现代控制理论作业题答案
自动化专业06级《现代控制理论》试卷答案精选全文完整版
自动化专业06级《现代控制理论》试卷答案一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号里打√，反之打×。
（ √ ）1. 相比于经典控制理论，现代控制理论的一个显著优点是可以用时域法直接进行系统的分析和设计。
（ √ ）2. 传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一。
（ × ）3. 状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因此都是具有物理意义。
（ × ）4. 输出变量是状态变量的部分信息，因此一个系统状态能控意味着系统输出能控。
（ √ ）5. 等价的状态空间模型具有相同的传递函数。
（ × ）6. 互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性。
（ × ）7. 一个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李雅普诺夫稳定性与系统受扰前所处的平衡位置无关。
（ √ ）8. 若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意一个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。
（ × ）9. 反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。
（ × ）10. 如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。
二、（15分）建立一个合理的系统模型是进行系统分析和设计的基础。
已知一单输入单输出线性定常系统的微分方程为：)(8)(6)()(3)(4)(t u t u t u t y t y t y++=++&&&&&& （1）采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图；（7分＋3分） （2）归纳总结上述的实现过程，试简述由一个系统的n 阶微分方程建立系统状态空间模型的思路。
（5分） 解：（1）方法一：由微分方程可得345213486)(222++++=++++=s s s s s s s s G令352113452)(21++⋅+=+++=s s s s s s s G 每一个环节的状态空间模型分别为：⎩⎨⎧=+−=1111x y u x x & 和 ⎩⎨⎧+−=+−=1212223u x y u x x&又因为11y u =， 所以⎩⎨⎧−=+−=212113x x x u x x&&， 212x x y −= 因此，采用串联分解方式可得系统的状态空间模型为：u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0131012121&& []u x x y +⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=2112对应的状态变量图为：方法二： 由微分方程可得32143486)(22++⋅++=++++=s s s s s s s s s G 每一个环节的状态空间模型分别为：⎩⎨⎧+=+−=u x y u x x 11113& 和 ⎩⎨⎧+−=+−=121223u x y u x x&又因为11y u =， 所以⎩⎨⎧+−=+−=ux x x u x x2121133&&， u x x y +−=213 因此，采用串联分解方式可得系统的状态空间模型为：u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1133012121&& []u x x y +⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=2113对应的状态变量图为（2）单输入单输出线性时不变系统传递函数的一般形式是1110111)(a s a sa sb s b s b s b s G n n nn n n n +++++++=−−−−L L若，则通过长除法，传递函数总可以转化成0≠n b )(s G d s a s c d a s a s a s c s c s c s G n n n n n +=++++++++=−−−−)()()(01110111L L 将传递函数c (s )/a (s )分解成若干低阶(1阶)传递函数的乘积，然后根据能控标准型或能观标准型写出这些低阶传递函数的状态空间实现，最后利用串联关系，写出原来系统的状态空间模型。
现代控制理论习题答案（2）
第二章2-3 已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A ,试用拉氏反变换求e At 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-4521001s s s A sI ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-----+--+--+---+--+-----+--+--+---+-------+--+--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+---=--2413)1(12818)1(32414)1(22212)1(12415)1(32212)1(22212)1(12212)1(321)1(2522)4(21454)2()1(1)(2222222222221s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s A sI ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-----+--+--+---+--+-----+--+--+---+-------+--+--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+---=--2413)1(12818)1(32414)1(22212)1(12415)1(32212)1(22212)1(12212)1(321)1(2522)4(21454)2()1(1)(2222222222221s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s A sI[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---++--+---+--+---++-=-=--t t t tt t t t t t t t t t t t t t t t t t t t tt At e e te e e te e e te e e te e e te e te e e e te e e te e te A sI L e 2222222221143883442224532222232)(2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数e At , （1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A 解：（1）化为约旦标准型04412=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-λλλλA I j j 2,221-==λλ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=j j T 2211 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-j j T 412141211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ=------t t t t e e e e j e e j e e j j e e j j T T e jt jt jtjt jt jt jt jt jt jtAt 2cos 2sin 22sin 212cos )(21))()(41)(21412141210221122222222221（2）拉普拉斯变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-s s A sI 41 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=--4444144141)(222221s s s s s s s s s A sI[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-=--t t t t A sI L e At 2cos 2sin 22sin 212cos )(11（3）凯莱-哈密顿定理⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---t t e e j j e e j j jt jt jt jt 2sin 212cos 4141212121212222110αα⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=t t t t t t A I e At 2cos 2sin 22sin 212cos 04102sin 2110012cos 10αα(2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1411A解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-+-+=Φ----)(21)()(41)(21)(3333tt tt t t tt e e e e e e e e t2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求出与子对应的A 阵（2）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=Φ--t t e e t 220)1(211)( （4）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-+-+=Φ----)(21)()(41)(21)(3333tt tt t t tt e e e e e e e e t 状态转移矩阵的条件()()(0)()()()t A t It t ττΦ=ΦΦ=ΦΦ=Φ+ 求取A 的方法：1(())()()()()()t L t sI A t A t t A A t -=Φ=-Φ=Φ=Φ=Φ解（2）此矩阵是状态转移矩阵1)(210)211(211))((--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-=ΦA sI s s s s t L⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+++=-20110)121(2121)2()(s s s ss s s s A sI ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A（4）此矩阵是状态转移矩阵1)(14113)(1(1)3111(21)3111)3111(41)3111(21))((--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++-++--++--++=ΦA sI s s s s s s s s s s s s t L ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=-1411s s A sI ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1411A2-6 求下列状态空间表达式的解[]xy u x x 01100010=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-s s A sI 01 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--s s s s s s A sI 1011011)(221[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=--101)(11t A sI L e At ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-Φ+=⎰⎰⎰t t t t t t d t t d t t d Bu t x e t x t t tAt 1212111111010111101)()()(220000ττττττ2-7 试证本章2-3，在特定控制作用下，状态方程式（2-25）的解，式（2-30），式（2-31）和式（2-32）成立（2）0)0(),()(x x t k t u ==δBKe x e d BK e x e d BK e x e t x At At t A Attt A At +=+=+=⎰⎰+---000)(00)(0)()()(ττδττδττ（3）0)0(),(1)(x x t K t u =⨯=（4）0)0(),(1)(x x t Kt t u =⨯=2-9根据系统的方框图可得212121112x x y u x xku x x+=-=+-=[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡212121121000101x x y u k x x x x[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-=--------1101111011)1(1110)1(1101)(111111t t At e e s s s s s s L s s s s L s s L A sI L e⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==--110)(T T ATe e eT G⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=100k B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==------⎰⎰T e T k e k k T eT e k dt e e B dt e H T TT TTT T TAT)1(0)1(1001011001100当T=0.1时⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==--110)1.0()(1.01.0ee G T G ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--==--1.0)9.0(0)1()1.0()(1.01.0e k e k H T H当T=1时⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==--110)1()(11e e G T G ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--10)1()1.0()(11kee k H T H 2-11根据上面的模拟结构图，求去连续的状态方程，进而化成离散状态方程。
《现代控制理论》课后习题答案(完整版)
1-1
解：系统的模拟结构图如下：
系统的状态方程如下：
阿
令 ，则
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
1-2
解：由图，令 ，输出量
有电路原理可知：既得
写成矢量矩阵形式为：
1-3
1-4 两输入 ， ，两输出 ， 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
当时，
解之得 令 得
当时，
解之得 令 得
当 时，
解之得令得
约旦标准型
1-10
试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结
（2）并联联结
1-11
求系统的闭环传递函数解：
求系统的闭环传递函数解：
1-12已知差分方程为
试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为
（1）
解法1：
解法2：
求T,使得得所以
解：系统的状态空间表达式如下所示：
1-5
列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令 ，则有
相应的模拟结构图如下：
1-6
解：
1-7
‘
（1）画出其模拟结构图
（2） 求系统的传递函数解：
（2）
1-8
（3）（3）
解：A的特征方程
解得： 令得
（或-9
（2）
解：A的特征方程
现代控制理论试卷与答案
一、名词解释与简答题（共3题, 每小题5分, 共15分）
1.经典控制理论与现代控制理论的区别
2.对偶原理的内容
3.李雅普诺夫稳定
二、分析与计算题（共8小题, 其中4-10小题每题10分, 第11小题15分, 共85分）
4、电路如图所示, 设输入为, 输出为, 试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。
u 2
R
1
R
u
C1
C2
u
12
u
5.已知系统的微分方程。
试列写出状态空间表达式。
6.试将下列状态方程化为对角标准型或者约当标准型。
11
1
22
2
33
41231
10227
11353
x x
u
x x
u
x x
-
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=+⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2
3
7、已知系统状态空间表达式为, 求系统的单位阶跃响应。
8、已知线性定常系统（A, B, C）, , 试判断系统是否完全能观？若能观求其能观标准
型, 不能观则按照能观性进行分解。
9、利用李雅普诺夫方程判断系统是否为大范围渐近稳定, 并求出其一个李雅普诺夫函数。
10、将状态方程u x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11 4321 化为能控标准型。
11.已知系统为, 试确定线性状态反馈控制律, 使闭环极点都是, 并画出闭环系统的结构图。
现代控制理论课后习题答案
现代控制理论课后习题答案第⼀章习题1.2求下列多项式矩阵()s D 和()s N 的两个不同的gcrd:()2223(),()1232s s s s s s s s s ??++== ? ?+-??D N 解：()()22232321s s s s s s s++ =++ ? ?D S N S ； ()3r 2,1,2E -：223381s s s s s s ??++ ?-- ? ???；()3r 2,3,3E ：223051s s s s s ??++ ?- ? ???；()3r 1,3,2E s --：01051s s ?? ?- ? ；()3r 2,1,5E s -：01001s ?? ?；()3r 3,1,1E -：01000s ?? ? ? ???；()1r 2,3E ：01000s ?? ? ? ???；()1r 1,2E ：00100s ?? ?；所以⼀个gcrd 为001s ??；取任⼀单模矩阵预制相乘即可得另⼀个gcrd 。
1.9 求转移矩阵t A e (1)已知1141??=A ，根据拉⽒反变换求解转移矩阵tA e 。
(2) 已知412102113-?? ?= ? ?-??A ，根据C-H 有限项展开法求解转移矩阵t A e 。
解：(1)11()41s s s --??-= ?--??I A1110.50.50.250.2511(3)(1)(3)(1)13131()4141110.50.5(3)(1)(3)(1)(3)(1)3131s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s --+---+-+??-+-+ ? ?-=== ? ?---+ ?-+ ? ?-+-+-+-+?I A 3311330.5e 0.5e 0.25e 0.25e e ()e e 0.5e 0.5e t t t t t t tt t s ------??+-??=-= ??? ?-+?A L I A (2)由2412()12(1)(3)0113λλλλλλ--?? ?=--=--= ? ?--??A I -，得1,233,1λλ== 对1,23λ=，可以计算1,2()2rank λ=A I -，所以该特征值的⼏何重数为1。
《现代控制理论》第三版_.习题答案
K1
0 0 K1
K p
B 0 0 0 0 0
K1
T
K p
C 1 0 0 0 0 0；
1－3.
图
1－29
机械系统。M1
M
受外力
2
作用 f1 f2作用，求M1 M 2运动速度输出的
状态空间表达式。
解：微分方程 M1 y1 f1 K1(c1 c2 ) B1( y1 y2 )
M 2 y2 f2 K2c2 B2 y2 K1(c1 c2 ) B1( y1 y2 )
第一章 作业
参考答案
1－1. 求模拟结构图，并建立其状态空间 表达式。 解：状态方程：
x1 x2
x2
Kb J2
x3
x3
1 J1
x5 K p x6 x3 x4
Kp J1
x3
1 J1
x4
1 J1
x5
Kp J1
x6
x4 Kn x3 x5 K1(x6 x3 ) K1x3 K1x6
x 6
设状态变量 x = c1 c2 y1 y2 T
y y1 y2 T ，u f1 f2 T
令 x1 c1， x2 c2， x3 y1， x4 y2
x1 x3 x2 x4
x3
K1 M1
x1
K1 M1
x2
B1 M1
x3
B1 M1
x4
1 M1
f1
x4
K1 M2
x1
K1 K2 M2
第二章 作业
参考答案
2－4. 用三种方法计算eAt （定义法，约 当标准型，拉氏反变换，凯莱哈密顿）
（1）
A
0 4
1 0
直接法（不提倡使用，除非针对一些特
现代控制理论习题及答案
现代控制理论习题及答案现代控制理论习题及答案现代控制理论是控制工程领域的重要分支，它研究如何设计和分析控制系统，以实现对动态系统的稳定性、响应速度、精度等方面的要求。
在学习现代控制理论过程中，习题是一个非常重要的环节，通过解答习题可以帮助我们巩固理论知识，提高问题解决能力。
本文将介绍一些常见的现代控制理论习题及其答案，希望对读者有所帮助。
1. 题目：给定一个开环传递函数 G(s) = 10/(s+5)，求其闭环传递函数 T(s) 和稳定性判断。
解答：闭环传递函数 T(s) 可以通过公式 T(s) = G(s) / (1 + G(s)) 计算得到。
代入G(s) 的表达式，得到 T(s) = 10/(s+15)。
稳定性判断可以通过判断开环传递函数G(s) 的极点是否在左半平面来进行。
由于 G(s) 的极点为 -5，位于左半平面，因此系统是稳定的。
2. 题目：给定一个系统的状态空间表达式为 dx/dt = Ax + Bu，其中 A = [[-1, 2], [0, -3]]，B = [[1], [1]]，求系统的传递函数表达式。
解答：系统的传递函数表达式可以通过状态空间表达式进行求解。
首先，计算系统的特征值，即矩阵 A 的特征值。
通过求解 det(sI - A) = 0，可以得到系统的特征值为 -1 和 -3。
然后，将特征值代入传递函数表达式的分母，得到传递函数的分母为 (s+1)(s+3)。
接下来，计算传递函数的分子，可以通过求解 C = D(sI - A)^(-1)B 得到，其中 C 和 D 分别为输出矩阵和输入矩阵。
代入给定的 A、B 矩阵，计算得到 C = [1, 0] 和 D = [0]。
因此，系统的传递函数表达式为 G(s) = C(sI - A)^(-1)B = [1, 0] * [(s+1)^(-1), -2(s+3)^(-1); 0, (s+3)^(-1)] * [1; 1] =(s+1)^(-1) + 2(s+3)^(-1)。
《现代控制理论》第三版_.习题答案
1 0 0 3 1 0 5 2 1 52 7 1 5 2 70 125 3 5 7 5 0 0 1 1 B 2 ； 2 5 5
1 0 a1 0 0 1 0 1 0 0 1 a2 3 7 5
0 B 0 1
C (b0 a0bn ) (bn1 an1bn ) 2 1 0
3 1 a 或者 2 2 1 a1 0 a0
e At I At 1 22 1 33 A t A t 2! 3! t2 t4 t6 t3 t5 1 4 16 64 , 4 16 t 2! 4! 6! 3! 5! 3 5 2 4 6 t t t t t t 4 16 64 , 1 4 16 64 3! 5! 2! 4! 6!
0 0 1 B M 1 0 0 0 0 1 M2
1 0 B 1 M1 B1 M2
1 B1 M1 B1 B2 M2
0
0 0 1 0 C 0 0 0 1
1－5. 根据微分方程， 写状态方程， 画模 拟结构图。
1 a2 a2 2 a1 3 2 a a a 1 2 2 a0
1 a2 a1
1 a2
12 b1 b0
b3 b 2 b1 1 b0
凯莱哈密顿法： 1,2 2 j
0 (t ) 1 1 e1t 1 2(e 2 jt e 2 jt ) (t ) 1 2t 4 2 jt 2 jt e j ( e e ) 2 1
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s第九章 线性系统的状态空间分析与综合9-1 设系统的微分方程为其中 u 为输入量， x 为输出量。
x 3x 2x u⑴ 设状态变量 x 1 x ， x 2 x ，试列写动态方程；⑵ 设状态变换 x 1x 1x 2 ， x 2x 1 2 x 2 ，试确定变换矩阵 T 及变换后的动态方程。
x 1 0 1 x 1 0x 1 解：⑴u ， y 1 0；x 2 2 x 1 x 13 x 211 1 x 212 1 1 1⑵T， T； T； A T AT ， B T B ， CCT ；x 2x 2 1 1 121 1x 1 1 0 x 1 1 x 1 得， T；u ， y 1 1。
12x 21 x 21x 29-2 设系统的微分方程为y 6 y 11y 6 y 6u其中 u 、 y 分别系统为输入、输出量。
试列写可控标准型 (即 A 为友矩阵 )及可观标准型 (即 A 为友矩阵转置 )状态空间表达式，并画出状态变量图。
解：可控标准型和可观标准型状态空间表达式依次为，；；61161y6 0 0 x y 0 0 1 x可控标准型和可观标准型的状态变量图依次为，ux 3s-1x 2s-1x 1s-1x 16yu6x 1s-1 x 1x 2s-1 x 2x 3-1x 3y-6116---61169-3 已知系统结构图如图所示，其状态变量为x 1 、 x 2 、 x 3 。
试求动态方程，并画出状态变量图。
U (s)2X 2(s) s 32s(s 1)X 1(s)= Y(s)-- X 3(s)s解：由图中信号关系得，x 1 x 3 ， x 20 0 2x 1 1 3 x 2 02u ， x 32 x 23 x 3 ， y x 1 。
动态方程为x2 0 状态变量图为0 0 66 x 1 0 11 x0 u0 160 1 0 0 x 0 0 1 x 0 u 03 x 2 u ， y 1 0 0 x ； 21u x22- - s-1x2 23x3s-1x3- 3-1x1y9-4 已知双输入双-输出系统状态方程和输出方程x1 x2 u1x2 x3 2u1 u2y1 x1 x2，，x3 6x111x26x3 u2y2 2x1 x2 x3写出其向量-矩阵形式并画出状态变量图。
解：状态方程x 0 1 00 0 1 x6 11 61 02 1 u ，y0 11 1 0x；2 1 1状态变量图为u2x3 s-1 x3- 1162x2 s-1 x2--u1x1s-1x12y2y19-5 已知系统传递函数为G(s) s2 6s 8 s2 4s 3，试求出可控标准型( A为友矩阵)、可观标准型( A为友矩阵转置)、对角型( A为对角阵)动态方程。
解：G(s)2 s 521.510.51 ；可控标准型、可观标准型和对角型依次为s 4s 30 1x x3 4 s 1 s 30 0u x1 ； 13 5x u x4 2 ；1 0 1.5x u0 3 0.5 。
y 5 2 x u y 0 1 x u y 1 1 x u 9-6 已知系统传递函数为试求约当型( A 为约当阵)动态方程。
G(s)5(s 1) 2 ( s 2)，2 0 0 5解：G(s)5 5s 2 (s 1)5(s 1)2；x0 1 1 x0 0 15 u ，y51 1 0 x 。
9-7 已知系统的状态方程为1 0 1x x u ，1 1 1 s-3 22初始条件为 解法 1：x 1 (0) 1 ， x 2 (0) 0 。
试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。
1s 1 0et 0(t ) L 1；1 s 1 te te te t 0 1 t e t0 1et et 12et 1x解法 2：tete t 0 0(t )e td e t 1 1 s te t1te t1s 。
2te t11s21x( s) (sI A) 1{ Bu(s) x(0)}s( s 11)2s (s 2e t1 1)21s(s ；1)22s9-8已知系统的状态转移矩阵x L [ x(s)]。
2te t(t)3e tt2e2t 2 t2e t t2e2t 2 t，试求该系统的状态阵 A 。
1 2 3e3e 2e3e解： A(t )t 0。
(注：原题给出的34(t) 不满足(0) A 及 (t ) A (t) (t ) A 。
)9-9 已知系统动态方程x0 1 0 2 3 0 x 11 30 1 u ， y 20 0 1 x ，试求传递函数 G(s) 。
解： G (s )C (s I A ) 1B ，1s1 0 0s29 s 30 0 G( s) 0 0 1 2 1s 3 0 1s 31 0 0 1 s 37s 622s 6 s 5s 23ss 1 s20 1 ；3s 2 29-10 试求所示系统的传递函数矩阵。
G( s)2s 2s37 s 3 。
7s 6解： ( sIA)0 1 x 0 0 6 11 1s10 0 s 10 1 1 x 261 s6s 01 111s u ， ys611 2 16s 11 6 0x 。
1s 6 1 s6ss ；26 11 s 6 6s11s 6 s122G(s)1s36s2111s 6 2s26s 11 1 0 6 11s 6s26 s 1 1 0 s2 1 ； 26 s1s24s 29 11s 6 s1s24s 59-11 已知差分方程G(s)s36s211s 64s 228。
4s 4y(k 2) 3 y(k 1) 2 y(k) 2u(k 1) 3u(k ) ，试列写可控标准型 ( A 为友矩阵 )离散动态方程，并求出u( k) 1 时的系统响应。
给定 y(0) 0 ，y(1) 1 。
解：系统的脉冲传递函数为G( z)2 z 3z23 z，U ( z) 2z； x(k 1)z 10 1 x(k )230 u(k) ， 1y(k)3 2 x( k) 。
Y(z) G( z){U ( z) y(0) z 2y(1) z3 y (0)}2 z3( z 1)( z 3z21)( z 2)5 z6(z 1) z2(z 1) 2z；3(z 2)9-12 已知连续系统动态方程为y(k )5 ( 1) k6 2 2k 1 。
30 1 0 xx0 21u ， y1 0 x ，设采样周期 T 1 s ，试求离散化动态方程。
解：设(sIu(t )A)u(k) ， kT1s 1t (k 11) T 1 / s ；1 /[ s( s 2)] ，(t )1 0.5(e 2t1)；0 s 2 21/( s 2)e2t2 (T) 1 0.5(e 1) ，0 e2T0 (T t)dt120.25(e 3) ；0.5(e1)x( k 1)1 0.5(e 0e1)x(k)0.25(e 0.5(e 3) u( k) ，1)y(k ) 1 0 x(k) 。
9-13 判断下列系统的状态可控性：u ； 2222 2 1 01 1 0 0 ⑴ x 02 0 x 0 u ； ⑵ x 0 1 0 x 1 u ； 140 10 1 1 01 1 00 04 0 01 ⑶ x 0 1 0 x 0 1 u ； ⑷ x 0 4 0 x20 1 01 0112110 0 0 10 ⑸xx0 1 u ； ⑹ x110 0 0 0 110 x0 u 。
11 0211 1⑸U0 0 1 3 10 1 2 1 3 1 ⑹U，rankU 1 14 ；状态完全可控；9-14 已知 ada bc ，试计算c 100bd解：矩阵 A 的特征方程为 (s ) s2( a d ) s 0 ， 据凯莱哈密尔定理得知：A2(a d ) A 0 ， Ak 1100( a d) A k ； A 100( a d ) 99A ；a b ( a d )99a b 。
c dc d9-15 设系统状态方程为且状态完全可控。
试求 a 、 b 。
1 1 xxu ，1 ab 0 0 11 0 0 0210 1 2解：⑴ U0 0 0 ， rankU 2 n ；状态不完全可控；110 1 2⑵ U1 1 1 ， rankU2 n ；状态不完全可控；0 1 20 0 0 1⑶ U 10 1 0 1 ， rankU 1 3 ；状态完全可控；1 0 1 114 16⑷ U2 8 32 ， rankU 2 n ；状态不完全可控；1110 12 23 2 31 1 1 12 3 ， rankU 3 n ；状态不完全可控；1 1 1 12 3 122223 1 1 12 32221 b21 解： U， detU ab 1 b0 ，只需 a b。
b ab 1b9-16 设系统传递函数为且状态完全可控。
试求 a 。
G(s)s s37 s2a ，14s 8解：可控标准型实现的系统，无论a 取何值，系统状态完全可控。
在可观标准型实现中8detU a37 a214a 8 0 ；只需 a 1、 a2 且 a 14 ，a 7 4 。
注：由 G( s) 分子和分母的多项式互质条件，同样得到a37a214a 8 0 。
9-17 判断下列系统的输出可控性：a0 0 0 b 0 ⑴ x0 0 c 00 0 0 0 0 0 xu ， y0 1 d 11 0 00 x 。
0 1 00 ⑵ x0 01 x 0 u ， y1 0 0 x ；6解：输出可控性判别矩阵 oA n 1B]CU 。
⑴ U2 c c3 ， S oc[0 0 0 0] ， rank S o0 q ，系统的输出不可控。
d d2d 30 11 0 ， S o [ 0 0 00 1] ， rankS o 1q ，系统的输出可控；9-18 判断下列系统的可观测性：1 2 2 22 0 0⑴ x0 1 1 x 0 u ， y1 1 0 x ；⑵ x0 2 0 x ， y 1 1 1 x ；1 0 1 10 3 11 1 0 00 1 0 ⑶ x0 x ， y1 0 0 00 0 8 aa 0 x1 0 14 x 1 u， y 0 01 x ； U 1 a0 170 111 6 1S [CB CAB CA n 1B] C [ B AB0 0 0 0 01 10 ⑵ U12 1 0 x ；⑷ x0 2 0 x ， y 0 1 1 x 。
0 030 0 2 1 0 01 0 02解：应用可观测性判别矩阵。
⑶ V 2， rankV 4 ；系统完全可观测；9-19 试确定使下列系统可观测的a 、b ：a 1 x0 bx ， y 11 x 。
解： V11 a 1 b， detV1 b a 0 ，只需 ab 1 。
9-20 已知系统各矩阵为1 3 20 11 0 0 A0 4 2 ， B 0 0 ， C ，0 0 11 00 0 1试用传递函数矩阵判断系统的可控性、可观测性。