各种数学模型和公式，如墨卡托投影、等面积投影等，将地球表面的地理信息进行投影，得到各种类型的地图。
其次，地图的比例尺是由数学计算确定的。
比例尺是表示地图上距离与实际距离之间的比例关系。
通过数学计算，制图师可以根据地图的尺寸、地图上的距离以及实际距离之间的关系，确定合适的比例尺，使得地图的信息得以准确表达。
此外，地图上的符号和图例也需要进行数学运算。
地图上的符号表示地理现象，如河流、湖泊、山脉等，通过数学计算和绘制，可以将这些地理现象以符号的形式准确地展现出来。
而图例则是地图的说明，它通过数学的排列和组合，将地图上各种符号和颜色与对应的地理现象进行关联。
二、地形分析地形分析是地理科学中重要的研究内容之一，它研究地球表面的高程、地势和地物特征等。
数学在地形分析中的应用主要体现在地形数据的获取和处理上。
首先，借助数学的方法，我们可以利用卫星遥感、激光雷达等技术获取准确的高程数据。
高程数据反映了地球表面的海拔高度，通过数学建模和数据处理，可以将地球表面的高程信息以数字化的方式呈现，为地形分析提供基础数据。
其次，数学模型和算法在地形分析中发挥着重要作用。
比如，地质学家通过建立数学模型，可以模拟出地球内部的地壳运动和地震活动；气象学家利用数学模型，可以预测气候变化和天气状况；地形学家则通过数学算法，可以分析地形起伏、地势倾斜等地理现象。
数学与地理学
数学与地理学数学和地理学是两门截然不同的学科，分别关注于不同的领域，然而它们之间存在着一些有趣的交叉点。
在本文中，我们将探讨数学和地理学之间的联系，以及它们如何相互影响。
一、地理学中的数学应用1.测量和地图绘制在地理学中，数学的应用最为明显和直接的领域是测量和地图绘制。
地球是一个复杂的三维物体，因此需要使用数学中的几何学原理来测量和绘制地图。
地理学家使用三角法和其他测量方法来确定地球上不同地点的位置和距离。
2.地球表面的面积和体积计算地理学研究地球表面的面积和体积的计算，这也需要数学的帮助。
通过数学公式和计算，地理学家可以确定不同地理区域的面积，例如陆地的面积、海洋的面积以及各种形状和大小的地理要素的体积。
3.地理模型和规律的建立地理学中的许多模型和规律建立在数学理论的基础上。
例如，物种分布模型使用概率和统计学概念来预测生物在地球上的分布。
气候模型使用微积分和差分方程来研究气候变化的趋势。
二、数学中的地理应用1.地图投影地图投影是一种将三维地球表面映射到二维平面上的方法。
这涉及到大量的几何学和代数学概念，以及坐标系统和变换。
数学家使用不同的数学模型和公式来实现不同类型的地图投影，以满足不同的需求和目标。
2.地理数据分析数学在地理数据分析中起着重要的作用。
地理数据包含了丰富的信息，例如人口统计、地形高度、气候数据等等。
通过数学统计的方法，我们可以对这些数据进行分析和解释，从而得出地理特征和趋势的结论。
3.地貌和地质过程的建模地理学中研究地貌和地质过程的模型建立也离不开数学的帮助。
数学中的微分方程和数值模拟方法可以用来描述地球表面的演化和地质过程的发展，例如地壳运动、地震活动、气候变化等等。
综上所述，数学和地理学虽然看似截然不同的学科，但在应用和理论上存在着紧密的联系。
地理学需要数学的帮助来进行数据分析、地图绘制和模型建立；而数学可以借助地理学中的实际问题来发展新的理论和方法。
这种交叉学科的合作有助于我们更好地理解和解释地球上的各种现象和问题。
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数学在地图学中的应用钟业勋1,2 胡宝清 1 乔俊军3（1，广西师范学，1a 北部湾环境演变与资源利用教育部重点实验室，1b 资源与环境科学学院，南宁，530001；2，广西测绘局，南宁，530023；3，武汉大学测绘学院，武汉，430079）摘要：地图表示对象是地理空间中的自然现象和社会经济现象，这些表示对象间的数量关系和空间形式的客观在，使以数量关系和空间形式为研究对象的数学，与地图学关系密切。
本文论述了拓扑学和函数论、几何学、代数学、微积分、图论、集合论、概率论与数理统计、分形几何、模糊数学等在地图学中的应用，并对应用了多种数学工具和数学方法的数理地图学作了简要介绍。
数学在地图学中的广泛应用说明，数学在促进地图学的发展中发挥着重要作用。
关键词：数学；拓扑学；代数学；微积分；集合论；地图学；应用数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的一门学科[1]。
地图表示和反映的对象是地理空间中的自然现象和社会经济现象，也即是地球上大气圈、水圈、生物圈、岩石圈和土壤圈交互作用的区域内的事物[2]。
空间地学实体间的数量关系和空间形式的客观存在，决定着数学与地图学之间存在着十分密切的关系。
本文根据数学在地图学中的应用，分别对拓扑学和函数论、几何学、微积分等进行论述。
1 拓扑学和函数论地图投影是地图的数学基础。
地图投影也就是建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐标表示）和地球表面上的点（用纬度ϕ经度λ表示）之间的函数关系，即⎭⎬⎫==),(),(21λϕλϕf y f x （1） 不同的1f ，2f ，决定着不同的具体的地图投影[3]。
地图投影变换，定义为两个二维场间的拓扑变换。
若视地球表面为一剪开的具有曲线坐标ϕ，λ的二维场，那么，地图投影及其逆变换就是投影变换的一个特例[4]。
所谓拓扑变换，是一种既不撕破也不捏合，但允许将图伸缩和弯曲的变换[5]。
图1中的两幅南美洲地图，直观地表示了拓扑变换的含义。
根据拓扑学中网的数学定义，可以导出地图学中坐标网、水网、道路网等地图网络的数学定义[6]。
因变量是自变量的函数[7]。
（1）式中，x ，y 因给定的ϕ，λ值而变，x ，y 是ϕ，λ的函数。
获得x 的f 1和获得y 的f 2是两个不同的函数。
对应、映射、变换都是函数的同义词[8]。
地图符号是地图的语言。
地图符号本质上是制图物体在三重拓扑映射下的平面象。
这三重拓扑是：三维空间X 到地球椭球面S 的映射f : X →S ，椭球面S 到制图者认知结构Y 的映射g : S →项目来源：国家自然科学基金资助项目（40871250，40661005）；教育部新世纪优秀人才支持计划专项（NCET-06-0760）. 广西自然科 学基金重点项目(0832021Z).作者简介：钟业勋（1939-），男，教授，研究方向：地图学理论。
E-mail:gxzyxun@Y 以及Y 到二维平面Z 的映射q : Y →Z 。
设x 为制图区域A 内的制图物体，X ⊂∈A x ，则 S A f x f ⊂∈)()(为其椭球面上的投影，Y A gf x gf ⊂∈)()(为制图者关于x 及f (x )的知识，它以观念形态存在于制图者的认知结构Y 中。
Z A qgf x qgf ⊂∈)()(则为地图符号。
制图者根据地图专题选定x 的属性，通过主观干予保证x 与qgf (x )的一一对应性[9]图1 南美洲在两种不同投影中的形状Fig1. Form of South America in Two Different Projection2 几何学以著名的第五公设（平行公理）演绎出来的几何体系，称为欧几里得几何。
透视方位投影就是利用欧氏几何建立地图投影的传统方法。
透视方位投影，根据视点与地球球心距离的大小，又可分为正射投影（视点在无穷远）、外心投影（视点位于球面外有限距离处）、球面投影（视点在地球面上）和球心投影（视点在地球中心）。
我国学者李国藻创设的双重方位投影也属几何方法建立的投影[10]。
投影变形在地图投影中不可避免，笔者在文献［11］中对此用几何方法给出了形象的证明。
地图应用中常有面积量算。
面积量算中的几何图形计算法、方格法、平行线法、经纬网络法等量算方法，都基于几何学的基本原理[12]。
3 微积分微积分在地图学中的应用相当普遍。
建立地图投影的基本公式时，求一阶基本量（也称高斯系数）E 、F 、G 、H 是推导公式的基础，这过程要对椭球面上的微分梯形沿经线、沿纬线、沿对角线微分，一阶基本量的表达式也是关于ϕ或关于λ的偏导数。
等角条件、等积条件、等距离条件的确定，也包含一系列的微分和偏导数运算。
从赤道至纬度ϕ之间的子午线弧长S 表现为积分：⎰--=ϕοϕϕd e e a S 2/3222)sin 1()1( （2）（2）式中a 为地球椭球的长半径，e 为第一偏心率。
椭球面上由经线21,λλ，纬线21,ϕϕ围成的球面梯形面积的积分式为：⎰⎰=2121ϕϕλλλϕd M N d F （3）（3）式中的M 为子午圈曲率半径，N 为卯酉圈曲率半径。
在等积投影的计算中，需求经差1弧度的从赤道至纬度ϕ的球面梯形面积（以平方千米为单位）。
高斯－克吕格投影的x ，y 坐标公式推导过程，需要进行一系列复杂的微分和导数、偏导数运算。
我国杨启和教授通过对高斯－克吕格投影族的研究[13]，推导出高斯－克吕格投影族长度比公式为2/1221⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=l y l x r μ （4）高斯－克吕格投影族子午线收敛角公式为l y l xt g r ∂∂∂∂= （5）这两式都包含着x 、y 关于l （经差）的偏导数。
4 代数学代数学中把形如F 1(x , y , …, z ）= F 2(x , y , …, z ）的等式称为方程。
方程即含有未知数的等式。
以地球椭球长半径a 和短半径b ，以地心为坐标原点的椭球面方程为1222222=++b z a y a x（6）多圆锥投影、伪圆柱投影和圆柱投，其经线都对称于中央经线，其经线方程表现为纬度ϕ或ϕ的函数ψ的高次幂方程[14]：⎪⎭⎪⎬⎫+⋅⋅⋅+++=+⋅⋅⋅+++=----)1(2142211215231n j in j i j i io ij m j im j i j i j io ij b b b b y a a a a x ϕϕϕϕϕϕϕ （7） 若f (x ), g (x )中至少有一个是初等超越函数，则方程f (x )= g (x )称为初等超越方程（简称超越方程）。
由赤道至纬度ϕ的子午线弧长公式，即本文的（2）式，经变换后表现为（采用IUGG75椭球参数）：ϕϕϕ4sin 833.162sin 528.160380046.111133+-=Sϕϕ8sin 00003.06sin 022.0+- （8）经差1弧度，由赤道至纬度ϕ的椭球面梯形面积为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--=ϕϕϕϕs i n 1s i n 1ln sin 1sin 24)1(2222e e e e e e a F （9）等角表象函数U 公式为)245(tan )245tan(ψϕ+︒+︒=e U （10） （10）式中之)sin (sin 1ϕψe -=。
上述（8）、（9）、（10）式都属代数学中的超越方程。
笔者在文献［15］中给出了这类超越方程的反解程序（已知S 、F 或U 反解纬度ϕ）。
地图表示对象中，不乏空间曲线，空间曲线的方程形式为[16]：⎭⎬⎫==0),,(0),,(21z y x F z y x F （11）布尔代数又称逻辑代数，是阐释计算机计算原理的数学基础。
对以点为基本元素的地图图像系统，以地图符号为基本元素的地图符号系统和地图图层为基本元素的地图图层系统，笔者证明了它们都属于布尔代数系[17-19]。
笔者还论证了地图编过程实质上是通过有限的制图综合算子的布尔运算的过程[20]。
5 图论文献[21]给出了图的经典定义。
由于地图是图的集合中的子集，“地”字的限制，使它与其他图种如电路图、植物图等有本质的区别，使其具有地图的基本特性[22]。
由于地图至少要有一个点作为内容，才能成其为图。
而一个点按图的定义叫平凡图。
考虑到内图廓线存在的必然性，所以任何情况下，地图都满足标准的图的定义，这是地图存在的逻辑基础。
笔者在文献[23]中，在给出地图内容和形数学表述的基础上，给出了严密的地图数学定义。
地图符号可分为点状符号、线状符号和面状符号三大类。
点线符号构成图G ，而面状符号则是图G 的平面嵌入，即平面图G 之平面嵌入，把平面分成若干个连通的封闭区域，每个区域叫做图G 的一个面，那个无界面叫做图G 的外面。
从图论观点，又揭示了面状地图符号为点线地图符号构成的图G 的平面嵌入这一特性[24]。
图论也阐释了图形（由点线符号构成）与背景（由面状符号构成）在生成原理与视觉感受上的本质区别。
6 集合论地图所表示的地学实体，如居民地、道路网、水系、地貌等，本质上是不同性质的点的集合。
地图符号具有性质特征i ，表象特征（颜色）j ，浓淡层次t 三种基本特征。
这些基本特征，是推出黑白地图、彩色地图等地图点集模型的基础[25]。
分类是我们认识事物、处理信息的一个基本步骤。
地图符号分类体系中的每一种分类方法，都是按一定的标志将符号分成若干集合族，不同的标志，就构成不同的分类。
例如，按符号定位部分的几何性质，可分为点状、线状和面状地图符号；按符号与地图比例尺的相关性，可分为依比例符号、不依比例符号和半依比例符号[26]；按地图符号是否反映现实存在可分为模拟和虚拟地图符号，等等[27，28]。
集合论为地图内容分类提供了数学工具。
不同的地貌形态可视为一定区域内任意点i 对确定的地貌特征点P 的高差满足某一条件的点的集合。
设地貌特征点P 的邻域为A ，对于A i ∈，若D H H i =-ρ，根据条件D 的不同，可分别对斜坡、山、山脊、凹地、谷地、鞍部等给出定义[29]。
山地和平原通过海拔高程和起伏度条件限制可以统一其定义[30]。
应用集合论的邻域概念，通过地貌特征点所满足不同约束条件，可以建立地貌形态数学定义严密体系[31] 。
集合X 上的自反、反对称和传递关系称为偏序关系，用“≤”表示，具有偏序关系的集合称为偏序集[32]。
而定名量表、顺序量表、间隔量表和比率量表等地理变量量表，其本质上是满足某种条件的源数据偏序集（X ，≤）的简化，不同的简化偏序集（A ，≤）对（X ，≤）具有包含关系且具有不同的形式[33]。
7 概率论和数理统计概率论是从数量的侧面来研究随机现象的统计规律的一门学科。
地貌形态有时表现为概率论中的正态分布，但大多数表现为皮尔逊Ⅲ型分布。
皮尔线Ⅲ型曲线为英国学者皮尔逊创立，在地图制图中颇为常见。