有理数的梯度与方向导数计算方法
6方向导数与梯度
(x0 ,y0 )
=
lim
t →0+
f (x0
+ tcosα,y0
+ tcosβ ) −
t
f (x0,y0 )
fx (x0,y0 )cosα + fy (x0,y0 )cosβ .
工科数学分析（网课）
东南大学贺传富
注：1）二元函数f (x,y)沿方向l={cosα，cosβ }的方向导数为 = ∂∂fl (x0 ,y0 ) fx (x0,y0 )cosα + fy (x0,y0 )cosβ .
点Q(2,−1)的方向的方向导数 .
解： 方向: =l PQ= (1,−1),有
cosα = 1 ,cosβ = − 1
2
2
∂z ∂x
(1,0)
=
e2y
(1,0)
=
1,
∂z ∂y
(1,0)
=
2 xe2 y
(1,0)
=
2,
所以所求方向导数为
∂z ∂l
(1,0)
=
1⋅
1 + 2⋅ (− 2
1 )=− 2
或= ∇f fx (x0,y0 )i + fy (x= 0,y0 )j {fx (x0,y0 )，fy (x0,y0 )}.
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2、定义2 若 u = f (x,y,z) 在 P (x0,y0,z0) 可偏导,则 三元函数u = f (x,y,z) 的梯度为：
gradf (x0,y0,z0 ) = fx (x0,y0,z0 )i + fy (x0,y0,z0 )j + fz (x0,y0,z0 )k. = {fx (x0,y0,z0 ), fy (x0,y0,z0 ), fz (x0,y0,z0 )}
9_7方向导数与梯度精编版
f
x
cos
f y
cos
f z
cos
o
(
)
故: f lim f f cos f cos f cos
l 0 x
y
z
x
( x)2 cos , y
切向量: T 1, ( x0 ), ( x0 )
M
r r(t)
二、曲面的切平面与法线
o
1. 曲面 ∑: F(x, y, z) = 0
r 法向量: n ( Fx , Fy , Fz )
2. 曲面 : z = f (x, y)
r 法向量: n ( fx ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ), 1)
0 0
l
( x)2 ( y)2 (z)2 ,
x cos , y cos , z cos
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. l
l
P
P(x, y, z)
2. 定理: 若函数 f (x, y, z) 在点 P (x, y, z) 处可微, 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在, 且有:
设 fx, fy不同时为零, 则 L*上点P 处的法向量为:
( fx , f y ) P grad f P f |P
书上例题见mathematica
y f c3 f c2
P f c1 o x (设c1 c2 c3)
2) 对应函数 u = f (x, y, z), 有等值面: f (x, y, z) = C. 当各偏导数不同时为零时, 其上点 P 处的法向量为:
方向导数与梯度
f f cos f cos f cos
l x
y
z
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2. 梯度
二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx , f y )
三元函数
在点
处的梯度为
grad f f , f , f x y z
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练习
1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线
x
y
o( )
故
f l
lim f
0
f cos f cos
x
y
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二元函数 f ( x, y)
f f cos f cos
l x
y
其中 , 为方向l的方向角
特别:
• 当 l 与 x 轴同向 0, 时,有 f f
2
l x
• 当 l 与 x 轴反向 , 时,有 f f
max f G
l
这说明
G:
方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值
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1. 定义
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient),
记作grad f , 即
f , f , f x y z
同样可定义二元函数
在点P(x, y) 处的梯度
故 gradu(1,1,2) (5, 2, 1) 5i 2 j 12k
在
P0
(
3 2
,
1 2
,0)
处梯度为
0.
内容小结
1. 方向导数
• 二元函数
7_7梯度与方向导数
y
l
l
= f x ( x, y ) cos α + f y ( x, y ) cos β
P
o
x
( ρ = (∆x) 2 + (∆y ) 2 , ∆ x = ρ cos α , ∆. y = ρ cos β )
特别:
∂f ∂f = • 当 l 与 x 轴同向 (α = 0 , β = ) 时, 有 2 ∂l ∂ x ∂f ∂f π • 当 l 与 x 轴反向 (α = π , β = )时, 有 =− ∂x ∂l 2
三、物理意义
数量场 (数性函数) 函数 场 如: 温度场, 电位场等 向量场(矢性函数) 如: 力场, 速度场等 可微函数 f ( P ) (势) 梯度场 grad f ( P ) (向量场) (物理量的分布)
注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.
19
例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点P ( x, y, z ) q 2 2 2 处所产生的电位为 u = ( r = x + y + z ), 试证 4π ε r q 0 grad u = − E (场强 E = r ) 2 4π ε r
(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 θ . 2. P107 例7 1. 设函数 f ( x, y, z ) = x + y
0 ′ 证: 利用例4的结果 grad f ( r ) = f ( r ) r
grad u = (
q 4π ε r
)′ r 0 = −
q 4π ε r
0 r = −E 2
这说明场强: 垂直于等位面, 且指向电位减少的方向.
20
内容小结
1. 方向导数 • 三元函数 f ( x, y, z ) 在点 P ( x, y, z ) 沿方向 l (方向角 为α , β , γ ) 的方向导数为 ∂f ∂f ∂f ∂f = cos α + cos β + cos γ ∂z ∂l ∂x ∂y • 二元函数 f ( x, y ) 在点 P ( x, y ) 沿方向 l (方向角为
2.5 方向导数与梯度
z 同理： y
故两个偏导数均不存在.
沿任意方向l { x, y}的方向导数,
z l
( 0,0 )
lim
f ( x , y ) f (0,0)
0
( x ) 2 ( y ) 2 lim 1 2 2 0 ( x ) ( y )
显然f x , f y是f ( x , y )沿x , y轴的方向导数 沿x , y轴正向时为f x , f y ;负向时为 f x , f y .
f 2. 的存在定理 l 若z f ( x , y)在P ( x , y)可微,
则函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在，且 f f x cos f y cos , l 其中cos , cos 为方向l 的方向余弦. y Proof. z f ( x, y)可微, P y1 z f x x f y y o( ), P x z x y o( ) fx fy , o
u cos cos l (1,1)
此时
2
u 从而 2 cos( ) l (1,1) 4
u 显然当 时, 4 l (max)
2,
u 当 时, 0, 4 2 l
而gradu i j ,
即
r cos cos sin sin cos( ) l r r 且当 时, 1;当 时, 0. l 2 l
二. 梯度
定义 设函数 z f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有 一阶连续偏导数，则对于每一点 P ( x , y ) D ，
高等数学 8-7.方向导数与梯度
π 方向导数达到最大值 2 ; 故 1）当α = 时， （ 4 5π π （2）当α = 时， 方向导数达到最小值− 2 ; 4 3π 7π π π （3）当α = 和α = 时，方向导数等于 0. 4 4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u = f ( x, y, z )，它在空间一点 P( x0 , y0 , z0 ) 沿着方向 l = (cosα ,cos β ,cos γ ) 的方 向导数 ，可定义为 f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z ) − f ( x0 , y0 , z0 ) ∂f = lim ρ ∂l ρ →0
方向导数仍可理解 为曲线上一点处右 切线在新坐标系下 的斜率. 的斜率
y
t
P = ( x 0 , y0 )
v = (cos α ,sin α )
方向导数的物理意义：
设一质点 P 在三维空间的运动轨迹为 (时间t) 时间
x = x0 + t cos α , y = y0 + t sin α , z = f ( x0 + t cos α , y0 + t sin α )
y
l
• P′
•
•
ϕ
∆x
∆y
x
（如图） 如图）
ρ f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 是否存在？ 是否存在？ lim ρ →0 ρ
上述极限若存在, 定义: 上述极限若存在 则称此极限为函数 f 在 P处沿方向 l 的方向导数 记为 方向导数, 处沿方向
∵ | PP ′ |= ρ = ( ∆x )2 + ( ∆y )2 , 且 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ), ∆z 考虑 , 当 P′沿着 l 趋于 P时，
第七节 方向导数与梯度
第七节 方向导数与梯度 ㈠本课的基本要求理解方向导数和梯度的概念并掌握其计算方法 ㈡本课的重点、难点方向导数和梯度的概念为重点、其计算方法为难点 ㈢教学内容 一．方向导数偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率。
但许多物理现象告诉我们，考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的。
例如，热空气是向冷的地方流动，气象学中就是确定大气温度、气压沿着某些方向的变化率。
因此我们有必要来讨论函数沿任一指定方向的变化率问题。
设l 是xoy 平面上以),(000y x P 为始点的一条射线，)cos ,(cos βα=l e 是与l 同方向的单位向量。
射线l 的参数方程为)0(,cos ,cos 00≥+=+=t t y y t x x βα。
设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域)(0P U 内有定义，)cos ,cos (00βαt y t x P ++为l 上另一点，且)(0P U P ∈。
如果函数增量),()cos ,cos (0000y x f t y t x f -++βα与P 到0P 的距离t PP =0的比值ty x f t y t x f ),()cos ,cos (0000-++βα，当P 沿着l 趋于0P （即+→0t ）时的极限存在，则称此极限为函数),(y x f 在点0P 沿方向l 的方向导数，记作),(00y x lf ∂∂，即lim0),(00+→=∂∂t y x lf ty x f t y t x f ),()cos ,cos (0000-++βα。
⑴注意 在方向导数中，由于ρ总是正的，因此是单向导数，即方向导数是函数沿射线方向的变化率。
而在偏导数中，x ∆与y ∆的值则可正可负，因此，如果函数),(y x f z =在点P 沿着x 轴正向}0,1{=i ，y 轴正向}1,0{=j 的方向导数存在，其值就是y x f f ,；如果函数),(y x f z =在点P 沿着x 轴负向}0,1{-=-i ，y 轴负向}1,0{-=-j 的方向导数存在，其值就是y x f f --,。
方向导数与梯度
设方向l的方向角为 , ,
x cos , y cos , z cos ,
f同理,f当co函s数在此f c点os可 微 时f ,c那os末 函数在该点 沿其任中l意(c方osx向 ,lc的os方向,c导oys数)是都l存的在方z,向且向有量.
16
方向导数与梯度
1991年研究生考题, 计算,5分
存在时,
f x
f y
是否一定存在
7
方向导数与梯度
例如, 函数 z 的方向导数
fflimlimf (fx(xx, yx,y)y) f (fx(,xy,)y)
lx 0x0
x
x2 y2在点(0, 0)处沿方向 l i
f l
f i
lim |x|0
(x)2 02 0 lim x 1,
第七节 方向导数与梯度
directional derivative and gradient
方向导数概念与计算公式 梯度概念与计算 数量场与向量场的概念 小结 思考题 作业
1
第八章 多元函数微分法及其应用
方向导数与梯度
一、方向导数概念与计算公式
设有二元函数 z f ( x, y),考虑函数在某点
l P0 x P0
y P0
13
方向导数与梯度
问在怎样的方向上此方向导数有 (1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零?
f cos sin 2 sin( p )
l (1,1)
4
故 (1) 当 p 时,方向导数达到最大值
4
2;
(2) 当 5p 时, 方向导数达到最小值 2;
4
(3) 当 3p 和 7p 时,方向导数等于 0.
例 设n 是曲面2x2 3 y2 z2 6在点P(1,1,1)
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有理数的梯度与方向导数计算方法在数学中，有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括正有
理数、负有理数和零。
有理数在数学运算中起到了重要的作用，而梯
度和方向导数则是在多元函数中描述函数变化速率和方向的重要工具。
本文将介绍有理数的梯度与方向导数的计算方法。
一、有理数的梯度计算方法
在多元函数的微积分中，梯度是一个向量，它的方向是函数在某一
点上变化最快的方向，而梯度值则表示函数在该点上变化的速率。
对
于一个函数f(x1, x2, ... , xn)，其梯度可以表示为：
∇f = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ... , ∂f/∂xn)
其中，∂f/∂xi表示对函数f求第i个自变量的偏导数。
为了计算有理数的梯度，我们需要先计算函数f对各个自变量的偏
导数，然后将偏导数按照顺序组成一个向量。
举例来说，假设我们有一个函数f(x, y) = x^2 + y^3，我们要计算该
函数在点(2, 3)处的梯度。
首先，计算函数对x的偏导数和对y的偏导数：
∂f/∂x = 2x
∂f/∂y = 3y^2
然后，将偏导数组成一个向量：
∇f = (2x, 3y^2)
将点(2, 3)代入梯度向量中的变量，即可得到该点处的梯度向量：∇f(2, 3) = (2*2, 3*3^2) = (4, 27)
所以，函数f(x, y) = x^2 + y^3在点(2, 3)处的梯度为(4, 27)。
二、有理数的方向导数计算方法
方向导数是一个标量，它表示函数在某一点上沿着给定方向变化的速率。
对于一个函数f(x1, x2, ... , xn)，其在点P(x1, x2, ... , xn)处沿着向量v = (v1, v2, ... , vn)的方向导数可以表示为：
Dvf = ∇f·v = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)·(v1, v2, ... , vn)
其中，·表示向量的点积运算。
为了计算有理数的方向导数，我们需要先计算函数f对各个自变量的偏导数，然后将偏导数与方向向量进行点积运算。
举例来说，假设我们有一个函数f(x, y) = x^2 + y^3，我们要计算该函数在点(2, 3)处沿着向量(1, 1)的方向导数。
首先，计算函数对x的偏导数和对y的偏导数：
∂f/∂x = 2x
∂f/∂y = 3y^2
然后，将偏导数与方向向量进行点积运算：
Dvf = (2x, 3y^2)·(1, 1) = 2x + 3y^2
将点(2, 3)代入方向导数中的变量，即可得到该点处沿着向量(1, 1)的方向导数：
Dv(1, 1) = 2*2 + 3*3^2 = 2 + 27 = 29
所以，函数f(x, y) = x^2 + y^3在点(2, 3)处沿着向量(1, 1)的方向导
数为29。
总结：有理数的梯度和方向导数是在多元函数中描述函数变化速率
和方向的重要工具。
通过计算函数对各个自变量的偏导数，我们可以
得到函数的梯度向量；而通过将偏导数与给定方向向量进行点积运算，我们可以得到函数沿着该方向的方向导数。
这些计算方法对于进一步
研究函数的性质和优化问题具有重要意义。