超几何分布与二项分布学案

超几何分布与二项分布

学习目标：

1、掌握超几何分布和二项分布的概念；

2、通过典例，学生能运用核心文字提取的方法准确破解超几何分布和二项分布；

3、熟记两种分布的期望公式，理解它们之间的关系。

学习重点：超几何分布和二项分布的区别。

学习难点：超几何分布和二项分布的数学期望之间的关系。

一．知识梳理

1.超几何分布

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件⎨X=k⎬发生的概率为：P(X=k)= ,k= 0,1,2,3,⋯⋯,m；其中，m = min⎨M,n⎬,且n≤N , M≤ N

2.二项分布

在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中，事件A发生的概率为P,那么在n次独立重复试中，事件A恰好发生k次的概率为：

P(X=k)= (k=0,1,2,3,⋯,n),此时称随机变量X服从二项分布.

记作：

3.“二项分布”与“超几何分布”所满足的条件

(1)“二项分布”所满足的条件

每次试验中，事件发生的概率是的；是一种抽样. 各次试验中的事件是；●每次试验只有两种结果，事件要么，要么；❍随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的 .

(2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率，是抽样，

二．典例分析（小组交流、展示结果）

例1：袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：

（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；

（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．

例2、某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为3人.

视觉视觉记忆能力

偏低中等偏高超常

听觉记忆能力偏低0 7 5 1

中等 1 8 3 b

偏高 2 a0 1

超常0 2 1 1

,且听

觉记忆能力为中等或中等以上的概率为2

5

.

（Ⅰ）试确定a、b的值；

（Ⅱ）从40人中任意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.

例3.从某高中学校随机抽取16名学生，经校医检查得到每位学生的视力，其中“好视力”4人,以这16人的样本数据来估计整个学校的整体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望.

三．拓展提升：两种分布的数学期望之间的关系

探究：假设例3问题变为：“从16名学生中任取3名，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望”.

听觉

若随几变量X服从超几何分布.则EX=

四、巩固练习

1、根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种

保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立.

（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；

（Ⅱ）X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望.

2、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场

前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.

已知某产品第一轮检测不合格的概率为1

6

，第二轮检测不合格的概率为

1

10

，

两轮检测是否合格相互没有影响.

（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；

（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E(X).

五、课堂小结

1、超几何分布和二项分布的概念(所满足的条件)。

2、“二项分布”与“超几何分布”的区别与联系：

（1）、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；

（2）、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；

（3）、二项分布的期望EX= np ，超几何分布的 EX= n M

N

，若p=

M

N

，则两种分布的期望

相等；

（4）、当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布。