第23届华杯赛【初二组】初赛参考答案

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛

初赛试卷（初二组）

一、选择题

1. 计算：1

21272)3(332-+---的值是（ ）. A.27+- B.21+- C.223-- D.1-

【答案】B

【解析】

2

11

2383+-=+++-=原式

故答案选B. 2. 右图中，ABC ∆是等边三角形，

点D 是BC 的中点，延长AD 至E 使得10=AE ，如果︒=∠60BCE ，那么BD 的长是（ ）.

A.3310

B.35

C.3

35 D.5 【答案】C

【解析】在ABD ∆和ECD ∆中，

)(AAS ECD ABD CD BD EDC ADB ECD ABD ∆≅∆⇒⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠

则5==DE AD ，则33

535==BD ，

故答案选C.

3. 关于y x 、的方程)20181(21024≤≤=+b b y x 有整数解，则b 有（ ）个不同的取值.

A.218

B.219

C.330

D.336

【答案】D

【解析】x 24和y 210都是6的倍数，则b 的取值一定是6的倍数，

33662018=÷，则b 一共有336种不同的取值.

4. 设m 是自然数，42+=m a ，4)1(2++=m b ，那么a 与b 的最大公约数的最大值是（ ）.

A.5

B.7

C.17

D.19

【答案】C

【解析】12)4(41222+=+-+++=-m m m m a b ，a 与b 的最大公约数为12+m ，

若212=+m ，则2=m ，8=a ，13=b ，显然不符合；

若712=+m ，则3=m ，13=a ，20=b ，显然不符合；

若1712=+m ，则8=m ，68=a ，85=b ，最大公约数为17，符合条件； 若1912=+m ，则9=m ，85=a ，104=b ，显然不符合；

则a 与b 的最大公约数的最大值是17，故答案选C.

5. 在平行四边形ABCD 中，AB AD 2=，M 是AD 的中点，AB CE ⊥与E ，若︒=∠150DME ，则=∠CEM （ ）.

A.︒30

B.︒40

C.︒50

D.︒60

【答案】B

【解析】

连接MC ，则DC DM =，过AB MN //，则N 为BC 的中点，且CE MN ⊥，则MN 为CE 的垂直平分线，则MC ME =，设x MCE MEC =∠=∠，则x MEA -︒=∠90，则x A +︒=∠60，则x D -︒=∠120，

有因为CD CE ⊥，x DCM DMC -︒=∠=∠90，

则︒=-︒+-︒180120)90(2x x ，解得︒=40x ，则︒=∠40CEM .

6. 一辆电动汽车充满电后，按照从甲地开到乙地，再返回到甲地的行车路线行驶，如果该车去程开空调，返程不开，那么该车正好在电量用完时回到甲地，如果该车全程不开空调，那么该车跑完全程时还剩下40%的电量，如果该车全程开空调，那么从乙地返回甲地时，在距离甲地36千米处电量耗尽，则甲乙两地相距（ ）千米.

A.63

B.120

C.210

D.270

【答案】A

【解析】

解：设甲乙两地距离为S 千米，开空调每千米耗电x ，不开空调每千米耗电y ，总电量为1；

根据三种情况，可以得到：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==+③1)36(②

%602①1S x xS yS yS xS ②①可以得到x y 73=，代入①式得到S

x 107=，代入③中，得到63=S ， 故答案选A.

二、填空题

7. 已知b a 、是有理数，x 是无理数，如果2017

22017842018220186322⨯-+-⨯+--x bx bx x ax ax 是有理数，则

______=b

a . 【答案】60518072- 【解析】

222220171620182017420183201712)

20174)(20174()20174)(20183(2017

420183)

2(2017)2(4)

2(2018)2(3-⨯+⨯-⨯-=-+--=+-=-+----=x b bx ax abx bx bx bx ax bx ax x x bx x x ax 原式

结果是有理数，则04201832017=⨯-⨯-bx ax ，化简得6051

8072-=b a 8. 已知201821,,,x x x ⋅⋅⋅的每个数的值都等于1-或1，若4201821=+⋅⋅⋅++x x x ，则201820174321x x x x x x -+⋅⋅⋅+-+-的最大值是______.

【答案】2014

【解析】由于201821,,,x x x ⋅⋅⋅这2018个数里面有1011个1,1007个1-，可以保证4201821=+⋅⋅⋅++x x x ， 则201820174321x x x x x x -+⋅⋅⋅+-+-的最大值为20140010072=++⨯.

9. 设p 是小于1000的质数，且n m p =+12，其中m n 、都是大于1的自然数，则p 的值是______.

【答案】13

【解析】当13=p ，3==n m 时，满足273123==+p ，则13=p .

10. 用[]a 表示不大于a 的最大整数，例如[]32.3=，[]44.3-=-，[]12=，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+-+⋅⋅⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+-1092018103109210310911031090103等于______.

【答案】17511

【解析】

17511

2511325612963762561360=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⨯=原式