一类无限可能问题的解法
十八招破解应用题
应用背景在现实生活中，我们经常会遇到各种应用题，例如数学问题、物理问题、工程问题等等。
这些应用题通常需要我们运用一定的知识和技巧来解决，有时候也需要一些创新的思维和方法。
然而，有些应用题可能比较复杂，难以直接找到解决方法，这时我们就需要运用一些破解的技巧来帮助我们解决问题。
破解应用题的目的是通过分析问题、提取关键信息和运用合适的方法，找到解题的突破口，并最终得出正确答案。
十八招破解应用题是一套常见且实用的方法论，可以帮助我们更好地处理各种应用题。
应用过程下面将详细介绍十八招破解应用题的具体步骤和方法：1. 阅读理解首先要仔细阅读应用题中所给出的所有信息和条件，并理清思路。
明确所求问题是什么，确定需要使用哪些知识和技巧来解决。
2. 分析关键信息将所给信息进行分类整理，找出其中与所求问题相关的关键信息。
有时候关键信息可能被隐藏在条件中，需要通过推理和逻辑来找出。
3. 抽象问题将具体的应用题抽象成数学模型或者其他形式的问题描述。
这样可以更好地理解问题的本质，并便于运用数学方法进行求解。
4. 列出已知量和未知量根据抽象后的问题描述，列出已知量和未知量。
已知量是指在应用题中已经给出的信息，未知量是需要我们求解的答案。
5. 运用合适的公式和定理根据问题所涉及的领域，运用相应的公式和定理来建立方程或者不等式。
将已知量和未知量代入公式中，并进行计算。
6. 考虑边界条件在使用公式计算时，要考虑边界条件。
有些情况下，特殊情况可能会导致公式不适用或者产生异常结果，需要特别注意。
7. 运用逻辑推理在一些复杂的应用题中，可能需要运用逻辑推理来得到答案。
通过分析条件之间的关系、排除不可能的情况等等，找到正确答案所满足的条件。
8. 引入辅助变量有时候为了简化问题或者寻找突破口，可以引入一些辅助变量。
这些辅助变量可以帮助我们更好地理解问题，或者提供新的思路和方法。
9. 运用类比思维有时候我们可以将应用题中的问题与已知的类似问题进行类比，运用已有的解决方法来解决新问题。
2018广东公务员考试行测几何概率题的常见解法
几何概率是概率问题的中一个常见分类，但是这一类问题不太好解决，难点在于如何利用几何度量进行求解。
那么接下来中公教育专家就带考生一起来学习一下几何概率的常见解法，从而在考试中取得高分。
一、定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率为几何概率。
二、特征
1、无限性：即一次试验中，所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个。
2、等可能性：每个基本事件发生的可能性相同。
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数学奇思妙想探索数学中的奇异问题与解法
数学奇思妙想探索数学中的奇异问题与解法数学奇思妙想：探索数学中的奇异问题与解法数学作为一门精密而古老的学科，蕴含着许多令人感到兴奋和好奇的奇思妙想。
在数学的广袤世界里，我们可以发现一些看似不可思议、独特而又具有挑战性的问题。
本文将带你走进数学的奇异问题与解法中，探索其中蕴含的魅力。
一、哥德巴赫猜想：素数的神秘性哥德巴赫猜想是数论领域中的一道难题，提出于1742年。
它声称任一大于2的偶数可以分解成两个素数之和。
这一问题至今没有得到证明，尽管有大量的尝试和验证，但依然没有找到一般的解决方法。
在解法上出现了一些奇异的现象。
2002年，俄罗斯数学家克里尼科夫提出了一种奇特的解法，他使用了大约4000个复杂的数学题和几乎1000个定理，通过计算机辅助找到了一个满足哥德巴赫猜想的大偶数。
这个解法非常复杂，暂时没有得到广泛的认可。
不管怎样，哥德巴赫猜想的探索过程中，数学家们提出了许多创新的思路和方法，推动了数论理论的发展。
二、费马大定理：浩瀚证明的背后费马大定理是数论领域的另一个著名奇异问题。
该定理主张对任意大于2的自然数n，都不存在使得 a^n + b^n = c^n 成立的正整数解a、b、c。
这个问题贯穿了整个数学领域的发展历程，并在世界范围内激发了数学家们的激烈讨论。
数百年来，尽管许多数学家付出了巨大的努力，但费马大定理一直未能得到证明。
直到1995年，英国数学家安德鲁·怀尔斯提出了一种惊人的证明方法，用尽了250年来的数学知识和方法，最终成功地证明了费马大定理。
这个证明的背后充满了无数艰辛的努力和智慧的结晶，同时也展示了数学研究的奇思妙想与无限可能。
三、无限阶多重处理技术：数学的无限魅力无限阶多重处理技术是现代数学领域中的一种发展趋势，用于处理不光滑的解，并且在某些奇异问题的解决中发挥着关键作用。
其基本思想是通过合理地选取处理参数，将问题转化为更容易处理的形式。
这种技术的应用领域广泛，包括物理、工程、经济等。
一类常见问题的几种解法
一类常见问题的几种解法恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
恒成立问题有以下几种解法：①一次函数法；②二次函数法；③变量分离法；④奇偶性、周期性等函数性质法；⑤图象法。
一、一次函数法给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ） 或ⅱ） 亦可合并定成同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有例1.对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>p+2x 恒成立的x 的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。
略解：不等式即(x-1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3.二、二次函数法若二次函数y=a x 2+b x+c =0(a ≠0)大于0恒成立，则有 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分⎩⎨⎧>>0)(0m f a ⎩⎨⎧><0)(0n f a ⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f ⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f ⎩⎨⎧<∆>0a布知识求解。
例2.设f(x)=x 2-2a x+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
“三招”破解概率难点
“三招”破解概率难点作者：苗鑫来源：《初中生世界·九年级》2016年第02期概率在日常生活、科学实践中应用非常广泛.在同学们的知识经验中虽然有了一些对事件发生的可能性大小的体验，但那些都是感性的、粗线条的.现在遇到用具体的数——概率来刻画事件发生的可能性，要用数字“说话”，一时难适应，计算也感到没有头绪.为了帮助同学们学好这一章，下面教同学们“三招”，用来破解概率学习中的难点.第一招辨析概念事件发生的“等可能性”这一概念要加强辨析概念：如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有的基本事件出现的可能性都相等，那么这个事件叫做等可能性事件.辨析1：这里的n可以是有限个也可以是无限个.例如：抛掷一个质地均匀的骰子出现的可能性是有限的；转动一个均匀的转盘，当转盘停止转动时指针位置出现的可能性是无限的.辨析2：等可能性包含两层含义：①所有可能发生的结果为有限个或无限个，每次试验有且只有一个结果出现；②每个结果出现的机会均等.例1 判断下列试验的结果哪些具有等可能性.（1）抛掷一枚质地均匀的骰子，面朝上的点数是奇数与面朝上的点数是偶数的结果；（2）抛掷一枚图钉，钉尖朝上朝下的结果；（3）一只不透明的袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中摸出一个球，出现红球和白球的结果.【错解】（1）（2）（3）的试验结果都具有等可能性.【错解辨析】抛掷一枚质地均匀的骰子，面朝上的点数是奇数或是偶数各有3种等可能的结果，所以（1）的试验结果具有等可能性；图钉不均匀，抛掷中钉尖朝上朝下的机会不均等，所以（2）的试验结果不具有等可能性；在一只不透明的袋中装有3个红球和4个白球，从中任意摸出一个球有7种等可能的结果，而从中摸出红球和白球的结果出现的机会不均等，所以（3）的试验结果不具有等可能性.【正解】（1）的试验结果具有等可能性，（2）（3）的试验结果不具有等可能性.第二招学好“列表”与“画图”如果每次试验包含两步，每一步可能产生的结果数比较多，这时可以用一种较简便的列举方法——列表法，这种方法适合在两步试验中每一步出现的结果较多的情况.例2 一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）.A. B. C. D.【解析】列表如下：由表格可知，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球所得的结果有9种，两次摸出的球都是黑球的结果有1种，所以两次摸出的球都是黑球的概率是■.故答案选D.【点评】列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能发生的结果，适合于两步完成的事件.当事件要经过多个步骤（三步或三步以上）完成时，用树状图列出事件所有可能出现的结果，脉络清晰，一目了然.例3 为了参加中考体育测试，甲，乙，丙三位同学进行足球传球训练.球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次.（1）请用树状图列举出三次传球的所有可能情况；（2）求传球三次后，球回到甲脚下的概率；（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？【解析】（1）三次传球所有可能的情况如图：（2）由图知：三次传球后，球回到甲的概率为P（甲）（3）由图知：三次传球后，球回到乙的概率为P（乙）P（乙）>P（甲），所以是传到乙脚下的概率要大.【点评】用树状图求概率时，最关键的是画树状图时横行与竖列的确定.确定时掌握一个原则，横行是试验中的元素，如本题的甲、乙、丙等，竖列是试验的步骤，如本题的第一次、第二次、第三次等.试验的结果总数为树状图最末端的总个数，如本例中可能的结果共有8种.第三招细心审题破解“放回”与“不放回”型概率问题例4 一个不透明的袋子中装着标号为1，2，3，4的4个小球，这些球除颜色外都相同. 甲乙两人共同协商了一个游戏规则：将球搅匀后，每人从中摸出一个球，其中摸出的球上的标号大的一方获胜.（1）若甲先摸球且摸出的球不放回，乙再摸球，求乙获胜的概率；（2）若甲摸出的球放回后乙再摸球，此时制订的游戏规则公平吗？为什么？【解析】第（1）小题中，要求乙获胜的概率，相信同学们应该能轻松解决.对了，通过列表或者画树状图的方法，列出所有可能的情况共12种，其中乙胜的情况数为6种，因此乙获胜的概率为0.5.关于第（2）小题，要判断游戏规则是否公平，同学们想想看，应该根据什么来判断呢？不错，就是看在该规则下甲乙两人获胜的概率是否相同！因此，只需算出甲乙两人的获胜概率，就可以作出判断. 同样列出表格或者树状图，可以看到，现在的所有可能的情况是16种了，不过其中有四种是平局，另外甲胜有6种，乙胜也有6种，因此甲乙两人获胜的概率都是0.375，因此这个游戏规则是公平的.同学们，这一类问题的解决方法应该清楚了吧？不妨再挑战难度大点的：如果把游戏规则改为甲先摸球，记下标号后放回，然后乙再摸球，把两人摸到的球的标号相加，如果和为偶数，则甲胜，否则乙胜. 请问这个游戏规则公平吗？在学习概率时，我们要充分利用已有的生活经验和认知基础，用身边感兴趣的、鲜活生动的问题情境作为学习素材，让自己亲身经历，自己总结、分析，试着用自己的语言表述，理解、辨析概念，对典型的问题，要在相互交流、讨论甚至争议中澄清认识，逐渐积累解题经验.对于复杂情形的问题，要重视课堂中老师的点拨和解题后的检查，减少失误的机会，增强自己的学习信心.（作者单位：江苏省宿迁市湖滨新区晓店中学）。
初二数学难题破解宝典
初二数学难题破解宝典初二数学难题往往涉及多个知识点的综合运用，解决这些难题不仅能提升解题技巧，还能培养学生的数学思维能力。
以下是一些破解初二数学难题的有效方法，帮助学生轻松应对各种复杂题目。
首先，准确分析题目是破解难题的第一步。
在面对难题时，首先要认真阅读题目，明确题目的已知条件和要求解决的问题。
可以尝试将题目中的信息整理成表格或图示，这有助于清晰地把握题目中的关键因素。
通过分析题目的结构和条件，能够找到合适的解题思路。
其次，善用已知知识，把握题目中的关键点。
初二数学涉及许多重要的知识点，如代数公式、几何定理等。
在解决难题时，尝试将题目中的信息与已知的公式或定理相结合，有时难题的解法就在于对基本知识的巧妙应用。
例如，在解决几何题时，可以运用平行线性质、三角形相似性等知识来简化问题。
分解问题也是破解难题的有效方法。
将复杂的题目分解为若干个小问题，逐步解决每个小问题，从而找到整体问题的解答。
比如，解决一个综合性题目时，可以先将题目分解为几个步骤，逐步完成每一步的解答，最终得到整个问题的解决方案。
尝试多种解法也是解决难题的重要策略。
当面对一个复杂问题时，可以尝试不同的解题方法，如代入法、图解法、逻辑推理等。
不同的方法可能会带来不同的解题思路，帮助找到最优的解法。
例如，对于代数方程，可以尝试图形法和代数法两种不同的解题方式，从中找出最简洁的解决方案。
利用数学工具也可以大大提高解题效率。
数学工具如几何软件、计算器等可以帮助进行复杂计算和图形绘制。
在解答涉及复杂计算或图形分析的难题时，合理使用这些工具，可以减少计算错误，提升解题速度。
总结与反思在解决难题后也非常重要。
无论问题是否解决，都应对解题过程进行总结和反思。
总结所使用的方法和技巧，分析解决问题的思路，以及遇到的困难和错误。
通过总结经验，能够在以后的学习中避免类似问题，提高解题能力。
最后，保持良好的学习习惯，不断提高自己的数学素养。
定期进行难题训练，不断挑战自我，通过多做题目和不断总结，逐步提升自己的数学水平。
几种有限可重组合的公式型解法
几种有限可重组合的公式型解法
1. 枚举法：采用枚举方法对特定问题进行深入分析，试图枚举出可行解。
2. 数学归纳法：该方法是一种凭借一定规律、性质，建立适当的数学模型，运用数学归纳法研究问题的解法。
3. 贪心法：贪心法以局部最优的模式构建整体最优的解决方案，对最优化问题的求解是有益的，尽管其可能未能抵达最优解。
4. 分支定界法：该法利用最优性原理和子问题本质，把未知数确定范围缩小、求解可行性剪枝，以穷举到最优解的有效方法。
5. 动态规划法：这是一种解决复杂最优化问题的数学方法，它利用数学归纳法对问题进行分析、模拟和穷举，并对子问题进行重复解决，最后建立描述最优解的数学模型。
6. 分治法：该方法是将问题划分为若干子问题来求解，可以比较容易地求解出各个子问题，并将解决子问题的解综合起来，得到原问题的解。
7. 回溯法：这是一种非常有效的对搜索问题进行多步决定搜索解的算法。
它有时可被称作"试探优化法"或"逐步减枝算法"，它可以搜索解空间，找出最佳解，回溯法根据当前步已经完成的解，搜索最佳解。
无限趋近与极限高中数学极限问题的解题方法
无限趋近与极限高中数学极限问题的解题方法高中数学中极限问题是一种比较常见的问题类型，也是比较基础的数学概念之一。
在解决极限问题时，可以采用无限趋近的方法，即通过取近似值的方法来得到更加精确的结果。
下面将介绍几种常见的无限趋近的解题方法。
一、夹逼准则夹逼定理也叫夹逼准则，是指如果一个函数f(x)处处满足$$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$$且$$\lim_{x \to a}g(x)=\lim_{x \to a}h(x)=L$$(L为常数)，那么$$\lim_{x \to a}f(x)=L$$。
这个定理可以用来解决一些复杂的极限问题，利用其夹逼的形式，我们可以通过弱化问题的难度，从而分解一个比较难的极限问题。
例如，求$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$$我们可以构造一个函数$f(x)=\cos x$，并且显然有$$f(x)=\cos x \leq\frac{\sin x}{x} \leq 1$$然后我们再分别计算$$\lim_{x \to 0} \cosx=1$$和$$\lim_{x \to 0} 1=1$$通过夹逼准则，我们可以得到$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$二、分子有理化在一些复杂的极限问题中，分子分母不方便直接计算，这时我们可以采用分子有理化的方法来简化问题。
分子有理化是指将极限式子分子或分母有理分解，并消去分子或分母中的无理项，将有理项进行合并化简，从而得到较为简单的极限式。
例如，求$$\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$$我们可以采用分子有理化的方法，将式子变形为$$\lim_{x \to\infty}\frac{(x+1)^x}{x^x}$$再将它化简为$$\lim_{x \to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}$$然后我们再将这个式子做一下变形，得到$$\lim_{x \to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\left(1+\frac{1}{x}\right)=e$$从而得到了最终的结果。
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王华钧
【原题呈现】苏科版九（上）第129页练习1：A、B两地之间的电缆有一处断点，断点出现在电缆的各个位置的可能性相同吗？
【解析】断点会出现在A、B两地之间电缆的任何一处（有无限多个可能的结果）；出现在电缆的各个位置的可能性相同。
【原题呈现】苏科版九（上）第142页习题4.3第2题：按下列要求设计一个转盘：任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的概率为14。
【解析】只要涂有红色的扇形面积占整个转盘面积的14即可，答案不唯一。
【点评】练习中断点出现的位置有无限多个可能的结果，习题中转盘指针停止的位置也有无数多种可能的结果，而且它们都具有等可能性。
无限的问题如何处理？转盘问题的解决方案告诉我们：化无限为有限。
对于转盘，教材采用面积转换：一般地，设试验结果落在某个区域S中每一点的机会均等，如果把“试验结果落在S中的一个小区域M中”记为事件
A，那么P（A）=M的面积
S的面积。
【变式1】小明将如图所示的转盘分成n（n 是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标注连续偶数数字2，4，6，…，2n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是56，则n的取值为（）。
A.36
B.30
C.24
D.18
【解析】∵事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是56，不大于8的偶数数字只有4个，∴n-4n=56。
解得n=24。
答案：C。
【变式2】正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（）。
A.π-22
B.π-24
C.π-28
D.π-216
【解析】因为正方形ABCD的面积为4，阴影部分的面积为四个半圆的面积与正方形ABCD的面积之差，即4×12π×（22）2-4=2π-4，
根据前面P（A）=M的面积
S的面积
，有P（米粒落在阴影部分）=2π-44=π-22。
答案：A。
（作者单位：江苏省东台市实验中学）
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例题延展。