第二十一届华杯赛小高组初赛详解
2016年第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛全国卷(小学高年级组)(含解析)
+16）=100-16=84，
6.答案： B；
试题分析： 试题分析： 首先在 0 到 2016 这 2016 个数中，数字和最大的为 1999，其和是 1+9×3=28，
数字之和最小是 1；按其和的多少可以方程 28 组，并且根据多少依次编上号， 进而得出答案。
解：数字和是 1 的①号有 1、10、100、1000； 数字和是 2 的②号有 11、101、110、1001、1010、1100、2、20、200、2000； 数字和是 3 的③号有 111、1011、1101、1110、102、120、201、210、1002、··· ······ ······ 在这 28 个数中，除 1999 只有一个数外，其余每组都有 4 个或 4 个以上的数； 如果我们在这些数字和为 4 个或 4 个以上的数的各组中，每组取 4 个数，并且将 1999 也取上，这样共有数：27× 4+1=109（个）； 这样，在剩余的数中，任取一个，必然会从这个数相同组中取出的 4 个数的数字和相 等，即产生 5 个数字和相等的情况； 所以，n 的最小值等于：109+1=110； 故选：B.
10.答案： 4029；
试题分析： 试题分析： 由题意可知，题目要求剪出的小梯形，只在梯形的上底和下底以及底角作了要 求，并没有谈及梯形的高的事，可知，要分割的小梯形就是一横排。 因为题中的等腰梯形纸片，上底长度为 2015，下底长度为 2016，下底与上底 之间只相差 2016-2015=1，为了达到分割出的所有的小梯形的上底的和为 1， 且下底也只能比上底多 1， 如果设上底为 x，下底为 x+1，上、下底交错搭配，这样，两个小梯形搭配起来 就是一个小平行四边形，因为所有 x 的和为 1 知，平行四边形最多有 20151=2014（个），另外还有一个符合要求的等腰梯形，如下图：
华杯赛初赛小高组试题卷(含答案)
华杯赛初赛模拟题（小高组）1．计算：22222221234201520162017-+-++-+ 【解析】 原式22222222017201654321=-++-+-+ (20172016)(20172016)(32)(32)1=-⨯+++-⨯++2017201620152014321=+++++++()120171201720351532=⨯+⨯= 2．幼儿园的老师把一些画片分别给A 、B 、C 三个班，每人都分到6张，如果只分给B 班，每人能得15张，如果只分给C 班，每人能得14张，如果只分给A 班，每人能得 张．【解析】 设三个班的总人数为x 人，A 班、B 班、C 班的人数分别为a ，b ，c ， 则61514x b c ==，从而62155b x x ==，63147c x x ==，所以2365735a x x x x =--=，因此将这些画片分给A 班，每人能得663535x x ÷=（张）． 3．A 、B 两杯食盐水各有40克，浓度比是3:2．在B 中加入60克水，然后倒入A 中________克，再在A 、B 中加入水，使它们均为100克，这时浓度比为7:3.【解析】 在B 中加入60克水后，B 盐水浓度减少为原来的25，但溶质质量不变，此时两杯盐水中的盐的质量比仍然为3:2，B 中的盐占所有盐的质量的22325=+，但最终状态下B 中的盐占所有盐的质量的337310=+，也就是说B 中的盐减少了32111054-÷=，所以从B 中倒出了14的盐水到A ，即25克． 4．如图，点E 是长方形ABCD 的对角线AC 上任一点，过E 作AB 与BC 的垂线分别交AB 、BC 于F 、G ，连接DF 、FG 和GD 。
已知8AB =、10AD =、三角形DFG 的面积为30，则长方形BGEF 的面积为 。
G F EC DB A解析：205．四边形ABCD 中，,,E F I 是AB 上的四等分点，,,H G J 是DC 上的三等分的点，如果30,25,AEHD EFGH S S ==，求IBCJ S 。
第二十一届华杯赛初赛试题及答案
）个数字 0. D. 2014
A. 2017 B. 2016 C. 2015 【知识点】计算模块——多位数计算 【解析】 999 9 999 9 10
2016 个 2016 个
2016
1 10 2016 1
230 270 500 350 500 500 350 350 .
【答案】A 2. 如右图所示，韩梅家的左右两侧各摆了两盆花. 每 次，韩梅按照以下规则往家中搬一盆花: 先选择左 侧还是右侧，然后搬该侧离家最近的. 要把所有花 搬到家里，共有（ ）种不同的搬花顺序. A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【知识点】 计数模块——加法原理 【解析】 将图中花从左往右依次编号 1，2，3，4. 根据题目要求，有下列搬花方式： 2-1-3-4，2-3-4-1，2-3-1-4，3-4-2-4，3-2-1-4，3-2-4-1 共 6 种不同的搬花顺序. 【答案】B 3. 在桌面上，将一个边长为 1 的正六边形纸片与一个边长为 1 的正三角形纸片拼接，要求无 重叠，且拼接的边完全重合，则得到的新图形的边数为（ ）. A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【知识点】 几何——平铺 【解析】如图所示，共有 5 个边.
10 2016 10 2016 2 10 2016 1
10 2016 （ 10 2016 2） 1
1000 0 999 98 1
2016 个 2015个
999 98000 01
A 选项中 998 显然不能被 11 整除，由 99+8 4=131,13+1 4=17，显然 17 不能 被 13 整除，从而 998 也不能被 13 整除. B 选项中 988 显然不能被 11 整除，由 98+8 4=130，显然 130 能被 13 整除，从而 988 能被 13 整除； 884 显然不能被 11 整除，由 88+4 4=104，10+4 4=26，显然 26 能被 13 整除，从而 884 能被 13 整除； 847 中，8+7-4=11，显然能被 11 整除； 473 中，4+3-7=0，显然能被 11 整除； 737 中，7+7-3=11，显然能被 11 整除. C 选项中 997 显然不能被 11 整除，由 99+7 4=127，12+7 4=30，显然 30 不能被 13 整除，从而 997 也不能被 13 整除. D 选项中 987 显然不能被 11 整除，由 98+7 4=126， 12+6 4=36，显然 36 不能被 13 整除，从而 987 也不能被 13 整除. 【答案】B 4. 将 1，2，3，4，5，6，7，8 这 8 个数排成一行，使得 8 的两边各数之和相等，那么 共有（ A. 1152 ）种不同的排法. B. 864 C. 576 D.288
第21届“华杯赛”决赛小高组B组试题
第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题B （小学高年级组） （时间: 2016年3月12日10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10分, 共80分） 1. 计算: =-÷⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4.213453611753971 . 2. 如右图, 30个棱长为1的正方体粘成一个四层的立体, 这个立体的表面积等于 . 3. 有一片草场, 10头牛8天可以吃完草场上的草; 15头牛, 如果从第二天开始每天少一头, 可以5天吃完. 那么草场上每天长出来的草够 头牛吃一天. 4. 如右图所示, 将一个三角形纸片ABC 折叠, 使得点C 落在三角形ABC 所在平面上, 折痕为DE . 已知︒=∠74ABE , ︒=∠70DAB , ︒=∠20CEB , 那么CDA ∠等于 . 5.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发, 背向而行. 已知甲骑行一圈的时间是70分钟, 出发后第45分钟甲、乙二人相遇, 那么乙骑行一圈的时间是 分钟. 6.如右图, 正方形ABCD 的边长为5, E , F 为正方形外两点,满足4==CF AE , 3==DF BE , 那么=2EF .7. 如果832⨯能表示成k 个连续正整数的和, 则k 的最大值为 .8. 现有算式: 甲数□乙数○１, 其中□, ○是符号+, -, ⨯,÷中的某两个. 李雷对四组甲数、乙数进行了计算, 结果见右表, 那么, A ○=B .学校____________姓名_________ 参赛证号密封线 内请勿答题第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B(小学高年级组)二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 计算:⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++201624232201613121 201620152016201420152014201635343+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++ . 10.商店春节促销, 顾客每次购物支付现金时, 每100元可得一张价值50元的代金券. 这些代金券不能兑成现金, 但可以用来购买商品, 规则是: 当次购物得到的代金券不能当次使用; 每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半. 李阿姨只有不超过1550元的现金, 她能买到价值2300元的商品吗? 如果能, 给她设计一个购物方案; 如果不能, 说明理由.11. 如右图, 等腰直角三角形ABC 与等腰直角三角形DEF 之间的面积为20, 2=BD , 4=EC , 求三角形ABC 的面积.12. 试找出这样的最大的五位正整数, 它不是11的倍数, 通过划去它的若干数字也不能得到可被11整除的数.三、解答下列各题（每小题 15分，共30分，要求写出详细过程）13. 如右图, 正方形ABCD 的面积为1, M 是CD 边的中点, E , F 是BC 边上的两点, 且FC EF BE ==. 连接AE , DF 分别交BM分别于H , G . 求四边形EFGH 的面积.14. 现有下图左边所示的“四连方”纸片五种, 每种的数量足够多. 要在如下图右边所示的55⨯方格网上, 放“四连方”, “四连方”可以翻转, “四连方”的每个小方格都要与方格网的某个小方格重合, 任意两个“四连方”不能有重叠部分. 那么最少放几个“四连方”就不能再放了?。
第二十一届华杯赛决赛B卷答案详解
H A 4 D
3 F 4
E 3 B 4 G C 3
7、如果 2 38 能表示成 k 个连续正整数的和, 【答案】108 【解析】 令 k 个连续正整数的首个为 N，有
则 k 的最大值为（
）
2 38 =n n 1 n 2 kn
的到：
n k 1
10、 商店春节促销, 顾客每次购物支付现金时, 每 100 元可得一张价值 50 元的 代金券. 这些代金券不能兑成现金, 但可以用来购买商品, 规则是: 当次购物得 到的代金券不能当次使用; 每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半. 李 阿姨只有不超过 1550 元的现金, 她能买到价值 2300 元的商品吗? 如果能, 给 她设计一个购物方案; 如果不能, 说明理由。 【答案】能 【解析】制定一种最节省现金，最大化得到和使用代金券的方案即可。由于 1、 每 100 元可得一张价值 50 元的代金券， 2、 当次购物得到的代金券不能当次使 用，3、每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半。故每次最低消费 100 元现金即可，以此不停循环。 第一次， 付现 100 元，返券 50 元； 第二次， 付现 100 元，抵券 50 元，返券 50 元； 第三次， 付现 100 元，抵券 50 元，返券 50 元； · · · · · · （如此 15 次） 第十六次，付现 50 元，抵券 50 元。 共付现 1550 元，抵券 50 15=750 元，获得商品总价： 1550 750=2300 元 11、 如右图, 等腰直角三角形 ABC 与等腰直角三
9 5 圈，得出： = 14 14
5, E, F 为正方形
外两点,满足 AE CF 4 , BE DF 3 ，那么 EF 2 【答案】98 【解析】 补全成大正方形如图， EF 2 的平方即为大正方形面积的两倍，即：
第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(小学高年级组)带答案
999...998000 (001)v ⎪ = 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将 表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．算式 999...9×999...9 的结算中含有（）个数字 0． 2016个2016个A.2017B.2016C.2015D.2014【答案】C【解析】(102016 -1)2 = (102016 - 2) ⨯102016 +1 =2015个2015个2．已知 A ,B 两地相距 300 米．甲、乙两人同时分别从 A , B 两地出发，相向而行，在距 A 地140 米处相遇；如果乙每秒多行 1 米，则两人相遇处距 B 地 180 米．那么乙原来的速度 是每秒（ ）米．3 A. 254 B. 25C.31 D. 35【答案】D【解析】设甲速 v 1 乙速 v 2⎧ v 1 = 140 = 7 ⎧v = 14⎪ v 2 ⎨ 300 -140 8 ⎪ 1 5 解得 ⎨⎪ v 1 = 300 -180 = 2 ⎪ 162 ⎪⎩ v 2 +1180 3 ⎩⎪ 5 3．在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除的三位数， 则这个七位数最大是（）A.9981733B.9884737C.9978137D.9871773【答案】B【解析】1001 =11⨯13⨯7 ，ACD 前三位都不是 11 或13 的倍数 988 =13⨯76 ， 884 =13⨯68， 847 =11⨯77 ， 473 =11⨯ 43， 737 =11⨯674．将1，2，3，4，5，6，7，8 这8 个数排成一行，使得8 的两边各数之和相等，那么共有（）种不同的排行．A.1152B.864C.576D.288【答案】A【解析】1+2 +3+... +7=28 ，8 的两边之和都是14有(1247)8(356),(1256)8(347),(1346)8(257),(2345)8(356) 四种分法共有2⨯4⨯4!⨯3! =1152 种排法E 5．在等腰梯形ABCD 中，AB 平行于CD ，AB =6 ，CD =14 ， A B ∠AEC 是直角，CE =CB ，则AE2 等于（）D CA.84B.80C.75D.64【答案】A【解析】AG =BF =h ，CG =10 ，CF = 4AC2 =AG2 +CG2 =h2 +100CE2 =BC2 =BF 2 +CF 2 =h2 +16AE2 =AC2 -CE2 =846．从自然数1，2，3，…，2015，2016 中，任意取n 个不同的数，要求总能在这n 个不同的数中找到5 个数，它们的数字和相等．那么n 的最小值等于（）A.109B.110C.111D.112【答案】B【解析】1 到2016 中，数字和最大28。
第21届华杯赛小学高年级组初赛试题解析(成都)
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86111521
成都市青羊区金河路 59 号尊城国际 1305 室
第6题 在一个七位数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除的三位数，那么这个七位数最大是（） (A)9981733 答案：B 解析： 要使此 7 位数最大，则第一个数为 9，如果第二个数为 9，要使其 能被 13 整除，用试除法知 988 能被 13 整除，990 能被 11 整除， 而如果为 990，则 0 不能和它后面两位数构成三位数，则不能为 990， 所以第二个数不能为 9， 所以第二个数为 8,998 能被 13 整除， 则看第 4 位，用同样的方法可得此七位数为 9884737. ___________________________________________________________ (B)9884737 (C)9978137 (D)9871773
2 n 1 4 无法求出 n 值，不符合。
___________________________________________________________
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第3题 有一种饮料包装瓶的容积是 1.5 升。现瓶里装了一些饮料，正放时饮 料高度为 20 厘米，倒放时空余部分的高度为 5 厘米，如右图。那么 瓶内现有饮料（）升
则 ab 为 15 的倍数
ab 15 , 15 3 5 a b 4 ab 30 , 30 1 30 2 15 3 10 5 6 a b 8 ab 45 , 45 1 45 3 15 5 9 a b 12 ab 60 , 60 1 60 2 30 3 20 4 15 5 12 6 10(符合） a b 16
第二十一届华杯赛高年级组初赛模拟0102(学生)
1、有两组数，第一组数的平均数是13.4，第二组数的平均数是11.5，而两组数的平均数为12.83，那么第一组至少有（）个数。
A、3B、5C、7D、92、N个仅由数码3和0组成的自然数之和等于55...5（2013个5），那么N的最小值是（）A、10B、7C、8D、93、如图边长为10分米的正方形，内侧有一个半径为20厘米的圆形，沿边长滚动一周，圆形滚动不到的地方有（）平方分米。
A、7.44B、14.88C、3.14D、6.284、以平面上任意四个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有（）个。
A、2B、3C、5D、45、两数之和与两数之商都为9，那么这两数之积减两数之差（大减小）等于（）A、7.29B、7.2C、0.09D、8.16、桌上有编号1到20的20张卡片，小明一次取出两张卡片，要求一张卡片的编号是另一张卡片的2倍多2，则小明最多取出（）张卡片。
A、10B、12C、14D、15二、填空题：（每小题10分，共40分）7、篮球友谊赛的票价是50元，赛前一小时还有余票，于是决定降价，结果售出的票增加了三分之一，而票房收入增加了四分之一，每张票售价下降了（）元。
8、工程队完成一项工作，每天工作6小时，12天可以完成。
如果效率不变，每天工作8小时，则可以提前（）天完成。
9、有红、白球若干个，若每次拿出1个红球和1个白球，拿到没有红球时，还剩下50个白球；若每次拿走1个红球和3个白球，则拿到没有白球时，红球还剩下50个，那么这堆红球、白球共有（）个。
10、长方形ABCD中，BE：EC=2:3，DF：FC=1:2，三角形DGF的面积是2，求长方形ABCD的面积是（）1、有两组数，第一组的平均数是13.6，第二组的平均数是10.8，而这两组数的总平均数是12.4，那么第一组的个数与第二组的个数至少是（）个和（）个。
A、4和3B、5和4C、3和4D、4和52、两个水池内有金鱼若干条，数目相同，亮亮和红红进行捞鱼比赛，第一个水池内的金鱼被捞完时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3:4，捞完第二个水池内的金鱼时，亮亮比第一次多捞33条，与红红捞到的金鱼数目比是5:3.那么每个水池内有金鱼（）条。
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相遇；如果乙每秒多行 1 米，则两人相遇处距 B 地 180 米．那么乙原来的速度是每秒（ ）米．
A. 2 3
B. 2 4
C.3
5
5
D. 3 1 5
【考点】行程，比例方程解行程
【难度】☆
【答案】D
【分析】设甲速 v1 乙速 v2 ，有
老
v1 v2 v1 v2
1
140 300 140 300 180
n(2x 1) x 2015
帅帅思维公众号：shuaiteacher
第3页
兴趣是最好的老师
学习有意思
n 2015 x 2015.5 0.5 2015.5 0.5 2015
2x 1 2x 1
1
∴n 的最大值是 2014，最多可以剪出 4029 个
x
x
…
x+1
2n个
x+1
快乐思维
师 老 帅 帅
D.288
【考点】计数，加乘原理与排列组合 【难度】☆☆
【答案】A
帅帅思维公众号：shuaiteacher
第1页
兴趣是最好的老师
学习有意思 【分析】1 2 3 7 28 ，8 的两边之和都是 14
快乐思维
研究有 7 的一边，14 7 6 1 7 5 2 7 4 3 7 4 2 1
剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角，
则最多可以剪出
个同样的等腰梯形．
【考点】组合，最值
【难度】☆☆☆
【答案】4029
【分析】如图，将大等腰梯形分成 2n 1 个等腰梯形，由于底角相等，大小等腰梯形的上下底之差也相
等（相差一个平行四边形），设小等腰梯形上底为 x，有
9. 设 q 是一个平方数．如果 q 2 和 q 2 都是质数，就称 q 为 P 型平方数，例如，9 就是一个 P 型平
帅 方数，那么小于 1000 的最大 P 型平方数是
．
【考点】数论，同余
【难度】☆☆☆
【答案】441
【分析】显然，q 是奇数，且 q 2 和 q 2 都不是 3 的倍数，而平方数除以 3 只能余 0 或 1，若 q 除以
3 余 1 则 q 2 是 3 的倍数，所以 q 只能除以 3 余 0，即 q 是 3 的倍数，
帅 极端分析， 332 1000 ， 272 2 731 17 43 ， 212 2 439 ， 212 2 443 都是质数
10. 有一个等腰梯形的纸片，上底长度为 2015，下底长度为 2016，用该纸片剪出一些等腰梯形，要求
【分析】 a2 b2 (a b)(a b) 2016
a b 与 a b 奇偶性相同，乘积是偶数，必然都是偶数，且和大于差，
2016 4 504 23 32 7 的因数有 24 个，即 12 组不同的分拆，故有 12 组解．
8. 如下图， O, P, M 是线段 AB 上的三个点， AO 4 AB，BP 2 AB, M 是 AB 的中点，且 OM 2 ，
逐步极端分析，得 988 13 76 ， 884 13 68 ， 847 11 77 ， 473 11 43 ， 737 11 67
4. 将 1，2，3，4，5，6，7，8 这 8 个数排成一行，使得 8 的两边各数之和相等，那么共有（ ） 种不同的排行．
A.1152
B.864
C.576
A
老E
B
6.
帅D
G
F
C
从自然数 1，2，3，…，2015，2016 中，任意取 n 个不同的数，要求总能在这 n 个不同的数中找到
5 个数，它们的数字和相等．那么 n 的最小值等于（ ）
A.109
B.110
C.111
D.112
帅 【考点】组合，最不利原则
【难度】☆☆☆ 【答案】B 【分析】1 到 2016 中，数字和最大 28。
数的两侧分法有 4 种，两侧可互换，每个分法都是一边四个数另一边三个数，两边内部可互
换（全排列），共
4
2
A
4 4
A33
1152
种排法
5. 在等腰梯形 ABCD 中， AB 平行于 CD ， AB 6 ， CD 14 ， AEC 是直角， CE CB ，则 AE2 等 于（ ）
E
ABΒιβλιοθήκη DCA.84
B.80
C.75
D.64
【考点】几何，勾股定理
师 【难度】☆☆
【答案】A 【分析】做出两侧的高，连结 AC，有
FG AB 6 ， CF 1 (CD FG) 4 ， CG 10 ，令 AG BF h ，由勾股定理， 2
AC 2 AG2 CG2 h2 100 CE2 BC 2 BF 2 CF 2 h2 16 AE2 AC2 CE2 84
5
3
那么 PM 长为
．
A
【考点】应用题，分数应用题 【难度】☆ 【答案】 10
9
P
M
师 O
B
老 【分析】 OM AO AM 4 AB 1 AB 3 AB ， AB 2 3 20
5 2 10
10 3
PM BP MB 2 AB 1 AB 1 AB 1 20 10
3
2
6
63 9
180
7 8
2 3
解得
v1
v2
14 5 16 5
3. 在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除的三位数，则这个七
帅 位数最大是（ ）
A.9981733
B.9884737
C.9978137
D.9871773
帅 【考点】数论，整除
【难度】☆ 【答案】B 【分析】注意到由于任意三个连续排列的数字都能构成三位数，所以这个七位数的前五个数字不能是 0，
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2016年第二十一届华杯赛小高组初赛详解
一、选择题（每小题 10 分，共 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答 案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1. 算式 9999 9999 的结果中含有（
2016个
2016个
A.2017
B.2016
）个数字 0． C.2015
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D.2014
【考点】计算，多位数计算
【难度】☆
【答案】C
【分析】 (102016 1)2 (102016 2) 102016 1 999...998000...001
2015个
2015个
2.
师 已知 A,B 两地相距 300 米．甲、乙两人同时分别从 A, B 两地出发，相向而行，在距 A 地 140 米处
二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）
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7. 两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足
上述条件的所有正方形共有
对．
【考点】数论，因数个数定理
【难度】☆☆
【答案】12