第5讲 函数的值域和最值1

第五讲 函数的值域和最值
基础检测
[]()[]f x x x =[]x x [2,2]x ∈-()f x
[2,2]-
[0,4] {}0,1,2,3,4 {}1,0,1,2,3,-
【答案】C 【解析】当21x -≤<-时，[]2x =-，则2[]4x x <≤，所以()f x 可取2，3，4； 当10x -≤<时，[]1x =-，则0[]1x x <≤，所以()f x 可取0，1；
当01x ≤<时，[]0x =，则[]0x x =，所以()0f x =；
当12x ≤<时，[]1x =，则1[]2x x ≤<，所以()1f x =；
当2x =时，[]2x =，则[]4x x =，所以()4f x =，
故()f x 的值域为{}0,1,2,3,4，选C.
2．[2014·武汉模拟]函数f(x)＝333
x -的值域为( ) A.(－∞，－1)
B.(－1,0)∪(0，＋∞)
C.(－1，＋∞)
D.(－∞，－1)∪(0，＋∞)
【答案】D
【解析】∵3x －3>－3，结合反比例函数图象可知y ∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)．
3．函数()
122y=log 617x x -+的值域是（ ） A ．R B ．［8，＋)∞ C ．（－∞，－3] D ．［－3，＋∞］
【答案】C
【解析】略
4．函数y ＝x 2－2x 在区间[a ，b ]上的值域是[－1，3]，则点(a ，b )的轨迹是图中的（ ）
A ．线段A
B 和线段AD B ．线段AB 和线段CD
C ．线段A
D 和线段BC D ．线段AC 和线段BD
【答案】A
【解析】222(1)11y x x x =-=--≥- ，0(,)a b ∈，
由223y x x =-=得1x =-或3x =。

画出函数图象可知，当1a =-时，只需13b ≤≤，当3b =时，10a -≤≤，故(a ，b )的轨迹是线段AB 和线段AD ，选A 。

5． 若两个函数的对应关系相同,值域也相同,但定义域不同,则称这两个函数为 同族函数.那么与函数2,{1,0,1,2}y x x =∈-为同族函数的个数有 ( )
A.5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
【答案】D
【解析】略
6．
下列函数中值域是（0，+∞）的函数是
（ ） A ．1
51
+=-x y B ．x y -=1)31( C ．1)21(-=x y D ．x y 21-=
【答案】B 【解析】略
7．已知函数f(x)＝2,021,0
x e x ax x -⎧-≤⎨->⎩ (a 是常数且a>0)．对于下列命题：
①函数f(x)的最小值是－1；
②函数f(x)在R 上是单调函数；
③若f(x)>0在[12
，＋∞)上恒成立，则a 的取值范围是a>1； ④对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f(122x x +)<()()122
f x f x +. 其中正确命题的所有序号是________．
【答案】①③④
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，显然f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－1，故命题①正确；
显然，函数f(x)在R 上不是单调函数，②错误；
因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在[
12，＋∞)上的最小值为f(12)＝2a×12－1＝a －1，所以若f(x)>0在[12
，＋∞)上恒成立，则a －1>0，即a>1，故③正确；
由图象可知，在(－∞，0)上，对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f(122x x +)<()()122
f x f x +成立，故④正确． 8．对a ，b ∈R ，记min{a ，b}＝,,a a b b a b <⎧⎨
≥⎩，函数f(x)＝min{12x ，－|x －1|＋2}(x ∈R)的最大值为________．
【答案】1
【解析】y ＝f(x)是y ＝
12
x 与y ＝－|x －1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.
9．函数2
2()1
x y x R x =∈+的值域为________________． 【答案】[)0,1
【解析】
10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则我们称这些函数为“孪生函数”，那么解析式为221y x =+，值域为{}
5,19的“孪生函数”共有___________个.
【答案】9
【解析】
况，
则“孪生函数”共有3×3=9个．
考点：本题主要考查函数的表示方法；函数的定义域及其求法；函数的值域．
点评：新定义问题，所谓的“孪生函数”无非就是利用相同的函数值和相同的解析式解
个方程罢了．
11．若x ≥0，则函数y ＝x 2＋2x ＋3的值域是________
【答案】[3，＋∞)
【解析】略
12．已知函数()()lg f x ax x 2=+2+1的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】[],01
【解析】当0=a 时满足题意条件。

当0≠a 时，⎩
⎨⎧≥⨯⨯-=∆>014202a a ，所以10≤<a 。

综上所述，10≤≤a 。

13．函数4(1)1y x x x =+
>-的值域为 【答案】[5,)+∞
【解析】略。