地图学第二章地图的数学基础
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第二章 地图的数学基础
地图与测量
电 子 教 案
第 2 章 地图的数学基础
§1 地球的形状及大小 §2 坐标系与大地控制点
§3 地图投影
§4 地图比例尺 §5 地图分幅与编号
§2.1地球的形状及大小 2.1.1 地球体
浩瀚宇 宙中 : 地球是 一个表 面光滑、 蓝色美 丽的正 球体。
事实是：
地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、 赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于 梨形的椭球体。
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11
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1:5千-1：50万地形图的行、列划分和编号
×××D006011 ×××C002003 ×××E018016
001 001 002 003 001 004 002 005 006 007 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 001 001 001
电 子 教 案
第 2 章 地图的数学基础
§1 地球的形状及大小 §2 坐标系与大地控制点
§3 地图投影
§4 地图比例尺 §5 地图分幅与编号
§2.1地球的形状及大小 2.1.1 地球体
浩瀚宇 宙中 : 地球是 一个表 面光滑、 蓝色美 丽的正 球体。
事实是：
地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、 赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于 梨形的椭球体。
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1:5千-1：50万地形图的行、列划分和编号
×××D006011 ×××C002003 ×××E018016
001 001 002 003 001 004 002 005 006 007 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 001 001 001
地图学第2.2章
设想光源的远近对经纬网的影响
光源臵于球心 纬线间距自极点至赤道由内向外不断拉伸 投影后赤道在无穷远处
光源臵于无穷远 纬线间距自极点至赤道由内向外不断压缩，赤道附近趋零 纬线被赤道圈围
光源臵于球心外有限距离，光线弯曲——(等距数学函数法)
纬线间距不变
投影后赤道半径为子午面上极点至赤道的距离
光源臵于球心外有限距离，光线弯曲——(等积数学函数法) 面积不变，纬线间距自极点至赤道由内向外逐步压缩
如“图上1cm的相当于实地100米”
3.图解式
（1）直线比例尺
在一直线上截取若干相等线段作为比例尺基本 单位，最左边基本单位分成10或5 等分，通常 1cm或精度达1/10，但可估读到1/100。
பைடு நூலகம்附尺
主尺
（2）斜分比例尺:(微分比例尺)
根据相似三角形原理制成的图解比例尺。
斜分比例尺特征（图）
• 通常在一组（10条）等间距平行直线上 截取5个长的比例尺基本单位。右边4个 构成主尺，最左边基本单位错位斜分成 10等分，构成附尺。
球面经纬网投影前后差异
球面经纬网的特征： • 纬线长度不等 • 同一条纬线，经差相同 的纬线弧长相等 • 经线长度相等 • 梯形网格（经度带、纬 度带） • 经线和纬线呈直角相交 投影变形的表现： • 长度变形：地图上的 长度随不同地点和方 向而改变 • 面积变形：地图上的 面积随不同地点而改 变 • 角度变形：地图上两 条线所夹的角度不等 于球面上相应的角度
中国高程起算面是 黄海平均海水面。 1956年在青岛观象山设立了水准原点， 其他各控制点的绝对高程均是据此推 算，称为1956年黄海高程系。 1987年国家测绘局公布： 启用《1985国家高程基准》 取代《黄海平均海水面》 其比《黄海平均海水面》 上升 29毫米。
光源臵于球心 纬线间距自极点至赤道由内向外不断拉伸 投影后赤道在无穷远处
光源臵于无穷远 纬线间距自极点至赤道由内向外不断压缩，赤道附近趋零 纬线被赤道圈围
光源臵于球心外有限距离，光线弯曲——(等距数学函数法)
纬线间距不变
投影后赤道半径为子午面上极点至赤道的距离
光源臵于球心外有限距离，光线弯曲——(等积数学函数法) 面积不变，纬线间距自极点至赤道由内向外逐步压缩
如“图上1cm的相当于实地100米”
3.图解式
（1）直线比例尺
在一直线上截取若干相等线段作为比例尺基本 单位，最左边基本单位分成10或5 等分，通常 1cm或精度达1/10，但可估读到1/100。
பைடு நூலகம்附尺
主尺
（2）斜分比例尺:(微分比例尺)
根据相似三角形原理制成的图解比例尺。
斜分比例尺特征（图）
• 通常在一组（10条）等间距平行直线上 截取5个长的比例尺基本单位。右边4个 构成主尺，最左边基本单位错位斜分成 10等分，构成附尺。
球面经纬网投影前后差异
球面经纬网的特征： • 纬线长度不等 • 同一条纬线，经差相同 的纬线弧长相等 • 经线长度相等 • 梯形网格（经度带、纬 度带） • 经线和纬线呈直角相交 投影变形的表现： • 长度变形：地图上的 长度随不同地点和方 向而改变 • 面积变形：地图上的 面积随不同地点而改 变 • 角度变形：地图上两 条线所夹的角度不等 于球面上相应的角度
中国高程起算面是 黄海平均海水面。 1956年在青岛观象山设立了水准原点， 其他各控制点的绝对高程均是据此推 算，称为1956年黄海高程系。 1987年国家测绘局公布： 启用《1985国家高程基准》 取代《黄海平均海水面》 其比《黄海平均海水面》 上升 29毫米。
地图学第2章
（二）表示形式
1.数字式 2.文字式 3.图解式 4.其它
1. 数字式
• 用分数表示，分子是1，分母是100 用分数表示，分子是 ，分母是 的整数倍。 的整数倍。 例如 ：1/5000， 1/10000 ，
2.文字式 2.文字式
• 用文字来说明地图的比例尺 图上1cm的相当于实地100 1cm的相当于实地100米 如“图上1cm的相当于实地100米”
三种纬度关系： 三种纬度关系：
地心纬度
大地纬度
物体重心与地球重心的连线称为铅垂线
三种纬度关系： 三种纬度关系：
在大地测量学中， 在大地测量学中，常以天 文经纬度定义地理坐标。 文经纬度定义地理坐标。 在地图学中， 在地图学中，以大地经纬 度定义地理坐标。 度定义地理坐标。 在地理学研究及地图学的 小比例尺制图中， 小比例尺制图中，通常将椭球 体当成正球体看， 体当成正球体看，采用地心经 纬度。 纬度。
• 4、国家级基础测绘成果的转换与提供 2008年底前 完成1:5 年底前， 1:5万及以小比例尺地形图图幅坐标平 2008年底前，完成1:5万及以小比例尺地形图图幅坐标平 移量计算并提供使用。 移量计算并提供使用。 2009年底前 提供具有三套坐标系（1954年北京坐标系 年底前， 年北京坐标系、 2009年底前，提供具有三套坐标系（1954年北京坐标系、 1980西安坐标系 2000国家大地坐标系 下图廓、 西安坐标系、 国家大地坐标系） 1980西安坐标系、2000国家大地坐标系）下图廓、控制 格网等1:5万坐标参考模片电子版；计算并提供1:1 1:5万坐标参考模片电子版 1:1万地形 格网等1:5万坐标参考模片电子版；计算并提供1:1万地形 图图幅坐标平移量；开展2000国家大地坐标系下的1:5 2000国家大地坐标系下的1:5万 图图幅坐标平移量；开展2000国家大地坐标系下的1:5万 地形图编制印刷。 地形图编制印刷。 2010年底前 完成1:5 年底前， 1:5万 1:25万基础地理信息数据库坐 2010年底前，完成1:5万、1:25万基础地理信息数据库坐 标系的转换并向社会提供。 标系的转换并向社会提供。 2012年底前 完成2000国家大地坐标系下的1:5 年底前， 2000国家大地坐标系下的1:5万地形 2012年底前，完成2000国家大地坐标系下的1:5万地形 图编制印刷并提供使用。 图编制印刷并提供使用。
地图学 第2章地图的数学基础汇总
二、墨卡托投影
墨卡托投影中，面积变形最大，在纬度60度地区，经纬线
比都扩大了2倍，面积比P=m*n=2*2=4，扩大了4倍，愈
接近两极，经纬线扩大的越多，在φ=80度时，经纬线都 扩大了近6倍，面积比扩大了33倍，所以墨卡托投影在80
度以上高纬通常不绘。
该投影被广泛应用于航海和航空方面，因为等角航线（或 称斜航线），在此投影中表现为直线，等角航线是地球表 面上与经线相交的相同角度的曲线，或者说地球上两点间 的一条等方位线，船只要按等角航线航行，不用改变方位 角就能从起点到达终点。
三、横轴方位投影
平面与球面相切，其切点位于赤道上的任意点。特点：通 过投影中心的中央经线和赤道投影为直线，其他经纬线都 是对称于中央经线和赤道的曲线。
三、横轴方位投影
横轴等距方位投影：中央经线上
从中心向南北，纬线间隔相等； 赤道上，自投影中心向东西， 经线间隔逐渐扩大。
横轴等积方位投影：中央经线上
切圆锥投影，视点在球心，纬线投影到圆锥面上是互相平行的 圆，经线投影为相交于圆锥顶点的一束直线，将圆锥沿一条母 线剪开展为平面，则呈扇形，顶角小于360度，纬线不再是圆， 而是以圆锥顶点为圆心的同心圆弧，经线为由顶点向外放射的 直线束，经线间的夹角与相应经差成正比但比经差小。 圆锥面与球面相切的一条纬线投影后是不变形的线，叫标准纬 线，通常位于制图区域中间。切线向南北，变形渐增。
等变形线都是以投影中心为圆 心的同心圆。 包括等角、等积、 等距三种变形性质，主要用于 制作两极地区图。
1.正轴等角方位投影
投影条件：视点位于球面上，投影面切于极点。 纬线投影为以极点为圆心的同心圆，纬线方向上的长度比大于 1。赤道上的长度变形比原来扩大1倍。 经线投影为以极点为圆心的放射性直线束，经线夹角等于相应 的经差，沿经线方向上的长度比大于1，赤道上各点沿经线方 向上的长度变形比原来扩大1倍。
第二章 地图的数学基础(2)
地图投影的变形相关概念
主比例尺和局部比例尺 主方向 变形椭圆 面积变形 角度变形 长度变形 等变形线
主比例尺和局部比例尺
平常地图上注记的比例尺，称之为主比例尺，它是运用地
图投影方法绘制经纬线网时，首先把地球椭球体按规定比 例尺缩小，如制1：100万地图，首先将地球缩小100万倍， 而后将其投影到平面上，那么1：100万就是地图的主比例 尺。由于投影后有变形，所以主比例尺仅能保留在投影后 没有变形的点或线上，而其他地方不是比主比例尺大，就 是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例 尺。
等积投影的条件是： Vp=p―１＝０ p=1 因为 p=ab 所以a=1/b或b=1/a 由于这类投影可以保持面积没有变形，故有利于在图上 进行面积对比。一般用于绘制对面积精度要求较高的自然地 图和经济地图。
3.任意投影
任意投影是既不等 角也不等积的投影。这种 投影的特点是面积变形小 于等角投影，角度变形小 于等积投影。 在任意投影中，有一种 特殊的投影，叫做等距投 影，其条件是，m=1。即误 差椭圆上的一个半径和球 面上相应微小圆半径相等。
变形椭圆
在地球球面上取一微小圆，它在平面上的投影除在接 触点位置外，一般情况下为椭圆， 下面我们用数学 方法验证一下。
变形椭圆
设o为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度（为1）， M(x,y)是微小圆周上一点，圆心曲线方程为 x2+y2=1 o’为o的投影，以主方向作为坐标轴，M‘（x’,y’）是M（x,y）的 投影，令主方向长度比为a和b，则: x’/x= a, y ’/y= b 则:x =x’/a, y =y ’/b (x,y)为圆上一点，将其代如圆的方程，得 x’2/a2+y’2/b2=1 这是一个椭圆方 程，这表明该微小 圆投影后为长半径 为a短半径为b的椭 圆，这种椭圆可以 用来表示投影后的 变形，故叫做变形 椭圆。
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对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准面与椭球 体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个 地球椭球体 —— 参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。
通过数学方法将地球 椭球体摆到与大地水准面 最贴近的位置上，并求出 两者各点间的偏差，从数 学上给出对地球形状的三 级逼近。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
2.2 中国的大地坐标系统
1.中国的大地坐标系 1980年以前：参见电子教案本章第十三页； 1980年选用1975年国际大地测量协会推荐的参考 椭球： ICA-75椭球参数 a = 6 378 140m b = 6 356 755m f = 1/298.257
陕西省泾阳县永乐镇 北洪流村为 “1980 西安坐标系” 大地 坐标的起算点——大 地原点。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
§2 地球坐标系与大地定位
地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学 研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就 是球面坐标系统的建立。
2.1 地理坐标
—— 用经纬度表示地面点位的球面坐标。
① 天文经纬度 ② 大地经纬度 ③ 地心经纬度
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
2.1 地理坐标 ① 天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位
置，用天文经度和天文纬度表示。
天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶 子午面间的两面角。
在地球上定义为本初子午面与观测点之间 的两面角。 天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面 间的夹角。
椭球体 三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f
WGS [world geodetic system] 84 ellipsoid:
地图学课件第二章地图的数学基础
等距离投影是指投影前后，地图上的线段 长度保持不变的投影方式。
等方位投影
任意投影
等方位投影是指投影前后，地图上的方向 保持不变的投影方式。
任意投影是指根据实际需要，选择不同的 投影方式进行投影的过程，可以满足各种 不同的需求和应用场景。
02
常用地图投影
方位投影
总结词
方位投影是一种将地球表面投影到平 面上的方法，其特点是投影后各方向 保持相对方位不变。
多面投影
总结词
多面投影是一种将地球表面分割成多个部分，然后将每个部分分别投影到平面上 的方法。这种投影的特点是能够较好地保留地理特征的形状和面积。
详细描述
多面投影常用于制作大比例尺地图，尤其适用于制作特定地区的地图，如国家或 地区地图。由于多面投影可以针对特定区域进行优化，因此它能够更好地保留地 理特征的形状和面积，但制作过程相对复杂。
数字地图的坐标系
地理坐标系
以经纬度为基准，用于表示地球表面任意点的位置。
投影坐标系
将地球表面投影到平面上，形成二维坐标系，用于地图制作和地理信息系统。
数字地图的精度与比例尺
精度
地图上地理要素的详细程度和准确度， 与地图的制作技术和测量技术有关。
VS
比例尺
地图上的长度与实际地物长度之间的比例 关系，用于表示地图的缩放程度。
详细描述
方位投影通常用于制作小比例尺地图 ，因为它能够保持地理特征的相对方 向和距离。然而，方位投影在投影过 程中可能会产生较大的面积变形。
圆柱投影
总结词
圆柱投影是将地球表面投影到圆柱体表面，然后将圆柱体展 开成平面。这种投影的特点是投影后经度线保持等距离，而 纬度线则逐渐缩短。
详细描述
圆柱投影广泛应用于世界地图的制作，因为它在保持经度线 等距的同时，相对较好地保留了纬度方向的形状和面积。然 而，在靠近极点的区域，纬度线会变得非常密集，导致地图 扭曲。
02_地图数学基础
26
三、地图投影的变形
（五）面积比与面积变形
（2）面积变形
就是(dF’-dF)与dF之比，以VP表示面积变形， dF dF dF 则： VP 1 P 1 dF dF 面积变形表明了面积变形的程度，是衡量面积 变形的一个相对指标。它是一个>0,＝0,<0的 数，通常用百分比表示，如VP=-2%，即表示
(1)
等角投影 等积投影
地 图 投 影
(2)
(3) 任意投影
43
四、地图投影的分类
（3）任意投影（Aphylactic Projection）
概念：它是一种既不等角也不等积，长度、角 度和面积三种变形并存但变形都不大的投影类 型。
特点：角度变形：＜等积投影； 面积变形：＜等角投影； 是一种变形较为适中的投影。
研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网与地 球仪上经纬线网格比较而实现的。地球仪是地球的真实缩 小。通过比较就会发现地球仪上的经纬网形状与投影后经 纬网的形状是不相同的。为了研究变形，首先让我们分析 一下地球仪上经纬网的特点： 1.所有经线都是通过两极的大圆且长度相等；所有纬 线都是圆，圆半径由赤道向两极递减，极地成为一点。 2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。 3.经线和纬线是相互垂直的。 4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等 的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长 不等，由赤道向两极递减。 5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等， 同一经度带内，纬差相同的经纬线网格面积不等，纬度越 高，梯形面积越小（由低纬向高纬逐渐缩小）。
试验：
投影变形示意图
20
变形椭圆
21
三、地图投影的变形
（三）长度比和长度变形
三、地图投影的变形
（五）面积比与面积变形
（2）面积变形
就是(dF’-dF)与dF之比，以VP表示面积变形， dF dF dF 则： VP 1 P 1 dF dF 面积变形表明了面积变形的程度，是衡量面积 变形的一个相对指标。它是一个>0,＝0,<0的 数，通常用百分比表示，如VP=-2%，即表示
(1)
等角投影 等积投影
地 图 投 影
(2)
(3) 任意投影
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四、地图投影的分类
（3）任意投影（Aphylactic Projection）
概念：它是一种既不等角也不等积，长度、角 度和面积三种变形并存但变形都不大的投影类 型。
特点：角度变形：＜等积投影； 面积变形：＜等角投影； 是一种变形较为适中的投影。
研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网与地 球仪上经纬线网格比较而实现的。地球仪是地球的真实缩 小。通过比较就会发现地球仪上的经纬网形状与投影后经 纬网的形状是不相同的。为了研究变形，首先让我们分析 一下地球仪上经纬网的特点： 1.所有经线都是通过两极的大圆且长度相等；所有纬 线都是圆，圆半径由赤道向两极递减，极地成为一点。 2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。 3.经线和纬线是相互垂直的。 4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等 的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长 不等，由赤道向两极递减。 5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等， 同一经度带内，纬差相同的经纬线网格面积不等，纬度越 高，梯形面积越小（由低纬向高纬逐渐缩小）。
试验：
投影变形示意图
20
变形椭圆
21
三、地图投影的变形
（三）长度比和长度变形
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2 2
§5 地图投影分类
一、按地图投影的变形性质分类
等角投影 投影面上某点的任意两方向线夹角 与椭球面上相应两线段夹角相等 由
2 2
无角度变形，ω=0
sin
2
a b ab
a＝b θ ＝90° m＝n 面积变形大
或者
sin
2
m n 2mn sin m n 2mn sin
过观测点作铅垂线的反相 延长线与天球相交的点 过天顶、南、北天极的平 面与天球相交所成的大圆
天顶
天文子午面
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
天文经度
过观测点的天顶子午面与过格林尼 治天文台的天顶子午面间的二面角 经过地心并同地球自转轴垂直的平 面为赤道面，这个赤道面延伸与天 球相交的大圆就是天赤道 某点天顶方向（铅垂线）和天球赤道平 面的夹角
sin sin
sin
a b ab
sin
当α + α ′=90°时，sin(α + α ′)=1， α － α ′的差值最大，则 ：
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
sin
a b ab
水 平 面
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
大地水准面的意义
大地水准面是地球形体的一级逼近，与地球形状很 近似，其面上高出与面下缺少的质量相当
大地水准面的起伏波动对大地测量和地球物理学有 研究价值，但在制图业务中，均把地球当作正球体
大地水准面实际上是重力等位面，因此可使用仪器 测得相对于大地水准面的海拔高程
P
ar br r
2
ab
P ab mn sin P ab mn
90
90
面积变形
面积比与1的差值。
VP P 1
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P 1 P 1 P 1
VP 0
无变形
VP 0
VP 0
变大
变小
3.角度变形
2 2
根据公式
P ab mn
90
适用于对方向精度要求高的交通图、洋流图、风向图等
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等积投影
投影面与椭球面上相应区域的面积相等 P＝1
a 1 b
无面积变形，Vp＝0
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
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证明: 球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆
m X X n Y Y
X
X m
Y
Y n
设地面上微分圆r＝1 X2＋Y2＝1
X' m
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2
2
Y' n
2
2
1
三、投影变形的性质和大小
d D
1 M
主比例 尺
在投影面上没有变形的点或线 上的比例尺
局部比 例尺
在投影面上有变形处的比例尺
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2. 地图比例尺的表示
数字式比例尺 文字式比例尺 图解式比例尺 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺 特殊比例尺 变比例尺 无级别比例尺 如 1:10000 如 百万分之一
——大地原点
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
§2 地理坐标系
一、地理坐标
球面 经纬度
地理坐标
天文坐标
大地坐标
地心坐标
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
二、天文坐标 —— 建立在天球上，以铅垂线为基本方向
天球 以地心（或观测者等）为球心， 以任意长为半径的假想的球面
天极
地球自转轴延长线与天球相交的 两个点，分别称为南、北天极
North Pole
Polar Axis
b
椭球的扁率 f
Equator
a
Equatorial Axis
世界大地测量坐标系WGS－84 a = 6 378 137m b = 6 356 752.3m a－b 6378137－ 6356752.3 1 f = —— = ———————— = ——— a 6378137 298.257
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
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§3 地图投影概述
一、地球仪
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地球仪上经纬网的特性
经线都是等长的大圆线，收敛于两极点，纬差相 等的经线长度相等
纬线都是垂直于经线的圆，周长以赤道最大，向 高纬逐渐缩小，至两极缩为一点。纬圈相互平行 ，同一纬圈上，经差相等的纬线长度相等。
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§4 地图投影变形
一、投影变形的概念
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长度变形 地图投影变形 面积变形 角度变形
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二、 变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当 作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这 个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这样的椭圆称为 变形椭圆。
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新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
地球不是一个正球体，而是一个极半 径略短、赤道半径略长，北极略突出、 南极略扁平，近于梨形的椭球体
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二、地球的物理表面
180 2 180 2 2
2 sin
2
μ α
μ′
α′
a b ab
B
sin
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B′
m n 2mn sin
2 2
2
m n 2mn sin
2 2 2 2
2
ab a b
m n 2mn sin
2 2
m n 2mn sin
2 2
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2.面积比和面积变形
面积比
投影平面上微小面积（变形椭圆 面积）与球面上相应的微小面积 （微分圆面积）之比。
dF dF P dF dF
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三、地球的数学表面
参考椭球 用大小与大地体很接近的旋转椭球作 为地球的参考形状和大小，是对地球 形体的二级逼近。它的表面称为参考 椭球面，是测量计算的基准面
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长轴 a（赤道半径） 椭球体 三要素 短轴 b（极半径）
x = f1(j , l ) y = f2(j , l )
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地图投影过程中出现的问题
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三、地图的比例尺
1. 地图比例尺的含义
地图比 例尺
变按 形地 情图 况投 分影
地图上一直线段长度与地面 相应直线垂直投影长度之比
将 K mr，L nr
Q ar，P br
将带入阿波隆尼的公式中得：
mr
2
nr ar br
2 2
2
1 2
r mn sin
2
1 2
r ab
2
m n a b
2 2 2
2 2
2
mn sin ab
2 2 2
m n 2mn sin a 2ab b a b m n 2mn sin a 2ab b a b
大地子午面
大地经度 赤道面 大地纬度
新编地图学教程 第2ຫໍສະໝຸດ 地图的数学基础四、地心坐标 —— 以地球椭球体质量中心为基点
地心经度 参考椭球面上过某点的子午 面与起始子午面间的二面角
地心纬度
参考椭球面上某点和椭球中 心连线与赤道面之间的夹角
在地理学研究及地图学的 小比例尺制图中，通常将 椭球体当成正球体看，采 用地心经纬度
b sin tan 1 a cos cos
sin cos cos
b sin tan 1 a cos cos
上面两式相除得：
a b ab
1.长度比和长度变形
长度比
投影面上一微小线段（变形椭圆 的半径）和球面上相应微小线段 （球面上微小圆的半径）之比。
长度比与1的差值。
V 0 V 0 V 0
ds ds
长度变形
V 1
1 1 1
无变形
变长 变短
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经线长度比m 纬线长度比n 最大长度比a 最小长度比b 经线方向 纬线方向 主方向 长轴方向 短轴方向
角度变形 投影面上任意两方向线所夹之角 与球面上相应的两方向线夹角之 差，称为角度变形。 以ω表示 角度最大 变形。
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tan
x x
y x
tan
y y
y x
∵
a
b
上式两边各用tanα加和减，得：
§5 地图投影分类
一、按地图投影的变形性质分类
等角投影 投影面上某点的任意两方向线夹角 与椭球面上相应两线段夹角相等 由
2 2
无角度变形，ω=0
sin
2
a b ab
a＝b θ ＝90° m＝n 面积变形大
或者
sin
2
m n 2mn sin m n 2mn sin
过观测点作铅垂线的反相 延长线与天球相交的点 过天顶、南、北天极的平 面与天球相交所成的大圆
天顶
天文子午面
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天文经度
过观测点的天顶子午面与过格林尼 治天文台的天顶子午面间的二面角 经过地心并同地球自转轴垂直的平 面为赤道面，这个赤道面延伸与天 球相交的大圆就是天赤道 某点天顶方向（铅垂线）和天球赤道平 面的夹角
sin sin
sin
a b ab
sin
当α + α ′=90°时，sin(α + α ′)=1， α － α ′的差值最大，则 ：
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sin
a b ab
水 平 面
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大地水准面的意义
大地水准面是地球形体的一级逼近，与地球形状很 近似，其面上高出与面下缺少的质量相当
大地水准面的起伏波动对大地测量和地球物理学有 研究价值，但在制图业务中，均把地球当作正球体
大地水准面实际上是重力等位面，因此可使用仪器 测得相对于大地水准面的海拔高程
P
ar br r
2
ab
P ab mn sin P ab mn
90
90
面积变形
面积比与1的差值。
VP P 1
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P 1 P 1 P 1
VP 0
无变形
VP 0
VP 0
变大
变小
3.角度变形
2 2
根据公式
P ab mn
90
适用于对方向精度要求高的交通图、洋流图、风向图等
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等积投影
投影面与椭球面上相应区域的面积相等 P＝1
a 1 b
无面积变形，Vp＝0
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证明: 球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆
m X X n Y Y
X
X m
Y
Y n
设地面上微分圆r＝1 X2＋Y2＝1
X' m
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2
2
Y' n
2
2
1
三、投影变形的性质和大小
d D
1 M
主比例 尺
在投影面上没有变形的点或线 上的比例尺
局部比 例尺
在投影面上有变形处的比例尺
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2. 地图比例尺的表示
数字式比例尺 文字式比例尺 图解式比例尺 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺 特殊比例尺 变比例尺 无级别比例尺 如 1:10000 如 百万分之一
——大地原点
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§2 地理坐标系
一、地理坐标
球面 经纬度
地理坐标
天文坐标
大地坐标
地心坐标
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二、天文坐标 —— 建立在天球上，以铅垂线为基本方向
天球 以地心（或观测者等）为球心， 以任意长为半径的假想的球面
天极
地球自转轴延长线与天球相交的 两个点，分别称为南、北天极
North Pole
Polar Axis
b
椭球的扁率 f
Equator
a
Equatorial Axis
世界大地测量坐标系WGS－84 a = 6 378 137m b = 6 356 752.3m a－b 6378137－ 6356752.3 1 f = —— = ———————— = ——— a 6378137 298.257
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§3 地图投影概述
一、地球仪
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地球仪上经纬网的特性
经线都是等长的大圆线，收敛于两极点，纬差相 等的经线长度相等
纬线都是垂直于经线的圆，周长以赤道最大，向 高纬逐渐缩小，至两极缩为一点。纬圈相互平行 ，同一纬圈上，经差相等的纬线长度相等。
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一、投影变形的概念
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长度变形 地图投影变形 面积变形 角度变形
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二、 变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当 作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这 个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这样的椭圆称为 变形椭圆。
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地球不是一个正球体，而是一个极半 径略短、赤道半径略长，北极略突出、 南极略扁平，近于梨形的椭球体
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二、地球的物理表面
180 2 180 2 2
2 sin
2
μ α
μ′
α′
a b ab
B
sin
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B′
m n 2mn sin
2 2
2
m n 2mn sin
2 2 2 2
2
ab a b
m n 2mn sin
2 2
m n 2mn sin
2 2
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2.面积比和面积变形
面积比
投影平面上微小面积（变形椭圆 面积）与球面上相应的微小面积 （微分圆面积）之比。
dF dF P dF dF
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三、地球的数学表面
参考椭球 用大小与大地体很接近的旋转椭球作 为地球的参考形状和大小，是对地球 形体的二级逼近。它的表面称为参考 椭球面，是测量计算的基准面
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长轴 a（赤道半径） 椭球体 三要素 短轴 b（极半径）
x = f1(j , l ) y = f2(j , l )
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地图投影过程中出现的问题
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三、地图的比例尺
1. 地图比例尺的含义
地图比 例尺
变按 形地 情图 况投 分影
地图上一直线段长度与地面 相应直线垂直投影长度之比
将 K mr，L nr
Q ar，P br
将带入阿波隆尼的公式中得：
mr
2
nr ar br
2 2
2
1 2
r mn sin
2
1 2
r ab
2
m n a b
2 2 2
2 2
2
mn sin ab
2 2 2
m n 2mn sin a 2ab b a b m n 2mn sin a 2ab b a b
大地子午面
大地经度 赤道面 大地纬度
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地心经度 参考椭球面上过某点的子午 面与起始子午面间的二面角
地心纬度
参考椭球面上某点和椭球中 心连线与赤道面之间的夹角
在地理学研究及地图学的 小比例尺制图中，通常将 椭球体当成正球体看，采 用地心经纬度
b sin tan 1 a cos cos
sin cos cos
b sin tan 1 a cos cos
上面两式相除得：
a b ab
1.长度比和长度变形
长度比
投影面上一微小线段（变形椭圆 的半径）和球面上相应微小线段 （球面上微小圆的半径）之比。
长度比与1的差值。
V 0 V 0 V 0
ds ds
长度变形
V 1
1 1 1
无变形
变长 变短
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经线长度比m 纬线长度比n 最大长度比a 最小长度比b 经线方向 纬线方向 主方向 长轴方向 短轴方向
角度变形 投影面上任意两方向线所夹之角 与球面上相应的两方向线夹角之 差，称为角度变形。 以ω表示 角度最大 变形。
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tan
x x
y x
tan
y y
y x
∵
a
b
上式两边各用tanα加和减，得：